微专题20 平面图形的翻折问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第4章 · 立体几何与空间向量 · 大单元9 高中数学二轮复习专题讲义 20微专题20平面图形的翻折问题  翻折不是新几何，而是同一张纸换了个姿势：折痕同侧的长度与角度全部原样继承，只有跨过折痕的关系才会改变。本专题只练一条主线——先在折前图上把不变量标出来，再决定用余弦定理还是建系算折后的角。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 翻折题在卷面上只多一句话——“沿某条直线折起”，考的却全是折后空间图形的位置关系与空间角：第 (1) 问证明垂直或平行，靠从折前图上抄下来的不变量；第 (2) 问求二面角，靠折痕处那个“两边都垂直于折痕”的平面角。二轮要练的流程固定为四步：认折痕、标不变量、定折后关键点位置、选几何法或向量法。 表内取舍说明：2024、2025 连续两年，翻折题都落在新课标Ⅱ卷第 17 题，本讲把这两道题拆开使用——2025 年第 (1) 问作例题 1、第 (2) 问作例题 3，2024 年第 (1) 问作变式 1-1、第 (2) 问作变式 3-1。2026 年两卷的立体几何解答题（Ⅰ卷第 15 题、Ⅱ卷第 16 题）与 2023 年两卷均不含翻折，其空间角计算归微专题 21。2022 年全国甲卷第 19 题以“展开图折成包装盒”为情境，只考折后结构（面面垂直与容积）、不涉及折角，故列进表中但不展开。例题 2、全部变式与训练题均为同构改编题，不冒用真题题号。 表 1: 平面图形翻折问题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2025 新课标Ⅱ卷 17 直角梯形沿内部线段 翻折：线面平行的证明、二面角的正弦值 2024 新课标Ⅱ卷 17 平面四边形沿 翻折：异面直线垂直、二面角的正弦值 2022 全国甲卷 19 展开图折成包装盒：线面平行与容积（只考折后结构，不考折角） 两条趋势值得注意。其一，折痕越来越不像“图形的边”：2024 年Ⅱ卷的折痕 是四边形内部的一条线段，必须先算出 ，才知道哪些垂直关系能够继承。其二，二面角从“所求”变成“已知”：2025 年Ⅱ卷把 写在条件里用来定位折后的关键点 、，所求反而是另一个面的二面角——建系时 轴常常不落在现成的棱上，必须先证一个面面垂直。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺概念，先给速查表，再给三条直接服务本专题题型的结论；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: 翻折问题三题型速查表 题型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 折后位置关系的证明 题干说“沿 翻折至 ”，第 (1) 问只要证垂直或平行，没有长度参与运算 回到折前图，把同一块纸片内的长度、平行、垂直原样抄到折后 例 1、变 1-1 二 · 折前折后的计算 给出折后一条跨折痕线段的长（或给出折角），求折角、棱长、体积 在“两条同垂直于折痕的射线 + 跨折痕线段”的三角形里用余弦定理 例 2、变 2-1 三 · 翻折后的空间角 折痕两侧各有一组垂直关系，或题目把二面角大小写在条件里 以折痕上的点为原点建系，把折角翻译成折后点的坐标 例 3、变 3-1 结论一 · 三条继承与一条改变 设折痕为 。①与 垂直的线段，翻折后仍与 垂直（2024 年Ⅱ卷的 、 全靠它）；②同一块纸片内部的长度与角度全部不变；③折痕同侧的平行关系不变（2025 年Ⅱ卷的 、）。只有跨过折痕的距离与夹角会改变——它们正是命题人给条件的位置。 结论二 · 二面角的平面角在哪里 在折痕 上找一点 ，使折痕两侧各有一条过 且垂直于 的射线 、，则 就是二面角的平面角；、 恰是折前同一条垂线的两个位置。最常用的取法是折痕与原垂线的交点：例题 2 里的 、变式 2-1 里的 、例题 3 里的 。建系时把 取作一条坐标轴，这两条垂线方向就是另外两条轴的候选。 结论三 · 折后关键点的三种定法 ①折角已知：以折痕为 轴、不动的那半张纸为 平面，动点坐标写成 ， 是该点到折痕的距离；②给出“平面 平面”：用面面垂直的性质定理把高立起来；③给出折后一条跨折痕线段的长：先用结论二的三角形反解折角，再建系（变式 3-1 即先证 底面）。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 标不变量 → 核心推演 → 回检定论。第 2 步是翻折题独有的动作——先在折前图上把长度、垂直、平行标全，再抄进折后图形；第 4 步专管定理条件是否写全、折后图形是否真的存在。 （一）题型一：折后位置关系的证明 题型识别。题干交代折痕与折后的字母，第 (1) 问只要证明线线垂直、线面平行或面面垂直，不出现需要计算的长度条件。结论一定藏在折前图里：能在同一块纸片内说明的关系，就不要到空间里去证。 通法模型。第 1 步认模型，说清“折的是哪一块、折痕是谁、哪些点跟着动”；第 2 步把同一块内的垂直、平行抄到折后；第 3 步用抄来的垂直凑线面垂直、用抄来的平行凑面面平行；第 4 步补上“线在面外”“两直线相交”这些定理条件。 例题 1（题型一·折痕同侧的平行继承） 在四边形 中，，， 为 的中点，点 在 上，，，。将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得平面 与平面 所成的二面角为 。证明： 平面 。 图 1: 折前的直角梯形与折后的多面体 解析 第 1 步 · 认模型：折痕是 ，被折走的是四边形 （、 记为 、），、、、 原地不动。 与平面 分处两块纸片，直接找线线平行很难，目标改为“先证面面平行，再降为线面平行”。 第 2 步 · 标不变量：设 ，则 ，，。由 、 知 是平行四边形，故 、。两块纸片各自内部的关系全部继承：被折块内 且 ；不动块内 （ 的两段）。先做这一步，是因为 的折角对第 (1) 问完全没用。 第 3 步 · 核心推演：由 ， 平面 ， 平面 ，得 平面 ；同理由 得 平面 。又 ，故平面 平面 ，而 平面 ，所以 平面 。 第 4 步 · 回检定论：三处条件缺一不可—— 与 相交于 、 平面 、 平面 。折角没用到是正常的：它只服务于第 (2) 问（见例题 3）。 方法点睛 · 跨块的关系先回同一块里找 要证的两条线分处两块纸片时，不要硬拼线线平行，而在每一块里各取一条与折痕同侧的对应线，凑出面面平行。、 都是“同一块内”的关系，折多少度都成立——这正是翻折题送分的部分。 变式 1-1（题型一·与折痕垂直的线段继承） 平面四边形 中，，，，，，点 ， 满足 ，。将 沿 翻折至 ，使得 。证明：。 图 2: 沿 翻折后点 到达点 解析 第 1 步 · 认模型：折痕 在四边形内部，被折的是 （）。、 跨在折痕两侧， 只能走“线面垂直 线线垂直”，即给 找一个含 、 的垂面。 第 2 步 · 标不变量：折痕与谁垂直必须自己算：，，，在 中由余弦定理 故 。又 ，所以 ，即 。抄到折后：（被折块内继承），（不动块内本就垂直）。 第 3 步 · 核心推演：因为 ，、 平面 ，所以 平面 ；又 平面 ，故 。 第 4 步 · 回检定论： 在第 (1) 问没有用到，它是第 (2) 问定位折角的钥匙（见变式 3-1）。回检： 是在折前图上用勾股逆定理得到的，不能拿折后图形去证。 易错微警 · 折痕垂直要自己算出来 跳过余弦定理、直接“看图觉得” ，第 3 步就整条断链。折痕不在图形的边上时，唯一的判据是 这类数量关系，算完再写“”。 （二）题型二：折前折后的长度与角 题型识别。条件里出现“折后某条跨折痕线段的长”（如 ）或“二面角为多少度”，要求另一个量：折角、棱长或体积。这类题不必建系，一个三角形就能解决。 通法模型。第 1 步找出折痕与那个始终垂直于折痕的平面；第 2 步把两条垂线的长度抄过来；第 3 步以两条垂线的夹角为二面角的平面角，与跨折痕线段构成三角形，用余弦定理双向求解；第 4 步检查折角范围与三角形是否成立。 例题 2（题型二·由折后长度反推折角） 在边长为 2 的菱形 中，，对角线 与 交于点 。将 沿 翻折到 ，得到三棱锥 。(1) 当 时，求二面角 的大小；(2) 在 (1) 的条件下，求三棱锥 的体积。 图 3: 沿对角线 翻折后， 是二面角的平面角 解析 第 1 步 · 认模型：动的点是 ，它的位置由二面角 唯一确定，先把这个二面角的平面角找出来。 第 2 步 · 标不变量：折前 、 均为边长 2 的等边三角形，故 ，，，。抄到折后： 且 ， 且 。两条垂线交于折痕上的点 ，所以 就是二面角的平面角——这一步是全部计算的支点。 第 3 步 · 核心推演：在 中， (1) 令 ，得 ，由 知 ，即二面角为 。(2) 由 、、 得 平面 ，故 是高。又 ，所以 。 第 4 步 · 回检定论：存在性： 时 与 重合， 时 ，故 确有解。高来自 ，不能把“ 底面”当已知直接写。 方法点睛 · 折角与折后距离是一个方程两头用 这一个式子，给 求 、给 求 都够用。写它永远是三句：找出两条同垂直于折痕的射线、量出它们的长、把跨折痕的线段接上构成三角形。 变式 2-1（题型二·由折角反求折后长度） 在 中，，， 为 的中点。将 沿 翻折到 ，使二面角 的大小为 。(1) 求 的长；(2) 求三棱锥 的体积。 解析 第 1 步 · 认模型：折痕换成了高 ，动的点是 ；折痕两侧的垂线 、 都过点 ，所以平面角在 处。 第 2 步 · 标不变量：折前 ，，，且 。抄到折后：、、，于是 就是二面角 的平面角。 第 3 步 · 核心推演：(1) ，故 。(2) 由 、 得 平面 ，即 是高；，故 。 第 4 步 · 回检定论：验继承长度 ，图形没搭错。与例题 2 对照：母题给边求角，变式给角求边，同一个方程换了方向；高是 而不是 。 易错微警 · 平面角不一定在“中点” 是二面角 的平面角 ，不是 。判据只有一条：顶点在折痕上，两边分别在两个半平面内且都垂直于折痕。 （三）题型三：翻折后的空间角 题型识别。折痕两侧各有一组垂直关系，或题目把二面角大小写进条件，要求另一个面的二面角、线面角。几何法找角太绕时，建系是唯一稳的路。 通法模型。第 1 步确认折痕与两条垂线；第 2 步用折角定出折后关键点的坐标；第 3 步求两个面的法向量算夹角；第 4 步说明建系依据、把余弦换正弦时判断符号。 例题 3（题型三·把折角翻译成坐标） 在例题 1 的翻折图形中（，，，平面 与平面 所成的二面角为 ），求平面 与平面 所成二面角的正弦值。 图 4: 以 为原点建立空间直角坐标系 解析 第 1 步 · 认模型：两个平面都与折痕 有关，折角 已知——正是“把折角翻译成坐标”的场景。 第 2 步 · 标不变量：折前 且 ，故 、， 就是二面角 的平面角。长度继承：，，，， 且 。 第 3 步 · 核心推演：以 为原点，、 为 、 轴，过 垂直平面 的方向为 轴，则 其中 按结论三第①种写法得出，。平面 含 与 ，取法向量 ；平面 含 与 ，取 。于是 第 4 步 · 回检定论：建系依据要写清： 在底面内， 轴由“过一点作平面的垂线”确定，不是图上现成的棱。求正弦值时法向量夹角与二面角互补不影响结果；若求余弦值，必须回图判断钝锐。 方法点睛 · 折角写在条件里，就是让你建系 看到“平面与平面所成的二面角为某度”，先做三件事：把折痕取成一条坐标轴、把不动的那半张纸取成坐标平面、把折动的点写成 。坐标一到位，二面角只剩解方程组。 变式 3-1（题型三·先定折角再建系） 在变式 1-1 的翻折图形中（，，，，，，且 平面 ），求平面 与平面 所成二面角的正弦值。 解析 第 1 步 · 认模型：折角没有直接给出，而是藏在 里，所以先用几何法把 立起来，再建系——结论三的第③种情形。 第 2 步 · 标不变量：继承 ，，，。在底面内连 ：由 得 。又 ，故 ；结合 、，得 平面 。 第 3 步 · 核心推演：以 为原点，、、 为 、、 轴，则 其中 由 读出：，。解得平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，故 第 4 步 · 回检定论：三条轴两两垂直的依据是 （变式 1-1 已证）与 平面 ，两句都得写在卷面上，否则建系不合法。 的横坐标 3 来自 且 ，别与 混用。 易错微警 · 坐标不是抄折前的 把 写成 的前提是先证 底面。若照折前图形把 放回 的位置、把 写成 (4,0,0)，后面全是白算——折后建系的第一件事永远是“折动的点到底落在哪”。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在两件事上：把不该继承的关系继承了，以及把该说明的定理条件省掉了，分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（变与不变类） 错误表现 错因 正确做法 认为折后 、、、 仍在同一平面内，照抄折前的对角线关系 把“整张纸”当成不变对象，没分清两块纸片 只有同一块纸片内部的长度、角度、平行垂直继承；跨折痕的关系一律重算或作为条件给出 用折前长度直接算折后跨折痕线段（如认为 等于折前的 ） 不清楚折后距离由折角决定 在含二面角平面角的三角形里用余弦定理，如 折后点的坐标照抄折前 建系前没先确定折动的点落在哪里 先用折角写 ，或先证线面垂直再立 轴 动笔前的三句自查 折痕是哪条线、被折的是哪一块？我要用的长度或垂直，是在同一块纸片内还是跨过折痕？二面角的平面角顶点在折痕上吗、两边是否都垂直于折痕？——三句都答“是”，再动笔。 表 4: 高频错误及其纠正（推理与书写类） 错误表现 错因 正确做法 直接写“ 是二面角”而不加证明 忘了平面角的两边必须同时垂直于折痕 先写 、（继承自折前），再声明它是平面角 证线面平行时漏“线在面外”，证面面平行时用了两条平行线 定理条件不完整 补 平面 ；两直线必须相交于一点 用法向量求得余弦后直接当二面角的余弦 法向量夹角与二面角可能互补 求正弦可直接开方；求余弦必须回图判断钝锐 三张表里，第一类错（变与不变）丢的是整问的分，第二类错（推理与书写）丢的是步骤分——二轮批改时先按这两类归因，再决定补哪一步。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组 6 题练基本动作（不变量判断 2 题、折后长度 3 题、翻折过程多选 1 题），B 组 6 题练迁移与综合，其中 B3 为结构不良题、B6 为难题。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 在矩形 中，，， 为 的中点，将 沿 翻折到 。翻折后一定成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D．点 到直线 的距离逐渐变小 A2 把边长为 2 的正方形 沿对角线 折成直二面角 ，则折后 （　　） A．　　B．2　　C．　　D． A3 在边长为 2 的菱形 中，，将 沿 翻折到 。当二面角 为 时， ______。 A4 在 中，，， 为 的中点。将 沿 翻折，在翻折过程中，点 到平面 的距离的最大值为 ______。 A5 （多选）在例题 1 的四边形中，，将四边形 沿 翻折至四边形 。在翻折过程中（ 不在平面 内）（　　） A． 平面 恒成立　　B． 平面 恒成立 C．当二面角 为 时，　　D．、、、 四点始终共面 A6 在边长为 2 的正方形 中，、 分别为 、 的中点，沿 把正方形折成直二面角 ，则折后 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 在平面四边形 中， 是边长为 2 的等边三角形，。将 沿 翻折到 ， 为 的中点。(1) 当 时，证明 平面 ，并求二面角 的大小；(2) 在 (1) 的条件下，求平面 与平面 所成二面角的正切值。 B2 （多选）在边长为 2 的菱形 中，，将 沿 翻折到 （ 不在平面 内）。在翻折过程中（　　） A．三棱锥 体积的最大值为 1 B．异面直线 与 所成角的取值范围为 C．当 时，平面 平面 D．当 时，二面角 的大小为 B3 （结构不良题）在边长为 2 的菱形 中，，将 沿 翻折到 ， 为 的中点。从条件“①二面角 的大小为 ”“②”“③三棱锥 的体积为 1”中任选一个，补充在横线上并解答：若 ，(1) 求直线 与平面 所成角的正切值；(2) 求平面 与平面 所成角的余弦值。 B4 在边长为 2 的正三角形纸片 中，、 分别为 、 的中点， 为 的中点。将 沿 翻折到 ，使二面角 的大小为 。(1) 求 的长；(2) 求四棱锥 的体积。 B5 在矩形 中，，， 为 的中点。将 沿 翻折到 ，使得平面 平面 。(1) 求 的长；(2) 求平面 与平面 所成二面角的正切值。 B6 在边长为 2 的菱形 中，，对角线 与 交于点 。将 沿 翻折到 ，得到三棱锥 。(1) 写出翻折过程中 的取值范围；(2) 当 时，求点 到平面 的距离。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】A 【解析】、 同在被折的 内，折前 且 ，故折后仍有 。 与 跨折痕，B 错； 随折角而变（折平时为 2，折到平面 底面时为 ），C 错；点 到 的距离恒为折前的 ，D 错。 【母题溯源】对应例题 1、变式 1-1。突破口：先问“这两条线在同一块纸片里吗”。 A2　　【答案】B 【解析】设 的中点为 ，折前 、 且 ，继承到折后，故 就是平面角，。 【母题溯源】对应例题 2。突破口：两条同垂直于折痕的射线加 构成三角形。 A3　　【答案】 【解析】由 得 、，且 、，故 是平面角，。 【母题溯源】对应例题 2，本题由角求边。 A4　　【答案】3 【解析】折前 ，、；折后 、， 即二面角 的平面角。由 平面 得平面 平面 ，交线为 ，故点 到平面 的距离 ，当 时取等。 【母题溯源】对应例题 2、变式 2-1。突破口：把“点到面的距离”写成折角正弦的函数。 A5　　【答案】ABC 【解析】A： 在同一块纸片内恒成立， 平面 。B：另有 且 ，得平面 平面 。C： 时建系得 、，。D：取 ，则 、、，因 轴，平面 与底面的交线是 ，而 不在其上，四点不共面。 【母题溯源】对应例题 1。突破口：恒成立的判断只查“同一块内的继承关系”。 A6　　【答案】 【解析】、，故 是平面角。以 为原点、、 为 、 轴，折起的 竖直，得 、，。 【母题溯源】对应例题 3。突破口：折角是直角时直接建系。 （二）B 组 B1　　【答案】(1) ，证明见解析；(2) 【解析】(1) 、；由 得 ，故 、。折后 继承不变，又 得 ，而 ，所以 平面 ， 即二面角的大小。(2) 以 为原点、、、 为 、、 轴，平面 的法向量为 (0,0,1)，平面 的法向量为 ，故 ，正切值为 。 【母题溯源】对应例题 2、例题 3。突破口： 一出现，折角与高同时到手。 B2　　【答案】ABC 【解析】设折角为 ，，。A：高为 ，。B：以 为原点，、 为 、 轴，得 、，模都是 2，夹角余弦为 ，可取 [0,1) 内一切值，故角的范围为 。C： 平面 ，而 平面 。D：，不是 。 【母题溯源】对应例题 2。突破口：四个选项全部翻译成同一个 的方程再判。 B3　　【答案】三个条件两两等价，任选其一；(1) 1；(2) 【解析】选②由 、选③由 ，都得 ，即与①等价，此时 平面 。(1) 即所求线面角，。(2) 建系后平面 的法向量为 (0,1,0)，平面 的法向量为 ，故 。 【母题溯源】对应例题 2。突破口：三个条件都是 与 的“变装”。 B4　　【答案】(1) ；(2) 【解析】设 为 的中点。折前 ，；梯形 中 且 ，故 就是二面角 的平面角。(1) 。(2) 高 ，，。 【母题溯源】对应变式 2-1。突破口：折痕换成中位线，平面角仍是两条垂直于折痕的中线。 B5　　【答案】(1) ；(2) 【解析】折前 、、。设 为 的中点，则 且 ；由平面 平面 、交线为 得 平面 。(1) 在底面内取 、、，则 、，。(2) 过 作 于 ，；由 、 得 平面 ，故 ，。 【母题溯源】对应结论三第②种、例题 3。突破口：给出面面垂直，先在折痕上找垂足立高。 B6　　【答案】(1) ；(2) 【解析】(1) ，，故 ，两端取不到。(2) 平面 ，。 中 、， 边上的高为 ，故 。由 得 。 【母题溯源】对应例题 2。突破口：范围题只写一个方程；求距离一律回到等体积。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $