微专题35 极值点偏移问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第6章 · 函数与导数 · 大单元14 导数及其应用 高中数学二轮复习专题讲义 35微专题35极值点偏移问题  水平线截一条曲线，截出的两个点本该关于极值点对称；一旦曲线两侧一陡一缓，两个点就会整体偏向缓的一侧。极值点偏移题的全部难点，就是把“偏了多少”翻译成一个可计算的不等式：要么作差比较 与 ，要么换元把双变量压成单变量。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，认清偏移在卷面上以什么信号出现；再用“知识与方法必备”的速查表与三张结论卡，把中心、方向、换元三件事定下来；然后按四步流程精读三个题型的母题并独立完成变式；最后限时做课后分层训练，错题回到对应题型重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 极值点偏移从不以方法名出现在卷面上。它的信号只有一个：题目给出两个函数值相等（或两个零点），却要求比较 与 、或 与某个常数。中心 是极值点，两个点是“对称位置”被推偏之后的结果；能不能看穿，取决于会不会把双变量压成单变量。 表前先把取舍讲清。本讲只收“等值点（零点）导出双变量不等式”这一类题，且以双变量为中心设问。相邻题型的归属如下：函数零点个数判定、隐零点代换归微专题 34；恒成立、存在性与分离参数归微专题 36；导数中的构造（同构、 型）归微专题 33；新定义型压轴归微专题 12。卷面上把极值点与零点放在同一小问里比较函数值大小的题，动作与本讲“构造辅助函数比较两点函数值”一致，收进本表；只考单调性或极值计算的题不收。 表 1: 极值点偏移相关考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2025 全国二卷 18 极值点与零点的位置关系：引入辅助函数比较两点处的函数值 2025 天津卷 20 多零点条件下的多变量不等式：由零点关系消参后换元 2022 全国甲卷 21 双零点条件下的双变量不等式证明，偏移型设问 三条命题线索：其一，设问从“证 ”扩展到“证 ”“证 ”，换元对象不同，但第一步都是定中心；其二，参数与偏移合流，先由“两根存在”锁定参数范围，再在该范围内证不等式，前问为后问铺路；其三，分层设问增多，末问常把偏移包装成“比较两点函数值”或“求某个式子的范围”，读题时要先把它还原成“等值点”模型。 ▶ 二、知识与方法必备 本专题不重铺导数运算，只给一张速查表与三张结论卡。速查表按题面长相分类，不按解法分类——拿到题先对号，再取工具。 表 2: 三类偏移模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 加法型偏移 给出 或两个零点，问 与 的大小 定中心，作差 ，符号定方向 例题 1、变式 1-1 二 · 乘法型偏移 函数含 或 ，问 与某常数的大小 设 ，用零点方程消参，把两点写成 的幂 例题 2、变式 2-1 三 · 压轴分层 含参多小问，前问定范围，末问证双变量不等式 先锁定参数，再换元或对称构造，最后回代原变量 例题 3、变式 3-1 结论一 · 偏移从“两侧陡缓不同”来 若 在 处取极值，且 在两侧的陡缓不同，则水平线 截出的两点不再关于 对称。判据是作差 说明同样距离处右侧函数值更高，曲线右缓左陡，等值点被推向右侧，此时 ； 则相反。 的范围由定义域决定：中心是 1 时 ，中心是 时 。图像只用来预判方向，方向必须由 的符号落笔定论。 结论二 · 对称构造的三步口令 第一步定中心：求导、解 ，并算清极值是极大还是极小；第二步作差：把 与 代入原函数作差，通分、取对数或直接求导判号；第三步翻译：用 在 上的单调性，把“函数值的大小”翻译成“自变量的大小”。第三步最容易写反：先看 在中心右侧是增还是减，再决定不等号方向。整个流程不依赖图形，考场上也不必真的画图。 结论三 · 双变量化单变量的四张换元 （1）比值换元 ：适合纯对数结构，两个零点方程相减即可消参；（2）乘积换元 ：适合对称结构，取对数后与比值换元同构；（3）伸缩换元 ：参数在系数上时，把 拉回标准形；（4）平移换元 ：指数与参数混合时，把中心搬到 0。配套两个常用不等式： 两式都由“作差求导、端点为零”得到，考场上现场推一遍比背更稳。 ▶ 三、高频题型突破 三个题型共用一套四步流程：认模型 → 定中心 → 核心推演 → 收束检验。第二步“定中心”就是求导并确认两个等值点分居中心两侧；第四步“收束检验”专管三件事——变量范围是否在定义域内、换元后的参数范围是否用上、结论回代原变量是否对得上。 （一）题型一：加法型偏移的对称构造 题型识别。题面给出 （或两个零点），结论是 与两倍极值点的大小比较。函数里没有参数，或者参数已被条件固定。 通法模型。先求导定中心 ，再作差 ； 的符号给出“右高还是左高”，最后用 在 上的单调性把函数值的大小翻译成自变量的大小。动机：直接处理两个未知数无从下手，而“把两点搬到中心的等距位置”只留下一个变量 。 例题 1（题型一·等值点求和的下界） 已知函数 。 (1) 求 的单调区间与最大值； (2) 若 ，且 ，证明：。 图 1: 等值点被推向右侧：和大于极值点的两倍 解析 第 1 步 · 认模型：条件是“两个函数值相等”，结论是“和与两倍极值点比较”，属于加法型偏移。不要一上来就设 硬算差，先求导把中心找出来。 第 2 步 · 定中心：，故 在 (−∞,1) 上递增，在 (1,+∞) 上递减，最大值为 。又 时 ， 时 ，所以两个等值点只能落在 (0,+∞)，且一个在 (0,1)、一个在 (1,+∞)。动机：只有先确认两点分居中心两侧，“搬移 + 单调性”才有落点。 第 3 步 · 核心推演：设 ，，作差 因为两个方括号内的量都为正， 等价于 ，即 。令 ，则 φ(0)=0，且 故 ，从而 。取 ：。因 ，，而 在 (1,+∞) 上递减，故 ，即 ，所以 。 第 4 步 · 收束检验：全程 ，，都在定义域内； 严格成立，等号取不到。数值验算：取 ，解得 、，和约为 2.272>2，与结论一致。 方法点睛 · 作差顺序决定结论方向 一律写成“右减左”：。若写成反序，符号整体翻转，结论会从“和大于 ”变成“和小于 ”，而且后面每一步都自洽，检查不出来。写完 先问一句：我要证的是大于还是小于？再决定谁减谁。 变式 1-1（题型一·中心换到 2） 已知函数 。 (1) 求 的单调区间与最大值； (2) 若 ，且 ，证明：。 解析 第 1 步 · 认模型：函数从 换成 ，动作不变，但中心必须重新算，不能沿用例题 1 的 1。 第 2 步 · 定中心：，故 在 (0,2) 上递增，在 (2,+∞) 上递减，最大值 。由 知两个等值点分别在 (0,2) 与 (2,+∞)。 第 3 步 · 核心推演：作差 等价于 ，即 ，亦即 。令 ，则 ，且 故 。取 ，得 。因 ，， 在 (2,+∞) 上递减，故 ，即 ，所以 。 第 4 步 · 收束检验： 要求 ，由第 2 步已保证； 与“ 在右侧递减”配合时，两条自变量都在 (2,+∞) 内，翻译合法。数值验算：取 ，得 、，和约为 4.10>4。 易错微警 · 中心换了，右边那个数也要换 的中心是 1，结论右边是 2； 的中心是 2，右边就该是 4。把“2”当成模板常数背下来，换函数后直接写 ，图形上一眼就能看出错，但卷面上已经丢了分。 （二）题型二：乘法型偏移的比值与伸缩换元 题型识别。函数含 或 ，条件仍是两个零点或等值点，结论却是 与某个常数的大小，或者 与含参式子比较。 通法模型。设 ，用两个零点方程相减把参数消掉，把 、 都写成 的幂，剩下一个单变量不等式；若参数在系数上，改用伸缩换元 ，先把函数拉回 的标准形。动机：两个未知数加一个参数共三个量，只有消掉参数才可能化成单变量。 例题 2（题型二·双零点的乘积下界） 已知 ，函数 。 (1) 若 有两个零点 ，求 的取值范围； (2) 证明：。 图 2: 换元后的单变量函数在 上恒正 解析 第 1 步 · 认模型：两个零点、结论是乘积下界，典型乘法型偏移；函数含 与一次项，比值换元是最短路径。 第 2 步 · 定中心：，故 在 上递增，在 上递减，最大值为 。要有两个零点，需 ，即 ；又 与 时 ，故此时确有两个零点，且 。所以 的取值范围是 。 第 3 步 · 核心推演：设 。由 、 相减得 故 。结合 得 ，即 ，从而 ，于是 要证 ，只需 ，即 。令 ，则 ，且 故 ，从而 。 第 4 步 · 收束检验： 保证 ，指数运算合法；，与 并不矛盾（ 时 ）。数值验算： 时 、，乘积约 。 方法点睛 · 比值换元把“两未知数一参数”压成一个 t 见 就设 ：两个零点方程相减，参数 与常数项一起被消掉，、 都写成 的幂，剩下的只是单变量不等式。要盯住两件事：一是 的范围，二是消参时用的是哪一个方程——写清“相减得什么、代入得什么”，不要跳步。 变式 2-1（题型二·伸缩换元回到标准形） 已知 ，函数 的两个零点为 。证明：。 解析 第 1 步 · 认模型：函数与例题 2 相同，但要证的是“和”而不是“积”。不要重设比值，先看能不能把函数拉回例题 1 的标准形。 第 2 步 · 定中心：中心仍是 ，但参数 卡在系数上；令 ，则 这一步的动机：把“不同 各解一次方程”变成“同一条曲线 的不同水平线”。 第 3 步 · 核心推演： 等价于 ，两边取指数得 。故 、 是 的两个根，且 。由例题 1 的结论（同一条作差，中心为 1）知 。两边同乘 得 第 4 步 · 收束检验： 保证 小于 φ 的最大值 ，确有两个根，且 对应 ，与第 2 步的中心一致。数值验算： 时 、，和约 3.689>2，故 。 方法点睛 · 换元的四种“搬家”方式 比值搬家适合纯对数式，伸缩搬家适合参数在系数上，平移搬家适合指数式，乘积搬家适合对称式。搬完家先看新函数是不是例题 1 的形状——若是，直接引用结论，但要把新变量的范围写清；若不是，再回到“作差 + 求导”的原路。 （三）题型三：压轴分层中的偏移综合 题型识别。三小问层层递进：第一问求最小值或参数范围，第二问以“方程有两个根”为条件证偏移，第三问把结论包装成另一个式子的不等式。题面不出现“偏移”二字，但第二问的动作与前面完全相同。 通法模型。第一问把参数范围与中心一并定死；第二问用对称构造或换元证双变量不等式；第三问优先用第二问的结论做代换，而不是另起炉灶。动机：分层设问的每一问都在给下一问递工具，末问另开一条路的代价通常最大。 例题 3（题型三·三层递进的偏移链） 已知函数 。 (1) 求 的最小值； (2) 若方程 有两个不等实根 ，证明：； (3) 在 (2) 的条件下，证明：。 图 3: 右侧陡峭：等值点向左侧聚拢 解析 第 1 步 · 认模型：“两个等值点 + 和与两倍极值点比较”是加法型偏移，中心是极小值点 0；第 (3) 问是把第 (2) 问的结论代进指数式。 第 2 步 · 定中心：，故 在 (−∞,0) 上递减，在 (0,+∞) 上递增，最小值为 。当 时， 的两根分居 0 两侧，即 （两端 保证根存在）。 第 3 步 · 核心推演：作差 ，且 ，故 。取 ，则 。因 ，，且 在 (0,+∞) 上递增，故 ，即 。 第 4 步 · 收束检验：(3) 由 得 ，两式相加得 最后一步用的是 (2) 的严格不等式，故等号取不到。数值验算： 时 、，和约 −0.50<0；，两个结论都吻合。 方法点睛 · 方向由“哪边陡”决定 在右侧增长极快，同一高度下右侧点离中心更近、左侧点被推得更远，所以和小于 。口诀是“右陡则和偏左，右缓则和偏右”；口诀只用于预判，落笔仍要作差定号。 变式 3-1（题型三·平移换元与乘积收尾） 已知函数 。 (1) 求 的最小值； (2) 若 有两个零点 ，证明：； (3) 证明：。 解析 第 1 步 · 认模型：指数函数加一次项，中心是 ；要证“和小于两倍中心”，仍是加法型，但零点方程含参数，直接作差会被 挡住，先做平移换元。 第 2 步 · 定中心：，故 在 上递减，在 上递增，最小值为 又 与 时 ，故确有两个零点，且 。 第 3 步 · 核心推演：令 ，则 。由 得 记 ，，则 、 是 的两个根，且 。与例题 3 同法作差：当 时 故 。于是 。 第 4 步 · 收束检验：(3) 由 、 相乘得 ，故 数值验算： 时 、，和约 ，积约 0.50<1。 易错微警 · 平移换元后中心变成 0 换元 把中心从 搬到 0，结论必须写回原变量： 对应 ，不是 。最后的“回搬”是这类题最常见的一处丢分。 三个题型走完，可以收成一句话：偏移题只有两种输出——和与积。和的问题用对称构造，积的问题多一步取对数；参数在场时先伸缩或平移把参数挪走，再回到这两种输出。下面这张卡片把选题顺序固定下来，考场上按顺序问自己三句，比临场找灵感稳。 方法点睛 · 拿到题先问三句 第一句：题面有没有给出两个函数值相等（或两个零点）？没有，就不是本讲的题，回到单调性与极值。第二句：要证的是和 还是积 ？和走对称构造，积走比值换元。第三句：函数里有没有参数？有，就先看参数在系数上还是在指数上，分别用伸缩换元或平移换元把中心搬到熟位置。三句答完，路线只剩一条。 压轴分层题还要多看一眼设问顺序：第一问往往已经算出了中心与参数范围，第二问的等值点就是第一问那条极值水平线的两个交点；末问若出现 这类式子，优先用 把指数换成一次式，而不是另起炉灶重新构造。看清这条链，末问通常只有两三行。 ▶ 四、易错警示 偏移题的错，九成不在求导，而在“中心、方向、范围”三件事没交代清楚。两张表按“识别与方向”和“运算与收尾”分列。 表 3: 高频错误及其纠正（识别与方向类） 错误表现 错因 正确做法 把偏移题当极值计算题，求完极值就收笔 没读懂“两个函数值相等”这一条件的分量 先确认两等值点分居极值点两侧，再处理和或积 作差写成 ，结论方向反了 没先定“要证大于还是小于” 统一写“右减左”，符号定方向；写完先核对目标 用图像“看起来”判断偏左还是偏右 手绘比例失真，只画了中心附近 图像只作直觉，方向由 的符号或单调性给出 把“极值点”与“零点”混为一谈 没有区分 与 两个方程 中心解 ，等值点解 ，两条方程分开写 表 4: 高频错误及其纠正（运算与收尾类） 错误表现 错因 正确做法 比值换元后 与 对调 相减时下标混淆，跳步写成结果 从 起步，逐行写 单变量不等式求导后不化简，用“显然”收尾 没通分，看不出完全平方因子 通分到 这类形式再判号 由 直接推出 误用均值不等式的方向 均值不等式只给 ，两条结论各证各的 没定参数范围就设两个零点 忘了“有两个零点”本身就是条件 先用极值符号与两端极限锁定参数，再设零点 动笔前的三句自查 中心是哪个点、算对了吗？要证的方向与作差顺序对上了吗？换元后的范围（、）用上了、最后回代了吗？——三句都是“是”，再往下写。 ▶ 五、课后分层训练 A 组六题练识别与基本动作：偏移方向判断、多选性质、最大值、乘积下界、参数范围各占一道；B 组七题练换元与综合，其中 B4、B5、B7 为难题，B6 为开放填空。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 已知函数 ，若 ，且 ，则（　　） A． B． C． D． 与 2 的大小不能确定 A2 （多选）已知函数 ，则（　　） A． 在 上单调递增 B． 的最大值为 C．若 且 ，则 D． 在定义域内有两个零点 A3 已知函数 ，若 ，则 ______ 2（填“>”“<”或“=”）。 A4 函数 的最大值为 ______。 A5 已知函数 ，若 ，且 ，证明：。 A6 已知函数 有两个零点，求 的取值范围。 （二）能力提升（B 组） B1 已知函数 。 (1) 求 的最大值； (2) 若 ，且 ，证明：。 B2 已知函数 有两个零点 。 (1) 求 的最小值； (2) 证明：； (3) 证明：。 B3 已知函数 。 (1) 求 的单调区间与最大值； (2) 若 ，且 ，证明：； (3) 若方程 有两个实根，求 的取值范围。 B4 （难题）设 ，证明： B5 （难题）已知函数 ，若 ，且 ，证明：。 B6 （开放填空）试写出一个函数 及其极值点 ，使得若 ，总有 。你写出的一个答案是 ______， ______（答案不唯一）。 B7 （新定义）设函数 在 处取得极值。若存在 使 ，当 时称 在 处“右偏”，当 时称“左偏”。 (1) 判断 在 处的偏移方向； (2) 判断 在 处的偏移方向； (3) 若 有两个零点 ，判断它在 处的偏移方向，并证明 。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1【答案】C 【解析】，故 在 (0,1) 上递增，在 (1,+∞) 上递减，最大值为 ，且 、 时 。设 ，作差 因为 。取 得 ； 在 (1,+∞) 上递减，故 ，即 。选 C。 【母题溯源】例题 1 第 3 步：中心为 1，作差后用同一个对数不等式定号；换函数不换动作。 A2【答案】ABC 【解析】，故 在 上递增，在 上递减，最大值为 ，A、B 正确。令 ，则 ；等值点对应 ，由例题 1 知 ，故 ，C 正确。 只有 一个解，D 错误。故选 ABC。 【母题溯源】变式 2-1 的对数换元：把 写成 ，直接回到例题 1。 A3【答案】< 【解析】，故 在 (0,1) 上递减，在 (1,+∞) 上递增，最小值为 。 时两根满足 。作差 故右侧同距离处函数值更低。取 得 ； 在 (1,+∞) 上递增，故 ，即 ，整理得 。 【母题溯源】例题 3 的“右陡则和偏左”：符号为负时方向整体翻转，翻译时先看右侧是增还是减。 A4【答案】 【解析】，在 (0,2) 上 ，在 (2,+∞) 上 ，故最大值为 。 【母题溯源】变式 1-1 第 2 步：先定中心，再谈偏移。 A5【答案】证明见解析 【解析】 仅当 ，故两等值点都为正，设等值为 。令 ，则 ， 故 等价于 ，即 ，其中 ，水平值为 。由例题 3 的作差结论， 的两等值点满足 。于是 【母题溯源】例题 3 的对称构造加变式 2-1 的换元：乘积型先取对数，化成“和”的偏移。 A6【答案】 【解析】，最大值 。要有两个零点，需 ，即 ；又 ，且两端函数值趋于 −∞，故范围是 。 【母题溯源】例题 2 第 2 步：先由极值符号锁定参数，再设零点。 （二）B 组 B1【答案】(1) 0；(2) 证明见解析 【解析】(1) ，故 在 (0,1) 上递增，在 (1,+∞) 上递减，最大值为 。(2) 设 ，则 。比较 与 ：记 ，则 令 ，则 ，，故 ，即 。因 在 (1,+∞) 上递减，故 ，所以 。 【母题溯源】例题 2 的乘积结论换一条路：不作比值，改比较“倒数的函数值”，本质仍是把两点搬到同一侧。 B2【答案】(1) ；(2)(3) 证明见解析 【解析】(1) ，故 在 上递减，在 上递增，最小值为 。(2) 由 知最小值小于 0，且两端趋于 +∞，故两零点满足 。作差 由 ，取 得 ，故 。取 得 ； 在 上递增，故 ，即 ，所以 。(3) 由 得 ，相加得 故 。 【母题溯源】例题 1 的对称构造（中心换成 ）加例题 2 的乘积收尾：先证和，再用零点方程把和转成积。 B3【答案】(1) 增区间 ，减区间 ，最大值 ；(2) 证明见解析；(3) 【解析】(1) ，结论如上。(2) 令 ，则 。两等值点对应 ，由例题 1 知 ，故 。(3) 由 (1) 的单调性与最大值知，当且仅当 时水平线 与图象有两个交点。 【母题溯源】变式 2-1 的对数换元： 与 只差一个换元。 B4【答案】证明见解析 【解析】设 ，则 ，。 左边：，不等式等价于 ，即 。令 ，，则 ，，故 ，左边成立。 右边：不等式等价于 ，即 ，这正是例题 2 中的 ，右边成立。综上，原不等式成立。 【母题溯源】例题 2 的比值换元与单变量不等式 ；左边再配一个“作差求导、端点为零”的同款动作。 B5【答案】证明见解析 【解析】由 知两等值点都为正，且由 A5 的换元（，化到 ）得 ；由例题 1 得 。于是 最后一步用了分子大于 2、分母为正且小于 1。 【母题溯源】例题 1 与 A5 的拼接：和的下界与积的上界同时到手，倒数和就不必再单独构造。 B6【答案】示例：，（答案不唯一） 【解析】，故 是极大值点。对任意 且 ，由变式 1-1 已证 ，符合要求。另一例：，，作差 可得同样结论。构答要点有三条：极值点确实为 ；两侧取等值的点存在；偏移方向与所写函数一致。 【母题溯源】变式 1-1 的逆向使用：从“要证的和”倒推“该选什么函数”，与正着作差刚好相反。 B7【答案】(1) 右偏；(2) 左偏；(3) 右偏， 【解析】(1) 令 ，则 ，与 只差常数倍，等值点对应 且 ，故 ，即 ，右偏。(2) ，极小值点为 1。作差 故 ； 在 (1,+∞) 上递增，故 ，即 ，左偏。(3) 由变式 2-1， 的两零点满足 ，故右偏；再由例题 2 的比值换元得 。 【母题溯源】新定义只是把“和与两倍中心”的比较换了个名字：判断方向仍靠作差，证明乘积仍靠比值换元。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $