专题01 期中易错题型突破（1-3章）（二十八大题型）（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版七年级上学期

专题01 期中易错题型突破（二十八大题型） 考点01 组合几何体 考点02 几何体的点棱面 考点03 几何体展开图的认识 考点04 由展开图计算几何体的表面积、体积 考点05 正数与负数 考点06 有理数的分类 考点07 数轴上的点表示有理数 考点08 数轴上点的运动 考点09 相反数 考点10 求绝对值 考点11 绝对值的非负性 考点12 有理数大小比较 考点13 有理数四则混合运算 考点14 有理数四则混合运算的简便计算 考点15 根据点在数轴的位置判断式子的正负 考点16 有理数四则混合运算的实际应用 考点17 含乘方的有理数混合运算 考点18 科学记数法 考点19 算24点与程序流程图 考点20 代数式的表示及其求值 考点21 单项式、多项式与整式的相关概念 考点22 同类项 考点23 整式的加减运算 考点24 整式加减中的化简求值 考点25 整式加减的无关型问题 考点26 整式加减的应用 考点27 带有字母的绝对值化简题 考点28 数字类、图形类规律题 考点01 组合几何体 1．（24-25七年级上·河北·期中）用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 【答案】A 【分析】 本题考查正方体的体积，根据正方体的体积公式解答即可． 【详解】 解：∵，，， ∴可以用8个小正方体拼成棱长2分米的大正方形， 可以用27个小正方体拼成棱长3分米的大正方形， 可以用64个小正方体拼成棱长4分米的大正方形， ∴用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是4立方分米． 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是______．    【答案】9 【分析】本题主要考查了求简单几何体的体积，准确得出小正方体个数是解题的关键．求出一个小正方体的体积为立方厘米，再得出共用9个小正方体，因此求出总体积． 【详解】解：由图可知第一层有6个小正方体，第二层有个小正方体， ∴搭建这个几何体共用9个棱长为的小正方体， ∴该几何体的体积为：． 故答案为：9． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，能看到的正方体有 __块，看不到的正方体有 __块． 【答案】 16 14 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【详解】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 考点02 几何体的点棱面 4．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，这个几何体有__________个面． 【答案】 【分析】略． 【详解】观察图形可知，该几何体是一个六棱柱. 六棱柱有上下个底面，侧面有个面． 所以该几何体共有个面． 5．（26-27七年级上·全国·周测）下列说法错误的是（     ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 【答案】C 【详解】A．长方体、正方体都有6个面，说法正确，不符合题意； B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点，说法正确，不符合题意； C．三棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，说法错误，符合题意； D．圆锥由一个平面和一个曲面围成，说法正确，不符合题意． 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号） 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ ③④⑧ ①②⑤⑥⑦ 【分析】根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．柱体的定义∶有两个互相平行且完全相同的底面，侧面是平行四边形；沿着一个方向平移底面得到的几何体，锥体定义∶有一个底面，一个顶点，侧面汇聚到同一个顶点；球定义∶半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体；曲面即弯曲的面． 【详解】解：如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为①②⑤⑦⑧，是锥体的为④⑥，是球的为③， 如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为③④⑧，无曲面的为①②⑤⑥⑦． 考点03 几何体展开图的认识 7．（2026七年级上·全国·专题练习）下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形结构，判断是否符合正方体展开图的11种特征即可． 【详解】解： A.项不是正方体展开图，故此选项符合题意； B.项属于“”型，是正方体展开图 ，故此选项不符合题意； C.项是正方体展开图 ，故此选项不符合题意； D.项属于“”型，是正方体展开图，故此选项不符合题意． 8．（26-27七年级上·山西·期中）如图是由9个大小相同的小立方块搭成的几何体．请按要求在方格内分别画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图． 【答案】 【分析】根据从不同方向看到的形状画图即可． 【详解】略 9．（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2的几何体，则从三个方向看到的形状图发生变化的是（     ） A．从正面看 B．从左面看 C．从上面看 D．从左面看和从上面看 【答案】C 【分析】找出从不同方向看到的平面图形，并对比变化前后的图形差异即可． 【详解】解：从正面看：图从正面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形；图从正面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形； 从左面看：图从左面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形；图从左面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形； 从上面看：图从上面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形；图从上面看是列，左边列有个小正方形，右边列有个小正方形； 故从三个方向看到的形状图发生变化的是从上面看． 考点04 由展开图计算几何体的表面积、体积 10．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图是一个由若干个大小相同的小正方体搭建成的几何体，其中每个小正方体的棱长为． (1)请按要求在方格内分别画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图； (2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：___________． 【答案】(1) 画图如下： (2) 【分析】（）根据从正面、左面和上面看到的图形画图即可； （）求出几何体的表面正方形的个数，进而即可求解； 本题考查了从不同方向看几何体，几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：从前面和后面看，各有个正方形；从左面和右面看，各有个正方形；从上面和下面看，各有个正方形；中间相对的面有个正方形， ∴几何体的表面共有个正方形， ∵每个正方形的面积为， ∴几何体的表面积为：， 故答案为：． 11．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）如图，把一个棱长为6的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（   ） A．288 B．144 C．72 D．48 【答案】A 【分析】本题考查几何体表面积．根据题意可知周边的六个挖空的正方体每个面减少了1个小正方形，增加了4个小正方形，则每个面的正方形个数为12个，再利用面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：如图所示，周边的六个挖空的正方体每个面减少了1个小正方形，增加了4个小正方形，则每个面的正方形个数为12个， ∵每个小正方形的边长为2， ∴表面积为． 故选：A． 12．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）（一）实践准备 李老师带领七一班综合实践小组进行废物再利用的数学制作活动，他们准备用废弃的宣传单制作纸盒（有盖或无盖）． （二）操作探究 （1）如图是“乐研组”制作的一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面分别标有“南，阳，值，得，三，顾”六个字，则“阳”相对面的文字是_________ （2）“爱数组”准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．            B． C．            D． （三）尝试应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，想要装下的牛奶是否能成功？为什么？ 【答案】（1）得； （2）C； （3）能成功，理由如下： 牛奶盒身的宽为， 已知②号长方形的宽比①号多， 则①号长方形的宽为， 所以②号长方形的宽为， 此时牛奶盒子的容积为． ∵， ∴装下的牛奶能成功． 【分析】本题主要考查了正方体与长方体展开图的认识，熟知正方体与长方体展开图的特点是解题的关键． （1）正方体展开图中，相对的面的中间一定隔着一个面，据此特点求解即可； （2）制作一个无盖的正方体纸盒，则该纸盒的展开图有5个小正方形，据此可得答案； （3）求出牛奶盒身的宽，再分别求出①和②的宽，进而求出牛奶盒的容积即可得到结论． 【详解】解：（1）由正方体展开图的特点可得“阳”相对面的文字是“得”； （2）∵制作一个无盖的正方体纸盒， ∴该纸盒的展开图有5个小正方形， ∴四个选项中只有C选项符合题意； （3）略 考点05 正数与负数 13．（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合： ，，，，，，，，，． 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 负数集合{ …}； 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，由题意直接根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的集合中即可，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 【详解】解：整数集合； 分数集合； 非负整数集合； 负数集合； 14．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）死海是世界著名的内陆咸水湖，湖水含盐量很高，人躺在水面上也不会下沉．规定海平面以上的海拔为正．死海海拔很低，其湖面低于海平面米，记作_________米． 【答案】 【分析】海平面以上与海平面以下是一对相反意义的量，规定海平面以上为正，海平面以下就用负数表示． 【详解】解：∵规定海平面以上的海拔为正， ∴低于海平面的海拔记为负， ∵湖面低于海平面米， ∴记作米． 15．（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）以下各数中，非正数的个数有_______个；非负数的个数有____个． ，，，0，，， 368，． 【答案】 5 4 【分析】根据非正数包括负数和，非负数包括正数和，分别统计个数即可． 【详解】解：逐个判断各数的类型：负数有，，，，共个，加上后，非正数总个数为：； 正数有：，，，共个，加上后，非负数总个数为． 考点06 有理数的分类 16．（26-27七年级上·甘肃定西·阶段检测）把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，3.14，． 负数集合：{__________________________…}； 正分数集合：{________________________…}； 非负整数集合：{________________________…}． 【答案】，；，，，；， 【分析】先化简题目中的各数，再根据对应数集的定义分类即可． 【详解】解：，， 根据数集定义分类： 负数是小于0的数，因此负数集合：{，}； 正分数是大于0的分数，初中范围内有限小数和无限循环小数都属于分数，因此正分数集合：{，，，}； 非负整数是大于等于0的整数，因此非负整数集合：{，}． 17．（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）以下10个数：4.95，，0，，，，1，，，，分数有______个，正有理数有______个，非负整数有______个． 【答案】 【详解】解：根据有理数分类的定义逐个判断： 分数是除整数外的有理数，包含有限小数，无限循环小数，分数，带分数，因此符合条件的数为，，，，，共个。 正有理数是大于的有理数，因此符合条件的数为，，，，，，共个。 非负整数包含和正整数，因此符合条件的数为，，，共个． 18．（26-27七年级上·广西钦州·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ，，7.3，，，，0，． (1)正数集合：{                          }； (2)整数集合：{                          }； (3)负有理数集合：{                            }； (4)正分数集合：{                              }． 【答案】(1)正数集合： (2)整数集合： (3)负有理数集合： (4)正分数集合： 【详解】（1）解：大于0的数为正数，给定数中满足条件的有，则正数集合：； （2）解：整数包括正整数、0、负整数. 给定数中满足条件的有，则整数集合：； （3）解：负有理数是小于0的有理数，有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数），是无限不循环小数，不属于有理数，给定的数中满足负有理数的有，则 负有理数集合：； （4）解：正分数是大于0的分数（含有限小数、无限循环小数），给定的数中满足条件的有，则正分数集合：． 考点07 数轴上的点表示有理数 19．（26-27七年级上·全国·课后作业）若是最大的负整数． (1)分别求出的值； (2)数轴上表示数c的点在原点的______边，若表示数d的点在数c的左边，则的相反数为______． 【答案】(1)或 (2)左，d 【分析】根据绝对值的性质和负整数的定义求得的值，然后根据数轴和相反数的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数． ∴或； （2）解：因为，所以数轴上表示数c的点在原点的左边； 因为表示数d的点在数c的左边， 所以d为负数， 所以； 又的相反数为d， 所以的相反数为d． 20．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：． (3)将（2）中各数按由小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相反数的意义（绝对值相等）确定原点位置，即可推出点表示的有理数，进而确定表示的数． （2）先化简，，然后在数轴上表示各数，即可求解． （3）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“”连接起来． 【详解】（1）解：点表示的数是互为相反数，之间的距离是4， 点表示，点表示． 之间的距离是2， 表示的数是． （2）解：，， 数轴略 （3）解： 根据数轴可得， ． 21．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，直线上的相邻两点的距离为个单位，如果点、表示的数互为相反数，请回答下列问题： (1)那么点表示的数是多少？ (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示以下各数； ，，，，， (3)将（）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) (2)解：如图所示即为所作， ； (3)解：． 【分析】（1）由相反数的性质可得原点的位置，进而可知点C表示的数； （2）根据数轴三要素：正方向、原点、单位长度，对数轴进行补充，并在数轴上表示出对应的数； （3）按照（2）中数轴上表示的数，从左到右依次用“”连接即可． 【详解】（1）解：点A、B表示的数互为相反数，直线上的相邻两点的距离为个单位， 从数轴上看， ∴点表示的数是， 又点C在点A左侧个单位处， 即点C表示的数为：； （2）略； （3）略． 考点08 数轴上点的运动 22．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 23．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)B， (2)B， (3)1 (4) 有三种不同的移动方法： ①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度； ②将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度； ③将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度． 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移： （1）根据向左移动减求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减求出点C表示的数，用点B所表示的数减去点C所表示的数即可； （4）根据A、B、C有一点不移动，分三种情况讨论． 【详解】（1）解：三点表示的数分别是，，， 将点B向左移动4个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （2）解：将点A向右移动3个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （3）解：将点C向左移动6个单位长度后表示的数为：， ， 因此点B表示的数比点C表示的数大1； 故答案为：1； （4）略 考点09 相反数 25．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列说法：符号不同的两个数互为相反数；符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数；一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；不相等的两个数，其绝对值也不相等；绝对值最小的有理数是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：① 例如和符号不同，但不是相反数，故①错误． ② 符号不同且绝对值相等的两个数符合相反数的定义，故②正确． ③ 负数的绝对值越大，它在数轴上对应的点越靠左，故③错误． ④ 例如和不相等，但绝对值相等，故④错误． ⑤ 任意有理数的绝对值为非负数，的绝对值是，为最小值，故⑤正确． 综上，正确的说法有个． 26．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，这是一个正方体的平面展开图．若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字互为相反数，则x的值为（     ） A．8 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：由图可知x所在的面与8所在的面相对， 根据题意有：． 27．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段检测）完成以下问题 (1)化简下列各式： ①________；        ②________； ③________；        ④________； ⑤________；    ⑥________． (2)根据（1）回答：当前面有2024个负号时，化简后结果是多少？ (3)当前面有2025个负号时，化简后结果是多少？ 【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥ (2)5 (3)5 【分析】（1）根据相反数的定义求得题干中个数的值即可； （2）根据相反数的定义即可求得答案 ； （3）根据相反数的定义即可求得答案． 【详解】（1）解:①原式； ②原式； ③原式； ④原式； ⑤原式； ⑥原式； （2）解：当前面有个负号时，化简后结果是； （3）解：当前面有个负号时，化简后结果是. 考点10 求绝对值 28．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）能使式子成立的数是（     ） A．任意一个正数 B．任意一个负数 C．任意一个非正数 D．任意一个数 【答案】C 【分析】根据两数和的绝对值等于两数绝对值和的成立条件，判断的取值范围． 【详解】解：当时，左边，右边，等式成立，故0满足条件； 当时，左边，右边，等式不成立； 当时，左边，右边，等式不成立； 当时，左边，右边，等式成立， ∴能使式子成立的数是任意一个非正数． 29．（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）已知，． (1)若，，分别求a、b的值； (2)若，求b的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 30．（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：A、若，则，原结论不成立； B、若，则或，原结论成立； C、若，则，原结论不成立； D、若满足，但是，原结论不成立． 考点11 绝对值的非负性 31．（2022七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 32．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了绝对值的非负性． （1）由已知得，，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，，可知，． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴，， 则，； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴，． 33．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 考点12 有理数大小比较 34．（26-27七年级上·四川德阳·阶段检测）比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较两个负数的大小，先比较两个数的绝对值，再根据“两个负数比较，绝对值大的数反而小”判断结果． 【详解】解：先计算两个数的绝对值，得，， ，， ， ， 根据两个负数比较大小的规则，绝对值小的负数更大， ． 35．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础．已知，，且，你可以通过数轴大致描述它们在数轴上的位置，从而比较大小．试比较，，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助数轴，根据题意在数轴上分别表示出，，， ，根据在数轴上的数，右边的数总比左边的大，通过数轴可以直观的比较它们的大小． 【详解】∵，，且， ∴在数轴上分别表示出，，，，如图： 通过观察数轴可得：． 36．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）已知，则，，之间的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取满足的特殊值代入，计算后比较大小． 【详解】解：取，满足．则 ，． ∵ ， ∴ ． 考点13 有理数四则混合运算 37．（26-27七年级上·湖北荆州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ． 38．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 39．（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点14 有理数四则混合运算的简便计算 40．（河南省商丘市永城市2026-2027学年七年级上学期数学第一次学情自测卷）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲：． 乙：． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】B 【分析】甲去括号的符号变化错误，乙应用运算律时的符号处理错误． 【详解】解： ， 甲错误将变形为，计算错误； ， 乙在计算时，错误遗漏的负号，计算错误． 41．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式， ， ． （3）解：原式． （4）解：原式， ， ． 42．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【答案】 【分析】模仿所给材料的简便计算方法，先求原式的倒数，再进行计算，最后根据倒数关系得出原式的结果． 【详解】解：原式的倒数为： ，             ∴． 考点15 根据点在数轴的位置判断式子的正负 43．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）是有理数，它们在数轴上的对应点如图所示，则下列大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置确定的正负性及绝对值的大小关系，再逐项判断． 【详解】解：由数轴可知，且， ， ，故A错误； 由数轴可知，故B错误； ， ， 又， ，即，故C正确； 数轴上右边的数总比左边的数大， ，故D错误． 44．（26-27七年级上·天津河西·阶段检测）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据绝对值的性质即可得出结论； （3）根据绝对值的性质求出，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴上的排列顺序可得：； （2）解：∵， ∴，，； （3）解：∵，，且， ， ∴， ∴． 45．（26-27七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 考点16 有理数四则混合运算的实际应用 46．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名老师送到目的地时，小王在什么位置？ (2)若汽车耗油量为升/千米，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，每千瓦时电费为元，请估计司机小王换成新能源汽车后行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小王在出发点西侧3千米处； (2)换成新能源汽车后行驶费用比原来节省元． 【分析】（1）把所有数据相加，根据结果进行判断即可； （2）先求出出租车的行程，再根据汽车的行驶费减去新能源汽车行驶费即可求出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 即最后一名老师送到目的地时，小王在出发点西侧3千米处； （2）解：（千米）， （元）， 即换成新能源汽车后行驶费用比原来节省元． 47．（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）小丽的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小丽的妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知小丽的妈妈星期三生产玩具 个； (2)根据记录的数据可知小丽的妈妈本周实际生产玩具 个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个则倒扣元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”，那么小丽的妈妈本周应该选择哪种工资形式更合算？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小丽的妈妈本周应该选择“每日计件工资制”更合算． 理由：若采用“每日计件工资制”， 则小丽的妈妈本周的工资为（元） 若采用“每周计件工资制”， 则小丽的妈妈本周的工资为（元）， 因为， 所以小丽的妈妈本周应该选择“每日计件工资制”更合算． 【分析】（1）用平均每天规定生产量加上周三的实际出入量求解即可； （2）用每周规定生产量加上一周的实际出入量求解即可； （3）根据两种工资制度分别计算小丽妈妈的工资，即可求解 【详解】（1）解：（个）， 答：小丽的妈妈星期三生产玩具27个 （2）解：（个）， 答：小丽的妈妈本周实际生产玩具218个； （3）略 48．（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小新家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/ (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶_________； (2)小新家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少？ (3)已知小新家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航里程不足满电续航的，行车电脑就会发出充电提示．假设该汽车出发时满电且这七天内未充电，请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1) (2) (3) 行车电脑不会发出充电提示. 【分析】（1）路程最多与最少的差值等于对应偏差的最大值与最小值的差，直接计算即可． （2）总行驶路程等于七天标准总路程加上七天偏差的总和． （3）计算剩余续航里程，与续航的比较，判断是否触发提示． 【详解】（1）解：∵ 七天路程偏差的最大值为，最小值为， ∴ 最多的一天比最少的一天多行驶． 答：路程最多的一天比最少的一天多行驶． （2）解：七天路程偏差和为： ， 七天标准总路程为， ∴ 七天总行驶路程为． 答：这七天一共行驶了． （3）解：续航的为， 第七天结束时剩余续航为， ∵ ， ∴ 行车电脑不会发出充电提示． 答：第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示． 考点17 含乘方的有理数混合运算 49．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 50．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 51．（26-27七年级上·天津河西·阶段检测）计算题 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用乘法分配律简化计算，按有理数混合运算顺序求解； （2） 先计算乘方和绝对值，再按加减运算顺序求解； （3） 利用乘法分配律简化计算，再求和得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点18 科学记数法 52．（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）我国的故宫是世界上现存规模最大、保存最完整的木质结构古建筑群之一，占地面积约平方米，数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【详解】解：． 53．（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）年春节，深圳成为“反向春运”热门目的地，铁路累计发送旅客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万. 54．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 考点19 算24点与程序流程图 55．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为 ； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种即可）算24的式子为 ． 【答案】(1)； (2)； (3)（答案不唯一） 【详解】（1）解：乘积最大：； （2）解：商最小：； （3）解：略． 56．（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，小明设计了一个计算程序框图，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为，则最后输出的数是（     ） A．18 B． C． D．25 【答案】C 【详解】依据题意，输出的数是： ． 57．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入两个数时，则两次输出的结果分别是_________、_________； (2)你认为当输入_________数时（写出两个即可），其输出结果是0 (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出_________数 【答案】(1)； (2)，（答案不唯一，如，均可） (3)负 【分析】（1）把代入转换器，判断不大于 2，算出相反数 3，3 为正，取倒数得到；把代入转换器，判断不大于 2，算出相反数，非正，取绝对值得到． （2）根据输出为 0 倒推，只有绝对值能得到 0，可得输入 0 或者 5 这类 5 的正整数倍的数字，经过转换器运算后输出 0． （3）分析转换器两条输出线路，输出只能是正数或者 0，判断这个有理数转换器不可能输出负数． 【详解】（1）解：当输入： ∵， ∴的相反数为， ，取倒数， ∴输出． 当输入： ∵，， ∴的相反数为， ∵，取绝对值， ∴输出． （2）解：输出结果为 0： 输出为 0，只能由 “相反数非正，取绝对值” 得到，即相反数为 0，原数为 0． ①输入：，相反数是，非正，，输出 0． ②输入：，；，相反数是，非正，，输出 0． 可填写：，（答案不唯一，如均可）． （3）解：情况一：相反数为正，输出倒数，结果是正数； 情况二：相反数非正，输出绝对值，结果是非负数． 因此输出只能是正数或 0，不可能输出负数． 考点20 代数式的表示及其求值 58．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： (1)a的3倍与b的一半的和：________． (2)a减b的差的倒数：________． (3)a的平方的2倍减b的平方的4倍的差：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）书写代数式时注意书写格式，数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，乘号写成“”或省略不写；除号用分数来表示. 【详解】（1）解：的倍与的一半的和：； （2）解：减的差的倒数:； （3）解：的平方的倍减的平方的倍的差：. 【点睛】本题考查了用字母表示代数式，正确的书写格式是解题的关键. 59．（25-26七年级上·河南开封·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的书写规则，逐一进行判断即可． 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确，故②正确； ，应写成：，故③错误； ，书写正确，故④正确； ，书写错误，故⑤错误； 应写成，故⑥错误； 则符合代数式书写要求的有2个． 故选：A． 60．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知，，互为相反数，且都不为零，，互为倒数，求的值． 【答案】或 【分析】根据相反数、绝对值、倒数得出，，，，再代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以或． 因为，互为相反数，且都不为零，，互为倒数， 所以，． 所以． 所以， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或． 考点21 单项式、多项式与整式的相关概念 61．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的次数是4 B．它的系数是3 C．它是多项式 D．它不是整式 【答案】A 【分析】由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：是单项式，属于整式，它的系数为，次数为，故A正确，B、C、D错误． 62．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列整式中有a个单项式，b个多项式，则______． 【答案】8 【分析】根据单项式和多项式的定义，分别数出单项式的个数和多项式的个数，再计算的值即可． 【详解】解：单项式有，，，，共个，即， 多项式有，，共个，即， ∴． 63．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 考点22 同类项 64．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：与是同类项，故A不符合题意； 与、与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，都是同类项，故B和C不符合题意； 与中、的指数均不相同，不是同类项，故D符合题意． 65．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各组中的两项，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．1和 【答案】B 【分析】同类项与系数大小、字母排列顺序无关，只需比对所含字母及相同字母的指数是否一致． 【详解】解：A、与所含字母相同且相同字母指数一致，是同类项，不符合题意； B、与相同字母的指数不同，不是同类项，符合题意； C、与所含字母相同且相同字母指数一致，是同类项，不符合题意； D、与都是常数项，是同类项，不符合题意． 66．（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）确定同类项，根据合并同类项法则合并同类项即可； （2）确定同类项，根据合并同类项法则合并同类项即可； （3）确定同类项，根据合并同类项法则合并同类项即可； （4）确定同类项，根据合并同类项法则合并同类项即可； （5）确定同类项，根据合并同类项法则合并同类项即可； （6）确定同类项，根据合并同类项法则合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 考点23 整式的加减运算 67．（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 68．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项，系数相加减，字母不变样； （2）合并同类项，系数相加减，字母不变样． 【详解】（1）解： （2）解： 69．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）我们知道．类似地，若我们把 看作一个整体，则有 ．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”的应用极为广泛，请运用“整体思想”解答下列问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知，，，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）利用已知条件求出的值，代入后面代数式解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：，，， 得，得， ． 考点24 整式加减中的化简求值 70．（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】先通过去括号、合并同类项化简原式，再将的值代入化简后的式子计算． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 71．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）先合并同类项，再求代数式的值：，其中． 【答案】，. 【分析】利用合并同类项法则计算，然后把代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 72．（24-25七年级上·山东济宁·期末）按要求解答问题： (1)化简： (2)化简求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 代入，得：原式． 考点25 整式加减的无关型问题 73．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】首先求出多项式的和，然后由不含二次项，得出m和n的值，即可得解． 【详解】解：， ∵结果中不含二次项， ∴， ∴． ∴． 74．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将与代入，去括号后合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算得出结果； （2）根据“代数式的值与无关”意味着含的项的系数为，据此列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当，时， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴，解得． 75．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）七年级某班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关， (1)请你求出m、n的值． (2)请你求出的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关问题，代数式求值； （1）先合并同类项，再根据题意得，，求出答案； （2）将字母的值，代入代数式求值，即可求解． 【详解】（1）解：原式， 由题意可知，， 解得； （2）解：当时， ． 考点26 整式加减的应用 76．（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）某公园的一块长为米，宽为米的长方形空地造型如图所示，其中，阴影部分（两个扇形和一个半圆，它们的半径相等）种花，其余部分种草．种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元． (1)种花的面积是　　　平方米，种草的面积是　　　平方米；（用含有，，的式子表示） (2)若米，米时，美化这块空地共需多少元？（取3） 【答案】(1)；； (2)美化这块空地共需1800元． 【分析】（1）阴影部分是由两个半径为的四分之一扇形和一个半径为的半圆组成的，据此求出种花面积；再用长方形面积减去种花面积得到种草面积． （2）先根据种花和种草的单价列出总费用的代数式，再代入已知数值计算总费用． 【详解】（1）解：由题意得，两个扇形和半圆的半径均为，每个扇形是四分之一圆， ∴两个扇形面积和为；半圆面积为； ∴种花的面积为（平方米）； ∵长方形空地的面积为（平方米）， ∴种草的面积为（平方米）； （2）解：美化空地的总费用为； 当时，原式（元）； 答：美化这块空地共需1800元． 77．（26-27七年级上·陕西·期中）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） (2)当，时，请你为该乒乓球队设计一个更省钱的购买方案，计算并说明理由． 【答案】(1)方案一花费元，方案二花费元； (2)解：设计更省钱方案如下：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），理由如下： 当，时， 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）． 设计的方案费用为：（元）， ， 设计的方案更省钱，需花费610元． 【分析】（1）总费用球拍费用球的费用，分别用售价乘以数量即可； （2）根据规则设计更省钱方案：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），计算所设计方案的费用和方案一、二的费用，并比较即可． 【详解】（1）解：方案一： 买一副球拍送个球，买15副球拍送（个）球，还需购买乒乓球：（个）， 所需费用： 元； 方案二：每购买100个球赠送副球拍，买120个球可赠送副球拍，还需购买球拍：（副）， 所需费用： 元； （2）略 78．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，用三种大小不同的六个正方形和三个长方形（阴影部分）拼成大长方形，其中，最小的正方形的边长为． (1)用含的代数式表示：线段_____，线段_____； (2)求长方形的周长；（用含的代数式表示） (3)当时，求长方形的周长的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）数形结合列代数式表示即可得到答案； （2）由图可知长方形的长与宽，再由长方形周长公式及整式加法运算法则化简即可得到答案； （3）由（2）中可知， ，将代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由图可知， ， 长方形的周长为： ； （3）解：由（2）知， ， 当时， ． 考点27 带有字母的绝对值化简题 79．（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）如图所示． (1)填空：______0；______0；______0；______0．（填>、<或＝） (2)化简：． 【答案】(1)>；<；>；> (2) 【分析】首先根据数轴上点的位置确定的大小关系，以此作为判断四个式子正负的突破口，数轴上右边的数总大于左边的数． （1）如果被减数大于减数，那么差为正，反之差为负，据此判断每个式子和0的大小关系． （2）根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（1）中得到的正负性去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：从数轴可得数的大小关系：，据此判断： ：比大，大数减小数结果为正，因此； ：是负数，负数减2仍为负数，因此； ：是正数，是负数，正数减负数等价于正数加正数，结果为正，因此； ：比2小，大数减小数结果为正，因此． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴原式 ． 80．（26-27七年级上·河南许昌·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，，请用这种方法解决下列问题． (1)当和时，分别求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据，，化简计算即可； （2）分和，化简计算即可． 【详解】（1）解：， 故当时，； ， 故当时，； （2）解：当时，可以分为如下两种情况： 当时，； 当时，． 81．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： （1）当为不等于的有理数时，的值为________； （2）已知，，则的值为________． 【答案】 或 或 【分析】（1）根据的正负性分类讨论即可； （2）根据绝对值性质分情况讨论，利用变形所求式子，结合判断三个数的正负性，代入计算即可． 【详解】解：（1）当时，，得； 当时，，得； ∴当为不等于的有理数时，的值为或． （2）∵， ∴，，， 代入原式得： ∵，且三个数的和为，不可能全为正数或全为负数， ∴中只能是个正数，个负数， 分情况讨论： ①当为正数，为负数时，原式； ②当为正数，为负数时，原式； ③当为正数，为负数时，原式； ∴原式的值为或． 考点28 数字类、图形类规律题 82．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）观察下面的雪花图和相应的等式，探究其中的规律． (1)完成④和⑤后面的填空： ①； ②； ③； ④___________； ⑤___________；… (2)参照上面的等式写出第个等式； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的加法运算法则直接计算即可； （2）由部分点阵图对应的等式，得出规律，即可得出第个点阵图对应的等式； （3）由（2）的结论，即可求出结论． 【详解】（1）解：，； （2）解：①， ②， ③， ④， ⑤， ∴第个等式为， 即； （3）解：观察可知，第个等式为， ∴ ． 83．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知等式的数字变化规律，推导第n个等式的通用形式，代入求解； （2）将规律等式变形为裂项形式，利用裂项相消法计算求和式的值． 【详解】（1）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……， 以此类推，可知，第n个等式为， ∴第5个等式为，即； （2）解：由（1）的规律可知 ． 84．（2026六年级上·上海·专题练习）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： ． 任务： (1)猜想并写出　　；（n为正整数） (2)①应用上面的方法计算：． ②直接写出下列式子的计算结果： (3)类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可； （2）①将原式变形为计算即可； ②将原式变形为计算即可； （3）把原式变形为计算即可． 【详解】（1）解：通过观察可得：； （2）解：① ． ② ． （3）++⋯+ ． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中易错题型突破（二十八大题型） 考点01 组合几何体 考点02 几何体的点棱面 考点03 几何体展开图的认识 考点04 由展开图计算几何体的表面积、体积 考点05 正数与负数 考点06 有理数的分类 考点07 数轴上的点表示有理数 考点08 数轴上点的运动 考点09 相反数 考点10 求绝对值 考点11 绝对值的非负性 考点12 有理数大小比较 考点13 有理数四则混合运算 考点14 有理数四则混合运算的简便计算 考点15 根据点在数轴的位置判断式子的正负 考点16 有理数四则混合运算的实际应用 考点17 含乘方的有理数混合运算 考点18 科学记数法 考点19 算24点与程序流程图 考点20 代数式的表示及其求值 考点21 单项式、多项式与整式的相关概念 考点22 同类项 考点23 整式的加减运算 考点24 整式加减中的化简求值 考点25 整式加减的无关型问题 考点26 整式加减的应用 考点27 带有字母的绝对值化简题 考点28 数字类、图形类规律题 考点01 组合几何体 1．（24-25七年级上·河北·期中）用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（　　）立方分米． A．4 B．8 C．27 D．64 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是______．    3．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，能看到的正方体有 __块，看不到的正方体有 __块． 考点02 几何体的点棱面 4．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，这个几何体有__________个面． 5．（26-27七年级上·全国·周测）下列说法错误的是（     ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号） 考点03 几何体展开图的认识 7．（2026七年级上·全国·专题练习）下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27七年级上·山西·期中）如图是由9个大小相同的小立方块搭成的几何体．请按要求在方格内分别画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图． 9．（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2的几何体，则从三个方向看到的形状图发生变化的是（     ） A．从正面看 B．从左面看 C．从上面看 D．从左面看和从上面看 考点04 由展开图计算几何体的表面积、体积 10．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图是一个由若干个大小相同的小正方体搭建成的几何体，其中每个小正方体的棱长为． (1)请按要求在方格内分别画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图； (2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：___________． 11．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）如图，把一个棱长为6的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（   ） A．288 B．144 C．72 D．48 12．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）（一）实践准备 李老师带领七一班综合实践小组进行废物再利用的数学制作活动，他们准备用废弃的宣传单制作纸盒（有盖或无盖）． （二）操作探究 （1）如图是“乐研组”制作的一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面分别标有“南，阳，值，得，三，顾”六个字，则“阳”相对面的文字是_________ （2）“爱数组”准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．            B． C．            D． （三）尝试应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，想要装下的牛奶是否能成功？为什么？ 考点05 正数与负数 13．（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合： ，，，，，，，，，． 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 负数集合{ …}； 14．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）死海是世界著名的内陆咸水湖，湖水含盐量很高，人躺在水面上也不会下沉．规定海平面以上的海拔为正．死海海拔很低，其湖面低于海平面米，记作_________米． 15．（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）以下各数中，非正数的个数有_______个；非负数的个数有____个． ，，，0，，， 368，． 考点06 有理数的分类 16．（26-27七年级上·甘肃定西·阶段检测）把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，3.14，． 负数集合：{__________________________…}； 正分数集合：{________________________…}； 非负整数集合：{________________________…}． 17．（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）以下10个数：4.95，，0，，，，1，，，，分数有______个，正有理数有______个，非负整数有______个． 18．（26-27七年级上·广西钦州·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ，，7.3，，，，0，． (1)正数集合：{                          }； (2)整数集合：{                          }； (3)负有理数集合：{                            }； (4)正分数集合：{                              }． 考点07 数轴上的点表示有理数 19．（26-27七年级上·全国·课后作业）若是最大的负整数． (1)分别求出的值； (2)数轴上表示数c的点在原点的______边，若表示数d的点在数c的左边，则的相反数为______． 20．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：． (3)将（2）中各数按由小到大的顺序用“<”连接起来． 21．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，直线上的相邻两点的距离为个单位，如果点、表示的数互为相反数，请回答下列问题： (1)那么点表示的数是多少？ (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示以下各数； ，，，，， (3)将（）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 考点08 数轴上点的运动 22．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 23．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 考点09 相反数 25．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列说法：符号不同的两个数互为相反数；符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数；一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；不相等的两个数，其绝对值也不相等；绝对值最小的有理数是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 26．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，这是一个正方体的平面展开图．若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字互为相反数，则x的值为（     ） A．8 B． C． D．1 27．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段检测）完成以下问题 (1)化简下列各式： ①________；        ②________； ③________；        ④________； ⑤________；    ⑥________． (2)根据（1）回答：当前面有2024个负号时，化简后结果是多少？ (3)当前面有2025个负号时，化简后结果是多少？ 考点10 求绝对值 28．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）能使式子成立的数是（     ） A．任意一个正数 B．任意一个负数 C．任意一个非正数 D．任意一个数 29．（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）已知，． (1)若，，分别求a、b的值； (2)若，求b的值． 30．（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 考点11 绝对值的非负性 31．（2022七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 32．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 33．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 考点12 有理数大小比较 34．（26-27七年级上·四川德阳·阶段检测）比较大小：________．（填“”“”或“”） 35．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础．已知，，且，你可以通过数轴大致描述它们在数轴上的位置，从而比较大小．试比较，，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 36．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）已知，则，，之间的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 考点13 有理数四则混合运算 37．（26-27七年级上·湖北荆州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 38．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 39．（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 考点14 有理数四则混合运算的简便计算 40．（河南省商丘市永城市2026-2027学年七年级上学期数学第一次学情自测卷）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲：． 乙：． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 41．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 42．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 考点15 根据点在数轴的位置判断式子的正负 43．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）是有理数，它们在数轴上的对应点如图所示，则下列大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 44．（26-27七年级上·天津河西·阶段检测）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 45．（26-27七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：． 考点16 有理数四则混合运算的实际应用 46．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名老师送到目的地时，小王在什么位置？ (2)若汽车耗油量为升/千米，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，每千瓦时电费为元，请估计司机小王换成新能源汽车后行驶费用比原来节省多少钱？ 47．（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）小丽的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小丽的妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知小丽的妈妈星期三生产玩具 个； (2)根据记录的数据可知小丽的妈妈本周实际生产玩具 个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个则倒扣元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”，那么小丽的妈妈本周应该选择哪种工资形式更合算？请说明理由． 48．（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小新家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/ (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶_________； (2)小新家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少？ (3)已知小新家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航里程不足满电续航的，行车电脑就会发出充电提示．假设该汽车出发时满电且这七天内未充电，请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 考点17 含乘方的有理数混合运算 49．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 50．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算 (1) (2) 51．（26-27七年级上·天津河西·阶段检测）计算题 (1) (2) (3) 考点18 科学记数法 52．（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）我国的故宫是世界上现存规模最大、保存最完整的木质结构古建筑群之一，占地面积约平方米，数据用科学记数法表示为_______． 53．（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）年春节，深圳成为“反向春运”热门目的地，铁路累计发送旅客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 54．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 考点19 算24点与程序流程图 55．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为 ； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种即可）算24的式子为 ． 56．（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，小明设计了一个计算程序框图，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为，则最后输出的数是（     ） A．18 B． C． D．25 57．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入两个数时，则两次输出的结果分别是_________、_________； (2)你认为当输入_________数时（写出两个即可），其输出结果是0 (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出_________数 考点20 代数式的表示及其求值 58．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： (1)a的3倍与b的一半的和：________． (2)a减b的差的倒数：________． (3)a的平方的2倍减b的平方的4倍的差：________． 59．（25-26七年级上·河南开封·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 60．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知，，互为相反数，且都不为零，，互为倒数，求的值． 考点21 单项式、多项式与整式的相关概念 61．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的次数是4 B．它的系数是3 C．它是多项式 D．它不是整式 62．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列整式中有a个单项式，b个多项式，则______． 63．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 考点22 同类项 64．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 65．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各组中的两项，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．1和 66．（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点23 整式的加减运算 67．（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）化简： (1)； (2)． 68．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）化简： (1) (2) 69．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）我们知道．类似地，若我们把 看作一个整体，则有 ．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”的应用极为广泛，请运用“整体思想”解答下列问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知，，，求 的值． 考点24 整式加减中的化简求值 70．（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 71．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）先合并同类项，再求代数式的值：，其中． 72．（24-25七年级上·山东济宁·期末）按要求解答问题： (1)化简： (2)化简求值：，其中 考点25 整式加减的无关型问题 73．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 74．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 75．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）七年级某班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关， (1)请你求出m、n的值． (2)请你求出的值． 考点26 整式加减的应用 76．（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）某公园的一块长为米，宽为米的长方形空地造型如图所示，其中，阴影部分（两个扇形和一个半圆，它们的半径相等）种花，其余部分种草．种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元． (1)种花的面积是　　　平方米，种草的面积是　　　平方米；（用含有，，的式子表示） (2)若米，米时，美化这块空地共需多少元？（取3） 77．（26-27七年级上·陕西·期中）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） (2)当，时，请你为该乒乓球队设计一个更省钱的购买方案，计算并说明理由． 78．（26-27七年级上·吉林·期中）如图，用三种大小不同的六个正方形和三个长方形（阴影部分）拼成大长方形，其中，最小的正方形的边长为． (1)用含的代数式表示：线段_____，线段_____； (2)求长方形的周长；（用含的代数式表示） (3)当时，求长方形的周长的值． 考点27 带有字母的绝对值化简题 79．（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）如图所示． (1)填空：______0；______0；______0；______0．（填>、<或＝） (2)化简：． 80．（26-27七年级上·河南许昌·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，，请用这种方法解决下列问题． (1)当和时，分别求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，试求的值． 81．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： （1）当为不等于的有理数时，的值为________； （2）已知，，则的值为________． 考点28 数字类、图形类规律题 82．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）观察下面的雪花图和相应的等式，探究其中的规律． (1)完成④和⑤后面的填空： ①； ②； ③； ④___________； ⑤___________；… (2)参照上面的等式写出第个等式； (3)计算：． 83．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用规律计算：的值． 84．（2026六年级上·上海·专题练习）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： ． 任务： (1)猜想并写出　　；（n为正整数） (2)①应用上面的方法计算：． ②直接写出下列式子的计算结果： (3)类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $