江苏省苏州市昆山市2026-2027学年苏科版八年级上学期数学期中考试模拟试卷

昆山市2026-2027学年度初二上学期数学期中考试模拟试卷 范围；八上第1章，八下第九章，第十章。 本卷满分130分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 3．（本题3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG=2，ED=6，则DB+EC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．9 4．（本题3分）如图，在中，于点D，E是上一点．若，，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 5．（本题3分）如图，在中，边上中线交于点，则的面积为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 6．（本题3分）如图，在中，，，，P、Q是边、上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒．若点P从C点出发沿以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当（　　）时，和全等． A．2 B．4 C．4或3 D．2或4 7．（本题3分）如图所示， 在中， 已知点D， E， F分别是的中点，且 则的值为（  ） A．15 B．16 C．17 D．18 8．（本题3分）如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（　　） A． B． C．或 D．或 B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）分解因式：__________． 10．（本题3分）如图，已知中，，是的中点，，则 ______． 11．（本题3分）分式方程的解为___________． 12．（本题3分）在等腰△ABC中，如果过顶角顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝___． 13．（本题3分）已知：有一小块Rt的绿地，量得两直角边长分别是，，现在要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以为直角边长的直角三角形，扩充部分的边长为________． 14．（本题3分）某直角三角形三条边的平方和为98，则这个直角三角形的斜边上的中线长为___________． 15．（本题3分）如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为___________． 16．（本题3分）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为________． 三、解答题（共82分） 17．（本题6分）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（本题6分）分解因式． (1) (2) 19． （本题6分）先化简再求值，其中． 20．（本题6分）如图，AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，CE=DE．求证：AC+BD=AB． 21．（本题6分）如图，点C、E在线段上，，，．求证：． 22．（本题6分）已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求m的值． 23．（本题8分）阅读材料： 在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式，的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 解答问题： (1)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务． ①大船、小船完成运送任务所需天数分别为___________天，___________天（均用含的代数式表示）； ②通过计算说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？ (2) 比较与的大小． 24．（本题8分）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． 25．（本题10分）八年级1班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图（1），是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：______； 【理解与应用】 （2）如图（2），是的中线，若，，设，则x的取值范围是______； （3）如图（3），在中，是的中线，点F在中线上，连接并延长交于点E，且．求证：． 26．（本题10分）在边长为8的等边三角形中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，当t取何值时？ (2)若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形（在图2中画出示意图）． (3)如图3，将边长为的等边三角形变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且，，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，直接写出a的值． 27．（本题10分）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《昆山市2026-2027学年度初二上学期数学期中考试模拟试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B C A D B D 1．C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，由旋转可得，，由直角三角形两锐角互余可得，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，， ∵ ∴， ∴， 故选：． 2．D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答． 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：D 3．B 【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG=EB，DF=DC即可求得结果． 【详解】解：∵ED∥BC， ∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB， ∵FB是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线， ∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB， ∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC， ∴BD=DF，CE=GE， ∵FG=2，ED=6， ∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明． 4．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出 ，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴的周长为， 故选C 5．A 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得，根据勾股定理求得，进而根据三角形面积公式求得，根据三角形中线的性质可得的面积为，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 中，， ， 是边上的中线， 的面积=． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线的性质，求得是解题的关键． 6．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况：当时，点从到运动；当时，点从到运动；分别利用全等三角形的性质建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，点从到运动，则，， 当时，则，即， 解得：， 当时，点从到运动，则，， 当时，则，即， 解得：， 综上所述，当或时，和全等， 故选：D． 7．B 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质等知识点，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得平方厘米，平方厘米，进而得到即可解答． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴平方厘米， ∵E是的中点， ∴平方厘米，平方厘米， ∴平方厘米， ∵F是的中点， ∴平方厘米． 故选：B． 8．D 【分析】设运动运动的时间为时，则，，根据题意，得，，根据三角形全等，分类解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为时，则，， ∵，， ∴，， 当点到达终点时，运动时间为：， 点Q到达C的运动时间为：， ∵以、、三点为顶点的三角形与全等， 得到， 故， ∴或， 解得或， 故选：D． 9． 【分析】直接提取公因式2m，进而分解因式得出答案． 【详解】解： = = 故答案为： 【点睛】此题主要考查了提取公因式法及运用平方差公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 10．6厘米 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：6厘米． 11． 【分析】此题考查了分式方程的解法，方程两边都乘以化为整式方程，解方程并检验即可． 【详解】解： 方程两边都乘以得， ， 解得， 检验：当时，， 所以，是方程的解， 所以，原分式方程的解是． 故答案为：． 12．90°或108°． 【分析】根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论． 【详解】解：①当BD=AD，CD=AD时，如图①所示， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 设∠B=∠C=x， ∵BD=AD，CD=AD， ∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x， ∴4x=180°， ∴x=45°， ∴∠BAC=2x=45°×2=90°； ②当AD=BD，AC=CD时，如图②所示， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C 设∠B=∠C=x， ∵AD=BD，AC=CD， ∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=， ∴+x=180°-2x， 解得：x=36°， ∴∠BAC=180°-2x=180°-2×36°=108°， 故答案为：90°或108°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解答此题的关键． 13．4或6或 【分析】分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图所示： 在中，因为，， ①如图1，当时， ②如图2，当时， ③如图3，当时，设，则 ， ， ， 故答案是：4或6或． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的定义，熟练应用勾股定理，掌握分类讨论数学思想方法是解题关键． 14． 【分析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 利用勾股定理和三条边平方和的条件求出斜边长，再根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c． 由勾股定理，得． ∵三条边的平方和为98， ∴． ∴，解得：（已去负值）， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上的中线长为． 故答案为． 15． 【分析】将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、， ，，，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∵ ． 在中，，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键． 16． 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 17．(1)； (2)2； (3)； (4)． 【分析】（1）根据分式的乘法运算法则计算即可； （2）由同分母的分式计算法则计算即可； （3）根据异分母分式的运算法则计算即可； （4）由分式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：原式× ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法是解题关键． （1）利用提取公因式法分解因式即可得； （2）综合利用提取公因式法和平方差公式分解因式即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 将代入， 原式． 20．见解析 【分析】根据垂直的定义得到∠A=∠B=90°，再证明∠C=∠DEB，即可证明△CAE≌△EBD，根据全等三角形的性质即可证得结论． 【详解】证明：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A=∠B=90°， ∴∠C+∠CEA=90°，∠D+∠DEB=90°， ∵CE⊥DE， ∴∠CED=90°， ∴∠CEA+∠DEB=90°， ∴∠C=∠DEB， 在△CAE和△EBD中 ， ∴△CAE△EBD（AAS）， ∴AC=BE，BD=AE， ∵AE+BE=AB， ∴AC+BD=AB． 【点睛】本题主要考查了互为余角的关系，全等三角形的判定与性质，能根据同角的余角相等证得∠C=∠DEB是解决问题的关键． 21． 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，根据，得到，证明，即可得出结论． 【详解】略 22．(1) (2)m的值是或6或1 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先把代入分式方程，再方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘，得出①，整理后得出②，再分别把，，代入①求出m，由②得出当时，方程无解，最后代入答案即可． 【详解】（1）把代入方程得： ， 方程两边都乘，得 ， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即当时，方程的解是； （2）， 方程两边都乘，得 ①， 整理得：②， 有三种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得：； 第二种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得：； 第三种情况：②， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是或6或1． 23．(1)①；；②小轮船完成任务所用的时间少 (2) ， 当且时，更大，当时，更大，当时，无解． 【分析】（1）①根据大船比小船每天多运10吨货物，得出大船每天运吨货物，进而可得解答； ②通过作差法求解即可； （2）通过作差法求解之后，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）①∵小船每天运吨货物， ∴大船每天运吨货物， ∴大船完成运送任务所需天数为，小船完成运送任务所需天数为， 故答案为：；； ②根据题意得， ， ∵， ∴， ∴小轮船完成任务所用的时间少； （2） 略 【点睛】本题考查了作差法，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 24．（1），；（2）60度；（3）40 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识，能够在图中找到全等三角形并证明是解题关键； （1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到； （2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得； （3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，与交点为，与交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）∵和是等边三角形， ， ，即， ， ， 设与相交于点，则， ； （3）延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即直线与直线的夹角为； 故答案为：． 25．（1）； （2）； （3）证明：如图，延长至点M，使得，连接， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据定理证明即可； （2）延长至点Q，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系得，即可得到结论； （3）延长至点M，使得，连接，先证明，根据全等三角形的性质得，，再由得，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，是的中线，，，设，延长至点Q，使，连接， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴x的取值范围是； 故答案为：； （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26．(1)t=2 (2)t= (3)1或 【分析】（1）根据是等边三角形，PQ//AC，得出 ，，证明出是等边三角形，即可得出； （2）需要进行分类讨论，当点Q在边BC上时，此时不可能为等边三角形；当点Q在边AC上时，若为等边三角形，则，然后求解； （3）当，全等时，分两种情况讨论，当时，当时，设经过秒后全等，，然后再分类讨论，进行计算． 【详解】（1）解：如图1 是等边三角形，PQ//AC， ，， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：，则， ， 解得：， 故t的值为2时，PQ//AC． （2）解：如图2 ①当点Q在边BC上时， 此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边AC上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ， 即：， 解得：， 故当秒时，为等边三角形； （3）解：如图3: ， 当，全等时，分两种情况讨论， 当时， 设经过秒后全等， ， 根据， ， 解得：， 即时，，全等； 当时， 设经过秒后全等， ， 根据， 即， 解得：， ， ， 解得：， 综上：当，全等时，a的值为1或． 【点睛】本题考查了等边三角形、平行线的性质、三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握相应的定理，还需要利用分类讨论的思想进行求解． 27．(1)， 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， 的周长为：， 故答案为：或 ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $