微专题22 直线与圆的动态问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第5章 · 解析几何 · 大单元11 高中数学二轮复习专题讲义 22微专题22直线与圆的动态问题  这一讲的题面都在“动”：圆不动而直线转动，直线不动而点在圆上跑，或者圆的方程里带着一个参数。看似三种题，其实是同一件事——把动的那一方翻译成“圆心到直线的距离 ”，再与半径 比大小。三句话记住本讲的骨架：切线的动态看直角三角形，弦长的动态看弦心距，圆上动点看“圆心动、点不动”。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 直线与圆在卷面上几乎不单独成解答题，却年年出现在选填位置，而且越来越“活”：不再问“判断位置关系”，而是问“这样的直线有几条”“距离为定值的点有几个”。这类题的共同结构是“一个在动、一个不动”，答案落在 与 的临界值上。二轮要练的是把“动”一次性翻译成 与 ，而不是每道题重新画图去猜。 表内取舍说明：本讲只收“直线与圆的位置关系随参数变化”的题——过定点的切线、定长弦与最短弦、圆上点到定直线的距离、对称与含参圆。抛物线、椭圆情境下的圆（动点向定圆作切线、焦点弦中的圆）归圆锥曲线专题；求圆的方程、点与圆的位置关系这类纯基础题归一轮。训练题里三圆同截一题综合度最高，放在能力提升组。 表 1: 直线与圆的动态问题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 新课标Ⅰ卷 11 三条两两外切的单位圆被同一直线所截：弦长随斜率、截距变化（多选） 2026 新课标Ⅱ卷 9 含参圆的圆心与半径、与坐标轴相切、两圆相切与公共弦（多选） 2025 新课标Ⅰ卷 7 圆上到定直线距离为 1 的点恰有两个，求半径的取值范围 2023 新课标Ⅰ卷 6 过定点的两条切线的夹角，求其正弦值 2023 新课标Ⅱ卷 15 过定点的直线截圆所得三角形面积为定值，写参数值 2022 新高考Ⅱ卷 15 直线关于定直线对称后与圆有公共点，求参数范围 两条趋势值得注意。其一，动因藏得越来越深：有的把参数藏进圆的方程，先配方才知道圆心与半径；有的把动点藏进“距离为定值的点有几个”，得先把这句话翻译成一对平行线，才有 与 可比。其二，多选把四个独立的小结论捆成一道题，每个选项各管一次 、 的比较，只要有一项没写依据，整题就归零。应对办法只有一个：逐项写出 与 ，不靠图感。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺圆的方程，只留三组能直接上手的结论：一组管“动直线”，一组管“动点”，一组管“对称”。先看速查表，拿到题后按“一眼认出它的样子”一列对号入座。 表 2: 直线与圆动态问题三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 切线的动态 题干出现“过某点作切线”“切点”“两切线夹角”，点常在一条定直线上动 先算点到圆心的距离，再用直角三角形：切线长用勾股，夹角用半角 例 1、变 1-1 二 · 弦长的动态 直线过定点或含参数，与圆交于两点，问弦长、面积、参数值 弦心距是唯一变量，弦长与面积都写成它的函数 例 2、变 2-1、2-2 三 · 圆上动点与对称 点在圆上动，问距离最值或“满足条件的点有几个”；或圆、直线关于某线对称 把动点换成圆心动，距离由 与 定；对称只动圆心 例 3、变 3-1 结论一 · 一个直角三角形管住切线 设 在圆 外， 切圆于 。则 ，；若两条切线的夹角为 ，则 ，。两切点连线（切点弦）的方程是 ，其中 在圆外。切线问题的所有量都出自这个三角形，不必联立判别式。 结论二 · 动点距离的三句话 ①圆上点到定直线 的距离属于 ， 是圆心到 的距离；直线与圆相交时最小值是 0，不是 。②圆上点到定点 的距离属于 。③“到 距离为 的点恰有 个”：把 向两侧各平移 ，得到两条平行线，分别与圆比 与 ，再把两处交点数相加。弦长为定值 等价于弦心距 为定值，此时弦中点在以圆心为心、 为半径的圆上。 结论三 · 对称只动圆心 ①圆关于直线对称：圆心关于该直线对称，半径不变；若对称轴过圆心，圆与自身重合。②两点关于直线对称：中点在轴上，且连线与轴垂直，两个条件缺一不可。③直线关于直线对称：先找轴上的点（它不动），再对称轴外一点，两点连线即对称直线；若线段的一个端点恰在轴上，只对称另一个端点即可。④圆关于点对称：圆心关于该点对称，半径不变。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题，共四道变式，每题统一按四步展开：认模型 → 抓圆心 → 核心推演 → 回检定界。第 2 步是本讲的枢纽——无论题面怎么动，先把圆心、半径、圆心到直线的距离这三个量摆出来；第 4 步专管三件事：斜率不存在的情形、端点取不取、位置关系是否还成立。 （一）题型一：切线的动态 题型识别。题干出现“切线”“切点”“两切线夹角”“切点弦”，或者点在一条定直线上运动、过它作圆的切线。看到“切线”二字先分两种：点在圆上只有一条切线，点在圆外有两条；判定方法是比较点到圆心的距离与半径。 通法模型。第 1 步认模型，确定点在圆内、圆上还是圆外，切线条数随之确定；第 2 步抓圆心，配方求圆心与半径，算出点到圆心的距离；第 3 步把问题放进直角三角形 ，切线长用勾股、夹角用半角、切点弦用极线；第 4 步回检斜率不存在的情形与最值取等条件。 例题 1（题型一·两条切线的夹角） 过点 引圆 的两条切线，夹角为 ，则 （　　） A．1　　B．　　C．　　D． 图 1: 过圆外一点的两条切线及其夹角 解析 第 1 步 · 认模型：点在圆外，过它作两条切线，问两切线夹角——这是“切线长加半角”的直角三角形模型。先确认切线有两条：把 代入圆方程左边，得 0+4−0−1=3>0，故 在圆外。 第 2 步 · 抓圆心：配方得 ，圆心 ，半径 ，。这一步必须算，因为后面所有量都由 与 两个数决定。 第 3 步 · 核心推演：设切点为 ，则 ，。在直角三角形 中，，故 于是 。 第 4 步 · 回检定界：，其正弦为正且唯一，不必判断钝锐。若题目改问 ，则由 知 是钝角，不能想当然取正号。故选 B。 方法点睛 · 切线问题只认一个直角三角形 斜边 、两条直角边 与切线长，构成全部信息的来源：切线长用勾股，夹角用半角，切点弦用把 的坐标代入圆方程的写法。三条路都从这个三角形出发，比联立判别式 稳得多，也不会漏掉斜率不存在的切线。 变式 1-1（题型一·切点弦过定点） 已知圆 ，点 在直线 上运动，过 作圆 的两条切线，切点分别为 、。(1) 求 的最小值；(2) 证明：直线 恒过定点，并求该定点坐标。 图 2: 切点弦恒过定点 解析 第 1 步 · 认模型： 在定直线上滑动，两条切线的切点 、 随之改变，但直线 （切点弦）始终过定点。要证定点，就把 的坐标设成参数，写出切点弦方程后按参数整理。 第 2 步 · 抓圆心：圆心 ，半径 。直线 到 的距离为 ，故 与圆相离， 上每一点都在圆外，切线总存在。当 时 最小，最小值为 ，此时 。 第 3 步 · 核心推演：(1) 。 (2) 设 ，由切点弦方程 ，按 整理得 令 且 ，解得 ，。 第 4 步 · 回检定界：定点 到圆心的距离平方为 ，在圆内，一条过圆内点的弦确实可能与两切点连线重合，结果自洽。切点弦方程只对圆外的 成立，而 与圆相离恰好保证了这一点。 方法点睛 · 切点弦按参数整理必过定点 切点弦方程对 是一次式。把 在定直线上的坐标代入后，方程变成“关于参数的一次式等于零”，令参数系数与常数项同时为零，就得到定点。这比取两个特殊位置的 连线再猜，既快又不会漏。 （二）题型二：弦长的动态 题型识别。直线过定点或含参数，与圆交于两点，问弦长、三角形面积、参数值，或“满足某条件的直线有几条”。题面里往往没有“距离”二字，但弦长公式一写，变量只剩弦心距。 通法模型。第 1 步认模型，先看直线是否过定点——把含参数的项归拢，令系数为零；第 2 步抓圆心，求圆心与半径，算圆心到直线的距离 ；第 3 步把弦长写成 ，面积写成 ，题目的定值条件就变成 的方程；第 4 步回检 、参数是否使直线退化。 例题 2（题型二·面积定值反求参数） 已知直线 与圆 交于 、 两点，当 的面积为 时，求 的值。 图 3: 定点弦的弦长由弦心距决定 解析 第 1 步 · 认模型： 只出现在 中，先看它是否过定点：把方程整理为 ，要对任意 都成立，需 且 ，故直线恒过定点 (−1,0)。定圆加定点弦，弦长与面积都只由弦心距决定。 第 2 步 · 抓圆心：圆心 ，半径 。定点 (−1,0) 到 的距离恰为 2，它在圆上——这解释了为什么每个 都保证有公共点。圆心到 的距离 时 ，直线 与圆相切，只有一个公共点，与“交于 、 两点”矛盾，故 ，此时 。 第 3 步 · 核心推演：由弦长公式，，于是 令 ，得 ，即 ，所以 或 ，即 或 。 第 4 步 · 回检定界：四个值都不为零，对应 与 ，均小于 2，弦确实存在。 与 对应的两条直线关于 轴对称，弦长与面积相同，这也印证了答案成对出现。 方法点睛 · 过定点的弦写成距离的函数 弦长 与面积 都只含 。把题目的“定值”翻译成 的方程，解出 再回代参数，比联立直线与圆、再用韦达定理少一半计算，也不容易在判别式上出错。 变式 2-1（题型二·定长弦与中点轨迹） 已知圆 ，直线 与圆交于 、 两点，且 。(1) 求弦 的中点 的轨迹方程；(2) 若 经过点 ，求 的方程。 图 4: 定长弦的弦心距为定值 解析 第 1 步 · 认模型：弦长固定，说明弦心距固定；弦一转动，中点 就绕着圆心跑。先把“定长”翻译成“定距”，再让中点跟着这个定距走。 第 2 步 · 抓圆心：圆心 ，半径 。由 得 ，即圆心到 的距离恒为 1。 第 3 步 · 核心推演：(1) 因为 是弦的中点，所以 ，，故 在圆 上。反过来，对 上任一点 ，过 作 的垂线，它到 的距离为 1，截大圆所得弦长为 。所以轨迹是整圆 。 (2) 设 ，由 得 ，即 ，。竖直线 到 的距离为 3，不合。故 。 第 4 步 · 回检定界：点 在圆外，过它的切线长为 ，而所求直线的弦心距为 1<2，确实与圆相交于两点；两条直线关于 轴对称，弦长相同。 易错微警 · 轨迹要回答“反过来” 由 只得到必要条件：满足条件的点都在单位圆上。还要说明单位圆上每一点都能由某条定长弦得到——本题因为过圆上任意点都能作唯一一条垂线，轨迹才是整圆而不是一段弧。少写这一句，轨迹题就要扣分。 变式 2-2（题型二·含参圆与公共弦，多选） 已知 ，，则（　　） A．点 的坐标为 (−3,−4) B．当 时， 与 轴相切 C．当 时， 与 相切 D．当 与 相交时，两个交点所在直线的方程为 解析 第 1 步 · 认模型：含参圆的四个小结论，每个都要先把 化成标准式，再回到“圆心距与半径和差”或“两式相减得公共弦”。 第 2 步 · 抓圆心：配方得 ，圆心 ，半径 ，且 。 第 3 步 · 核心推演：A 项：圆心是 (3,4)，不是 (−3,−4)，错。B 项： 时半径 4，圆心到 轴距离为 4，与 轴相切，对。C 项： 时半径 6，两圆心距为 5，而 6−1=5，两圆内切，对。D 项：两式相减得 ，不是 ，错。 第 4 步 · 回检定界：含参圆先写 ；两圆“相切”必须同时检查外切（）与内切（），本题 恰好等于半径差，是内切。故选 BC。 易错微警 · 公共弦方程靠相减，符号要盯住 把两圆方程相减时，先统一成“”的形式再减，常数项最容易错。得到公共弦后还要用“圆心到该弦的距离小于半径”验一遍，避免把相离时的“根轴”误当成公共弦。 （三）题型三：圆上动点与对称 题型识别。点在圆上动，问它到定直线、定点的距离最值，或问“距离为定值的点有几个”；又或者圆、直线关于某条直线对称后与另一个圆有公共点。前一类只管“圆心动”，后一类只管“对称点”。 通法模型。第 1 步认模型，分清动的是点、直线还是圆；第 2 步抓圆心，把圆上动点问题化作圆心到定直线（定点）的距离 ；第 3 步用 距离 定范围，或把“距离为 ”翻成一对平行线数交点；对称问题则只求圆心（或端点）的对称点；第 4 步回检端点是否取得到。 例题 3（题型三·距离为定值的点的个数） 已知圆 （）上到直线 的距离为 1 的点有且仅有两个，则 的取值范围是（　　） A．(0,1)　　B．(1,3)　　C．(3,+∞)　　D．(1,+∞) 图 5: 圆上到定直线距离为 1 的两点 解析 第 1 步 · 认模型：半径未知，问“距离为 1 的点恰有两个”。距离为定值的点不是一条线，而是两条平行线，要把这句话先翻译成“圆与两条平行线的交点总数”。 第 2 步 · 抓圆心：圆心 ，直线化为 ，圆心到它的距离 把直线向两侧各平移 1，得到 与 ，它们到圆心的距离分别为 |2−1|=1 与 2+1=3。 第 3 步 · 核心推演：圆与 的交点： 时 2 个， 时 1 个， 时 0 个。圆与 的交点： 时 0 个， 时 1 个， 时 2 个。总数为 2，只有“ 给 2 个、 给 0 个”一种可能，即 且 。 第 4 步 · 回检定界： 时总数为 1， 时总数为 3，两个端点都取不到，故 。若只画靠近直线的那一条平行线，就会误选 D。故选 B。 方法点睛 · 距离为定值就是一对平行线 “圆上到直线距离为 的点有几个”，等价于“圆与到该直线距离为 的两条平行线共有几个交点”。两条平行线到圆心的距离分别是 与 ，各自与 比一次，交点数相加即可；两条线都要数，这是这道题唯一的坑。 变式 3-1（题型三·直线对称后与圆相交） 设点 ，，若直线 关于 对称的直线与圆 有公共点，求 的取值范围。 图 6: 对称直线与圆相切的临界位置 解析 第 1 步 · 认模型：对称轴是 ，而 恰好落在轴上，所以 不动，只需对称 。对称直线与圆有公共点，就是圆心到对称直线的距离不超过半径。 第 2 步 · 抓圆心：圆心 ，半径 1。 关于 的对称点为 ，因为对称点的纵坐标满足 ，横坐标不变。 第 3 步 · 核心推演：对称直线过 与 ，斜率为 ，故对称直线为 即 。由有公共点得 即 。两边平方并整理： 所以 。 第 4 步 · 回检定界： 时对称直线为 ， 时为 ，圆心到它们的距离都等于 1，是相切的临界位置，端点取得到。 时 就在轴上，对称直线仍为 ，与圆相离，不在解集内。 方法点睛 · 对称只动一个点 直线关于直线对称：先找轴上的点（它不动），再对称轴外一点，两点连线就是对称直线。圆关于直线对称：只把圆心对称过去，半径不变。所有对称题都遵循“只动一个对象”的原则，别去对称整条直线上的每个点。 ▶ 四、易错警示 本讲的失分点集中在两处：一是“动”没有翻译成距离，靠图感下结论；二是临界情形漏掉一半，尤其是两条平行线只数一条、两圆相切只算外切。分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（切线与距离类） 错误表现 错因 正确做法 设切线方程只写 ，漏掉斜率不存在的切线 默认切线都有斜率 先看 型是否满足，再设斜截式；最后用“过圆外一点恰有两条”核对条数 把 直接当成 混淆半角与整角 先求 ，再用二倍角公式，不能把半角的正弦直接当整角 直线与圆相交时，仍用 作最小距离 忘记相交时圆上点可以落在直线上 最小距离写 ，并单独说明相交时为 0 动笔前的三句自查 动的是直线、点还是圆？能不能把它换成一个距离 ？临界情形（相切、过圆心、端点）代回去还成立吗？——三句都答得出来，再动笔。 表 4: 高频错误及其纠正（含参与对称类） 错误表现 错因 正确做法 “距离为 的点恰有 个”只数靠近直线的一条平行线 只画了圆心一侧的平移线 两条平行线到圆心的距离是 与 ，逐条数交点再相加 含参圆忘记 ，或圆心坐标符号写反 没有先化标准式 先配方成标准式，确认 ，再核对圆心坐标的符号 两圆相切只算外切 默认“相切”就是外切 圆心距等于 或 ，两种情况都要列 公共弦方程相减时符号错 两圆方程没有先统一成一般式 统一成 后再减，并用圆心到弦的距离小于半径验算 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组 6 题练基本动作，依次是弦长、切线方程、含参相切、距离最值、位置关系多选、两圆相切；B 组 6 题练迁移与综合，依次是三圆同截（多选）、定点弦、结构不良、动态角、公切线（开放填空）、切点弦。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 直线 被圆 截得的弦长为 ______。 A2 过点 作圆 的切线，求切线方程。 A3 已知圆 与直线 相切，求 的值。 A4 圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ______，最大值为 ______。 A5 （多选）已知圆 ，直线 ，则（　　） A．圆心到直线 的距离为 B．直线 被圆 截得的弦长为 C．圆 上到直线 距离为 1 的点有 3 个 D．过原点且与圆 相切的直线有 2 条 A6 已知圆 与圆 （）相切，求 的值。 （二）能力提升（B 组） B1 （多选）已知圆 ，圆 ，圆 ，直线 与 、、 均有两个交点。记 被 、、 截得的弦长分别为 、、，则（　　） A． 可以取任意实数 B．满足 的直线 共有 3 条 C．满足 的直线 多于 3 条 D．当 时， 的最大值为 B2 已知圆 ，直线 。(1) 证明：直线 恒过定点；(2) 证明：直线 与圆 恒有两个交点；(3) 求直线 被圆 截得的最短弦长，并求此时 的方程。 B3 （结构不良题）已知圆 。从下列三个条件中任选一个，补充在横线上并解答：若 ______，(1) 求 的值；(2) 求圆 上的点到直线 的距离的最大值。 ①圆 与 轴相切； ②圆 被直线 截得的弦长为 ； ③圆 与圆 外切。 B4 已知圆 ，点 ， 为圆 上任意一点。(1) 求 的取值范围；(2) 求 的最大值，并求此时点 的坐标。 B5 写出与圆 和圆 都相切的一条直线的方程：______。 B6 已知圆 ，点 ，过 作圆 的两条切线 、，切点为 、。(1) 求切线长 ；(2) 求直线 的方程；(3) 求四边形 的面积。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】 【解析】配方得 ，圆心 (1,2)，半径 2。圆心到直线的距离 ，故弦长为 。 【母题溯源】对应例题 2。突破口：弦长只由 决定，先把 算准。 A2　　【答案】 或 【解析】点 在圆外（）。先看斜率不存在的直线 ：它到圆心的距离为 2，恰为半径，是一条切线。再设切线为 ，由 得 ，解得 ，即 。两条切线互相独立，答案不能漏掉 。 【母题溯源】对应例题 1。突破口：先补斜率不存在的切线，再设斜截式。 A3　　【答案】 或 【解析】圆心 (1,2)，半径 2。相切即圆心到直线的距离等于半径：，即 ，解得 或 。 【母题溯源】对应例题 1。突破口：相切就是 ，一个绝对值方程给出两条平行切线。 A4　　【答案】4，6 【解析】圆心到直线的距离 ，半径 ，且 ，故最小距离为 ，最大距离为 。 【母题溯源】对应例题 3。突破口：先比 与 ，再写 ；若相交，最小值改为 0。 A5　　【答案】ABD 【解析】A：圆心 (2,1) 到 的距离为 ，对。B：弦长为 ，对。C：到 距离为 1 的点在 与 上，它们到圆心的距离分别为 与 ，故只有前者与圆交于 2 点，总数是 2 而不是 3，错。D：原点到圆心的距离为 ，点在圆外，有两条切线，对。 【母题溯源】对应例题 3。突破口：C 项必须两条平行线都数。 A6　　【答案】 或 【解析】两圆心距为 5。外切时 ，得 ；内切时 ，得 （ 舍去）。 【母题溯源】对应变式 2-2。突破口：相切分内外，两种都要列。 （二）B 组 B1　　【答案】BCD 【解析】三个圆心 、、 构成边长 2 的正三角形，三圆半径均为 1，两两外切。设 ，则 与三圆各有两个交点，等价于 都小于 1。 A：分子中的 、、 是三个定数， 是同一个平移量，三者必须落进一个长度为 的开区间。当 时，最大值与最小值之差为 ，而不等式 等价于 ，在 处不成立； 时同理，在 处不成立。故 不能取任意实数，A 错。 B： 等价于三个距离相等。若一条直线到正三角形三个顶点等距，三个有向距离只能取 的形式（若同号则三点共线），即两个顶点在与 平行的一条直线上、第三个顶点在另一条平行线上， 必是这两条平行线的中位线。每条边对应一条，共 3 条，且它们到三个圆心的距离都是 ，确实各截得两段等长弦。B 对。 C：上述三条中位线上，每条弦长都是 ，。再取水平直线 （即 ），当 时三条弦都存在，且 在 处该值约为 3.02>3，在 处约为 2.94<3，故在 内还有一条；把这条线绕正三角形中心旋转 与 ，又得两条。仅此已有 6 条，C 对。 D： 时 过原点，，。三圆各截得两段弦要求 ，此时 令 ，上式化为 。设 ，求导得极大值点 （即 ），此时 ，故最大值为 。D 对。 【母题溯源】对应例题 2、变式 2-1。突破口：弦长只由圆心到直线的距离决定，四个选项全部翻译成 与 的比较。 B2　　【答案】(1) 定点 (1,1)；(2) 证明见解析；(3) ， 【解析】(1) 把 整理为 ，令 、，得定点 。(2) 圆心 到 的距离 ，由 即 ，得 ，故 与圆恒有两个交点。(3) 弦长为 ，当 取最大值 时弦最短，为 。 当且仅当 ，此时 。 【母题溯源】对应例题 2。突破口：定点在圆内，距离的最大值决定弦长的最小值。 B3　　【答案】选①：，最大值为 ；选②：，最大值为 ；选③：，最大值为 【解析】配方得 ，圆心 (1,2)，半径 ，且 。 选①：与 轴相切，则 ，即 ，，此时 。圆心到 的距离为 ，最大距离为 。 选②：直线 到圆心的距离为 ，它过圆心，故弦长就是直径：，，即 ，。最大距离为 。 选③：两圆心距为 4，外切时 ，得 ，，此时 。最大距离为 。 【母题溯源】对应例题 3、变式 2-2。突破口：三个条件都在求半径，半径一定，距离最大值就是 。 B4　　【答案】(1) [2,6]；(2) ， 或 【解析】(1) 的最小值为 ，此时 ；最大值为 ，此时 。 (2) 在 中，由正弦定理 ，得 。又 是 的最小边，故 为锐角，从而 。等号当且仅当 ，即 、 与圆相切时成立。此时 。由 得 ，即 ；又 ，两式相减得 ，。 【母题溯源】对应例题 1。突破口：把角放进三角形用正弦定理，最大值出现在相切。 B5　　【答案】（或 、，任写一条即可） 【解析】两圆圆心距为 5，等于半径之和 1+4，故两圆外切，共有三条公切线。先找垂直于 轴的一条：设 ，由 且 ，取 ，即 ，它到两圆心的距离分别为 1 和 4，符合要求。另外两条斜公切线为 （过两圆的切点）与 。 【母题溯源】对应例题 1、变式 1-1。突破口：公切线到两圆心的距离分别等于两半径（同侧）或等于半径（异侧）。 B6　　【答案】(1) 1；(2) ；(3) 2 【解析】配方得 ，圆心 (2,1)，半径 2，。 (1) 。 (2) 切点弦方程为 ，即 ，整理得 。 (3) 四边形 由两个全等的直角三角形组成，。 【母题溯源】对应变式 1-1。突破口：切线长用勾股，切点弦把 的坐标代入圆方程。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $