专题02 期中热点题型突破（1-3章）（十六大题型）（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版七年级上学期

专题02 期中热点题型突破（十六大题型） 考点01 生活中的立体图形 考点02 从不同方向看几何体 考点03 由展开图计算几何体的表面积、体积 考点04 数轴的相关问题 考点05 绝对值的相关问题 考点06 有理数的混合运算 考点07 含乘方的有理数混合运算 考点08 有理数四则混合运算的实际应用 考点09 科学记数法 题型10 代数式及其求值 题型11 单项式、多项式、整式相关的概念 题型12 整式的加减运算 题型13 整式加减中的化简求值 题型14 整式加减无关型问题 题型15 整式加减的应用 题型16 探索与表达规律 考点01 生活中的立体图形 1．（26-27七年级上·山西·期中）中国是茶的故乡，茶文化源远流长，融合了历史、哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．如图是一个茶叶盒，它的形状可近似看作几何体，若这个几何体有8个面，则它有________条棱． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列几何体，回答问题． 图形与名称 顶点数 6 ______ 10 12 棱数 9 12 ______ ______ 面数 5 ______ ______ 8 (1)补全上表； (2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱； (3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱； (4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？ 3．（26-27七年级上·辽宁锦州·期中）按要求完成下列各题： (1)如图1所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有___________个面，___________条棱，它的侧面积是___________ (2)如图2，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． 请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 4．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 考点02 从不同方向看几何体 5．（26-27六年级上·山东淄博·期中）用5个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，其从正面看到的形状如图． (1)请画出这个几何体从左面和从上面看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加 个相同的小立方块． (3)若每个小立方体的棱长是，该几何体的表面积是多少？ 6．（26-27七年级上·全国·周测）一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成．图1是从上面看到的几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在如图2所示的网格中画出从正面和左面看这个几何体所得到的形状图； (2)若每个小立方块的棱长均为，求这个几何体的表面积（含底面）． 7．（26-27七年级上·陕西渭南·期中）由一些大小相同的小正方体组成的几何体从正面和上面看到的形状图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为，则的值为_____． 8．（26-27七年级上·山东济南·期中）如图所示的是由7个大小相同的小正方块搭建的几何体，其中每个小立方块的棱长为1． (1)请在上面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)该几何体的体积是________，表面积（包含底面）是________． (3)在保持从左面、上面看到的这个几何体的形状图不变的情况下，最多可以再添加________个小正方体． 考点03 由展开图计算几何体的表面积、体积 9．（26-27七年级上·福建漳州·期中）下图是一个圆柱体水杯包装盒的展开图单位厘米．包装盒的底面是一个正方形，水杯的高是厘米． (1)做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ (2)这个水杯的体积最大是多少立方厘米？（答案保留） 10．（26-27七年级上·山东青岛·期中）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______图形经折叠能围成无盖正方体纸盒；（填序号） (2)如图②，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． Ⅰ．四角应各剪去边长为______的小正方形； Ⅱ．计算此长方体纸盒的容积； (3)根据如图③所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的表面积为多少？ 11．（26-27七年级上·广东·期中）综合与实践： 小明在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图3），可是他一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】 (1)小明一共剪开了_____条棱； 【动手操作】 (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（图3），一共有_____种不同的还原方法，请你帮助小明在图1中补全其中一种图形，并求出图3纸盒的体积； 【解决问题】 (3)小明爷爷的生日即将到来，小明给爷爷准备了4份小礼物，分别放进了4个这样的长方体纸盒．现在小明打算用一张包装纸把4个纸盒包装在一起作为一个大礼物送给爷爷，请你说出这4个纸盒应该如何摆放才能使得包装纸材料最少，并计算出最少需要多少包装纸材料？（忽略重合粘贴部分） 12．（26-27七年级上·江西萍乡·期中）【问题情境】 某综合实践小组在学习了“展开与折叠”后，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是______．（只填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒）． ①制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体纸盒的底面周长； ②制作一个如图3所示的有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体的体积． (3)【拓展探究】若将长、宽、高分别为8，6，4的有盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，直接写出该长方体纸盒表面展开图的周长的最大值． 考点04 数轴的相关问题 13．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）观察数轴，按要求完成： (1)点表示的数写成分数是___________． (2)在数轴上标出表示和的点． (3)点到原点的距离和点到原点的距离相等，但方向相反，请标出点，并将点表示的数字写出来． 14．（26-27七年级上·河北沧州·期中）在数轴上原点右侧有一点C，点C到表示数1的点的距离为2． (1)点C表示的数为___________； (2)点A在数轴上，将点A向右移动3个单位长度到达点，此时点表示的数为1，求点A到原点的距离； (3)若点A表示的数为，把数轴对折后，折点为B． ①若点A与点C重合，求点B表示的数； ②若对折后点A的对应点为点，且点到点C的距离为1，直接写出折点B所表示的数． 15．（26-27七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知，是数轴上的两点，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离等于点到原点的距离的3倍． (1)求数轴上点表示的数； (2)若点到点与点的距离相等，求点表示的数； (3)若点与点之间的距离记作，点与点之间的距离记作，请探究数轴上是否存在点，使得 ．若存在，请求出点表示的数；若不存在，请说明理由． 16．（26-27七年级上·山西太原·期中）综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 考点05 绝对值的相关问题 17．（26-27七年级上·甘肃定西·期中）阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； 18．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）阅读理解 同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1) _____； (2)同样的道理，表示数轴上有理数x 所对应的点到和10所对应的两点的距离相等，则_____； (3)类似地，表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点的距离之和，使得，这样的整数有____个； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x， 是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 19．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若满足，则；⑥若三个非零有理数满足，则，其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；；观察式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①______；②______； (2)当时，______；当时，______； (3)计算： 考点06 有理数的混合运算 21．（26-27七年级上·河南·期中）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 22．（26-27七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（26-27七年级上·湖北武汉·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 24．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）计算 (1)； (2)； (3) (4) (5) (6)（简便计算）． 考点07 含乘方的有理数混合运算 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察式子： 猜想：的值． 26．（26-27七年级上·吉林长春·期中）计算 (1)； (2)． 27．（26-27七年级上·浙江嘉兴·期中）计算 (1) (2) 28．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点08 有理数四则混合运算的实际应用 29．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）甲、乙两家体育用品商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价80元，羽毛球每盒20元，现在两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一刷羽毛球拍赠一盒羽毛球：乙店的优惠办法是：按定价的九折出售．某校的体育组需购买羽毛球拍4副，羽毛球若干盒（不少于4盒）； (1)当购买羽毛球的盒数为盒时，在甲店购买需付款________元；在乙店购买需付款________元（用含的代数式表示）； (2)当购买20盒羽毛球时，到________（填甲或乙）商店比较合算，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元？ (3)当购买盒羽毛球时，最省的费用是多少，请用的代数式表示． 30．（25-26七年级上·浙江温州·期中）素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤ 与标准重量的差值（单位：千克） 0 素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式： 纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱 可容纳袋数（袋/个） 2 4 重量（千克/个） 价格（元/个） 3 5 方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出． 方案二： ． 【任务1】 (1)求这5袋柿子饼的总重量． 【任务2】 (2)求方案一所需要的费用． 【任务3】 (3)请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用． 31．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）如图，一扇窗户如图①，所有窗框（包含内部框架和外部框架）为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是米，窗户（包括上部和下部）全部安装透明玻璃，现在按照图②的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图②中窗帘下部分是两个以米为直径的半圆形，没有窗帘的部分阳光可以照射进来．（本题中取3，长度单位为米）．    (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的代数式表示，取3） (2)求照进阳光的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，取3） (3)某公司需要购进20扇窗户，按照图②的方式安装窗帘，厂家报价：铝合金每米100元，窗帘每平方米40元，透明玻璃每平方米90元，当时，计算该公司总花费多少元？ 32．（25-26七年级上·福建厦门·期中）福建省厦门市居民生活用电实行分档累进递增的阶梯电价，按户月均用电量分三档，普通电价表加下： 月用电量 电费（单位，元/度） 第一档 不超过230度的部分 0.50 第二档 超过230度不超过420度的部分 0.55 第三档 超过420度的部分 0.80 示数类型 上次抄表示数 这次抄表示数 用电量 总电量 18776 19081 305 峰电量 12689 12882 谷电量 5480 5592 根据用电情况，用户可以申请“峰谷电价”其收费如下，高峰时段，其电价在各档电价基础上加价0.03元/度，低谷时段以外时间，其电价在各档电价基础上加价元/度． 小朋家9月电表示数变化情况如表： (1)对于第一档用电情况，高峰时段电价为________元/度，低谷时段电价为________元/度． (2)①计算小朋家这个月的普通电费． ②若申请“峰谷电价”，9月份能省钱码？省多少钱？ (3)若某用户的月用电量为度，请用含的式子表示该用户这个月的普通电费． 考点09 科学记数法 33．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 34．（2026·江西赣州·模拟预测）2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为万人，将万用科学记数法可表示为________． 35．（26-27七年级上·山东德州·期中）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿，那么100兆=________（用科学记数法表示）． 36．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为__________ 题型10 代数式及其求值 37．（26-27七年级上·吉林长春·期中）下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的常数项是3 38．（26-27七年级上·山东德州·期中）求值 (1)已知：，，且，求的值． (2)已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的值． 39．（26-27七年级上·河北沧州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则式子的值为（     ） A． B．4 C．或4 D．2或 40．（26-27七年级上·全国·单元测试）理解与思考：整体代换是数学中的重要思想方法之一．例如，若，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，回答下面的问题： (1)若，求的值； (2)若，，求的值． 题型11 单项式、多项式、整式相关的概念 41．（25-26六年级上·山东烟台·期末）下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 42．（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 43．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知，均为有理数，且多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)填空：________，________； (2)求这个多项式各项的系数和． 44．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)指出该多项式的项； (2)该多项式的次数是________，三次项的系数是________； (3)按的降幂排列为：________； (4)若，试求该多项式的值． 题型12 整式的加减运算 45．（26-27七年级上·安徽亳州·期中）计算： (1)； (2)． 46．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 47．（26-27七年级上·吉林长春·期中）化简： (1) ； (2)． 48．（26-27七年级上·山东青岛·期中）已知． (1)求； (2)当时，求（1）中代数式的值． 题型13 整式加减中的化简求值 49．（26-27七年级上·黑龙江大庆·期中）化简与求值． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，，求． 50．（26-27七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 51．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读：我们知道，，类似的，我们也可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 52．（26-27七年级上·全国·周测）已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 题型14 整式加减无关型问题 53．（26-27七年级上·安徽亳州·期中）多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 54．（2026七年级上·全国·专题练习）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 55．（26-27七年级上·全国·课后作业）多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______． 56．（26-27七年级上·上海嘉定·期中）已知关于x，y的多项式，． (1)若，，化简； (2)若的值与x的取值无关，求单项式的值． 题型15 整式加减的应用 57．（26-27七年级上·河北·期中）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的序号是__________ ① 与 的和；② 与 的积；③ 与 的差；④ 与 的商 58．（26-27七年级上·全国·单元复习）秋风起，桂花飘香也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季．小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只50元，至尊公蟹每只30元．商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案①：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的八折销售； 方案②：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． (1)按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元；按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元．（用含a的式子表示） (2)当时，通过计算说明此时按上述哪种方案购买较合算． 59．（26-27七年级上·四川达州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4、5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 60．（26-27七年级上·江苏南京·期中）国庆假期小陈一家游览南京玄武湖公园，园内布置一处主题花坛，如图矩形，花坛宽、，设计师将整个花坛划分成四块区域，分别摆放不同主题的节日花卉造型，四块区域的面积依次记为、、、，如果，则的值为_________（用含a，b的式子表示）. 题型16 探索与表达规律 61．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）阅读材料： ，，，…… (1)________，________； (2)计算：； (3)计算：． 62．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）观察下列各式，回答问题： ，，…． 按上述规律填空： (1)______×______，______×______． (2)______×______． (3)计算：． 63．（26-27七年级上·吉林长春·期中）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度（）随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来A、B两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量A型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 (1)请根据表中与的对应值可知，当时，_____； (2)用含的代数式表示为_____； (3)当时，_____； (4)如图②，把1个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为；把2个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为．把8个B型碗整齐叠放在6个A型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 64．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）动脑筋、找规律． 戴老师给小明出了下面的一道题，如图所示，请根据数字排列的规律，探索下列问题： (1)在处的数是正数还是负数？ (2)负数排在，，，中的什么位置？ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于，，，中的什么位置？ (4)已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为______． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中热点题型突破（十六大题型） 考点01 生活中的立体图形 考点02 从不同方向看几何体 考点03 由展开图计算几何体的表面积、体积 考点04 数轴的相关问题 考点05 绝对值的相关问题 考点06 有理数的混合运算 考点07 含乘方的有理数混合运算 考点08 有理数四则混合运算的实际应用 考点09 科学记数法 题型10 代数式及其求值 题型11 单项式、多项式、整式相关的概念 题型12 整式的加减运算 题型13 整式加减中的化简求值 题型14 整式加减无关型问题 题型15 整式加减的应用 题型16 探索与表达规律 考点01 生活中的立体图形 1．（26-27七年级上·山西·期中）中国是茶的故乡，茶文化源远流长，融合了历史、哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．如图是一个茶叶盒，它的形状可近似看作几何体，若这个几何体有8个面，则它有________条棱． 【答案】 【分析】根据图形特征判断该几何体为棱柱，利用棱柱的面数公式确定底面边数，进而根据棱柱的棱数特征求解． 【详解】解：由图可知，该几何体近似看作一个棱柱， 棱柱有两个底面和若干个侧面，且侧面数等于底面边数，该几何体有个面， 棱柱有两个底面和6个侧面， 即该几何体是六棱柱. 六棱柱有 条侧棱，上、下底面各有 条棱， 棱的总数为． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列几何体，回答问题． 图形与名称 顶点数 6 ______ 10 12 棱数 9 12 ______ ______ 面数 5 ______ ______ 8 (1)补全上表； (2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱； (3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱； (4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 (2)18；32；48 (3)十二 (4)棱柱的面数顶点数棱数 【分析】（1）根据多面体特征直接填写即可； （2）根据（1）中的表格总结出规律，进而作答即可； （3）根据（2）中总结的规律列方程求解即可； （4）直接根据（2）中总结的规律作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：对于棱柱，规律为：面数，顶点数，棱数； 当时：面数 ，顶点数，棱数； （3）解：已知棱柱棱数为，令，解得，因此该棱柱为十二棱柱； （4）解：由（2）可知棱柱的面数顶点数棱数． 3．（26-27七年级上·辽宁锦州·期中）按要求完成下列各题： (1)如图1所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有___________个面，___________条棱，它的侧面积是___________ (2)如图2，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． 请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】(1)8，18，192 (2)方案一： 方案二： ． 方案一构造的圆柱的体积大． 【分析】（1）根据棱柱特征直接解答即可； （2）①根据面动成体解答即可；②先求出所得几何体体积再比较大小即可． 【详解】（1）解：这个棱柱共有8个面，条棱， 侧面积为； （2）略 4．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 【答案】(1) 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 8 9 12 15 面数（） 4 5 5 6 7 顶点数（） 4 5 6 8 10 (2) (3)2 (4)3，2 (5)30，20，3 【分析】（1）仔细分析所给图形的特征即可得到结果； （2）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （3）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （4）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （5）应用所发现的规律即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中的数据发现：简单几何中，； （3）解：简单几何体中，每条棱都是2个面的公共边； （4）解：在正方体中，每个顶点处有3条棱，每条棱都有2个顶点，所以有； （5）解：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有30条棱，20个顶点，每个顶点处有3条棱． 考点02 从不同方向看几何体 5．（26-27六年级上·山东淄博·期中）用5个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，其从正面看到的形状如图． (1)请画出这个几何体从左面和从上面看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加 个相同的小立方块． (3)若每个小立方体的棱长是，该几何体的表面积是多少？ 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）从左边看，一共有两层，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，从上面看，一共有两层，底层左边是一个正方形，上层有三个正方形，据此作图即可； （2）在从上面看的图形中，左起第一列和第三列上面一层各添加一个可保持从上面看和从左面看的图形不变，据此可得答案； （3）数出六个方向看到的正方形面总个数，再求出这些面的面积之和即可． 【详解】（1）略 （2）解：最多添加方式如图所示： ∴最多可以再添加2个相同的小立方块； （3）解：， ∴该几何体的表面积为． 6．（26-27七年级上·全国·周测）一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成．图1是从上面看到的几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在如图2所示的网格中画出从正面和左面看这个几何体所得到的形状图； (2)若每个小立方块的棱长均为，求这个几何体的表面积（含底面）． 【答案】(1)如图所示： (2) 【分析】（1）根据从正面看、从左面看到的图形，画出这个几何体的形状图即可； （2）根据几何体的表面积的计算方法解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，这个几何体的表面积为： ． 7．（26-27七年级上·陕西渭南·期中）由一些大小相同的小正方体组成的几何体从正面和上面看到的形状图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为，则的值为_____． 【答案】8 【分析】从上面看确定最底层小正方体的个数及分布，从正面看确定每一列小正方体的最高层数，要使小正方体个数最少，则每一列中仅有一个位置达到最高层数，其余位置均为1层． 【详解】解：从上面看可得，最下层有6个小正方体，从正面看第二层第一列不能有正方体，第二列和第三列分别只需要1个正方体即可，故可画如图小正方体个数示意图， ∴． 8．（26-27七年级上·山东济南·期中）如图所示的是由7个大小相同的小正方块搭建的几何体，其中每个小立方块的棱长为1． (1)请在上面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． (2)该几何体的体积是________，表面积（包含底面）是________． (3)在保持从左面、上面看到的这个几何体的形状图不变的情况下，最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)见解析． (2)；． (3)． 【分析】（1）由立体图确定几何体在三个方向上的最大高度，画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． （2）体积为小正方体的总个数；表面积可用从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图的面积之和的 倍计算． （3）在保持从左面、上面看到的这个几何体的形状图不变的前提下，确定每个位置还能添加的小正方体个数． 【详解】（1）解：由题图可知，该几何体从正面看有 列，高度从左到右依次为 、、、； 从左面看有 列，高度从左到右依次为 、； 从上面看，后排（上面一排）有 个正方形，前排（下面一排）只有右下角 个正方形． 画出的从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示． （2）解：每个小正方体的棱长为 ，体积为 ． 几何体共有 个小正方体，所以体积 ． 从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图中，从正面有 个正方形，从左面有 个正方形，上面有 个正方形． 表面积（包含底面）． （3）解：要保持从上面看到的图不变，新增小正方体只能放在从上面看到的已有的 个位置上． 要保持从左边看到的图不变，从左面看后排（上面一排）的高度不能超过 ，前排（下面一排）的高度不能超过 ． 从上面看到的图中后排 个位置的高度上限均为 ，其中第二列处已是 ，其余三列处高度均为 ，各可添加 个，共 个． 前排右下角处高度已为 ，不能再添加． 所以最多还可以添加 个小正方体． 考点03 由展开图计算几何体的表面积、体积 9．（26-27七年级上·福建漳州·期中）下图是一个圆柱体水杯包装盒的展开图单位厘米．包装盒的底面是一个正方形，水杯的高是厘米． (1)做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ (2)这个水杯的体积最大是多少立方厘米？（答案保留） 【答案】(1)做这个包装盒至少需要平方厘米硬纸板 (2)这个水杯的体积最大是立方厘米 【分析】（1）根据展开图的线段长度求出底面正方形边长，再利用长方体表面积公式计算硬纸板面积． （2）包装盒底面是正方形，内部圆柱底面直径最大等于正方形边长，代入圆柱体积公式求出最大体积． 【详解】（1）解：由图可知，包装盒底面正方形的边长：（厘米）， （平方厘米）， 答：做这个包装盒至少需要360平方厘米硬纸板． （2）解：包装盒底面正方形边长为厘米， 所以圆柱底面最大直径为厘米，底面半径厘米，圆柱高厘米． （立方厘米）， 答：这个水杯的体积最大是立方厘米． 10．（26-27七年级上·山东青岛·期中）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______图形经折叠能围成无盖正方体纸盒；（填序号） (2)如图②，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． Ⅰ．四角应各剪去边长为______的小正方形； Ⅱ．计算此长方体纸盒的容积； (3)根据如图③所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】(1)C (2)①；② (3) 【分析】（1）根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”进行判断即可； （2）Ⅰ：高就是小正方形的边长；Ⅱ：确定长方体纸盒的长、宽、高，由体积计算公式进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠，求出长方体的长、宽、高，再根据表面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子； （2）解：Ⅰ：若折成的纸盒高为，四角应各剪去边长为的小正方形， Ⅱ：当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 所以体积为（）； （3）解：由裁剪、折叠可知，所折叠的长方体的长为，宽为，高为， 所以长方体的表面积为． 11．（26-27七年级上·广东·期中）综合与实践： 小明在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图3），可是他一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】 (1)小明一共剪开了_____条棱； 【动手操作】 (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（图3），一共有_____种不同的还原方法，请你帮助小明在图1中补全其中一种图形，并求出图3纸盒的体积； 【解决问题】 (3)小明爷爷的生日即将到来，小明给爷爷准备了4份小礼物，分别放进了4个这样的长方体纸盒．现在小明打算用一张包装纸把4个纸盒包装在一起作为一个大礼物送给爷爷，请你说出这4个纸盒应该如何摆放才能使得包装纸材料最少，并计算出最少需要多少包装纸材料？（忽略重合粘贴部分） 【答案】(1)8 (2)4， (3)摆放，最少 【分析】（1）根据图形回答即可； （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； （3）根据题意得，装4个这样的长方体纸盒，重叠在一起面越多，表面积越小，且尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，即可． 【详解】（1）解：小明一共剪开了条棱； （2）解：如图，在图1中补全图形，如下： 一共有4种不同的还原方法， 图3纸盒的体积为； （3）解：因为长方体的高为，宽为，长为，所以装4个这样的长方体纸盒，重叠在一起面越多，表面积越小，且尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，如图，叠放即可， 此时纸盒的表面积为： 12．（26-27七年级上·江西萍乡·期中）【问题情境】 某综合实践小组在学习了“展开与折叠”后，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是______．（只填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒）． ①制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体纸盒的底面周长； ②制作一个如图3所示的有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体的体积． (3)【拓展探究】若将长、宽、高分别为8，6，4的有盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，直接写出该长方体纸盒表面展开图的周长的最大值． 【答案】(1)①③ (2)①；② (3) 【分析】（1）根据正方体表面展开图求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据题意得到尽量剪开最长的边，然后画出图形列式求解即可． 【详解】（1）解：在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是①③； （2）解：①该长方体纸盒的底面周长为； ②长方体纸盒的长为，宽为， ∴该长方体的体积为； （3）解：∵要求该长方体纸盒表面展开图的周长的最大值， ∴尽量剪开最长的边， 如图， ∴， ∴该长方体纸盒表面展开图的周长的最大值为． 考点04 数轴的相关问题 13．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）观察数轴，按要求完成： (1)点表示的数写成分数是___________． (2)在数轴上标出表示和的点． (3)点到原点的距离和点到原点的距离相等，但方向相反，请标出点，并将点表示的数字写出来． 【答案】(1) (2)表示2.5和的点如图所示： (3)如图，点C即为所求， 【分析】（1）确定数轴单位长度：先看1到2之间的刻度划分，计算每个小刻度代表的数值，因为点在和之间，所以用加上对应小刻度的数值即可得到点的分数形式； （2）根据数轴的单位长度和原点位置即可确定表示2.5和的点； （3）先确定点表示的数，因为点和点到原点距离相等、方向相反，所以点的数是点的相反数，再在数轴对应位置标注点． 【详解】（1）解：点A表示的数写成分数是； （2）略 （3）略 14．（26-27七年级上·河北沧州·期中）在数轴上原点右侧有一点C，点C到表示数1的点的距离为2． (1)点C表示的数为___________； (2)点A在数轴上，将点A向右移动3个单位长度到达点，此时点表示的数为1，求点A到原点的距离； (3)若点A表示的数为，把数轴对折后，折点为B． ①若点A与点C重合，求点B表示的数； ②若对折后点A的对应点为点，且点到点C的距离为1，直接写出折点B所表示的数． 【答案】(1)3 (2)2 (3)①，②或． 【分析】（1）设点C表示的数为，利用两点距离公式构造方程； （2）设点A表示的数为．则点A₁表示的数为．由此构造方程求解即可； （3）利用中点公式和两点距离公式构造方程求解即可． 【详解】（1）解：设点C表示的数为． 因为点C在原点右侧，所以． 又因为点C到1的距离为2，所以． 解得或， 即或． 因为，所以舍去． 故点C表示的数为3． （2）解：设点A表示的数为． 将点A向右移动3个单位长度到达点A₁，则点A₁表示的数为． 由题意得：， 解得． 点A到原点的距离为． 故点A到原点的距离为2 （3）已知点A表示的数为，点C表示的数为． ①若点A与点C重合，则折点B为点A与点C的中点． 设点B表示的数为，则： 故点B表示的数为 ②设折点B表示的数为． 对折后，点A的对应点关于点B对称，所以： 由题意，点到点C的距离为1，即： 所以或， 解得或． 故折点B所表示的数为或． 15．（26-27七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知，是数轴上的两点，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离等于点到原点的距离的3倍． (1)求数轴上点表示的数； (2)若点到点与点的距离相等，求点表示的数； (3)若点与点之间的距离记作，点与点之间的距离记作，请探究数轴上是否存在点，使得 ．若存在，请求出点表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)2 (3)存在，或22 【分析】（1）先求解点到原点的距离，再由点到原点的距离是点到原点的距离的3倍，即可求解点到原点的距离，根据点与点的位置求解即可； （2）根据题意可得点到点、点的距离都等于4，由此计算即可； （3）先求解出，根据得到，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数为， 所以点到原点的距离为2， 因为点到原点的距离是点到原点的距离的3倍， 所以点到原点的距离为6， 因为点在点的左侧， 所以数轴上点表示的数为6； （2）解：因为点表示的数为，点表示的数为6， 所以点、点的距离为， 又因为点到点、点的距离相等， 所以点到点、点的距离都等于， 所以点表示的数为； （3）解：因为点表示的数为，点表示的数为6，， 当在左侧时，，则点表示的数为； 当在右侧时，，则点表示的数为； 所以点表示的数为或22． 16．（26-27七年级上·山西太原·期中）综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)2，10， 12 (2)不变；10 (3) 【分析】（1）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （2）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （3）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． 【详解】（1）解： 点表示的数是，点与点表示的数互为相反数， 表示的数是． 表示的数是6， ， ， ， ，（舍去，与重合） 表示的数是． ． （2）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是，， ， ， ， ，（舍去，与重合） ． 不管怎么变化，为固定值，且是10． （3）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， ， ， ，（舍去，与重合） ． 考点05 绝对值的相关问题 17．（26-27七年级上·甘肃定西·期中）阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； 【答案】(1)5；7 (2)或2 【分析】（1）根据绝对值的定义和有理数的加减法运算法则求解即可； （2）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：由题意得，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， ∴表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为5， ∴或． 18．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）阅读理解 同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1) _____； (2)同样的道理，表示数轴上有理数x 所对应的点到和10所对应的两点的距离相等，则_____； (3)类似地，表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点的距离之和，使得，这样的整数有____个； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x， 是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)7 (2)1 (3)8 (4)有最小值，最小值为3 【分析】（1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和10所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为7，和2之间的数均满足，从中找出整数即可； （4）表示数轴上有理数x所对点到3和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【详解】（1）解： （2）解：∵有理数x 所对应的点到和10所对应的两点间的距离相等， ∴． （3）解：， 结合数轴知，当时，， ∵x是整数， ∴x的值为，，，，，，1，2， ∴这样的整数有8个． （4）解：表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 19．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若满足，则；⑥若三个非零有理数满足，则，其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①不一定是一个负数，例如当时，，原说法错误，不符合题意； ②正整数、负整数和0统称为整数，原说法错误，不符合题意； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确，符合题意； ④绝对值等于本身的是正数与零，原说法错误，不符合题意； ⑤若满足，即，则，原说法正确，符合题意； ⑥若三个非零有理数满足， 则有理数中有两个正数，一个负数， 为负数， 则，原说法错误，不符合题意； 故正确的有2个． 20．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；；观察式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①______；②______； (2)当时，______；当时，______； (3)计算： 【答案】(1)①；② (2)； (3) 【分析】（1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简； （3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴； （2）解：当时，；当时，； （3）解：原式 . 考点06 有理数的混合运算 21．（26-27七年级上·河南·期中）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先把小数化成分数，然后利用加法交换律进行简便运算即可； （2）先把小数化成分数，然后再化成假分数，再利用有理数乘除混合运算计算即可； （3）先计算绝对值，再利用有理数四则混合运算法则计算即可； （4）直接利用乘法分配律进行简便运算即可； （5）直接利用含乘方的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 22．（26-27七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除法，最后算加减即可； （3）利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 23．（26-27七年级上·湖北武汉·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 24．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）计算 (1)； (2)； (3) (4) (5) (6)（简便计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）按照有理数的加减运算法则计算即可； （）按照有理数的乘除运算法则计算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）先进行乘方运算，再进行括号里面的运算，然后进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （）利用乘法分配律的逆运算进行计算即可； （）把原式转化为，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 考点07 含乘方的有理数混合运算 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察式子： 猜想：的值． 【答案】3025 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，有理数的乘方运算，由已知等式可得，进而即可求解，找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴． 26．（26-27七年级上·吉林长春·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照有理数混合运算顺序，先乘方，再乘除，最后进行加减运算； （2）有理数混合运算，先算乘方，再算括号内的运算，其次算乘法，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（26-27七年级上·浙江嘉兴·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 28．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)20 (2) (3)3 (4)10 (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 考点08 有理数四则混合运算的实际应用 29．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）甲、乙两家体育用品商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价80元，羽毛球每盒20元，现在两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一刷羽毛球拍赠一盒羽毛球：乙店的优惠办法是：按定价的九折出售．某校的体育组需购买羽毛球拍4副，羽毛球若干盒（不少于4盒）； (1)当购买羽毛球的盒数为盒时，在甲店购买需付款________元；在乙店购买需付款________元（用含的代数式表示）； (2)当购买20盒羽毛球时，到________（填甲或乙）商店比较合算，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元？ (3)当购买盒羽毛球时，最省的费用是多少，请用的代数式表示． 【答案】(1)； (2)甲；在甲商店够买4副羽毛球拍，在乙商店够买16盒羽毛球，此时需付款608元 (3)（元） 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及有理数混合运算等知识，根据两店的优惠政策办法得到两个商店付费的关系式是解题的关键． （1）分别根据两店的优惠政策办法即可； （2）分别将代入计算，再比较即可；可在甲店购买羽毛球拍，在乙店购买羽毛球，从而计算费用； （3）根据（2）中方案列出式子即可． 【详解】（1）解：当购买羽毛球的盒数为盒时， 在甲店购买需付款：（元）， 在乙店购买需付款：（元）． 故答案为：；； （2）当购买20盒羽毛球时， 在甲店购买需付款：元， 在乙店购买需付款：元， ∵， ∴当购买20盒羽毛球时，到甲商店比较合算； 更省钱的购买方案为： 在甲商店够买4副羽毛球拍，在乙商店够买盒羽毛球， 所需费用为：元； （3）由题意可得，当购买盒羽毛球时， 最省的费用是：（元）． 30．（25-26七年级上·浙江温州·期中）素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤ 与标准重量的差值（单位：千克） 0 素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式： 纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱 可容纳袋数（袋/个） 2 4 重量（千克/个） 价格（元/个） 3 5 方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出． 方案二： ． 【任务1】 (1)求这5袋柿子饼的总重量． 【任务2】 (2)求方案一所需要的费用． 【任务3】 (3)请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用． 【答案】(1) (2)元 (3)购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出；元（答案不唯一） 【分析】本题考查正负数的概念，关键是理解正负数的实际意义． （1）根据题意列式计算即可． （2）根据题意列式计算即可． （3）根据题意设计的方案二的费用低于方案一即可． 【详解】（1）解： ； 答：这5袋柿子饼的总重量； （2）解：②、④打包后重量：， ②、④的费用为（元），③的费用为15元，①的费用为元，⑤的费用为元， ∴， 答：方案一所需要的费用为73元； （3）解：可设计方案： 购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出， 费用为：①、②、④、⑤打包后重量：； ①、②、④、⑤费用：（元），③费用15元； 此方案费用共计元； 可设计方案： 购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出， 费用为：①④打包后重量， ②⑤打包后重量， ①④费用：（元）， ②⑤费用：（元）， ③费用15元； 此方案费用共计元； 可设计方案： 购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出， 费用为：①⑤打包后重量； ②④打包后重量：； ①⑤费用：（元）， ②④费用：（元）， ③费用15元； 此方案费用共计65元． 31．（25-26七年级上·湖北十堰·期中）如图，一扇窗户如图①，所有窗框（包含内部框架和外部框架）为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是米，窗户（包括上部和下部）全部安装透明玻璃，现在按照图②的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图②中窗帘下部分是两个以米为直径的半圆形，没有窗帘的部分阳光可以照射进来．（本题中取3，长度单位为米）．    (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的代数式表示，取3） (2)求照进阳光的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，取3） (3)某公司需要购进20扇窗户，按照图②的方式安装窗帘，厂家报价：铝合金每米100元，窗帘每平方米40元，透明玻璃每平方米90元，当时，计算该公司总花费多少元？ 【答案】(1)一扇这样窗户一共需要铝合金米 (2)照进阳光的面积是平方米 (3)该公司总花费为47700元 【分析】本题考查了列代数式、有理数的混合运算，理解题意，正确列出代数式及算式进行计算是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）先求出20扇窗户需要铝合金的长度，窗帘、玻璃的面积，再列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 一扇这样窗户一共需要铝合金：（米）， 一扇这样窗户一共需要铝合金米； （2）解：根据题意得： 照进阳光的面积是（平方米）， 照进阳光的面积是平方米； （3）解：当时， 20扇这样的窗户一共需要铝合金：（米）， 20扇这样的窗户一共需要窗帘（平方米）， 20扇这样的窗户一共需要玻璃（平方米）， 该公司总花费为：（元）， 该公司总花费为47700元． 32．（25-26七年级上·福建厦门·期中）福建省厦门市居民生活用电实行分档累进递增的阶梯电价，按户月均用电量分三档，普通电价表加下： 月用电量 电费（单位，元/度） 第一档 不超过230度的部分 0.50 第二档 超过230度不超过420度的部分 0.55 第三档 超过420度的部分 0.80 示数类型 上次抄表示数 这次抄表示数 用电量 总电量 18776 19081 305 峰电量 12689 12882 谷电量 5480 5592 根据用电情况，用户可以申请“峰谷电价”其收费如下，高峰时段，其电价在各档电价基础上加价0.03元/度，低谷时段以外时间，其电价在各档电价基础上加价元/度． 小朋家9月电表示数变化情况如表： (1)对于第一档用电情况，高峰时段电价为________元/度，低谷时段电价为________元/度． (2)①计算小朋家这个月的普通电费． ②若申请“峰谷电价”，9月份能省钱码？省多少钱？ (3)若某用户的月用电量为度，请用含的式子表示该用户这个月的普通电费． 【答案】(1)0.53，0.30 (2)①156.25；②能省钱，共省钱20.36元 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、整式的加减的实际应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）①由表格可得小朋家本月共用电305度，其中第一档用电量为230度，第二档用电量为75度，根据表格中的收费标准计算即可； ②先计算出的值，然后列式计算即可； （3）根据题意分档进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得： 第一档用电情况，高峰时段电价为：（元/度）， 低谷时段电价为：（元/度）， 故答案为：0.53，0.30； （2）解：①由表格得： 小朋家本月共用电305度，其中第一档用电量为230度，第二档用电量为75度， 小朋家这个月的普通电费为：（元）； ②若申请“峰谷电价”，由表格可得： （度），（度）， 共需电费为：（元）， （元）， 能省钱，共省钱20.36元； （3）解：由表格及题意可得： 当时，普通电费为元； 当时，普通电费为：（元）； 当时，普通电费为：（元）； 综上所述，若某用户的月用电量为度，该用户这个月的普通电费为． 考点09 科学记数法 33．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法形式为，其中， 为整数，对于数字，需确定，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 34．（2026·江西赣州·模拟预测）2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为万人，将万用科学记数法可表示为________． 【答案】 【分析】先将带单位“万”的数改写为普通整数，再根据科学记数法的要求确定和的值，科学记数法形式为，满足，为整数． 【详解】解：万． 35．（26-27七年级上·山东德州·期中）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿，那么100兆=________（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】根据题目给出的大数关系，先将1万，1亿，1兆转化为以10为底的幂的形式，再计算100兆，最终整理为科学记数法形式即可． 【详解】解：∵ 1万 ，1亿 万 万 ，1兆 万 万 亿， ∴ 1兆 ， ∴100兆 ． 36．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为__________ 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 题型10 代数式及其求值 37．（26-27七年级上·吉林长春·期中）下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的常数项是3 【答案】C 【分析】注意为常数、单项式次数不含数字的指数、多项式的常数项带符号，逐一判断各选项． 【详解】解：A、的最高次项为，次数为，是二次三项式，原说法错误，不符合题意； B、的次数为，原说法错误，不符合题意； C、的系数是，原说法正确，符合题意； D、的常数项是，原说法错误，不符合题意． 38．（26-27七年级上·山东德州·期中）求值 (1)已知：，，且，求的值． (2)已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的值． 【答案】(1)的值为或． (2)原式的值为或． 【分析】（1）先根据绝对值的性质求出，的所有可能取值，再结合的条件舍去不符合的取值，最后代入计算即可． （2）根据相反数、倒数、绝对值的定义得出，，的相关值，将其代入原式化简后，分的两种取值计算结果． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴当时，且，不符合条件，舍去， ∴当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或； （2）解：∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ∵， ∴，， 将，，代入原式，得， 当时，， 当时，， 综上所述，原式的值为或． 39．（26-27七年级上·河北沧州·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则式子的值为（     ） A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】D 【分析】根据相反数、倒数和绝对值的定义，得出，，，再代入计算求值即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，， ，，， 当时，， 当时，， 综上可知，式子的值为或． 40．（26-27七年级上·全国·单元测试）理解与思考：整体代换是数学中的重要思想方法之一．例如，若，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，回答下面的问题： (1)若，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)15 (2)36 【分析】（1）利用整体化思想将代入所求的代数式即可． （2）利用整体化思想将，，代入所求的代数式即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：，， ． 题型11 单项式、多项式、整式相关的概念 41．（25-26六年级上·山东烟台·期末）下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】只需逐一判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可． 【详解】我们逐个判断每个说法： ① 根据整式的定义，单项式与多项式统称为整式，故①说法正确； ② 单项式的数字因数为，因此它的系数是，故②说法正确； ③ 多项式中，最高次项的次数为，该多项式共有个项，因此是二次三项式，故③说法正确； ④ 的次数是，不是，故④说法错误； ⑤ 多项式的项为，，，故⑤说法错误； 综上，故选：C． 42．（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了多项式的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）根据多项式的定义可得，，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的四次四项式，是六次式， ∴，， ∴，； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 43．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知，均为有理数，且多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)填空：________，________； (2)求这个多项式各项的系数和． 【答案】(1)3； 1 (2) 【分析】（1）根据多项式和单项式的次数的定义求解即可； （2）把多项式中每个单项式的系数相加即可得到答案． 【详解】（1）解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ∴， ∴； （2）解：． ∴这个多项式各项的系数和为． 44．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)指出该多项式的项； (2)该多项式的次数是________，三次项的系数是________； (3)按的降幂排列为：________； (4)若，试求该多项式的值． 【答案】(1)，，，，； (2)6， (3) (4) 【分析】（1）多项式中的每个单项式叫做多项式的项，注意要带上每一项前面的符号； （2）多项式的次数是次数最高的项的次数，找出三次项，它的数字因数就是三次项的系数； （3）按的降幂排列，就是让各项中的指数从大到小排列，排列时保留每一项的符号； （4）根据绝对值的非负性，求出，，把值代入原式计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：多项式的次数是次数最高的项的次数，各项次数依次为2、2、3、6、0，最高次数为6，因此多项式次数是6； 三次项是，它的数字因数就是系数，为； （3）略； （4）解：∵， ∴，， ∴，． ∴ ． 题型12 整式的加减运算 45．（26-27七年级上·安徽亳州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 46．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 47．（26-27七年级上·吉林长春·期中）化简： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 48．（26-27七年级上·山东青岛·期中）已知． (1)求； (2)当时，求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解：， ； （2）解：当时， ． 题型13 整式加减中的化简求值 49．（26-27七年级上·黑龙江大庆·期中）化简与求值． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算法则和运算顺序化简，再代值求解即可； （2）根据整式的加减运算法则和运算顺序化简即可． 【详解】（1）解： ； 当，时， ． （2）解： ． 50．（26-27七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 【答案】化简结果：;  值： 【分析】先去括号、合并同类项把式子化为最简形式，再代入数值计算．注意先化简再代入可避免复杂计算；代入负数或分数时要加括号，按运算顺序计算． 【详解】解：先合并同类项：． 去括号并合并： 代入、： 当，时： 51．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读：我们知道，，类似的，我们也可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式； （3）解：原式 当，，时， 原式． 52．（26-27七年级上·全国·周测）已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据整式加减运算法则进行计算，将原整式化简为，根据多项式的值与字母x的取值无关，求出，； （2）先去括号，合并同类项，将原整式化简为，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）解： ， 因为多项式的值与字母的取值无关， 所以，， 所以，． （2）解： ． 把，代入， 原式． 题型14 整式加减无关型问题 53．（26-27七年级上·安徽亳州·期中）多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 【答案】B 【分析】对多项式去括号、合并同类项化简，根据化简结果判断与字母取值的关系． 【详解】解： ． ∵ 化简结果含字母,，不含字母， ∴ 多项式的值与,的大小有关，与的大小无关． 54．（2026七年级上·全国·专题练习）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先合并同类项化简，再将、代入即可解答； （2）先计算并合并同类项，根据值与无关可得含项的系数为，求出、的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于，的多项式， ∴， ∵，， ∴． （2）解： ； ∵的值与的取值无关， ∴，，解得，， ∴． 55．（26-27七年级上·全国·课后作业）多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______． 【答案】4 【分析】将两个多项式相加合并同类项，不含二次项说明二次项的系数为，据此建立等式求解即可． 【详解】解： 相加后不含二次项， 二次项系数等于，即 ． 56．（26-27七年级上·上海嘉定·期中）已知关于x，y的多项式，． (1)若，，化简； (2)若的值与x的取值无关，求单项式的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）将，代入分别得出，，然后根据整式加减运算法则，进行计算即可； （2）先将原整式化简为，然后根据的值与x的取值无关，得出，，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， ， 所以 ． （2）解：因为， 所以 ． 因为的值与的取值无关， 所以，， 所以，， 则． 题型15 整式加减的应用 57．（26-27七年级上·河北·期中）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的序号是__________ ① 与 的和；② 与 的积；③ 与 的差；④ 与 的商 【答案】③ 【分析】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③．然后根据①+③的周长和②+③的周长之差为6，列出等式，化简得到．再由正方形和长方形周长相等，即，变形为．最后通过和这两个式子，能够求出与的差，从而确定答案为③，而其他选项仅根据现有条件无法求出具体数值． 【详解】解：设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③， ①+③的周长为：， ②+③的周长为：， 已知①和②的周长之差为6， 则①+③的周长与②+③的周长之差为6， 即， 化简可得， 则， 因为正方形和长方形周长相等， 所以，可得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以与的差可求． 与的和，与的积，与的商，仅根据现有条件无法求出具体数值． 58．（26-27七年级上·全国·单元复习）秋风起，桂花飘香也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季．小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只50元，至尊公蟹每只30元．商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案①：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的八折销售； 方案②：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． (1)按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元；按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元．（用含a的式子表示） (2)当时，通过计算说明此时按上述哪种方案购买较合算． 【答案】(1)； (2)按方案②购买较合算 【分析】（1）分别根据优惠方案列代数式计算即可； （2）将代入（1）中两代数式计算，进而比较即可． 【详解】（1）解：方案①：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的八折销售， 则按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元； 方案②：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹， 按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元． （2）解：当时，按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款（元）， 按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款（元）． 因为， 所以按方案②购买较合算． 59．（26-27七年级上·四川达州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4、5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【答案】(1)8 (2)元 (3)当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元 【详解】（1）解：某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费元． （2）解：若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费（元）； （3）解：设4月份用水x立方米，则月份用水立方米， ∵5月份用水量多于4月份， ∴， 解得， 当时，，该户居民4、5月份共缴纳水费（元）； 当时，，该户居民4、5月份共缴纳水费（元）； 当时，，该户居民4、5月份共缴纳水费（元）． 60．（26-27七年级上·江苏南京·期中）国庆假期小陈一家游览南京玄武湖公园，园内布置一处主题花坛，如图矩形，花坛宽、，设计师将整个花坛划分成四块区域，分别摆放不同主题的节日花卉造型，四块区域的面积依次记为、、、，如果，则的值为_________（用含a，b的式子表示）. 【答案】 【分析】根据长方形面积公式及题目给出的面积比例关系，先求出和与长方形总面积的关系，进而确定点、的位置，计算出的面积，最后利用面积和差关系求出． 【详解】解：设长方形的面积为 长方形中，， 同理 解得 ，且 ， 解得 ． 题型16 探索与表达规律 61．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）阅读材料： ，，，…… (1)________，________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由阅读材料所给式子的形式即可得到答案； （2）由阅读材料中的方法先裂项，再重新组合消去中间项，最后由有理数减法运算计算即可； （3）先对每项提公因数，再类比（2）中的裂项相消的方法计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 62．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）观察下列各式，回答问题： ，，…． 按上述规律填空： (1)______×______，______×______． (2)______×______． (3)计算：． 【答案】(1)，；， (2)， (3) 【分析】（1）根据所提供算式所呈现的规律，可得出答案； （2）观察可知，1减去一个正整数的平方分之一的结果为两个分数的乘积，其中一个分数的分子为该正整数减去1，分母为该正整数，另一个分数的分子为该正整数加1，分母为该正整数，据此可得答案； （3）根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：，，…， 以此类推，可知； （3）解：由（2）得 ． 63．（26-27七年级上·吉林长春·期中）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度（）随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来A、B两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量A型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 (1)请根据表中与的对应值可知，当时，_____； (2)用含的代数式表示为_____； (3)当时，_____； (4)如图②，把1个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为；把2个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为．把8个B型碗整齐叠放在6个A型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由表格知，每增加1个碗，高度增加，据此填表即可； （2）根据表格找规律列代数式即可； （3）把代入计算求值即可； （4）求出把1个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，增加的高度为，把一个B型碗上面再叠放1个B型碗，高度增加，再列式计算即可； 【详解】（1）解：根据表中与的对应值可知，当时，； （2）解：用含的代数式表示为； （3）解：当时，； （4）解：把1个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为，根据表格中数据1个A型碗的高度为， ∴把1个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，增加的高度为， ∵把2个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为， ∴把一个B型碗上面再叠放1个B型碗，高度增加， 由（1）可知A型碗满足个叠放总高度为， ∴把8个B型碗整齐叠放在6个A型碗上面时，这些碗的总高度为． 64．（26-27七年级上·福建龙岩·期中）动脑筋、找规律． 戴老师给小明出了下面的一道题，如图所示，请根据数字排列的规律，探索下列问题： (1)在处的数是正数还是负数？ (2)负数排在，，，中的什么位置？ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于，，，中的什么位置？ (4)已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为______． 【答案】(1)在A位置的数是正数 (2)在B和D位置的数是负数 (3)第2026个数是正数，排在对应于C的位置 (4) 【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答； （2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答； （3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2026除以4，根据余数的情况确定对应的位置即可； （4）当为偶数时，，当为奇数时，，据此即可求解． 【详解】（1）解：A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数； （2）解：观察图形可知，向下箭头的上边的数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是正数，上方是负数， 所以，B和D的位置是负数； （3）解：处的数是正数，处的数是负数，处的数是正数，处的数是负数， 四个数一循环，分别是负正负正， ， ∴第2026个数是正数，对应的是C的位置． （4）解：由题意得， ， ， ， ……依此类推， 当为偶数时，， 当为奇数时， 而是偶数，，故 ∴． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $