江苏省南京市九年级数学2026-2027学年第一学期期中考试模拟卷4（苏科版）

2026～2027学年第一学期期中模拟调研 九年级数学 （满分120分　考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．下列方程中，一定是关于 的一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知 为常数，点 在第四象限，则关于 的方程 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．没有实数根　　D．只有一个实数根 3．有下列等式：①；②；③；④．其中 与 成反比例关系的个数是（　　） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 4．在平面直角坐标系中， 的半径为5，圆心为坐标原点，则下列各点中，在 外的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．如图，四边形 内接于 ， 为 的延长线上的一点．若 ，则 的度数是（　　） （第5题） A．　　B．　　C．　　D． 6．如图， 是以正方形 的顶点 为圆心、 长为半径的 上的点，连接 ，，将线段 绕点 顺时针旋转 后得到线段 ，连接 ．若 ，则 的最大面积是（　　） （第6题） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．方程 的实数根是________________． 8．若方程 的两个根是 和 ，则 的值为________________． 9．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则实数 的取值范围是________________． 10．若梯形的下底长为 ，上底长是下底长的 ，高为 ，面积为60，则 与 之间的函数表达式为________________． 11．点 ， 都在函数 的图象上，则 ________________（填“＞”“＜”或“＝”）． 12．如图， 是 的半径，弦 于点 ，连接 ．若 的半径为5 cm， 的长为8 cm，则 的长是________________cm． （第12题） 13．用一个圆心角为 、半径为10 cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________________cm． 14．如图，在长30 m、宽20 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地的面积为551 m，则修建的道路的宽应为________________m． （第14题） 15．若直线 与双曲线 交于点 ，，则 的值为________________． 16．在平面直角坐标系中，以点 为圆心、 为半径作 ．若直线 与 交于 ， 两点，则 长的最小值为________________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3） ； （4）． 18．（6分）如图，在 中， 是弦 上的一个动点，连接 ，过点 作 ，交 于点 ． （1）当点 在 的什么位置时， 的长取得最大值？ （2）若 ，求 长的最大值． （第18题） 19．（6分）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右的页边距分别为 cm， cm， cm， cm．若纸张大小为 16 cm×10 cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的 70%，则需如何设置页边距？ （第19题） 20．（7分）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，， 是 轴上的一点，连接 ，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若 的面积为6，求点 的坐标． 21．（7分）如图，在 中，直径 与弦 交于点 ，，连接 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ， 的延长线与 的延长线相交于点 ． （1）若 ，求 的度数； （2）连接 ，，再连接 并延长，交 于点 ，求证：． （第21题） 22．（7分）随着旅游旺季的到来，去年某景区游客人数逐月增加，2月游客人数为1.6万，4月游客人数为2.5万． （1）求去年2月至4月该景区游客人数的月平均增长率． （2）5月该景区游客人数继续增长，但增长率不超过（1）中所求的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月后10天的日均接待游客人数最多是多少万？ 23．（8分）如图，在菱形 中，点 在 轴上，函数 的图象经过菱形的一个顶点 ，连接 ， 与函数 的图象交于点 ．求： （1）函数 的表达式； （2）点 的坐标． 24．（8分）如图，在 中，， 的平分线 交 于点 ， 是边 上一点，以点 为圆心、 长为半径作圆， 恰好经过点 ，交 于点 ，连接 ． （1）求证：直线 是 的切线； （2）若 为 的中点，，求涂色部分的面积． 25．（9分）某种产品按质量分为10个档次，最低档次的产品每件可获利24元，每提高一个档次，每件产品的利润增加2元；最低档次的产品每天可生产60件，每提高一个档次，日产量将减少2件，并且每天只生产同一档次的产品（最低档次为第1档次，档次依次随质量的提高而增加）． （1）某天生产第3档次的产品，求：①该档次每件产品的利润；②这一天的总利润． （2）如果要使一天获得利润1728元，那么应生产第几档次的产品？ 26．（8分）如图，函数 和 的图象相交于 ， 两点． （1）点 的坐标为________________，点 的坐标为________________； （2）观察图象，不等式 的解集为________________； （3）若 轴上存在点 ，使 ，求点 的坐标． （第26题） 27．（10分）如图①，在 Rt 中，，， cm，点 从点 出发，沿射线 以 2 cm/s 的速度移动，移动过程中始终保持 ，（点 ， 分别在射线 ， 上）．设点 移动的时间为 s． （1）若点 在边 上，则当 为何值时，四边形 的面积为 12 cm？ （2）如图②，以点 为圆心、 长为半径作 ． ①在点 沿射线 移动的过程中，是否存在 的值，使 正好经过点 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． ②若 上恰好只有两个点到直线 的距离为 2 cm，则 的取值范围是________________． （第27题） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期期中模拟调研 九年级数学 （满分120分　考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．下列方程中，一定是关于 的一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】一元二次方程必须同时满足：只含一个未知数、未知数的最高次数是2、二次项系数不为0．A中 可能为0；C中含有 两个未知数；D中二次项系数 可能为0．B整理得 ，符合定义． 2．已知 为常数，点 在第四象限，则关于 的方程 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．没有实数根　　D．只有一个实数根 【答案】A 【解析】点 在第四象限，，，，， 方程有两个不相等的实数根． 3．有下列等式：①；②；③；④．其中 与 成反比例关系的个数是（　　） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 【答案】B 【解析】反比例关系即 ．①、②中 与 成正比例；③即 ，是反比例关系；④中分母为 ，不是 的反比例函数．故只有1个． 4．在平面直角坐标系中， 的半径为5，圆心为坐标原点，则下列各点中，在 外的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】，，，． 点 在 内，点 ， 在 上，点 在 外，故选 D． 5．如图，四边形 内接于 ， 为 的延长线上的一点．若 ，则 的度数是（　　） （第5题） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】 四边形 内接于 ， 在 的延长线上，（圆内接四边形的外角等于它的内对角）．． 6．如图， 是以正方形 的顶点 为圆心、 长为半径的 上的点，连接 ，，将线段 绕点 顺时针旋转 后得到线段 ，连接 ．若 ，则 的最大面积是（　　） （第6题） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】过点 作 于点 ，过点 作 的延长线于点 ．由旋转的性质，得 ，．，，．又 ，，（AAS），．，即求 的最大值．当点 运动到 的中点 处时，，， 三点共线，点 与点 重合，此时 取得最大值 ． 的最大面积是 ． 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．方程 的实数根是________________． 【答案】， 【解析】，，． 8．若方程 的两个根是 和 ，则 的值为________________． 【答案】 【解析】由根与系数的关系得 ，．． 9．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则实数 的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 方程没有实数根，，解得 ． 10．若梯形的下底长为 ，上底长是下底长的 ，高为 ，面积为60，则 与 之间的函数表达式为________________． 【答案】 【解析】由梯形面积公式得 ，即 ，． 11．点 ， 都在函数 的图象上，则 ________________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】，．，． 12．如图， 是 的半径，弦 于点 ，连接 ．若 的半径为5 cm， 的长为8 cm，则 的长是________________cm． （第12题） 【答案】3 【解析】，．在 Rt 中，． 13．用一个圆心角为 、半径为10 cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________________cm． 【答案】3.5 【解析】扇形的弧长为 ．设圆锥底面圆的半径为 ，则 ，． 14．如图，在长30 m、宽20 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地的面积为551 m，则修建的道路的宽应为________________m． （第14题） 【答案】1 【解析】设道路的宽为 m．把道路平移到矩形的边上，则耕地可拼成一个长为 m、宽为 m的矩形，．整理得 ，解得 ，．，． 15．若直线 与双曲线 交于点 ，，则 的值为________________． 【答案】36 【解析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， 点 ， 关于原点对称，，．又 ，． 16．在平面直角坐标系中，以点 为圆心、 为半径作 ．若直线 与 交于 ， 两点，则 长的最小值为________________． 【答案】6 【解析】， 直线恒过定点 ．， 点 在 内．当 时， 最短，此时 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【解析】（1）移项，得 ，提取公因式，得 ，即 ，，． （2）整理，得 ．，，，，，即 ，． （3）整理，得 ，即 ．因式分解，得 ，，． （4）整理，得 ．，，即 ，． 18．（6分）如图，在 中， 是弦 上的一个动点，连接 ，过点 作 ，交 于点 ． （1）当点 在 的什么位置时， 的长取得最大值？ （2）若 ，求 长的最大值． （第18题） 【答案】（1）点 为 的中点；（2） 【解析】（1）连接 ．，，． 为 的半径，是定值， 当 最短时， 最长．而当 时 最短，此时 为 的中点． 当点 在 的中点时， 的长取得最大值． （2）由（1）知，此时 ，．又 ，（此时点 与点 重合）． 长的最大值为 ． 19．（6分）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右的页边距分别为 cm， cm， cm， cm．若纸张大小为 16 cm×10 cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的 70%，则需如何设置页边距？ （第19题） 【答案】各页边距均设置为1 cm 【解析】设页边距为 cm．由题意得 ．整理，得 ，即 ，解得 ，．当 时，，不合题意，舍去． 需将各页边距均设置为1 cm． 20．（7分）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，， 是 轴上的一点，连接 ，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若 的面积为6，求点 的坐标． 【答案】（1），；（2） 或 【解析】（1） 点 在反比例函数的图象上，， 反比例函数的表达式为 ． 点 也在其图象上，，即 ．把 ， 代入 ，得 解得 一次函数的表达式为 ． （2）设直线 交 轴于点 ，令 ，得 ，．设点 的坐标为 ，则 ．由题意得 ，，解得 或 ． 点 的坐标为 或 ． 21．（7分）如图，在 中，直径 与弦 交于点 ，，连接 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ， 的延长线与 的延长线相交于点 ． （1）若 ，求 的度数； （2）连接 ，，再连接 并延长，交 于点 ，求证：． （第21题） 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1） 是 的直径， 是 的切线，，．，，即 ． 是 所对的圆周角， 的度数为 ．， 的度数为 ，．，， 三点共线，，， 三点共线，（对顶角相等）． 是 在顶点 处的外角，，． （2），．，，即 ，．又 ，．，．，，，． 点 到 ， 两点的距离相等；又 ， 点 ， 都在线段 的垂直平分线上，，即 ． 22．（7分）随着旅游旺季的到来，去年某景区游客人数逐月增加，2月游客人数为1.6万，4月游客人数为2.5万． （1）求去年2月至4月该景区游客人数的月平均增长率． （2）5月该景区游客人数继续增长，但增长率不超过（1）中所求的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月后10天的日均接待游客人数最多是多少万？ 【答案】（1）25%；（2）0.1万 【解析】（1）设去年2月至4月该景区游客人数的月平均增长率为 ．根据题意，得 ，解得 ，（不合题意，舍去）． 去年2月至4月该景区游客人数的月平均增长率为 25%． （2）设5月后10天的日均接待游客人数为 万．5月共31天，则后10天共接待游客 万人．根据题意，得 ，解得 ． 5月后10天的日均接待游客人数最多是0.1万． 23．（8分）如图，在菱形 中，点 在 轴上，函数 的图象经过菱形的一个顶点 ，连接 ， 与函数 的图象交于点 ．求： （1）函数 的表达式； （2）点 的坐标． （第23题） 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）把 代入 ，得 ， 所求函数的表达式为 ． （2） 四边形 是菱形，．，，． 且 ， 把点 向右平移5个单位得到点 ，．设直线 的表达式为 ，把 代入，得 ，，．由 ，得 ，解得 （负值舍去），此时 ． 点 的坐标为 ． 24．（8分）如图，在 中，， 的平分线 交 于点 ， 是边 上一点，以点 为圆心、 长为半径作圆， 恰好经过点 ，交 于点 ，连接 ． （1）求证：直线 是 的切线； （2）若 为 的中点，，求涂色部分的面积． （第24题） 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）连接 ． 是 的平分线，．，，，．，．又 是 的半径， 直线 是 的切线． （2）， 是 的中点，．，， 是等边三角形，．在 Rt 中，，且 ，，，解得 ．． 25．（9分）某种产品按质量分为10个档次，最低档次的产品每件可获利24元，每提高一个档次，每件产品的利润增加2元；最低档次的产品每天可生产60件，每提高一个档次，日产量将减少2件，并且每天只生产同一档次的产品（最低档次为第1档次，档次依次随质量的提高而增加）． （1）某天生产第3档次的产品，求：①该档次每件产品的利润；②这一天的总利润． （2）如果要使一天获得利润1728元，那么应生产第几档次的产品？ 【答案】（1）①28元；②1568元；（2）第7档次 【解析】（1）①该档次每件产品的利润为 （元）．②这一天的总利润为 （元）． （2）设生产第 档次的产品．根据题意，得 ．整理并化简，得 ，解得 ，． 产品按质量分为10个档次，．， 舍去，． 要使一天获得利润1728元，应生产第7档次的产品． 26．（8分）如图，函数 和 的图象相交于 ， 两点． （1）点 的坐标为________________，点 的坐标为________________； （2）观察图象，不等式 的解集为________________； （3）若 轴上存在点 ，使 ，求点 的坐标． （第26题） 【答案】（1），；（2） 或 ；（3） 或 【解析】（1）由 ，得 ，解得 ，．当 时，；当 时，．，． （2）观察图象可知，当 或 时，直线 在双曲线 的上方， 不等式 的解集为 或 ． （3）设直线 与 轴的交点为 ，则 ．设点 的坐标为 ，则 ．，，解得 或 ． 点 的坐标为 或 ． 27．（10分）如图①，在 Rt 中，，， cm，点 从点 出发，沿射线 以 2 cm/s 的速度移动，移动过程中始终保持 ，（点 ， 分别在射线 ， 上）．设点 移动的时间为 s． （1）若点 在边 上，则当 为何值时，四边形 的面积为 12 cm？ （2）如图②，以点 为圆心、 长为半径作 ． ①在点 沿射线 移动的过程中，是否存在 的值，使 正好经过点 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． ②若 上恰好只有两个点到直线 的距离为 2 cm，则 的取值范围是________________． （第27题） 【答案】（1）2或3；（2）①存在， 或 ；② 【解析】（1） 在 Rt 中，，， cm， cm，．，， 四边形 是平行四边形．又 ， 四边形 是矩形，， 是等腰直角三角形．由题意得 cm ，则 cm， cm．，整理，得 ，解得 ，． 当 的值为2或3时，四边形 的面积为 12 cm． （2）①存在． 点 在 上，．当点 在点 的左边时，由 解得 ；当点 在点 的右边时，由 解得 ．综上所述，当 的值为 或 时， 正好经过点 ． ②设 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ． 点 在射线 上，，．到直线 距离为 2 cm 的点，都在与 平行且到 距离为 2 cm 的两条直线上． 上恰有两个点到 的距离为 2 cm，需 与其中一条直线相交于两点、与另一条直线相离，即 且 ．把 ， 代入并化简，得 且 ．当 时，，由此解得 ． 的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $