微专题23 隐形轨迹问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第5章 · 解析几何 · 大单元11 直线与圆的位置关系 高中数学二轮复习专题讲义 23微专题23隐形轨迹问题  轨迹题难在“看不见”：点动成线，题面却只给一个几何条件，不告诉你曲线是什么。二轮要练两只眼睛——一只盯“点与点的对应”（相关点法），一只盯“距离与角”（定义法、几何法）。认出轨迹，问题就从“求最值”变成“算圆上点到定点或定直线的距离”。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 轨迹问题在高考里有两种出场方式：一种明写“求轨迹方程”，另一种藏在最值、范围、存在性问题的第一步——不先把动点的轨迹认出来，后面的运算就无从下手。二轮复习的重点不是背求轨迹的步骤，而是练“看见”：看见点与点之间的对应，看见距离与角的等式。 本讲的取舍：条件由“已知曲线上的动点”派生新点的，归相关点法；条件全是距离或角的，归定义法与几何法。圆锥曲线内部的中点弦轨迹要用点差法，归微专题 25；直线与圆的动态最值归微专题 22；椭圆通径与焦点弦的计算归微专题 26，本讲只取同一题中后续的轨迹问。解答题里“先求轨迹、再讨论曲线特征”的综合问法，本讲放在题型一与训练 B 组落地。 表 1: 隐形轨迹问题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅱ卷 18 交点型相关点法求轨迹；由轨迹方程读对称中心与曲线类型 2024 新课标Ⅱ卷 10 抛物线的准线距离与圆的切线；轨迹点的存在性（多选） 2024 新课标Ⅱ卷 5 中点型相关点法求轨迹（选择） 2023 新课标Ⅰ卷 22 由等距条件识别抛物线，求轨迹方程 三条命题线索如下。其一，轨迹的显性设问正从“求方程”升级为“读曲线”：最新的解答题把相关点法与对称中心、平移放在同一问里，算出方程还要判断曲线类型。其二，隐性轨迹大量藏在小题的几何条件里：准线距离、圆的切线、定比分点，都是“先认轨迹、再算长度”的两步结构。其三，相关点法从“中点”升级为“交点”：运算量集中在联立两直线求交点，代回本身很轻——先解交点、再反解，顺序不能乱。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不铺定义，先给速查表。表中“一眼认出它的样子”一列写的是题面特征，不是解法名词——认对了样子，工具自然就选对了。 表 2: 隐形轨迹问题三题型速查表 题型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 相关点法 一个点在已知曲线上动，另一个点由它派生：中点、定比分点、垂足、两直线交点 设已知点，用所求点反解，代回原曲线，再把已知点的限制翻译成所求点的范围 例 1、变 1-1 二 · 定义法 条件全是距离：到定点的距离、到定直线的距离、两距离之和、差、比 对照四种曲线的距离身份证，先定类型，再写标准方程 例 2、变 2-1、2-2 三 · 几何法 条件含垂直、定角、定长、到两定点距离之比或平方和 把角与长度翻译成“到某定点距离为定值”：直角配直径圆，定角配圆弧，定比配阿波罗尼斯圆 例 3、变 3-1 结论一 · 相关点法：反解、代回、定范围 设所求点 ，已知曲线上的动点 。第一步反解：用 表示 ；第二步代回：把 代进 满足的曲线方程；第三步定范围： 在原曲线上的限制（如 、）原样翻译成 的限制。三步里最容易错的是第一步——方向必须是“用 表示 ”，反过来代进去只会得到恒等式。 结论二 · 四种曲线的距离身份证 圆：（到定点距离为定值）。椭圆：，且 。双曲线：，且 ；去掉绝对值后只剩靠近较远焦点的那一支。抛物线：（到定点的距离等于到定直线的距离）。统一视角：到定点距离与到定直线距离之比为 ， 是抛物线， 是椭圆， 是双曲线。 结论三 · 隐形圆的四个触发器 其一，： 在以 为直径的圆上（去掉 ）。其二， 为定值：设 为 中点，则 等于定值的一半减去 ， 在以 为圆心的圆上。其三，（，）：阿波罗尼斯圆，圆心在直线 上； 时退化为线段 的垂直平分线。其四， 为定值： 在以 为弦的两段圆弧上，要写清取哪一段、去掉 。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 设动点 → 核心推演 → 回检范围。第四步“回检范围”专管三件事：原动点的取值范围、分支与去点、端点能否取到。 （一）题型一：相关点法 题型识别。题面同时出现两个点：一个在已知曲线上运动（圆、椭圆、抛物线），另一个由它按固定规则派生——中点、定比分点、垂足、两直线的交点。所求的是派生点的轨迹。 通法模型。设已知点 ，写出它的约束；再用所求点 反解出 ；代回约束得轨迹方程；最后把 的约束翻译成 的范围。交点型多一步：先联立两直线，把交点坐标写成 的表达式，再反解。 例题 1（题型一·中点型相关点） 已知曲线 （），从 上任意一点 向 轴作垂线段 ， 为垂足，求线段 的中点 的轨迹方程。 图 1: 上半圆上的点 与中点 ：轨迹是上半椭圆 解析 第 1 步 · 认模型： 由 的中点关系派生， 在已知圆上——走相关点法（中点型）。本题的“已知点”是 ，“所求点”是 ，运算之前先把这两个身份分清楚。 第 2 步 · 设动点：设 ，。 的约束有两条：，。第二条是半圆的来源，现在就先记下，第四步要用。 第 3 步 · 核心推演：由中点关系 ，，反解得 ，。这里必须“用 表示 ”，若把 的坐标直接往 里代，得到的只是 这样的恒等式。代回圆方程：，即 。 第 4 步 · 回检范围：由 得 ；又 ，故 。所以 的轨迹是椭圆 的上半部分（不含 ）。若漏写 ，就把半圆误当整圆，答案会多出下半椭圆。 方法点睛 · 中点型只做一件事：反解 中点公式 里， 是定点时反解就是 。本题的 是原点、 在 轴上，于是 、，一步到位。代回原曲线之后，范围跟着原动点的限制走——方程与范围要一起写，缺一半就会被扣分。 变式 1-1（题型一·交点型相关点） 已知椭圆 （），过 的右焦点且与 轴垂直的直线被 截得的线段长为 。(1) 求 的离心率；(2) 设 为坐标原点，给定点 （），（）为 上的点，过 作 轴的垂线，垂足为 。直线 与直线 的交点为 ，当 在 上运动时，点 的轨迹为 。(i) 求 的方程。 图 2: 交点 随 运动：轨迹由反解代回得到 解析 第 1 步 · 认模型：条件先给“过焦点的垂线被截”，这是定椭圆参数的入口；随后 是两条动直线的交点，坐标由 的位置决定——相关点法（交点型）。第一步不是设 ，而是把椭圆定下来。 第 2 步 · 设动点：右焦点 ，。令 ，得 ，故弦长为 ，解得 ，，离心率 。此时 。设 ，则 ，；。 第 3 步 · 核心推演：直线 ，直线 。设 ，联立得 ，约去 得 ，故 反解：由 得 ；再由 与 得 。代回 ： 展开得 。 第 4 步 · 回检范围：由 得 ； 时直线 与 重合，没有唯一交点，题设已排除。又 时 为 轴，，仍满足所得方程，不必单独剔除。故 的方程为 方法点睛 · 交点型：联立是为了“表示” 交点型相关点法分两段：先把“交点”解成“已知点的表达式”，再反解代回。很多同学一上来把两条直线方程相乘消元，得到关于 的高次式，结构全被破坏。记住：联立的目标是“表示”，不是“消元”；反解时优先从一次式里解，别急着开方。 （二）题型二：定义法识别隐形轨迹 题型识别。题面没有“曲线”二字，只有一串距离（或距离的比、和、差）：点到直线的距离、两点间距离、某条线段长度。所求的往往是“轨迹是什么曲线”或借轨迹求最值。 通法模型。把所有条件翻译成“某点到某定点或定直线的距离”，再对照四种曲线的距离身份证。翻译时注意三件事：到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ；平方前先确认两边非负；写方程后回检 与 的大小、差的符号。 例题 2（题型二·等距条件认出抛物线） 在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 。求 的方程。 图 3: 到定点与到定直线等距：轨迹是抛物线 解析 第 1 步 · 认模型：条件只有两个距离——到 轴、到定点 。到 轴的距离就是 ，“到定点与到定直线等距”正是抛物线的定义。 第 2 步 · 设动点：设 ，则 。右边是距离，非负；左边 也非负，平方是同解变形。 第 3 步 · 核心推演：两边平方得 ，化简得 ，即 。 第 4 步 · 回检范围：从定义核对：焦点为 ，准线为 （ 轴），顶点为 ，焦距 ，标准方程 ，与代数结果一致。因 ，轨迹全在 轴上方，这与 自洽，没有多余分支。 方法点睛 · 距离语言先翻成曲线语言 一个定点加一条定直线再加等距，就是抛物线；两个定点加距离和，就是椭圆；距离差，就是双曲线；距离比，就是圆锥曲线的统一定义。先认类型再写方程，比直接设 硬算快一倍。认出定义后顺手写出焦点、准线、顶点，方程可以互相校验。 变式 2-1（题型二·距离之和认出椭圆） 已知 ，，动点 满足 。(1) 求点 的轨迹方程；(2) 若把条件改为 ，指出点 的轨迹。 解析 第 1 步 · 认模型：两个定点、距离之和为定值——椭圆定义。 第 2 步 · 设动点：，，故 ，，，焦点在 轴上。 第 3 步 · 核心推演：轨迹方程为 。 第 4 步 · 回检范围：，轨迹是完整椭圆。若改为 ，则 ，点 只能落在线段 上；若定值小于 4，轨迹不存在。先比较 与 ，再写方程。 易错微警 · 定值与焦距先比大小 距离和的定值不是随便给的： 才是椭圆， 退化为线段， 无轨迹。距离差同理： 是双曲线， 是两条射线， 无轨迹。看到“定值”先做一次比较，能省掉后面所有无效运算。 变式 2-2（题型二·距离之差认出双曲线） 已知 ，，动点 满足 。求点 的轨迹方程，并说明它为何只是一支。 解析 第 1 步 · 认模型：两个定点、距离之差（没有绝对值）——双曲线的一支。 第 2 步 · 设动点：，故 ；，。 第 3 步 · 核心推演：由 知 ，点 离 更近，因此只取右支：，。 第 4 步 · 回检范围：若写成 ，则是左右两支；若定值取 4，则 ，轨迹退化为射线 （）。分支与端点都必须写在方程后面。 易错微警 · 差的符号就是分支的路标 去掉绝对值之前先看符号： 取靠近 的一支，<0 取另一支。只写 而不写 ，等于把一支答成了两支，是解析几何解答题最常见的扣分点。 （三）题型三：几何法发现隐形轨迹 题型识别。条件里出现垂直、定角、定长、到两定点距离的比或平方和，但没有现成的圆。所求点往往藏在某个“直角”“等距”关系里。 通法模型。先找“定点 + 定长”：直角配斜边中点（外心到三个顶点等距）；定角配弦的中垂线与圆心；定比、平方和则用坐标算完发现是圆。认出圆以后，轨迹问题立刻变成“圆上点到定点或定直线的距离最值”，用圆心距 半径解决。 例题 3（题型三·距离之比认出圆） 已知 ，，动点 满足 。(1) 求点 的轨迹方程；(2) 若点 在直线 上，求 的最小值。 图 4: 距离之比为 2：轨迹是阿波罗尼斯圆 解析 第 1 步 · 认模型： 是“到两定点距离之比为定值”，比值不为 1——阿波罗尼斯圆。 第 2 步 · 设动点：设 ，则 。先平方再整理，不要带着根号移项。 第 3 步 · 核心推演：平方得 ，整理得 ，即 ，配方得 。圆心 ，半径 。 第 4 步 · 回检范围：，圆真实存在； 到圆心距离为 ，不在圆上，无需去点。第 (2) 问： 到直线 的距离 ，直线与圆相离，故 。 方法点睛 · 阿波罗尼斯圆三句话 比值不为 1，圆心在 所在直线上，半径由比值与 的长决定。考试里不必背圆心公式，直接平方整理成标准方程最快；整理后一定写出圆心与半径，因为下一步的最值全靠它们。若比值恰为 1，轨迹是线段 的垂直平分线，不是圆。 变式 3-1（题型三·直角认出直径圆） 已知 ，，动点 满足 。(1) 求点 的轨迹方程；(2) 求点 到直线 的距离的最大值。 图 5: 直角对定边： 在以 为直径的圆上 解析 第 1 步 · 认模型： 即 ，由“直径所对的圆周角为直角”的逆定理， 在以 为直径的圆上。 第 2 步 · 设动点： 的中点为 ，半径 ，故 ；又 、，否则角不存在。 第 3 步 · 核心推演：第 (2) 问： 到 的距离 。令 ，，则 ，故 ，。 第 4 步 · 回检范围：取最大值时 ，该点不是 ，可以取到。若问最小值，则 。 方法点睛 · 直角条件要用“逆向” “直径所对的圆周角为直角”是正向结论，用来验证点在圆上；轨迹题用的是它的逆定理：直角，则点在以斜边为直径的圆上。得到圆后，把“点到直线距离”化为“圆心到直线距离 半径”，既避免逐点代入，也不会漏掉最值。 方法点睛 · 平方和与定角两个触发器 平方和条件不用展开硬算，一条中线公式就够：，它把“两个距离的平方和”压成“一个距离的平方”，圆立刻现身。 为定值时， 在以 为弦的两段圆弧上，要写清取哪一段。轨迹是圆之后，圆上点到定点的距离最值就是 ，不必设参数。 ▶ 四、易错警示 本讲的失分不在运算，而在“范围”和“识别”两件事，分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（范围与分支类） 错误表现 错因 正确做法 相关点法代回后只写方程、不写范围 忘记原动点自身的限制（如 、） 反解后代回，同时把 的限制逐条翻译成 的限制，写在方程后面 双曲线的“差”不加绝对值，却写成两支 没有判断 的符号 先由符号定“靠近哪个焦点”，只取一支并写 （或 ） 椭圆定义不检验 与 默认条件一定给出椭圆 椭圆； 线段； 空集，先比较再写方程 直角条件得到圆后不删 或 时“角”不存在 轨迹写成“圆（去掉 ）”，最值题再检查取到最值的点是否恰为 表 4: 高频错误及其纠正（识别与运算类） 错误表现 错因 正确做法 看到“轨迹”就设标准方程硬凑 没先判断曲线类型，参数多、方程难解 先做“距离身份证”对照，认出类型再写标准方程 相关点法“正代”：把 的坐标往所求点里代 方向反了，得到恒等式 必须用所求点 反解已知点 ，再代回原曲线 阿波罗尼斯圆比值 仍套“圆” 时轨迹是线段 的垂直平分线 先看比值是否为 1，再决定写直线还是圆 交点型相关点先消元再反解 消元后次数升高，结构被破坏 先联立解出交点坐标（用已知点表示），再反解代回 动笔前的三句自查 原动点的范围翻译了吗？ 与 、差的符号检验了吗？轨迹上的“去点”删干净了吗？——三句都答“是”，再写结论。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组练基本动作（相关点 2 题、定义法 3 题、隐形圆 1 题、圆与直线 1 题），B 组练迁移与综合，其中 B7 为压轴。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 已知圆 ，点 ， 为圆 上任意一点， 为线段 的中点，则点 的轨迹方程为 ______。 A2 动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，则点 的轨迹方程为 ______。 A3 已知 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． A4 已知 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹方程为 ______。 A5 （多选）已知 ，，动点 的坐标为 ，则下列条件中，点 的轨迹是圆的是（　　） A． B． C． D． A6 已知 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点， 为线段 的中点，则点 的轨迹方程为 ______。 A7 圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 已知圆 ，点 ， 为圆 上任意一点，点 在线段 上，且 。(1) 求点 的轨迹方程；(2) 求 的取值范围。 B2 动点 到点 的距离等于它到直线 的距离。(1) 求点 的轨迹方程；(2) 若 ，求点 的坐标。 B3 已知 ，，动点 满足 。(1) 求点 的轨迹方程；(2) 已知 ，求 的取值范围。 B4 已知圆 ，点 ， 为圆 上任意一点，过 作直线 的垂线，垂足为 。求点 的轨迹方程。 B5 已知 ，，动点 满足下列三个条件之一：① ；② ；③ 。从中任选一个条件，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 B6 （多选）已知抛物线 的准线为 ， 为 上的动点，过 作圆 的一条切线， 为切点，过 作 的垂线，垂足为 ，则（　　） A． 与圆 相切 B．当 三点共线时， C．当 时， D．满足 的点 有且仅有 2 个 B7 已知椭圆 ，（）， 为 上一点（纵坐标不为 0），过 作 轴的垂线，垂足为 ，直线 与直线 的交点为 。当 在 上运动时， 的轨迹为 （）。(1) 当 为何值时， 有对称中心？(2) 当 有对称中心时，将 平移后得到曲线 ，使得 为 的对称中心，说明 是什么曲线。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索。 （一）A 组 A1　　【答案】 【解析】设 ，则 。由中点公式 ，，反解得 ，。代回圆方程：，即 。 【母题溯源】对应例题 1（中点型相关点）。突破口是反解：用 表示 ； 跑遍整圆，故轨迹是整圆，无去点。 A2　　【答案】 【解析】设 ，则 。平方得 ，故 。 【母题溯源】对应例题 2（等距识别抛物线）：焦点 (0,1)，准线 ，顶点为原点，焦距 。 A3　　【答案】A 【解析】，故 ；，故 ，。焦点在 轴上，轨迹为 ，选 A。 【母题溯源】对应变式 2-1：先比 ，确认是完整椭圆，再写方程。 A4　　【答案】（） 【解析】，故 ；，故 ，。由 知点 靠近 ，只取右支，故轨迹为 ，。 【母题溯源】对应变式 2-2：差的符号定分支， 不能漏。 A5　　【答案】ABC 【解析】A 项：，整理得 ，是圆。B 项：， 在以 为直径的圆 上（去掉 ），是圆。C 项：，得 ，是圆。D 项：，轨迹是线段 ，不是圆。故选 ABC。 【母题溯源】对应例题 3 与变式 3-1：三个触发器各管一项，D 项是“距离和等于焦距”的退化情形。 A6　　【答案】（） 【解析】设 ，则 ，；。由中点公式 ，，反解得 ，。代回得 ，即 ，其中 。 【母题溯源】对应例题 1：抛物线上的点派生中点，反解代回； 翻译成 。 A7　　【答案】1 【解析】圆心到直线的距离 ，半径 ，故最小距离为 。 【母题溯源】对应例题 3 第 (2) 问：轨迹是圆时，圆上点到定直线的距离最值用“圆心距 半径”。 （二）B 组 B1　　【答案】(1) ；(2) 【解析】设 ，则 。由 得 ，即 ，，反解得 ，。代回得 ，即 。圆心 (2,0)，半径 ，故 。 【母题溯源】对应例题 1（相关点法）。定比分点先问“从谁量起”： 是从 量起，；误读成 ，圆心与半径全变。最值用圆心距 半径。 B2　　【答案】(1) ；(2) 或 【解析】(1) 设 ，则 。平方得 ，整理得 ，即 。这是顶点为 (3,0)、开口向左的抛物线。(2) 由定义， 等于 到直线 的距离，故 ，得 。代入 ，得 。 【母题溯源】对应例题 2：到定点与到定直线等距，先认抛物线再写方程；第 (2) 问直接用定义，比联立更快。 B3　　【答案】(1) （去掉 ）；(2) 【解析】(1) 由 知 在以 为直径的圆上，圆心为原点，半径为 1，故 （）。(2) ，故 。取最值的点为 ，不是 ，端点可以取到。 【母题溯源】对应变式 3-1：直角配直径圆；最值用圆心距 半径。 B4　　【答案】 【解析】设 。因为 在直线 上，且 ，所以 ，即 。由“直径所对的圆周角为直角”的逆定理， 在以 为直径的圆上。 的中点为 (2,0)，半径为 2，故轨迹方程为 。当 为 轴时 ，当 为 轴时 ，两端都能取到，故轨迹是整圆。 【母题溯源】对应变式 3-1：不要急着设 的坐标，先找“直角 + 定边”，圆就直接现身。 B5　　【答案】选①：，椭圆；选②：（），双曲线的右支；选③：，圆 【解析】选①：，，故 ，，，轨迹为 ，且 ，是完整椭圆。选②：，，；由 知只取右支，即 ，。选③：，整理得 ，配方得 ，是圆。 【母题溯源】对应例题 2、3：三个条件分别落在椭圆定义、双曲线定义、阿波罗尼斯圆上；结构不良题的实质是“三个入口，同一套识别流程”。 B6　　【答案】ABD 【解析】 的焦点为 ，准线 ，圆 的圆心为 (0,4)，半径 1。A 项：圆心到 的距离为 1，等于半径，故 与圆 相切，正确。B 项： 共线时 水平，故 ，代入得 ，，，切线长 ，正确。C 项：，故 ，；此时 ，，数量积为 ，故 与 不垂直，错误。D 项：由抛物线定义 ，故条件化为 ，即 在线段 的垂直平分线上；该直线与抛物线联立得 ，判别式 136>0，有且仅有两个交点，正确。故选 ABD。 【母题溯源】对应例题 2： 是到准线的距离，立刻换成 ；这是“定义法”在多选题里的典型用法。 B7　　【答案】(1) 且 ；(2) 当 时 为椭圆，当 时 为双曲线 【解析】(1) 把 的方程配方： 当 时，这是以 为对称中心的二次曲线；当 时， 项系数为 0，方程化为 ，是抛物线，没有对称中心。故当 且 时， 有对称中心。 (2) 将原点平移到对称中心，令 ，，得 当 时，两个系数都为正， 是椭圆；当 时， 的系数为负， 是双曲线（焦点在 轴上）。平移不改变曲线的类型，故 与 同型。 【母题溯源】对应变式 1-1：先有轨迹方程，再读几何特征。判断“有无对称中心”看二次项是否退化为一次，判断曲线类型看两个平方项系数的符号；这是解析几何解答题后段常见的“读曲线”考法。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $