精品解析：江苏无锡市锡山区安镇中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

九年级数学12月学情分析 一、选择题：（本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 2. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握当，则直线与圆相离，当，则直线与圆相切，当，则直线与圆相交．利用直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， ， 直线l与的位置关系是相离， 故选：A． 3. 某鞋店在做市场调查时，为了提高销售量，商家最应关注鞋子型号的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的意义，即可求解． 【详解】解：为了提高销售量，商家最应关注鞋子型号的众数． 故选：A 【点睛】本题主要考查了众数，熟练掌握一组数据中出现次数最多的数是众数，众数反映了一组数据的多数水平是解题的关键． 4. 如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（　　） A. 4：9 B. 2：3 C. 16：81 D. 9：4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似边比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵两个相似多边形的对应高比是4：9， ∴这两个相似多边形面积的比是16：81． 故选C． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5． 故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0． 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换，然后问题可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是； 故选C． 7. 如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补得到，由，等量代换得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 8. 如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，求余弦值等知识点．在中，由勾股定理得，求得，再根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：， 是直径， 直径为， ， 点的坐标为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由圆周角定理得：， ， 即的余弦值为． 故选：C． 9. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．     ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线．下列四个结论： ①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中结论正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符号特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∵对称轴为直线，即 ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①③④，共3个． 故选：C． 二、填空题：（本题共8小题，共24分．） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：方程， 提取公因式，得， 因此或， 即，． 故答案为：， 12. 在比例尺为的地图上，量得A地与B地的距离约为，则A地与B地的实际距离________m． 【答案】3200 【解析】 【分析】本题考查比例尺，根据实际距离等于图上距离除以比例尺，然后进行单位换算即可解答． 【详解】解：实际距离为． 故答案为：3200． 13. 若一个山坡的坡度为，则在水平方向上每前进米，就升高_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是坡度的定义，掌握坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度比为，得比例关系求解即可． 【详解】解：设升高高度为米， 则根据坡度比得，， 解得，． 故答案为：． 14. 圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为________． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，直接应用公式求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中r是底面半径，l是母线长． 代入， 得． 故答案为：． 15. 低空经济是苏州近年来重点发展的战略性新兴产业之一．据统计，今年第季度低空飞机航线安全运行了架次，预计第季度低空飞机航线安全运行将达到架次．设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第、第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞机航线安全运行了架次，第三季度低空飞机航线安全运行了架次，且第季度低空飞机航线安全运行将达到架次，据此列出方程即可． 【详解】解：设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为， 根据题意可得：， 故答案为：． 16. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 17. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 18. 将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，翻折变换，黄金分割，相似三角形的判定和性质，设与交于点，由矩形的性质可得，，，，则，由折叠性质可知：，，故，设，，，根据勾股定理求出，则，再证明，最后由相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵矩形是一个黄金矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴设，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）求中锐角的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数值，二次根式的运算，绝对值，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式的运算，锐角三角函数值，绝对值进行求解即可； （2）由特殊角的三角函数值得到，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ， 则或， 所以． 21. 现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________； （2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，可得抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率为； 故答案为： （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果为4种，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率= 【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率，解答中注意利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 22. 某校为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，问卷给出了四种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）扇形统计图中自行车对应的圆心角为________度；补全条形统计图： （3）如果全校有名学生，学校准备的个自行车停车位是否够用？ 【答案】（1）名 （2）， 补全条形统计图如图所示： （3）够用， ∵样本中骑自行车上学的学生有名， ∴估计该校一共骑自行车的人数： (名)， ， 因此，准备的个自行车停车位够用． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中的数量关系是正确解答的关键． ()从两个统计图可知，样本中“乘公交车”的有人，占调查人数的，可求出调查人数； ()先算出抽取学生中骑自行车的人数占总人数的比例，再用该比例乘以，即可得到自行车对应扇形的圆心角度数；求出“步行”的人数，根据步行占总人数的比例，即可补全条形统计图； ()求出全校名学生中“骑自行车”的人数，再做出判断即可． 【小问1详解】 解：（名）， 答：在这次调查中，一共抽取了名学生； 【小问2详解】 解：， 扇形统计图中自行车对应的圆心角为：， 故答案为：； (名) 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，． （1）请在图（1）中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点，在上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则  （如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 如图，射线、点E即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线和作一个角等于已知角的方法画图即可； （2）过点D作于G，过点E作于F， 分别证明和得到，再分别证明和得到，然后利用正切定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作于G，过点E作于F，则， ∵平分，，， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴，又， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角，角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、正切等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，正确添加辅助线，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质求解是解答的关键． 24. 如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【答案】（1） 证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 25. 某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为x元（），每天销量为y件． （1）当销售单价为11元时，平均每天可以销售_______件商品； （2）商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） 18 （2） 销售单价应定为10元 （3） 销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大，最大利润是112元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售、营销问题，根据题意准确把握题目的数量关系是解题的关键． （1）销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，据此求解即可； （2）先求出每天的销量与销售单价的函数关系式，再根据每天获利100元列方程求解可； （3）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：18； 【小问2详解】 每天的销售量为：， 由题意，得, 解得， 销售单价不能超过12元， 答：商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为10元； 【小问3详解】 ， ，， 当时，． 销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大，最大利润是112元． 26. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆；其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动(窗户关闭时，，叠合在边上)，支撑杆的长度固定不变，窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其俯视平面图如图2所示，窗户的旋转角的大小控制在一定范围内：，． （1）现将窗户打开至旋转角时，第一次测得，求此时的长； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，即绕点A逆时针旋转，旋转角从开始逐渐增大，旋转后点M，N的对应点分别为点，，直至第二次测得时停止，求端点N在此过程中滑动的长度．(结果均保留根号) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，含30度直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）如图2中，过点M作于点H，利用含30度直角三角形的性质得出．解直角三角形求出，即可 （2）如图3中，作交的延长线于点， 解直角三角形得出是，进一步相减可得出结论． 【小问1详解】 解：如图2中，过点M作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴ 【小问2详解】 解：如图3中，作交的延长线于点， 在中，， ， ∴， ， 在中， ． ∴ ∴端点N在此过程中滑动的长度为： 27. 【问题思考】（1）如图1，已知正方形，M，N分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到P，使得，连接，则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是________； 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点H，连接，当点E在上时， ①若，求的值； ②若是等腰三角形，求此时的长． 【答案】 （1），之间的数量关系是：．理由如下： 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 即． ， ∴ ． 在和中， ， ， ， ， ． （2）①；②或5． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）①连接，利用正方形的性质得到，利用（）的结论得到：，设，则，，利用勾股定理列出方程求得值，得到的值，再根据正切的定义求解即可； ②过点作，交的延长线于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求得．设，则，，，再利用分类讨论的思想方法分三种情况推论解答：（Ⅰ）当时，，此种情况不存在；（Ⅱ）当时，，则，点与点重合；（Ⅲ）当时，．则，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1） 略 （2）①连接， 四边形为正方形， ，， ∴是等腰直角三角形， ， 由（1）知：． 正方形的边长为，， ． 设，则，． ∵在正方形中，， ∴在中，， 即，解得． ， ∴在中，． ②过点作，交的延长线于点， 四边形和四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 设，则，，． ． （Ⅰ）当时，， ． ， ． 此时，不合题意，舍去； （Ⅱ）当时，， ， 此时，点与点重合， 点与点重合， ； （Ⅲ）当时，． 则， ． ， ． 解得：； 综上，若是等腰三角形，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28. 如图1在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是抛物线上一动点，且点D的横坐标为，求面积的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据直线先求出，，再利用待定系数法即可求解； （2）先确定点D处在直线上方的抛物线上，过C点作轴于点T，连接，即可得，再结合二次函数的性质即可求解； （3）先求出对称轴为：，设点，即可得，，，结合勾股定理，分类讨论即可作答． 【小问1详解】 ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 对于直线， 当时，，即， 当时，， 解得：，即， ∵经过点和， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 ∵点D的横坐标为，且， 又∵，， ∴点D处在直线上方的抛物线上， 如图，过C点作轴于点T，连接， 设点D的坐标为， ∵轴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：； 【小问3详解】 如图， 对于抛物线， 其对称轴为：， 设点， ∵，， ∴，，， 当直角以为斜边时，有：， ∴， 解得：， ∴， 当直角以为斜边时，有：， ∴， 解得：， ∴， 综上：点P的坐标为：，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，平面直角坐标系内三角形面积，两点间的距离公式，第二问的关键是将三角形的面积分割，第三问是结合勾股定理进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学12月学情分析 一、选择题：（本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 3. 某鞋店在做市场调查时，为了提高销售量，商家最应关注鞋子型号的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 极差 4. 如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（　　） A. 4：9 B. 2：3 C. 16：81 D. 9：4 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线．下列四个结论： ①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中结论正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本题共8小题，共24分．） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 在比例尺为的地图上，量得A地与B地的距离约为，则A地与B地的实际距离________m． 13. 若一个山坡的坡度为，则在水平方向上每前进米，就升高_____米． 14. 圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为________． 15. 低空经济是苏州近年来重点发展的战略性新兴产业之一．据统计，今年第季度低空飞机航线安全运行了架次，预计第季度低空飞机航线安全运行将达到架次．设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则可列方程为________． 16. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 17. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 18. 将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边______． 三、解答题：（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）求中锐角的值． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________； （2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 22. 某校为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，问卷给出了四种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）扇形统计图中自行车对应的圆心角为________度；补全条形统计图： （3）如果全校有名学生，学校准备的个自行车停车位是否够用？ 23. 如图，在中，． （1）请在图（1）中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点，在上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则  （如需画草图，请使用图2） 24. 如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 25. 某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为x元（），每天销量为y件． （1）当销售单价为11元时，平均每天可以销售_______件商品； （2）商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？ 26. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆；其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动(窗户关闭时，，叠合在边上)，支撑杆的长度固定不变，窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其俯视平面图如图2所示，窗户的旋转角的大小控制在一定范围内：，． （1）现将窗户打开至旋转角时，第一次测得，求此时的长； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，即绕点A逆时针旋转，旋转角从开始逐渐增大，旋转后点M，N的对应点分别为点，，直至第二次测得时停止，求端点N在此过程中滑动的长度．(结果均保留根号) 27. 【问题思考】（1）如图1，已知正方形，M，N分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到P，使得，连接，则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是________； 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点H，连接，当点E在上时， ①若，求的值； ②若是等腰三角形，求此时的长． 28. 如图1在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是抛物线上一动点，且点D的横坐标为，求面积的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $