微专题26 圆锥曲线的焦点弦问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第5章 · 解析几何 · 大单元12 高中数学二轮复习专题讲义 26微专题26圆锥曲线的 焦点弦问题  焦点弦题看起来是“联立—韦达—代入”的老三样，真正拉开差距的却在联立之前：先认出哪条是通径、哪个是焦点三角形，再决定只联立一次，还是根本不用联立。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 焦点弦是圆锥曲线里唯一一条“自带定值”的弦：只要它过焦点，弦长、两段焦半径的倒数、中点位置就被参数锁死。高考对它的考法分两层——多选考“结论辨认”，解答题考“把焦点弦放进三角形或面积里”。二轮要练的是一条流水线：先认弦，再定参数，最后只做一次联立。 表内只收真正以“过焦点的弦”为主角的题。离心率的范围问题（含用焦点三角形列不等式求 ）归微专题 24；焦点弦上的定点、定值证明归微专题 27；以焦点弦为边的面积最值与变量范围归微专题 28。通径定方程只取第 (1) 问作本讲母题，后续的轨迹与定点证明分别归微专题 23、27。多选若整体围绕焦点弦设置，就整题使用；若只有个别选项涉及焦点弦，只取这些选项的模型。 表 1: 圆锥曲线焦点弦问题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 18 过焦点的弦 与对称点 ：焦点三角形面积比、角的最值 2025 新课标Ⅰ卷 10 抛物线焦点弦多选：焦半径、通径、垂直弦与乘积 2024 全国甲卷（理） 20 椭圆半通径定方程；后续中点与定点证明（本讲只取第 (1) 问） 2023 新课标Ⅱ卷 10 抛物线焦点弦多选：弦长、以弦为直径的圆与准线相切 2023 全国甲卷（理） 12 椭圆焦点三角形：余弦定理与中线长 2022 新高考Ⅱ卷 10 抛物线焦点弦多选：斜率、焦半径与角 三条趋势。其一，多选把“定义、通径、常值结论”拆成四个选项，算得越少越稳；近年的抛物线多选都是这个结构。其二，解答题不再单独问“弦长”，而是把焦点弦放进焦点三角形或面积比里，第一步仍是通径或焦半径。其三，椭圆、双曲线的焦点问题重新回到“定义加余弦定理”，不靠联立硬算；看到两焦点与曲线上一点，先写 。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺定义，先给速查表，再给三组直接服务本专题题型的结论。表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据；三组结论按“抛物线焦点弦—通径—焦点三角形”的顺序排列，正好对应下面三个题型。 表 2: 焦点弦三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 抛物线焦点弦 过焦点的直线与抛物线交于 、，问弦长、焦半径倒数、中点，或出现垂直弦 设 ，联立一次得 ，再整体代换 例 1、变 1-1、变 1-2 二 · 通径 题干出现“过焦点且垂直于对称轴”的弦，或直接给出这条弦的长 椭圆、双曲线用 ，抛物线用 ；反求 例 2、变 2-1、变 2-2 三 · 焦点三角形 椭圆、双曲线上一点 与两焦点连成三角形，给角、面积或两边比 先写 ，再用余弦定理与面积公式整体求 例 3、变 3-1 结论一 · 抛物线焦点弦四件套 设抛物线 的焦点弦 的倾斜角为 ，，，则 且 。以 为直径的圆与准线相切， 中点到准线的距离等于 。通径（）是最短的焦点弦，长为 。 结论二 · 通径与焦半径 椭圆 的通径长为 ，焦半径为 ，。双曲线 的通径长也是 ；点 在右支时 ，，在左支时两式对调。抛物线的通径长为 。题中给出的若只是一半（如 轴），就写 。 结论三 · 焦点三角形 设 在曲线上，，，。椭圆：，，面积 ，中线 。双曲线：，余弦定理同前，面积 。所有公式都只用到 与 ，不必解出 。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 定参数 → 核心推演 → 回检定论。第 2 步把所有已知量落到 、、、、、 这些参数上；第 3 步只做整体代换，不急着解根；第 4 步回检参数范围、等号条件与图形是否存在。 （一）题型一：抛物线焦点弦的常值结论 题型识别。题干出现“过焦点的直线与抛物线交于 、”，选项问弦长、两段焦半径、中点、以 为直径的圆，或者再给一条过焦点且垂直于 的弦。这类题的重点不在解方程，而在把四个常值结论认出来。 通法模型。设 ，联立得 ，于是 ，；再用 把 、、 全部写成 的式子。设 而不是 ，可以一并覆盖通径。 例题 1（题型一·焦点弦与垂直弦的多选） 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点，过 且垂直于 的直线交准线 于 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 图 1: 焦点弦 、垂直弦 与准线 解析 第 1 步 · 认模型：四个选项分三类： 是定义型，、 是长度型， 是乘积型。只要把 、 的坐标写成 、 的对称式，四类量都能统一到 上，不需要分别联立。 第 2 步 · 定参数：，，。设 ，代入 得 于是 ，，。 第 3 步 · 核心推演：：由定义，，正确。：取 ，此时 为通径，，，过 且垂直于 的直线为 ，与 交于 ，则 ，错误。：，正确。 ：先证 。由 得 ；又 故 。因为 、，所以 即 ，正确。 第 4 步 · 回检定论： 的反例只取通径，足以否定“恒等”； 的等号与 的最小值同时在通径处取得，四个选项互相印证。答案为 ACD。 方法点睛 · 焦点弦只联立一次 把 、 的坐标写成 、 的对称式，、、 都能由 与 直接读出。多选里出现“恒成立”判断，优先找通径或极端位置做反例，比硬算每个选项快得多。 变式 1-1（题型一·焦点弦的长度与准线相切） 设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与 交于 、 两点， 为 的准线，则（　　） A．　　B． C．以 为直径的圆与 相切　　D． 为等腰三角形 解析 第 1 步 · 认模型：直线过焦点，先由焦点坐标定 ；四个选项分别问参数、弦长、圆与准线、三角形形状。 第 2 步 · 定参数：焦点 在 上，故 ，得 。于是 ，。 第 3 步 · 核心推演：联立 ，得 ，故 ，。 正确。， 错误。 中点的横坐标为 ，到 的距离为 ，故以 为直径的圆与 相切， 正确。两根为 与 ，对应 ，，不相等， 错误。 第 4 步 · 回检定论：弦长用 ，不必再用 算一遍；圆与准线相切只需比较中点到准线的距离与半径。答案为 AC。 易错微警 · 弦长别忘加焦点参数 抛物线焦点弦长是 ，不是 。本题 ，加上 才是 ；漏掉 会误选 。 变式 1-2（题型一·焦半径的倒数关系） 抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，若 ，求 、 及 中点 到准线的距离。 解析 第 1 步 · 认模型：给出焦点弦的一段焦半径，求另一段与整条弦——直接用倒数关系，不必设直线。 第 2 步 · 定参数：，准线 ，结论一给出 。 第 3 步 · 核心推演：由 得 ，故 。又 到准线的距离等于 ，所以距离为 。 第 4 步 · 回检定论：通径长为 4， 符合“通径最短”； 说明 离准线更远，与图形一致。 方法点睛 · 倒数关系既是秒杀也是检验 把“两段焦半径”压成一个方程，已知一段求另一段只需一步。算出 后，再用 回检，能立刻发现符号或倒数算错。 （二）题型二：通径及其应用 题型识别。题干出现“过焦点且垂直于对称轴”的弦，或直接给出这条弦的长；椭圆里常见“ 轴且 在椭圆上”，双曲线里常见“过右焦点垂直实轴的弦”。这类题的通径就是参数之间的一个方程。 通法模型。先判断曲线类型，写出通径长：椭圆、双曲线为 ，抛物线为 ；题中若只给半条（如 ），就写 。再与 （椭圆）或 （双曲线）联立，解出 。 例题 2（题型二·半通径定椭圆方程） 设椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，且 轴，求 的方程。 图 2: 过右焦点的通径与半通径 解析 第 1 步 · 认模型： 轴且 是右焦点，所以 是过焦点的竖直弦的一半，即半通径。 第 2 步 · 定参数：右焦点 ，由 在过 的竖直线上得 ；半通径 ，又 。 第 3 步 · 核心推演：代入得 ，即 ，所以 （舍 ），。 第 4 步 · 回检定论：， 满足 ；通径长为 3， 正是上半条通径的端点。故 。 方法点睛 · 看到焦点垂线先写通径 “ 轴”这句话在椭圆题里的唯一作用是告诉你 是半通径。先写 ，再配 ，两步就能定出 ；不要从 在椭圆上联立，那样会多出一个变量。 变式 2-1（题型二·整条通径定离心率） 已知椭圆 ，过 的右焦点且与 轴垂直的直线被 截得的线段长为 2，求 的离心率。 解析 第 1 步 · 认模型：过右焦点且垂直于 轴的弦就是通径，题给的是整条弦长。 第 2 步 · 定参数：，半焦距 ，通径长为 。 第 3 步 · 核心推演：由 得 ，于是 ，。 第 4 步 · 回检定论： 满足题设；通径长 ，与已知一致。 易错微警 · 通径是整条弦 椭圆、双曲线的通径长是 ，不是 。题干给“”这种半条时用 ，给“过焦点的整条弦”时用 ，先看清给的是哪一段。 变式 2-2（题型二·双曲线通径反求方程） 已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 轴的弦长为 6，求 的方程。 解析 第 1 步 · 认模型：双曲线的通径加离心率，两个条件正好定 。 第 2 步 · 定参数：由 得 ，故 ；通径长为 。 第 3 步 · 核心推演：由 得 ，，。 第 4 步 · 回检定论：，通径长 ，均与题设相符。故 。 方法点睛 · 双曲线通径与离心率联立 双曲线里 ，通径长 。已知 与通径，先算 ，再回代求 ，比联立点坐标快。 （三）题型三：焦点三角形 题型识别。椭圆或双曲线上一点 与两焦点 、 连成三角形，题干给角、面积、两边比，或要求中线 、周长、面积。 通法模型。第一步写定义：椭圆 ，双曲线 ；第二步在 中用余弦定理，；第三步整体求 与 ，再按需套面积公式或中线公式。全程不解出 的具体值。 例题 3（题型三·椭圆焦点三角形与中线） 设 为坐标原点，、 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 图 3: 焦点三角形 与中线 解析 第 1 步 · 认模型：点 在椭圆上、与两焦点相连，是标准焦点三角形；所求 是底边 上的中线。 第 2 步 · 定参数：，，，故 ，。 第 3 步 · 核心推演：在 中， 故 ，。由中线公式 所以 。 第 4 步 · 回检定论：，说明这样的 存在； 必须小于长半轴 3，，合理。答案为 B。 方法点睛 · 焦点三角形不需求两段焦半径 定义给 （或 ），余弦定理给 ，两者一联立， 也随之得到；面积与中线都只用这两个整体量。凡是题目只问面积、中线、周长，解出 都是白算。 变式 3-1（题型三·双曲线焦点三角形定离心率） 设 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 的右支上，且 ，，若 的面积为 ，求 的离心率。 解析 第 1 步 · 认模型：双曲线上的点与两焦点构成焦点三角形，给角、面积与两边比，求离心率。 第 2 步 · 定参数：设 ，则 。由右支上的定义 得 ，即 ，。 第 3 步 · 核心推演：面积 故 。再由余弦定理 所以 ，。 第 4 步 · 回检定论：，双曲线存在；，符合双曲线离心率范围。 易错微警 · 双曲线是差不是和 椭圆写 ，双曲线写 。本题若误用“和”，会得到 ，，后面的面积与离心率全错。先看清曲线类型，再写定义式。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在两处：把通径与半通径、椭圆与双曲线的公式混用；以及联立后不肯用常值结论，硬解坐标。分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（定义与结论类） 错误表现 错因 正确做法 抛物线焦点弦长写成 漏掉 ，或把焦点坐标记成 先由方程读出 ，焦点为 、准线为 ，弦长为 椭圆通径写成 把半通径当整条通径 整条通径为 ；题中给 这样的半条才用 双曲线焦点三角形面积套椭圆公式 椭圆与双曲线的面积公式混用 椭圆为 ，双曲线为 设焦点弦为点斜式后直接联立 漏掉斜率不存在的情形 设 可一并覆盖，或先单独讨论垂直 动笔前的三句自查 焦点在哪、准线在哪？题给的是整条通径还是半条？我要用的是椭圆的“和”还是双曲线的“差”？——三句都答清楚，再写第一个方程。 表 4: 高频错误及其纠正（运算与检验类） 错误表现 错因 正确做法 联立后硬解 ，再逐项代入 没把韦达与常值结论接上，计算量翻倍 设 ，先得 ，再用 整体代换 双曲线焦半径不判断点在哪支 差式的符号写反 右支 、；左支两式对调 双曲线定义用成椭圆式 与椭圆定义混淆 椭圆 ，双曲线 求 时解出 的坐标硬算 计算量大且容易丢根 用中线公式 ，只需求 两张表的错误性质不同：第一类错在“公式记混”，丢的是整问；第二类错在“有结论不用”，丢的是时间与步骤分。二轮订正时先归因，再决定补记结论还是补练联立。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组 6 题练定义与常值结论的直接调用，B 组 6 题练多选辨析、焦点弦与焦点三角形的综合，其中 B1 为多选、B6 为压轴层。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 抛物线 上一点 到焦点的距离为 5，则 到 轴的距离为 ______。 A2 椭圆 上一点 到左焦点的距离为 3，则 到右焦点的距离为 ______。 A3 双曲线 的通径长为 ______。 A4 抛物线 的焦点弦 ，倾斜角 ，则 ______。 A5 （多选）抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，则（　　） A．　　B． C．　　D． A6 椭圆 的两个焦点为 、，点 在椭圆上，且 ，则 的面积为 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 （多选）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 、 两点，其中 在第一象限，点 。若 ，则（　　） A．直线 的斜率为 　　B． C．　　D． B2 抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，点 ，若 ，则 ______。 B3 已知椭圆 的上顶点为 ，两个焦点为 、，离心率为 。过 且垂直于 的直线与 交于 、 两点，，则 的周长为 ______。 B4 抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，以 为直径的圆与准线相切，且 ，求直线 的方程。 B5 已知双曲线 的右焦点为 ，过 且垂直于 轴的弦长为 6，点 在 的右支上，， 的面积为 ，求 的方程与离心率。 B6 已知抛物线 的焦点为 ，、 为 上两点，且 ，求 面积的最小值。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】3 【解析】，焦点 ，准线 。由抛物线定义，，得 ，即 到 轴的距离为 3。 【母题溯源】对应结论二与例题 2。突破口：焦半径转成“到准线的距离”。 A2　　【答案】7 【解析】，由椭圆定义 ，故 。 【母题溯源】对应结论二。突破口：椭圆上一点到两焦点距离之和为 。 A3　　【答案】12 【解析】，，通径长为 。 【母题溯源】对应例题 2、变式 2-2。突破口：双曲线通径公式与椭圆同形。 A4　　【答案】2 【解析】，故 。 【母题溯源】对应结论一。突破口：焦点弦长只由 与倾斜角决定。 A5　　【答案】ABCD 【解析】。由结论一，，，，，四项均正确。 【母题溯源】对应例题 1、变式 1-2。突破口：四件套逐条对号，不用联立。 A6　　【答案】6 【解析】，，故 。 【母题溯源】对应例题 3、结论三。突破口：焦点三角形面积公式，直角时退化为 。 （二）B 组 B1　　【答案】ACD 【解析】设 ，，。由 得 ，解得 ，，故 ，A 正确。直线 与 联立得 ，故 ，，，B 错误。，C 正确。在 处 ，在 处 ，两角均为锐角且正切之积 ，故两角之和为钝角但小于 ，D 正确。 【母题溯源】对应例题 1、变式 1-1。突破口：先用焦半径条件定 ，再用 定 。 B2　　【答案】 【解析】，，故 。由 得 ，。于是 。 【母题溯源】对应例题 1。突破口：焦半径先转横坐标，再算两点距离。 B3　　【答案】13 【解析】，设 ，则 ，，，，。，故过 且垂直于 的直线斜率为 ，方程为 。与椭圆联立得 ，故 解得 ，。由椭圆定义，，，故 【母题溯源】对应例题 3、变式 1-2。突破口：焦点弦 的两段焦半径之和恰为 ，周长整体化为 。 B4　　【答案】 【解析】，。由 得 ，故倾斜角为 或 ，斜率为 ，直线方程为 。此时中点到准线的距离为 ，圆与准线确实相切。 【母题溯源】对应例题 1、变式 1-1。突破口：先由弦长反求倾斜角，再用“中点到准线距离等于半径”回检。 B5　　【答案】， 【解析】通径长 ，故 。双曲线焦点三角形面积 ，故 ，，，。所以 。 【母题溯源】对应例题 2、例题 3。突破口：通径定 与 的关系，面积公式再定具体值。 B6　　【答案】 【解析】设 ，，，。由 得 令 ，把 、 代入，整理得 。于是 故 。又 得 或 。前一支中 ， 随 增大而增大，故 时 后一支 ，面积更大。等号在 时取得，此时 、 关于 轴对称， 确实成立。 【母题溯源】对应例题 3、结论一。突破口：把 、 设为 ，用垂直条件把 写成 的函数。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $