江苏省徐州市邳州市2026—2027学年苏科版数学八年级上册期中测评

江苏省徐州市邳州市2026—2027苏科版八上数学期中测评 （测试范围：第1章 ～第3章 考试时间:120分钟 试卷满分:140分) 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．如图，在中，，，平分，则的长为（    ）    A．5 B．10 C．12 D．13 2．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）    A． B． C． D． 3．如图，由，，可得，使用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 5．如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 7．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 8．下列条件下，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．若的值在两个连续整数与之间，则___． 10．如图，在中，、，将绕点A顺时针旋转得到、则的长为___________． 11．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为 __________cm． 12．如图，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是______．    13．如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是______． 14．“平方根”节是数学爱好者的节日，一个世纪只会出现9次，这一天的月份和日期的数字相同，且恰好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2025年5月5日，请你再写出一个本世纪的“平方根”节，__________（某年某月某日，题中示例除外）． 15．青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为_______． 16．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为________． 17．若与是同一个正数的平方根，则x的值为________． 18．如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为___． 三、解答题（本大题共10小题，共计86分，解答题要有必要的文字说明） 19．解方程： (1)； (2)． 20．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 21．如图，在中，点D是的中点，，交的平分线于点E，，垂足为F，，交的延长线于点G，试判断线段、的数量关系，并说明理由． 22．如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端到墙底端的距离为1.5m．求梯子顶端到地面的距离h． 23．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． (1)当时，写出这一组勾股数______． (2)证明“罗士琳法则”的正确性． 25．如图（1），已知中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点． (1)试说明：． (2)若直线绕A点旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请说明理由； (3)若直线绕A点旋转到图3位置时，其余条件不变，问与，关系如何？请直接写出结果，不需说明． 26．如图在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC、BD交于点M，连接OM． （1）求∠AMB的度数； （2）MO是∠AMD的平分线吗？请说明理由． 27．如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 28．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省徐州市邳州市2026—2027苏科版八上数学期中测评》参考答案 1．C 【分析】根据等腰三角形三线合一性质，得到，利用勾股定理计算选择即可． 【详解】∵，，平分， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 2．B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】由题意可知，， ∴． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 直接根据证明即可． 【详解】在和中， ， ． 故选：C． 4．D 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论． 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴三角形三个内角的角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等， 因此到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点． 5．D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，由勾股定理得，求出，由即可求解．能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上的点、对应的实数分别是、，，长为个单位长度， ∴，，， ∴在中，， ∵以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点， ∴， ∵数轴上的点对应的实数是， ∴点表示的实数是． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 7．D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 8．D 【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：A、， ， 是直角三角形， 选项说法错误，不符合题意； B、， 设，，， ，， ， 是直角三角形， 选项说法错误，不符合题意； C、，， ， ， 是直角三角形， 选项说法错误，不符合题意； D、，， ， ， ， 不是直角三角形， 选项说法正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 9．7 【分析】先估算无理数的取值范围，在求出a，b即可求解. 【详解】解：因为， 所以a=3，b=4， 所以a+b=3+4=7. 故答案为：7. 【点睛】本题主要考查无理数的估算，解决本题的关键是要熟练掌握无理数的估算. 10． 【分析】根据旋转的性质，得到是直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵、， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质以及勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 11．5或 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，等腰三角形的定义，本题分两种情况讨论：是腰长时，是底边时，再作答即可． 【详解】解：是腰长时，底边为， ∵， ∴、、能组成三角形； 是底边时，腰长为， 、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为或． 故答案为：5或． 12． 【分析】根据正方形的面积公式可求出，，结合勾股定理可求出，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别是100和36， ∴，． ∵， ∴， ∴以为直径的半圆的面积是．　 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理正确求出的长是解题关键． 13．2 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 连接，判定≌，即可得到，进而得出点F的运动轨迹为直线，依据当时，最短，即可得到的最小值是2． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点， ∴，， ∴， 即点F的运动轨迹为直线， ∴当时，最短， 此时， ∴的最小值是2． 故答案为：2． 14．2036，6，6（答案不唯一） 【分析】根据题意确定本世纪年份范围为2000年~2099年，设月份和日期的数字均为n，可得年份最后两位数字为，找出符合条件且的正整数即可得到答案. 【详解】解：本世纪年份满足前两位为20，设月份与日期的数字都为，为正整数，满足，且， 由题意得，是年份最后两位数字的算术平方根，因此年份最后两位数字为，年份可表示为， 取，得，则年份为，符合本世纪的要求； 因此可得一个符合条件的平方根节为2036年6月6日. 15．8 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用表示后计算即可． 【详解】解∶如图2， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ， 朱入与朱出的三角形全等， ， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ， ， 阴影部分面积为 ， ∵，正方形和正方形的面积之和为25， ∴， ， 即阴影部分的面积为8， 故答案为∶8． 16．/度 【分析】由旋转性质，，再由等边对等角得到，根据求出最后结果． 【详解】解：由旋转可得，， ， ． 17．或1/1或 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，与是同一个正数的平方根， 得或， 解得：或， 故答案为：或1． 18． 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系是解题的关键．由折叠性质可知，然后根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 19．(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义，解方程，即可求解； （2）先变形为，再根据立方根的定义，解方程即可求解． 【详解】（1）解∶ ， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2)2 【分析】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，本题的易错点在于平方根和算术平方根的区分． （1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．根据和是某正数的两个不相等的平方根，可得和互为相反数，其和为；由的立方根为得，即可求出答案． （2）根据第一问求出的值代入得，再由算术平方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：由题意和是某正数的两个不相等的平方根可得， ， ， ， 由于的立方根为， ， ； （2）当时，    ∴的算术平方根是 21． ，理由如下： ，为中点， ∴垂直平分， ， ，，且平分， ， 在和中， ， ， ． 【分析】先分别证明，进而证明，由此即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证明全等三角形是解题的关键． 22．2m 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式． 在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的值． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理可得：， ∴ 答：梯子顶端到地面的距离是． 23．(1) 证明：连接，，   ，、分别是、的中点， ，， ， 是中点， ； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，等边三角形的判定和性质； （1）由直角三角形斜边中线的性质推出，由等腰三角形的性质即可证明； （2）由等腰三角形的性质推出，，由三角形外角的性质求出，得到是等边三角形，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：，、分别是、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． 24．(1)14，48，50； (2) 证明：∵ ． ， ∴当k大于2时，， ∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数． 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）根据勾股定理计算证明即可． 【详解】（1）解：当时， 根据题意得：， ∴这一组勾股数为14，48，50； 故答案为：14，48，50． （2）略 25．(1) 证明： ，， ． 又，， ． ，． 又， ， 即． (2) ，理由如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． (3)， 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据证明，得；．根据代换即可； （2）同理证明，得；．此时； （3）同理证明，得；．此时． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，证明如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． 26．（1）36°； （2）MO是∠AMD的平分线． 理由：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示， 则∠OGA＝∠OHB＝90°， ∵△AOC≌△BOD， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠AMD． 【分析】（1）先由SAS证明△AOC≌△BOD，再由三角形全等的性质得出∠OAC＝∠OBD．由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°； （2）作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD． 【详解】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得： ∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°； （2略 ） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 27．(1) 证明：，， 和是直角三角形， 在和 中， ， ， ， ，， ， 平分； (2) 证明：∵， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． （1）利用证明，得到，即可得到平分． （2）先证明，得到，得到，即，则，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略． 28．（1）13；（2）；（3）4.8 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图， ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $