2026-2027学年人教版九年级上学期期中自编模拟数学卷3（长沙地区适用）

2026-2027学年人教版九年级上学期期中自编模拟数学卷3（长沙地区适用） 时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个数中，最小的数是（     ） A．5 B． C． D．0 2．已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． （第4题图） （第8题图） 4．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（     ） A． B． C． D． 5．某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足方程（     ） A． B．C． D． 6．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 7．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 8．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 9．已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：__________． 12．计算：______． 13．若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 14．已知圆周角为，所对的弧长为，则这个圆的半径长为 _____． 15．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 16．如图，在等边内部有一点，连接，，，若，，，则________． 三．解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 20．（8分）现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析．分数用表示，共分成四组： A：，B：，C：，D： “豆包”得分：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．“”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)写出“豆包”得分的第一四分位数是______； (3)若本次调查有1000名用户对“豆包”评分，请估计对该软件非常满意（）的用户数量． 21．（8分）如图，在中，相交于O，点E，F分别在上，经过点O被平分，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，求的长． 22．（9分）晨光文具店新进一批足球和篮球，足球的单价比篮球的单价便宜60元，赵老师用600元购买足球的数量与用900元购买篮球的数量相同． (1)请问足球、篮球的单价各是多少元？ (2)赵老师打算再次购买足球、篮球共30个，且购买足球的数量不能超过篮球数量的2倍，设购买a个足球，总花费为W元，求购买多少个足球时，总费用最小，最小费用是多少？ 23．（9分）如图，是的外接圆，平分交于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，到弦的距离为3， ①求半径的长； ②连接，设，，请直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 24．（10分）中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”．在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质．我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”． (1)在下列关于的函数中，是“之一函数”的是______（填序号）． ①；②；③； (2)①若关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于，两点（其中），与轴交于点，且，求该二次函数的解析式． ②在①的条件下，点是二次函数图象第一象限上的点，问是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)若关于的二次函数是“之一函数”，其图象与轴交于、两点，顶点为点，与轴交于点，点是的中点，点是坐标原点，已知，且，试求：的最大值． 25．（10分）如图1，已知抛物线：与抛物线：相交于、两点（其中点在的左侧），连接交轴于点． (1)求的值． (2)如图2，若抛物线上有一动点在、之间运动，连接并延长交抛物线于点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)若直线与抛物线、恰好有三个交点时，直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A A C C C D B 1．C 【分析】根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴最小的数在和中， ∵，，且， ∴， ∴四个数中最小的数是． 2．C 【详解】解：， 两边减5得，，故A错误． ， 两边乘得，，故B错误． ， 两边除以4得，，故C正确． 当时，不成立，故D错误． 3．D 【详解】解：A、，故此项错误，不符合题意； B、，故此项错误，不符合题意； C、，故此项错误，不符合题意； D、，故此项正确，符合题意． 4．A 【详解】解：根据题意可得，， 添加条件，结合，，不可以用证明，故A选项符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故B选项不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故C选项不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故D选项不符合题意． 5．A 【详解】解：∵一月份生产零件50万个，二、三月份平均每月的增长率为， ∴二月份产量为万个， ∴三月份产量为万个， ∵三月份生产零件72万个， ∴． 6．C 【分析】抛物线平移遵循左加右减，上加下减，向左平移2个单位，自变量加2，向下平移3个单位，整体减3，代入得到新解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得，再向下平移3个单位，得． 7．C 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限，没有符合条件的选项． ②当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限，故C选项的图象符合条件． 8．C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵此管件的直径为， ∴， ∵水的深度为， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．D 【分析】是直线上一点与圆心的连线，不一定是圆心到直线的距离，需分垂直、不垂直两种情况讨论. 【详解】解：的半径，， 分两种情况讨论： 当时，圆心到直线的距离，直线与相切. 当不垂直于时， ∵垂线段最短， ∴圆心到直线的距离，直线与相交. 综上，直线与的位置关系为相交或相切. 10．B 【分析】先求抛物线与x轴交点A、顶点D的坐标，令抛物线解析式中求解A点坐标，根据顶点式或顶点坐标公式求D点坐标．利用Q是中点的条件，结合三角形中位线定理，找和P点相关线段的数量关系，确定Q点的运动轨迹．计算D点到Q点轨迹圆心的距离，再根据圆上一点到定点的最短距离为两点距离减半径，求出的最小值． 【详解】令抛物线中， 解得， 结合图像A在x轴负半轴，得； 抛物线的顶点D在y轴上，坐标为． 连接和， ∵Q是的中点，A点是定点，取线段的中点M， 根据三角形中位线定理，可得． ∵圆C半径为4， ∴， ∴， ∴Q点的轨迹是以定点M为圆心、半径为2的圆． ∵、， ∴中点M的坐标为； 根据两点距离公式 ， 点D到圆M上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”， ∴的最小值为． 11． 【详解】解：． 12． 【分析】先计算二次根式的乘法，将所得结果和分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：原式 13． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴分母， 解得. 14．9 【详解】解：设圆的半径长为r， ∵圆周角为，所对的弧长为， ∴弧所对的圆心角为， ∴，解得， 即这个圆的半径长为9． 15．/ 【分析】先用待定系数法求出二次函数的表达式为，当时，解方程求出即可． 【详解】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， ∵抛物线过，代入，， 解得， ∴这个二次函数的表达式为：， 当时，， 解得：（不合题意舍去），， ∴铅球落地点到出手点的时间为秒． 16． 【分析】将绕点B顺时针旋转得到，根据等边三角形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转得到， 根据旋转的性质，得，，，， 是等边三角形， ，，， ， ． 17． 【详解】解： ． 18．， 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 19．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将、代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）根据题意画出函数图象，进而作答即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得， 即， ∴， ∴ ； （3）解：即， 作及的图象如下： 可知不等式的解集为或． 20．(1)94；94 (2)89.5 (3)200 【分析】（1）求众数：因为众数是一组数据中出现次数最多的数，所以统计“豆包”得分中各数值出现的频次即可得到．求中位数：先根据扇形统计图计算得分C组的占比，再计算A、B、C、D四组的人数，结合C组的具体数据，将的20个得分从小到大排序后，取第10和第11个数据的平均数得到． （2）法一：求“豆包”得分的第一四分位数：因为20个数据的第一四分位数位置为，所以将排序后的“豆包”得分取第5和第6个数据的平均数即可．法二：豆包20个数据的中位数是第10、第11个数的平均数，前10个数的中位数是第5、第6个数的平均数，计算求解即可得． （3）估计非常满意的用户数量：先计算样本中“豆包”得分在的频率，再用总用户数1000乘以该频率得到估计值． 【详解】（1）解：观察豆包的20个得分，94一共出现了5次，出现次数最多， ∴． 总共有20个用户得分，中位数是排序后第10、第11个数据的平均数． 根据扇形图，A组占、B组占， ∴A组有个数据，B组有个数据，前两组共6个数据； ∵C组有6个数据， ∴排序后第7到第12个数据都属于C组，第10、11个数据是C组的最后两个94和94， 剩余的第13到20个数据属于D组． 将得分从小到大排序后，第10个数据是94，第11个数据是94， 因此中位数． （2）解：法一：20个数据的位置为， 第一四分位数是排序后第5个和第6个数据的平均数． 豆包得分已经从小到大排列，第5个数据是89，第6个数据是90， 因此． 法二：∵豆包20个数据的第10、第11个数都是93， 前10个数中第5、第6个数分别是89、90， ∴前10个数的中位数是， ∴． （3）解：抽取的20个豆包用户中，得分在的共有4个，占比为． ∴1000名用户中非常满意的数量为． 21．(1)∵平行四边形的对角线交于， ∴． ∵经过点被平分， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形为菱形． (2) 【分析】（1）首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到，结合被平分的条件，可推出四边形对角线互相平分，因此先判定其为平行四边形．再结合平分的角平分线条件，结合平行时的内错角相等关系，可推导得到邻边相等，因此可判定该平行四边形为菱形． （2）由菱形性质可得与垂直，结合是中点的条件，可推导出是的中位线，得到与的位置关系和数量关系，进而得到为直角．利用勾股定理计算的长度，即可得到的长度． 【详解】（1）略． （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴, ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴ ，． ∴． ∴． ∴． 22．(1)足球单价为120元，篮球单价为180元． (2)购买20个足球时总费用最小，最小费用为4200元． 【分析】（1）根据购买足球与篮球的数量相等列分式方程求解两种球的单价． （2）建立总费用关于足球数量的函数关系式，结合数量限制确定自变量范围，根据函数增减性求最小值． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元． ∵用600元购买足球的数量与用900元购买篮球的数量相同， ∴． 解得． 检验：当时，，故是原方程的解． （元）． 答：足球单价为120元，篮球单价为180元． （2）∵购买个足球，共购买30个球， ∴购买篮球个． 化简得． ∵足球数量不超过篮球数量的2倍， ∴． 解得． 由实际意义得且，其中为整数， ∴（为整数）． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为4200元． 答：购买20个足球时总费用最小，最小费用为4200元． 23．(1) (2)①；②（）， 的最大值为 ． 【分析】（1）由圆周角定理得 、；由角平分线定义与同弧所对圆周角相等求出 与 ，从而得 ； （2）①先证 ，设 ，由 到 的距离为 得 ，再由同弧所对圆心角等于圆周角的二倍证 为等边三角形，得半径长；②作弦 的弦心距 ，由垂径定理得 为 中点，在两个直角三角形中用勾股定理消去 ，得 与 的函数关系式，再确定 的最大值． 【详解】（1）解：， ∴ （同弧所对圆周角等于圆心角的一半）， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ （同弧 所对的圆周角相等）． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ ． （2）解：在 中， ∵ 与 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ （邻补角）． 在 中，， ∴ ， ∴ （等角对等边）． ① 设 ． ∴ ∴， 连接，则，则 ． ∵ ， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ，，． ∵ 与 是同弧 所对的圆心角与圆周角， ∴ ． ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，即 的半径长为 ． ② 作 于 ． ∵ ，由垂径定理，垂足 为弦 的中点， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，． 由 （直径是圆中最长的弦），得 ，故 ， ∴ ． 在 Rt 中，， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ． ∵ 在线段 上且不与 重合， ∴ ， 随 的增大而减小， 当 为 的直径时，，此时 与 重合，， ∴ 取得最大值 ． 24．(1)③ (2)①二次函数的解析式为；②点坐标为 (3)的最大值为 【分析】（1）根据正比例函数，反比例函数，二次函数的图象逐个判断即可．其中正比例函数，反比例函数可直接判断，二次函数需要画出草图，再判断； （2）①根据韦达定理得出，代入，求解出的值，即可得出二次函数的解析式；②由二次函数的解析式为，得出点,，，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、，取中点为，连接并延长，交抛物线与点，求出点坐标，得到直线函数表达式，联立函数和，得出交点的坐标即可； （3）由根与系数的关系得到，，二次函数的顶点是，由，化简得，令，换算得，∵，令，则，当时，的值最大，即可得故的最大值． 【详解】（1）解：对于函数①：， 该函数为正比例函数，且图象呈现上升型， ∴函数图象在第一、三象限内， 故不属于“之一函数”； 对于函数②：， 该函数为反比例函数， ∴函数图象在第一、三象限内或在二、四象限内， 故不属于“之一函数”； 对于函数③：， 开口方向向上，故一定经过一、二象限， ∵， 故顶点坐标为，在第四象限， 又∵与轴交点为轴正半轴，故不经过第三象限； 综上，只有函数③：经过第一、二、四象限， 故答案为：③． （2）解：①∵函数与轴交于，两点（其中）， 即、为方程的解， ∴， ∵， 即， 解得， 故该二次函数的解析式为． ②由二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， 故点,，， 将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、，取中点为，连接并延长，交抛物线与点，如下图所示： ∵，， ∴三角形为等腰直角三角形， 即， ∵为中点， 故CG⊥AD，且点坐标为，即， ∴， ∴， 令直线函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线函数表达式为， 联立函数和， 得方程， 解得或， 将代入，得，该点坐标在第一象限内， ∴点坐标为． （3）解：设，， 即方程的两解为，， ∴，， ∴， 二次函数的顶点是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， 设， 则， 令， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的值最大，为， 故的最大值为． 【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，全等三角形的判定和性质，根与系数的关系，二次函数的顶点公式，待定系数法等知识，难度大，综合性大，拥有较强的运算能力和运用数形结合思想是解题的关键． 25．(1)； (2)，； (3)或或或或． 【分析】（1）将代入计算即可； （2）联立和，求出，设直线解析式为，求出直线解析式为，过点Q作x轴的垂线，交直线于点H，设Q点横坐标为，因Q在上，故；H在上、横坐标与Q相同，故．根据割补法得到的二次函数解析式，进而得到面积的最大值及此时点Q的坐标，根据和关于对称可知和关于对称，根据中点坐标公式计算即可； （3）将变形后可知其恒过定点，分三种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：； （2）解：联立和，得到， 整理得， ， 解得：， 当时，， 即， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 过点Q作x轴的垂线，交直线于点H，设Q点横坐标为，因Q在上，故；H在上、横坐标与Q相同，故． 则将沿分割为和两个三角形． 两个三角形的公共底为的长度：， 两个三角形的高之和为A、B两点的水平距离：， ∴ ， ∵， ∴当时，面积有最大值， 此时， 当时， 解得：， 即， ：，可知抛物线顶点坐标为， ：，可知抛物线顶点坐标为， ∵， ∴和关于对称， 即和关于对称， ∴和关于对称，和关于对称， 设， ∴， 解得：， ∴； （3）解：直线可变形为， 可知其恒过定点， 直线与两抛物线恰好3个交点分三种情况： 直线与只有一个交点，联立与， 得到， 整理得， 此时， 整理得：， 解得：； 直线与只有一个交点，联立与， 得到， 整理得， 此时， 整理得：， 解得：； 直线经过两抛物线的交点或： 将代入，解得； 将代入，解得； 综上所述，的值为或或或或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $