微专题18 球的接、切、截问题 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第4章 · 立体几何与空间向量 · 大单元8 空间几何体的面积与体积 高中数学二轮复习专题讲义 18微专题18球的接、切、截问题  球的问题只有三件事：球心在哪、半径连到谁、截面圆怎么落。二轮不铺球的定义，只练外接球三模型、内切与相切两算法、截面圆一条链。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 球的问题是立体几何里“空间想象加平面化”的试金石：小题把球心藏在正棱锥的高上，大题把四点共球放进解答题，让球心定位与异面直线角一起考。二轮只练三条线——外接球三模型、内切与相切、截面圆与轴截面。 表内取舍说明：2026 年全国Ⅱ卷第 14 题是正三棱锥外接球的直接应用，收进例题 1；2025 年新课标Ⅰ卷第 17 题第 (2) 问把四点共球放进解答题，收进例题 3；2023 年新课标Ⅰ卷第 12 题以“放入正方体容器”考内切与相切，收进例题 2；2022 年新高考Ⅰ卷第 8 题在正四棱锥外接球上再接体积范围，运算较长，收进训练 B1。球面与棱的公共点计数、圆台外接球放在训练中巩固，不单列例题；例题 2 只取“能否放入”的相切与最长线段判断，正方体正六边形截面的画法本身归微专题 17。 表 1: 球的接、切、截问题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅱ卷 14 正三棱锥外接球：球心在高上，用截面圆求底面正三角形面积（填空压轴） 2025 新课标Ⅰ卷 17 第 (2) 问：四点共球，球心定位到截面圆心；异面直线所成角 2023 新课标Ⅰ卷 12 球、正四面体、圆柱放入正方体容器：内切与相切（多选） 2022 新高考Ⅰ卷 8 正四棱锥外接球：由球体积定半径，求体积取值范围 两条线索很清楚：一是球心定位从“套公式”转向“找等距点”，只背特殊结论的，遇到一般棱锥立刻失灵；二是截面成为降维工具，旋转体看轴截面、多面体看球心投影、容器容纳看投影六边形。要把“定球心—找截面—列勾股”练成固定动作。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺概念，先给速查表，再给三条结论清单；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: 球的接、切、截问题题型速查表 题型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 外接球三大模型 题面说“所有顶点在同一球面上”，或出现三棱两两垂直、侧棱垂直底面、正棱锥 补形找长方体中心，或找底面外心正上方，列 例 1、变 1-1、1-2 二 · 内切与相切 球与各面（侧面）相切，或“放入容器”“最大球” 等体积 ，或轴截面内切圆 例 2、变 2-1、2-2 三 · 截面圆与轴截面 球被平面截、球心到截面距离、四点共球、圆台或圆锥 球心投影即截面圆心，；旋转体作轴截面 例 3、变 3-1 结论一 · 外接球的三把钥匙 补形：三棱两两垂直、对棱相等、长方体或正方体，补形后 。线面垂直：侧棱 底面，底面外接圆半径为 ，，则 。正棱锥或圆锥：高 、底面外接圆半径 ，则 ，球心在轴线上，距底面 ，结果为负表示球心在底面另一侧。补充：三棱锥若有两个共斜边的直角三角形，斜边中点就是球心。 结论二 · 内切球的两个算法 多面体：球心到各面距离相等，由 得 ，这里的 是全面积；正四面体 ，内切球与外接球半径之比为 1:3。正方体：内切球 ，棱切球 ，外接球 。旋转体：圆锥内切球用轴截面 ，其中 ；圆柱内切球 ，此时高 。 结论三 · 截面圆与球心定位 球心 到截面的距离为 ，截面圆半径为 ，则 。球心在平面上的投影就是该平面截球所得圆的圆心，两心连线垂直于截面。过球内一点 的截面：过 时最大，； 截面时最小，。圆台外接球：球心在轴线上，设到下底面距离为 ，列 ， 可以为负或在台体外。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 定中心 → 核心推演 → 回检定论。第四步专管三件事——球心在底面内还是外、半径是否大于半高、答案是否落在定义域内。 （一）题型一：外接球三大模型 题型识别。题面出现“所有顶点在同一球面上”“外接球”，或给出三条棱两两垂直、侧棱垂直底面、正棱锥。 通法模型。认模型看棱的关系，决定补形、线面垂直还是正棱锥；定中心就是找那条“球心必在上面的线”——体对角线中点、底面外心正上方、棱锥轴线；核心推演列一条勾股方程；回检定论看球心在内还是外。 例题 1（题型一·正三棱锥外接球） 已知球 的体积为 ，正三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，且 ，求 的面积。 图 1: 正三棱锥的轴截面：球心落在轴线上 解析 第 1 步 · 认模型：正三棱锥四个顶点共球，属正棱锥模型：顶点 在底面的投影是底面外心 ，球心在轴线 上。确认了轴线，球心就只剩一个未知位置。 第 2 步 · 定中心：设底面外接圆半径为 、高 、球半径为 。由 得 。 在 上，记 ，因 底面，轴截面中有 。 第 3 步 · 核心推演：由 得 。又 ，代入 ： 用 消去，得 ，于是 。正三角形面积 。 第 4 步 · 回检定论：，球心在底面下方，与 相符；，三角形存在。故 的面积为 。 方法点睛 · 正棱锥外接球的两条方程 侧棱方程 ，球心方程 ，两式相减得 。本题 、，直接得 ，比联立快。注意 是底面外接圆半径，不是底面边长。 变式 1-1（题型一·三棱两两垂直补形） 在三棱锥 中，、、 两两垂直，且 ，，，求三棱锥外接球的表面积。 解析 第 1 步 · 认模型：三条棱两两垂直，是补形模型的标志——把三条棱看成从同一顶点出发的长方体的三条棱。 第 2 步 · 定中心：以 、、 为长、宽、高补成长方体，三棱锥的四个顶点就是长方体的四个顶点，两者外接球相同，球心是体对角线的中点。 第 3 步 · 核心推演：体对角线 ，故 ，，表面积 。 第 4 步 · 回检定论： 大于最长棱的一半 3，球能把四个顶点都包住；补形不改变顶点到球心的距离，故 。 方法点睛 · 补形的三个信号 看到“三棱两两垂直”“对棱相等”“正四面体”先想长方体。补形后只算一条体对角线 ：顶点还是那些顶点，到它们等距的点也还是同一个，所以外接球不变。 变式 1-2（题型一·侧棱垂直底面） 在三棱锥 中， 平面 ，，，，求外接球的体积。 解析 第 1 步 · 认模型： 底面，是线面垂直模型：球心在底面外心正上方，且到 、 等距。 第 2 步 · 定中心：设底面外心为 。 既在过 且垂直底面的直线上，又在 的垂直平分面上，故 。 第 3 步 · 核心推演：余弦定理 ，得 ；正弦定理 。于是 ，，体积 。 第 4 步 · 回检定论：，球心在底面上方 1 处，能把 与底面三点同时包住，结论合理。 易错微警 · 线面垂直模型少了一个二分之一 球心在 的垂直平分面上，距底面只有 ，不是 。应记 ；把 直接代入会让半径偏大，是本模型最常见的失分点。 （二）题型二：内切与相切 题型识别。题面出现“内切球”“相切”“放入容器”“最大球”，或球与各面、侧面都接触。 通法模型。多面体用等体积，旋转体用轴截面，容器用最大截面；定中心靠“到各面等距”或“球心在轴上”；回检看切点是否落在面内、球是否超出容器。 例题 2（题型二·物体放入正方体容器） 下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（　　） A．直径为 0.99 m 的球体 B．所有棱长均为 1.4 m 的四面体 C．底面直径为 0.01 m，高为 1.8 m 的圆柱体 D．底面直径为 1.2 m，高为 0.01 m 的圆柱体 图 2: 沿体对角线看：投影是正六边形，内切圆直径为 解析 第 1 步 · 认模型：“放入容器”不是求外接球，而是比较几何体与正方体的内切、相切与最长线段；不同的放置方向对应不同的截面。 第 2 步 · 定中心：以正方体中心为参照：球看内切球，四面体看面对角线构成的正四面体，细长圆柱看体对角线，扁圆柱看沿体对角线的投影。 第 3 步 · 核心推演：A 项，内切球直径 1>0.99，可放。B 项，六个面的对角线构成正四面体，棱长 ，可放。C 项，正方体内最长的线段是体对角线 ，不可放。D 项，沿体对角线看投影是正六边形，其内切圆直径为 ，而圆柱高只有 0.01，两个底面都能落在这个内切圆内，可放。 第 4 步 · 回检定论：A、B、D 都能给出具体放法，C 被最长线段卡住，故选 ABD。回检 D：圆柱高远小于沿体对角线方向的厚度，底面圆直径 ，不会穿出侧面。 方法点睛 · 容纳问题的三把尺 第一把尺：内切球直径等于棱长。第二把尺：正方体内最长的线段是体对角线。第三把尺：斜放看投影，沿体对角线投影得正六边形，其内切圆直径为 倍棱长。先看物体最胖的截面能否塞进对应投影，再看高度方向够不够。 变式 2-1（题型二·正四面体内切球） 棱长为 的正四面体，求其内切球半径与外接球半径之比。 解析 第 1 步 · 认模型：正四面体的内切球与外接球球心重合，都在高上。 第 2 步 · 定中心：设高为 。由对称性，球心是高的四等分点，距底面 、距顶点 。 第 3 步 · 核心推演：体积 ，全面积 ，由 得 又 ，故 ，。 第 4 步 · 回检定论：，两球在高上首尾相接，比例合理。 方法点睛 · 正四面体的一比三 正四面体 ，球心把高分成 1:3。忘了就现推：，再用 。这条结论只对正四面体成立，不要搬到一般正三棱锥上。 变式 2-2（题型二·圆锥内切球） 圆锥的底面半径为 3，高为 4，求其内切球的半径。 图 3: 圆锥轴截面：内切圆即内切球 解析 第 1 步 · 认模型：旋转体的内切球看轴截面：圆锥的轴截面是等腰三角形，内切球就是它的内切圆。 第 2 步 · 定中心： 到侧面与底面的距离相等，即轴截面三角形的内心，它在圆锥的轴上。 第 3 步 · 核心推演：母线 ；轴截面三角形底为 6、高为 4、腰为 5，面积 12，半周长 8，故 。也可用 。 第 4 步 · 回检定论：，球心距底面 ，切点落在侧面与底面内，不会超出圆锥。 易错微警 · 圆锥内切球不等于底面半径的一半 只有圆柱轴截面为正方形时，内切球半径才等于底面半径；圆锥要用轴截面内切圆。公式 中 是底面半径、 是高、 是母线，把母线当高是最常见的错。 （三）题型三：截面圆与轴截面 题型识别。题面出现“球被平面截”“球心到截面距离”“四点共球”“圆台或圆锥外接球”。 通法模型。先分清是球的截面、球心定位还是旋转体轴截面；定中心靠“球心投影即截面圆心”“旋转体球心在轴上”；核心推演列 或轴截面方程；回检看 、截面圆是否存在、球心在台体内还是外。 例题 3（题型三·四点共球与球心定位） 在四棱锥 中， 平面 ，，，，，，、、、 在同一个球面上，球心为 。(1) 证明： 在平面 上；(2) 求直线 与直线 所成角的余弦值。 图 4: 四棱锥与球心： 在底面上 解析 第 1 步 · 认模型：四点共球但不是标准外接球—— 不在球面上。球心到 、、、 等距，先找球心在底面上的投影：它应是 、、 三点外接圆的圆心。 第 2 步 · 定中心：以 为原点，、、 所在直线为 、、 轴建系，得 、、、。设 。由 得 ；由 得 即 ，故 。于是 落在过底面外接圆圆心 (0,1,0) 的竖直线上。 第 3 步 · 核心推演：由 得 ，展开即 ，所以 ，故 在平面 上。又 所以 第 4 步 · 回检定论： 到 、、 的距离都是 ，到 也是 ，四点确实共球； 落在 上，自然在平面 内。异面直线所成角取锐角，余弦值为 。 方法点睛 · 四点共球先降维 不要急着套外接球公式。第一步把球心投影到底面：到 、、 等距，投影就是这三点外接圆的圆心；第二步用 定高度。三个未知数拆成“平面圆心加一个高度”，计算量立刻降下来。不在球面上的点不能拿来列等距。 变式 3-1（题型三·过定点的截面圆） 已知球 的半径为 5，球内一点 满足 ，过 作球的截面，求截面圆面积的最大值与最小值。 图 5: 过 的截面：垂直于 时最小 解析 第 1 步 · 认模型：过定点的截面圆，用 ，其中 。 第 2 步 · 定中心：设截面为 ， 为 到 的距离。因 ，故 ；又 ，所以 。 第 3 步 · 核心推演： 关于 递减： 时 ； 时 。 第 4 步 · 回检定论： 的截面过球心，存在； 时 ，截面存在且唯一。故最大面积 ，最小面积 。 方法点睛 · 过定点的截面最值 过球内一点 的截面， 在 内变化： 时过球心、面积最大， 时垂直 、面积最小。先写 再代范围，比画图猜更稳。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“球心位置”与“截面关系”两件事上，分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（球心与模型类） 错误表现 错因 正确做法 把三条两两垂直的棱当成球的直径 混淆“两两垂直”与“对棱相等” 补成长方体， 正棱锥公式里把底面边长当作 公式中的 是底面外接圆半径 先用正弦定理求 ，再代 线面垂直模型写成 漏掉球心在 的垂直平分面上 记 算完不判断球心在内还是外 只看方程，不看 的符号 用 与 的大小关系回检，必要时画轴截面 表 4: 高频错误及其纠正（内切与截面类） 错误表现 错因 正确做法 内切球半径直接取底面半径的一半 把圆柱的特例当成通法 多面体用 ，圆锥用轴截面内切圆 等体积法漏算底面或某个侧面 全面积 少算一面 逐面列出面积再相加 截面圆写成 把斜边与直角边记反 画直角三角形， 是斜边， 圆台外接球套圆锥公式 两底面半径不同，球心可在台体外 设球心到一底面距离 ，列 动笔前的三句自查 球心在哪条线上？半径连到哪个点？截面圆心是不是球心的投影？——三句都答得出，再动笔。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组练基本动作（外接球 3 题、内切 2 题、截面 1 题），B 组练迁移与综合，其中 B1、B6、B7 为难题。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 球 的半径为 13，平面 截球 所得截面圆的半径为 5，则球心 到平面 的距离为 。 A2 正方体的棱长为 2，则其外接球的表面积为 。 A3 三棱锥 中，、、 两两垂直，且 ，，，则其外接球的表面积为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． A4 棱长为 的正四面体的内切球体积为 。 A5 圆柱的底面半径为 1，高为 2，则其外接球的表面积为 。 A6 （多选）正方体的棱长为 2，下列结论正确的是（　　） A．其内切球半径为 1　　　B．其棱切球半径为 C．其外接球半径为 　　　D．其外接球体积为 （二）能力提升（B 组） B1 已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上。若该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（　　） A．　　　B． C．　　　D．[18,27] B2 正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 2，则其外接球的表面积为 。 B3 三棱锥 中，、、 两两垂直，且 ，则其内切球的半径为 。 B4 圆台的上、下底面半径分别为 1 和 3，高为 4，则其外接球的半径为 。 B5 三棱锥 中， 平面 ，，，，，则其外接球的表面积为 。 B6 正方体 的棱长为 2，、 分别为 、 的中点，则以 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点。 B7 球 的半径为 3，、 是球面上的两点，且 ， 是球面上一点，则三棱锥 体积的最大值为 。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】12 【解析】由截面性质 ，得 ，故 。 【母题溯源】对应变式 3-1：球的截面直角三角形 。 A2　　【答案】 【解析】外接球直径等于体对角线，，，。 【母题溯源】对应变式 1-1：补形后体对角线为直径。 A3　　【答案】B 【解析】，，，选 B。 【母题溯源】对应变式 1-1：三棱两两垂直补形。 A4　　【答案】 【解析】内切球半径 ，体积 。 【母题溯源】对应变式 2-1：正四面体 。 A5　　【答案】 【解析】球心在上下底面圆心连线的中点，，。 【母题溯源】对应变式 1-2：球心在轴上，距底面 。 A6　　【答案】ABC 【解析】内切球半径 1，A 对；棱切球半径 ，B 对；外接球半径 ，C 对；外接球体积 ，D 错。故选 ABC。 【母题溯源】对应例 2：正方体三种球的半径关系。 （二）B 组 B1　　【答案】C 【解析】设高为 ，底面边长为 ，底面外接圆半径 。由球体积 得 。球心在轴线上，由 得 ；又 ，所以 。由 得 故 在 上递增、在 上递减。计算 、、，值域为 ，选 C。 【母题溯源】对应例 1：正棱锥外接球的两条方程，本题再接体积函数求值域。 B2　　【答案】 【解析】底面外接圆半径 ，球心在上下底面中心连线的中点，，。 【母题溯源】对应变式 1-2：线面垂直模型 。 B3　　【答案】 【解析】；底面是边长为 的正三角形，面积 ，三个直角三角形面积各为 2，全面积 。由 得 【母题溯源】对应变式 2-1：等体积法 。 B4　　【答案】 【解析】设球心到下底面的距离为 （向上为正），由 得 ，故 ，，。 【母题溯源】对应变式 3-1：轴截面与球心定位；圆台需设球心到某一底面的距离。 B5　　【答案】 【解析】底面是以 为直角顶点的直角三角形，，。由 底面得 故 。 【母题溯源】对应变式 1-2：线面垂直模型。 B6　　【答案】12 【解析】设棱长为 2，取 、、、 及对应的上底面顶点，则 、，球心 ，半径 。每条棱到 的最近点都是该棱的中点，而棱中点到 的距离为 ，所以每条棱与球面相切于中点，恰有 1 个公共点；12 条棱共 12 个公共点。 【母题溯源】对应变式 3-1：球心到直线的距离；相切只有一个公共点。 B7　　【答案】 【解析】平面 过球心。 中 、， 到 的距离为 ，故 。点 到该平面的距离最大为球半径 3（当 垂直于平面 时取到），所以 。 【母题溯源】对应变式 3-1：球心到截面距离与球半径的关系；体积最值看高。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $