微专题25解析几何 用“设而不求”的方法优化计算讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第5章 · 解析几何 · 大单元12 高中数学二轮复习专题讲义 25微专题25用“设而不求” 的方法优化计算  解析几何的计算量，八成花在“把交点坐标解出来”上；而高考要的往往不是坐标，而是弦长、面积、斜率之和与比值。于是有了“设而不求”：交点照设，韦达照写，坐标不解，目标式整体代换。本专题只练三件事——韦达怎么整体用、中点弦怎么用点差、设线怎么选形式少讨论。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近几届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 解析几何解答题的门槛不在“会不会联立”，而在“联立之后算不算得完”。近几届的圆锥曲线大题，条件越来越像“翻译题”：给面积、给相切、给等长、给斜率之和，先要翻成 与 的关系，再用韦达整体代入。谁先完成翻译，谁就少解一次方程。 表前先说取舍：本讲只收“设而不求”这一动作直接决定计算量的题——弦长、面积、斜率之和或积、定比、中点弦。离心率归微专题 24；焦点弦的焦半径常值归微专题 26；定点、定值、定直线归微专题 27；以面积、范围为最终目标的压轴问归微专题 28。表内各题只取“设线—联立—韦达—整体代换”这一段，不替相邻专题讲结论。例题 1、例题 3 与多数训练题为同构改编题：模型与高考题一致，曲线与数据重新配制，不冒用任何真题题号。 表 1: 用“设而不求”优化计算考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅱ卷 11 抛物线与等边三角形：公共点个数、两线夹角、面积最小值（多选） 2026 天津卷 18 椭圆与圆相切定参数，两弦斜率之比（韦达整体代换） 2023 全国甲卷（理） 20 直线截抛物线所得弦长反求参数（韦达与弦长公式，只取第 (1) 问） 2022 新高考Ⅱ卷 16 截距等长定中点，求直线方程（点差法） 三条命题线索。其一，条件从“给点”变成“给关系”：面积、相切、等长都要先翻译，翻译的方向决定设哪个量。其二，设线形式本身就是考点：过 轴定点设 ，能把竖直线收进 ；过 轴定点设 ，漏掉的只有竖直线，检验一次即可。其三，目标从“求坐标”变成“求比值、定值、最值”：韦达三件套足够，但 与交点所在象限必须回检，否则增根会把答案带偏。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺定义。下面一张速查表负责“认题”，三只结论卡负责“动手”；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: “设而不求”三题型速查表 题型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 韦达整体代换 题干给出弦的两个端点，目标是弦长、面积、斜率之和或积、数量积、比值，坐标不必求出 设交点，联立消元，写三件套，目标式通分后整体代入 例 1、变 1-1 二 · 点差法（中点弦） 出现“中点”“等长线段”“对称点”“平行弦的中点”，或条件能翻译成某点是弦的中点 两点在曲线上作差，得斜率与中点坐标的关系，再代中点 例 2、变 2-1 三 · 设线技巧（避免讨论） 直线过定点、斜率可能不存在，或题目问“是否存在” 过 轴定点设 ；过 轴定点设 ；抛物线可设点 例 3、变 3-1 结论一 · 联立之后先写三件套 对椭圆 与 ，消 得 于是 写这三行再动目标式；双曲线把 换成 ，抛物线设 后对 写三件套。式子不要背，联立一次写一次，反而快。 结论二 · 点差法一张表记三种曲线 设 为弦 的中点。椭圆 ：；双曲线 ：；抛物线 ：。记法：把曲线方程写成“平方项相减等于零”再作差；椭圆两个平方项同号，所以多一个负号。 结论三 · 设线先选形式，再谈技巧 ①过 ：设 ， 就是竖直线；②过 ：设 ，斜率不存在要单看；③抛物线弦：设 ，，焦点弦有 。设线的目的不是“少写”，而是让被漏掉的方向只剩一种，检验一次就补齐。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 定设元 → 核心推演 → 回检定论。第 2 步要同时决定“设线形式”与“设哪几个量”；第 3 步统一叫核心推演；第 4 步专管 、交点位置与取等条件。 （一）题型一：韦达整体代换 题型识别。题面出现弦的两个端点，目标是弦长、面积、斜率之和或积、向量数量积、比值，且没有要求求出端点坐标。此时最忌讳“把 解出来”，正确动作是把目标式写成 与 的式子。 通法模型。第 1 步认模型，明确“求什么、不求什么”；第 2 步定设元，选设线形式并写出三件套；第 3 步核心推演，先通分再代入，避免分式与根式混算；第 4 步回检判别式、交点位置与面积正负。 例题 1（题型一·面积转弦长） 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 两点， 为坐标原点。若 的面积为 ，求 。 图 1: 过定点的弦与三角形 解析 第 1 步 · 认模型：要求 ，题干却只给了面积，没给任何一个交点坐标。先把“面积”翻译成“两根之差”，坐标就不必解出来——这是韦达整体代换的典型入口。 第 2 步 · 定设元：点 在 外。若 的斜率不存在，则 ，与 交于 ，此时 在 上，面积为 0，不合题意；故可设 。选斜截式，是因为定点落在 轴上，只有竖直线需要排除，而它已被一句话排除。 第 3 步 · 核心推演：联立 于是 把 看作底，则 ， 到 轴的距离就是两个高；无论 在 轴同侧还是异侧，都有 这里没有先算 ，而是把“面积”换成“横坐标之差”，少一次开方。由 ， 令 ，得 ，即 ，故 。再回代弦长公式： 第 4 步 · 回检定论： 使 ，两交点确实存在； 关于 轴对称，弦长相同，都合题意。回检的重点不是“答案像不像”，而是 是否真的成立——韦达三件套只有在两交点存在时才有意义。 方法点睛 · 面积先换成横坐标之差 过 轴上一点 的弦，；过 轴上一点 的弦，。先把面积降成一根之差，再用韦达，计算量通常少一半。 变式 1-1（题型一·比值与两条切线） 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆被直线 截得的线段长为 。(1) 求 的标准方程；(2) 斜率为 的直线 与圆 相切，且 交 于 ，（）两点， 为 的上顶点。记直线 的斜率分别为 ，求 。 解析 第 1 步 · 认模型：目标是两条弦的斜率之比， 的坐标不必先解出来；先把 设出来，用“相切”这一个条件定参数，再交给韦达处理交点。 第 2 步 · 定设元：由 得 ，。令 ，则 截得线段长为 ，故 ，，。设 ，它与圆 相切，故 ，即 。注意这里只定出 ，两条切线都要算。 第 3 步 · 核心推演：把 代入 ，去分母得 再用 化简为 ，其判别式 。 当 时，方程为 ，两根 与 ，对应 与 。由 得 ，，而 ，故 当 时，方程为 ，两根 与 ，对应 与 。由 得 ，，于是 第 4 步 · 回检定论：两条切线都满足“与圆相切且交椭圆于两点”，比值同为 3，故 。回检两件事： 保证两交点存在； 决定 的归属，写反就会得到 。 方法点睛 · 相切只给出参数的平方 直线与圆相切往往只交出 ，于是有两条切线。先别急着分类，把两种情形都算完，常常发现目标量相同——这时“分类”就退化成“验证”。但若两种情形给出不同答案，就必须都写进结论。 （二）题型二：点差法（中点弦） 题型识别。题面出现“中点”“等长线段”“对称点”“平行弦的中点”，或者条件能翻译成“某点是某弦的中点”，优先点差法。它把“联立—韦达”换成“两式相减”，一次消去二次项，直接得到斜率与中点坐标的关系。 通法模型。第 1 步认模型，先把几何条件翻译成 、；第 2 步定设元，设两个交点与中点；第 3 步核心推演，两式相减得斜率，再与中点连线斜率或已知斜率对照；第 4 步回检中点在曲线内、、弦确实存在。 例题 2（题型二·等长线段定中点） 已知直线 与椭圆 在第一象限交于 两点， 与 轴、 轴分别交于 两点，且 ，，求 的方程。 图 2: 截距线段与弦的中点重合 解析 第 1 步 · 认模型：条件给的是 ，不是“中点”，但 在同一条直线上，两条相等线段夹着弦 。 都在第一象限，沿直线从 到 的顺序是 ，于是 等价于 的中点与 的中点重合——出现中点，转点差法。 第 2 步 · 定设元：设 （），则 ，。设 ，。由 得 ，即 ；同理 。所以 的中点坐标为 ，与 的中点重合。 第 3 步 · 核心推演：对 的两点作差： 另一方面，由截距式知 。于是 再由 得 ，所以 ，，。 第 4 步 · 回检定论：，即 。回检： 保证 在第一象限；点差法只给了斜率与中点的关系，没有保证弦真的存在，需再看联立后的判别式——代入得 ，，两根为 ，确实都在第一象限。 方法点睛 · 等长线段先换成中点重合 在同一条直线上， 且 依次排列，等价于 与 的中点重合。先把几何条件翻译成 与 ，点差法才有东西可代。 变式 2-1（题型二·双曲线的中点弦） 已知双曲线 ， 是 的一条弦 的中点，求直线 的方程及弦长 。 解析 第 1 步 · 认模型：给中点、求弦，是点差法最直接的形式；先算斜率，再写点斜式，最后用韦达算弦长。 第 2 步 · 定设元：设 ，，则 ，。两条方程分别为 ，。 第 3 步 · 核心推演：两式相减得 故 ，即 。代入 ，得 所以 ，中点横坐标为 3，与题设吻合。弦长 第 4 步 · 回检定论： 满足 ，在右支内侧，弦存在； 也验证了这一点。若中点落在两支之间，同样算出的斜率可能对应一条与双曲线无交点的直线——点差法只给必要条件， 必须回检。 易错微警 · 点差法只给“必要”的斜率 点差法由“两点在曲线上”推出斜率，但没有保证这条直线真的与曲线交于两点。双曲线尤其要查：中点在两支之间时，算出的直线可能一个交点都没有（训练 B2 就是反例）。 （三）题型三：设线技巧（避免讨论） 题型识别。直线过定点、斜率可能不存在、题目问“是否存在”，或者交点坐标写出来很丑——先选设线形式，再谈韦达。形式选对了，分类讨论就只剩一次检验。 通法模型。第 1 步认模型，明确直线可能的方向；第 2 步定设元，过 轴定点设 ，过 轴定点设 ，抛物线弦可设点；第 3 步核心推演，联立、三件套、整体代入；第 4 步回检被形式漏掉的方向、二次项系数与 。 例题 3（题型三·设线避开斜率讨论） 已知点 在双曲线 上，直线 交 于 两点，直线 的斜率之和为 0。(1) 求 的斜率；(2) 若 ，求 的方程。 解析 第 1 步 · 认模型：求 的斜率，但 的坐标不必求；条件“斜率之和为 0”是一个关于 的整体式。设 而不是 ，是因为 可能竖直；水平线先用一句话排除。 第 2 步 · 定设元： 的渐近线为 ，若 ，则 平行于渐近线，与 只有一个公共点，不合，先记下这一条。若 水平，设 ，则 关于 轴对称，，从而 （ 时 过 ，不合），故 不水平。设 ，，。 第 3 步 · 核心推演：把 代入 ，得 故 由 得 通分，记 ，则 ，分子为 代入韦达并约去公因子，化简得 若 ，即 ，则 过点 ， 与 的一个交点就是 ，直线 （或 ）不存在，舍去。故 ， 的斜率为 。 (2) 把 代回方程并乘 −4，得 于是 ， 解得 ，即 ，。所以 ，即 或 。 第 4 步 · 回检定论： 都使 ；两条直线都不过 （把 代入得 ）； 使 ，方程确为二次。回检还要盯住第 3 步那支 ：它是“ 过 ”的假情况，不排掉就会以为斜率可以任取。 方法点睛 · 用参数式吸收竖直线 一般位置的直线设 ，竖直线（）自动包含，代价只是水平线要单独看一眼；若直线过 轴上的定点 ，这个形式同样适用。设线的目的不是少写几行，而是把“分类讨论”压缩成“一次检验”。 变式 3-1（题型三·把四个选项各自翻译） 已知抛物线 ，斜率为 的直线 经过点 (−1,0)，等边三角形 的顶点 在 上，顶点 均在 上。则下列结论正确的有（　　） A． 的准线方程为 　　B．若 与 没有公共点，则 C．若 与 的唯一公共点为 ，则 的焦点在直线 上　　D．若 ，则 面积的最小值为 图 3: 等边三角形的一边在直线 上 解析 第 1 步 · 认模型：四个选项其实是四件事——准线（查公式）、有无公共点（看 ）、两线夹角（用正切公式）、面积最值（把面积写成一个变量的函数）。逐项翻译，比整体硬算快得多。 第 2 步 · 定设元：由 得 ，焦点 ，准线 。设 ，代入 得 因为 ，这是二次方程，交点个数完全由判别式决定。 第 3 步 · 核心推演：A：准线为 ，正确。 B：，即 ，又 ，故 ，正确。 C：唯一公共点即相切， 得 ，此时 ，。等边三角形的边 在 上，故直线 与 的夹角为 。而 即 与 的夹角不是 ，焦点不在直线 上，错误。 D： 时 。设 ，则 到 的距离 等号在 时取得。 正是等边三角形的高，故 ， 正确。 第 4 步 · 回检定论：选 ABD。回检两处： 保证联立后确为二次方程，不必再讨论退化情形；D 的最小值在 处取得，此时 在 上，三角形确实搭得出来。 方法点睛 · 多选题逐项翻译 多选题的四个选项往往对应四种小模型：定义量直接查公式，交点个数查判别式，夹角用正切公式，最值先把目标写成一个变量的函数。逐项翻译完，再回头统一检验条件，比通读题干硬算省一半时间。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点不在“不会”，而在“设漏了、检少了、代错了”。分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（设元与联立类） 错误表现 错因 正确做法 设 后忘了竖直线，或设 后忘了水平线 一种形式只能覆盖一个方向，漏掉的方向没有检验 先判断被漏方向是否可能，再决定形式；最后用一句话检验，如“ 时面积为 0，不合” 联立后直接用韦达，没看二次项系数 双曲线、抛物线的二次项系数可能为 0，方程退化为一次 先写二次项系数，等于 0 时单独解；不为 0 再用三件套 求出直线就写答案，没验 韦达三件套只对“两个交点”成立 把 写在三件套旁边；点差法还要查中点位置 动笔前的三句自查 设线形式漏了哪个方向？二次项系数能为 0 吗？ 与点的位置查了吗？——三句都答完，再写“联立得”。 表 4: 高频错误及其纠正（整体代换与几何翻译类） 错误表现 错因 正确做法 面积硬套 ，先算弦长再算距离 没有先把面积降成一根之差 过 轴定点用 ；过 轴定点用 斜率之和为 0 通分后直接约分 忽略了分母为 0（ 在 上）的增根 通分前写 ；得到 后逐一排除 点差法算出斜率就结束 只得到必要条件，没验交点 联立看 ；双曲线中点在两支之间时尤其要查 两张表对应两类失分：第一类丢整问，第二类丢步骤分。二轮批改先按这两类归因，再决定补哪一步。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组 6 题练基本动作（点差 4 题、弦长与设线 2 题），B 组 6 题练迁移与综合，其中 B4 为定比问题、B6 为压轴分层。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 已知椭圆 ， 是椭圆的一条弦 的中点，求直线 的方程。 A2 已知双曲线 ， 是双曲线的一条弦 的中点，求直线 的方程及弦长 。 A3 已知直线 与抛物线 交于 两点，且 ，求 的值。 A4 已知椭圆 ，过点 (0,2) 的直线 与 交于 两点，且 ，求 的方程。 A5 （多选）已知椭圆 ， 是 上两点， 为原点，则（　　） A．若 的中点为 ，则直线 的斜率为 　　B．若直线 的斜率为 ，则 的中点 在直线 上 C．若 的中点 在直线 上且 ，则直线 的斜率为 　　D．若直线 的斜率为 2，则 的中点 在直线 上 A6 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，若 中点的纵坐标为 2，求 的方程。 （二）能力提升（B 组） B1 已知椭圆 ，过点 的弦 的中点为 ，求点 的轨迹方程。 B2 已知双曲线 ，点 。判断是否存在以 为中点的弦 ；若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由。 B3 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值。 B4 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 两点，且 ，求 的方程。 B5 已知双曲线 ，过点 的直线 与 交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为 2，求 的方程。 B6 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 两点， 为 的中点， 为坐标原点。(1) 求点 的轨迹方程；(2) 求 的取值范围。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】 【解析】设 ，，则 ，。两式相减得 又 过 ，故 ，即 。回检： 在椭圆内（），联立后 ，弦存在。 【母题溯源】对应例题 2、变式 2-1。突破口：中点坐标直接代点差公式。 A2　　【答案】， 【解析】点差得 故 。代入 得 ，，（中点为 ，吻合）。于是 【母题溯源】对应变式 2-1。突破口：双曲线点差斜率带正号。 A3　　【答案】 【解析】由直线方程得 ，代入 得 故 ，，。于是 平方得 ，即 ，。由 得 ，此时 。 【母题溯源】对应例题 1。突破口：直线写成 ，弦长就只是 倍的 。 A4　　【答案】 或 【解析】设 （竖直线 时 ，舍）。代入 得 故 ，，。于是 令 ，得 ，化简得 ，故 。所以 ，且 。 【母题溯源】对应例题 1、例题 3。突破口：弦长先写成横坐标之差，再整体代入。 A5　　【答案】ABC 【解析】设 为 的中点，由点差法得 。A： 时 ，正确。B： 时 ，即 ，正确。C： 在 上且 ，设 ，则 ，正确。D： 时 ，即 ，不是 ，错误。 【母题溯源】对应例题 2、变式 2-1。突破口：点差公式的符号与中点坐标一一对应。 A6　　【答案】 【解析】设 中点为 。对 作差得 。又 过 ，故 ，即 。回检：代入得 ，，，与条件吻合，。 【母题溯源】对应例题 2。突破口：抛物线的点差斜率只由中点纵坐标决定。 （二）B 组 B1　　【答案】（ 在椭圆 内） 【解析】设 ，，。由点差得 。又 都在 上，故 （）。于是 配方得 ，这是椭圆 内的一段（ 时对应 或 ，均由极限位置得到）。 【母题溯源】对应例题 2、变式 2-1。突破口：中点弦的斜率既等于点差式，又等于 的斜率。 B2　　【答案】不存在 【解析】若存在，设 ，，中点为 。点差得 于是 ，即 。代入 得 直线与双曲线无公共点，矛盾。故不存在以 为中点的弦。 【母题溯源】对应变式 2-1。突破口：点差法只给必要条件，必须回检 。 B3　　【答案】 【解析】设 （ 为竖直线 ）。代入 得 故 ，。于是 令 ，则 。由 知 ，等号在 （即 ，）时取到。故最大值为 。 【母题溯源】对应例题 1、例题 3。突破口：过 轴定点设 ，最大值恰在竖直线 取到——用 会漏掉它。 B4　　【答案】 或 【解析】设 。代入 得 故 ，。因为 在椭圆内， 在 之间，所以 异号，且 等价于 。不妨设 ，则 ，，故 ，即 所以 。回检：，且 异号，比例 2 成立。 【母题溯源】对应例题 1、例题 3。突破口：同一直线上的距离比等于纵坐标比，再用韦达整体代换。 B5　　【答案】 或 或 【解析】设 。代入 得 故 ，。于是 平方得 ，令 ，得 ，故 或 。所以 或 。回检： 时直线与渐近线平行，只有一个交点，不在解内； 都使 。 【母题溯源】对应例题 1、例题 3。突破口：面积先降成 ，再平方去绝对值。 B6　　【答案】(1) （）；(2) (0,1] 【解析】(1) 设 。代入 得 故 由 得 ，代入 ，得 因为 ，，所以轨迹为椭圆 上 的一段（端点 (1,0) 对应 ，(0,0) 取不到）。 (2) 由 (1)， 令 ，则 它在 上单调递减，故 （即 ）时取最大值 1， 时趋于 0 但取不到。所以 。 【母题溯源】对应例题 2、变式 2-1、例题 3。突破口：中点坐标用韦达整体写出，消参得轨迹；求范围时换元看单调性。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $