专题4.5 数学归纳法（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题4.5 数学归纳法（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 2 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 3 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 6 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 8 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 10 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 12 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 15 考点1 数学归纳法 知识点1 数学归纳法 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 【例1】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【解答过程】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】观察为项连续正整数之和的规律，可得. 【解答过程】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二下·四川绵阳·阶段检测）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由数学归纳法的定义可得结论. 【解答过程】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 【变式1-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解答过程】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 【例2】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【解答过程】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 【变式2-1】（25-26高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【解题思路】应用数学归纳法证明即可. 【解答过程】证明：当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 【变式2-2】（26-27高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用数学归纳法可证得结论成立； （2）验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【解答过程】（1）证明：①当时，左边，右边，等式成立； ②假设当时，等式也成立，即， 则当时， ， 所以当时，等式也成立．由①②可知，等式对任何都成立． （2）证明：①当时，左边右边，等式成立；②假设当（）时，等式成立， 即． 则当时， 左边 右边， 所以当时，等式也成立，由①②可知，等式对所有正整数都成立． 【变式2-3】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可； 【解答过程】（1）证明：①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）证明：①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 【例3】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【解答过程】证明： ①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 【变式3-1】（25-26高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明. 【解答过程】证明：当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 【变式3-2】（25-26高二·全国·随堂练习）设，，且，用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法的证明方法证明即可． 【解答过程】证明：当时，左边，右边， 因为，所以，故左边右边，原不等式成立； 假设当时，不等式成立，即， 则当时，，， 在不等式两边同乘以得 ， 所以．即当时，不等式也成立． 综上，对一切正整数，不等式都成立． 【变式3-3】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系. 【解答过程】证明：当，则成立， 若且时，成立， 令，则 ， 所以时不等式也成立， 综上，恒成立. 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 【例4】（25-26高二·全国·课后作业）平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】第个圆与前个圆相交有个交点，这些交点把第个圆分成段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论． 【解答过程】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此． 故选：B． 【变式4-1】（25-26高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋____________. 【答案】k＋1 【解题思路】从目标f(n)＝1＋分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论. 【解答过程】f(k)＝1＋， f(k＋1)＝1＋， ∴f(k＋1)－f(k) ＝ ＝k＋1， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)． 故答案为：k＋1. 【变式4-2】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【答案】证明见解析 【解题思路】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【解答过程】证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 【变式4-3】（2026高二·全国·专题练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，证明见解析 【解题思路】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可 【解答过程】n＝2时，f（2）＝2＝1×2， n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3， n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4， n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5， 猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)， 则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点， 所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 即n＝k＋1时猜想也成立． 由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 【例5】（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【解答过程】证明： （1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 【变式5-1】（25-26高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【解答过程】证明：（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 【变式5-2】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）. 【答案】证明见解析 【解题思路】按照数学归纳法的证明方法进行证明 【解答过程】证明：当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 【变式5-3】（25-26高二上·上海·课后作业）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法，先验证时，结论成立，再证明当时，结论成立，可推出时也成立，即可证明结论成立. 【解答过程】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 【例6】（25-26高二下·河南·阶段检测）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据递推公式求，，进而猜想通项公式； （2）根据（1）中结果，利用数学归纳法分析证明. 【解答过程】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）证明：当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 【变式6-1】（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【解答过程】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）证明：当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 【变式6-2】（25-26高二下·全国·课后作业）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知条件求出的值，归纳猜想通项； （2）用数学归纳法证明. 【解答过程】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. （2）用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 【变式6-3】（2026高二·全国·专题练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【答案】(1)，，，， (2)，证明见解析 【解题思路】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可. 【解答过程】（1）因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以舍去， 同理可得：舍去，舍去，舍去， 所以，，，，； （2），证明： 当时，显然成立， 假设当时成立，即， 当时，， ， 解得：，或， 因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 显然， 所以，舍去， 所以当时，成立， 综上所述：. 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 【例7】（25-26高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题． 【答案】(1)（n为正整数）； (2)证明见解析 【解题思路】（1）不完全归纳得解； （2）利用数学归纳法证明即可. 【解答过程】（1）不等式可写为：，，，， 所以归纳得到命题：（n为正整数）． （2）证明： ①当n＝1时，易知命题成立； ②假设当 时，命题成立，即． 则当时， ， 即时，命题也成立． 由①②可知，． 【变式7-1】（25-26高二下·河南南阳·期末）设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【答案】(1)；；；； (2)当，时，有，证明见解析 【解题思路】（1）求出的值即得； （2）利用数学归纳法证明即得. 【解答过程】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． （2）当，时，有，证明： ①当时，猜想成立． ②假设当（，）时猜想成立，． 当，． ∵， ∴，则， 即， ∴当时，猜想成立. 由①②知，当，时，有． 【变式7-2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法证明. 【解答过程】证明： 1°当n=8时，结论显然成立． 2°假设当时命题成立． 若这k分邮资金用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资； 若这k分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资． 故当n=k+1时命题也成立． 综上，对的任何自然数命题都成立． 【变式7-3】（25-26高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解题思路】（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解； （2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分 即得证. 【解答过程】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点： ，，，， 猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为， 所以，不等式的一般结论为： （2）证明：①当时显然成立；    ②假设时结论成立，即：成立，   当时， ，   即当时结论也成立. 由①②可知对任意，结论都成立. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 数学归纳法（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 2 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 2 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 3 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 4 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 5 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 6 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 7 考点1 数学归纳法 知识点1 数学归纳法 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 【例1】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【变式1-1】（25-26高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·四川绵阳·阶段检测）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 【例2】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【变式2-1】（25-26高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式2-2】（26-27高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【变式2-3】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 【例3】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）用数学归纳法证明：. 【变式3-1】（25-26高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【变式3-2】（25-26高二·全国·随堂练习）设，，且，用数学归纳法证明：． 【变式3-3】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 【例4】（25-26高二·全国·课后作业）平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋____________. 【变式4-2】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【变式4-3】（2026高二·全国·专题练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 【例5】（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【变式5-1】（25-26高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【变式5-2】（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）. 【变式5-3】（25-26高二上·上海·课后作业）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【题型6 用数学归纳法证明数列问题】 【例6】（25-26高二下·河南·阶段检测）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【变式6-1】（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【变式6-2】（25-26高二下·全国·课后作业）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【变式6-3】（2026高二·全国·专题练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【题型7 用数学归纳法证明其他问题】 【例7】（25-26高二下·河南南阳·期末）观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题． 【变式7-1】（25-26高二下·河南南阳·期末）设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【变式7-2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资． 【变式7-3】（25-26高二下·山西吕梁·期末）给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $