精品解析：吉林省长春吉大附中实验学校2026-2027学年高二年级上学期期中考试数学试题

吉林省吉大附中实验学校2026-2027学年度高二年级上学期期中考试数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 向量，若与垂直，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 0 4. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知点在直线上，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 7. 平行六面体的底面是矩形，其中，且为的交点，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知为坐标原点，，点是直线上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 圆与圆有两条公切线 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 平面内与两个定点距离之差为常数的点的轨迹是双曲线 10. 已知椭圆的离心率为，则实数的值可能为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8 11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点满足，则的轨迹的长度为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知直线：与直线：垂直，则实数______． 13. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 14. 椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________． 四、解答题（本题共5小题，计77分） 15. （1）求平行于直线，且与它的距离为的直线的方程； （2）已知圆，直线l过点，当直线l与圆C相切时，求直线l的方程. 16. 在长方体中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 17. 已知点，圆：． （1）求圆过点的最短弦所在的直线方程； （2）若圆与直线相交于，两点，为原点，且，求的值． 18. 直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． （1）若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 19. 如图，在等腰直角三角形中，，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置. （1）求证：平面平面； （2）若为中点，且点在平面上的投影为，点满足，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若是中点，是否存在点，使得，同时直线与平面所成角为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省吉大附中实验学校2026-2027学年度高二年级上学期期中考试数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，求得其斜率，进而得到其倾斜角. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由椭圆，得， 而椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6， 则点到另一个焦点的距离为. 3. 向量，若与垂直，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算及两向量垂直的坐标表示，列出关于k的方程，求得k的值. 【详解】由向量，得. 若与垂直，则，所以， 解得. 故选：A. 4. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知点在直线上，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点为，然后利用对称性可得，从而即可求解. 【详解】解：设点关于直线的对称点为， 则，解得， ∴，又， ∴. 故选：C. 6. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】令得，将题设问题转化成直线与圆相切截距的解即可由点到直线距离公式计算求解. 【详解】由化为， 则点为圆心为、半径为的圆上的点， 令，则， 则的最大值为直线在y轴上的截距的最小值， 点为直线与圆的交点， 则当直线与圆相切时截距取得最值， 令圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值是. 故选：C 7. 平行六面体的底面是矩形，其中，且为的交点，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ，所以，即线段的长为. 故选：C. 8. 已知为坐标原点，，点是直线上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】由题意可设，则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设，则， 化简可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故选：A 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 圆与圆有两条公切线 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 平面内与两个定点距离之差为常数的点的轨迹是双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，易知直线的斜率，则其倾斜角，即可判断；对于B，判断出两圆相交，从而得两圆有两条公切线，即可判断；对于C，求出满足条件的直线方程，即可判断；对于D，由双曲线的定义即可判断. 【详解】对于A，因为直线的斜率， 所以其倾斜角，故A错误； 对于B，因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径，所以两圆的圆心距， 则，所以两圆相交，故两圆只有两条公切线，故B正确； 对于C，因为所求直线过点，且在两坐标轴上截距互为相反数， 当所求直线过坐标原点时，其方程为，即；； 当所求直线不过原点时，设其方程为， 代入，解得， 所以所求直线方程为，即， 综上所述，所求直线的方程为或，故C错误； 对于D，由双曲线的定义得平面内与两个定点距离之差为常数(小于两定点之间的距离)的点的轨迹是双曲线，故D错误. 故选：ACD. 10. 已知椭圆的离心率为，则实数的值可能为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8 【答案】AD 【解析】 【详解】由，得，即，所以， 化为， 若焦点在轴上，则，所以，解得； 若焦点在轴上，则，则，解得． 所以或． 11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点满足，则的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用向量运算、线面垂直性质、正弦定理、空间直角坐标系相关知识，通过对向量关系判断点的轨迹，利用线面垂直确定点的轨迹图形，由正弦定理和坐标运算求点的轨迹方程及轨迹长度. 【详解】对于A，因为动点在正方体内及其边界上运动， 且，，则动点的运动轨迹为线段. 由于，平面，所以平面. 故三棱锥的体积为定值，A正确. 对于B，在正方形中，. 在正方体中，因为平面，又平面，所以. 因为，，，且，平面，所以平面. 动点在正方体内及其边界上运动，且， 所以动点围成的图形是矩形，其面积为，故B正确. 对于C，设边上的高为，则. 由正弦定理可得，所以，故. 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，. 设，，，，则，. 又，则有，整理得， 所以动点的轨迹是以为球心，为半径且位于正方体内的部分球面. 又，所以，故C错误. 对于D，由，设，，，则， 即，化简得，表示以为球心，半径为的球. 又，，则，即， 化简得，表示以为球心，半径为的球. 两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，两球心距离为，半径均为， 则交线圆弧对应的圆心角为，长度为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知直线：与直线：垂直，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线垂直：斜率存在时斜率乘积为-1；一条直线斜率不存在，另一条斜率为0.求解即可. 【详解】直线：与直线：垂直， 当时， ，易知两直线此时两直线不垂直； 当时，则 ， 若两直线垂直，则 解得． 故填：． 【点睛】本题考查了两直线的垂直关系；要注意一条直线斜率不存在，另一条斜率为0的情况，当两条直线的斜率都存在时，才满足两直线的斜率之积为-1 13. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出和的坐标，再由在方向上的投影向量概念，写出计算公式，代入向量坐标计算即得. 【详解】依题意，, 因在方向上的投影向量为， 则由， 可知在方向上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 14. 椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________． 【答案】35 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可列得关于的方程，联立可得. 【详解】由题可知，. 所以， 化简得，所以. 故答案为：35. 四、解答题（本题共5小题，计77分） 15. （1）求平行于直线，且与它的距离为的直线的方程； （2）已知圆，直线l过点，当直线l与圆C相切时，求直线l的方程. 【答案】（1），；（2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直线平行设该直线为，根据平行线间的距离公式可得的值，从而得直线方程； （2）讨论直线斜率不存在时、斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径即可得直线方程. 【详解】（1）因为所求直线平行于直线，所以可设该直线为， 又因为所求直线与直线的距离为，所以， 可得，解得，， 所以平行于直线，且与它的距离为的直线的方程为：，. （2）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离为，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 16. 在长方体中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）以为原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题设，，，，，，， 点在上，且，所以，则， 点在上，且，所以，得到点， 所以，， ，所以， ，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面； （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明、，再由线面垂直的判定定理证明结论； （2）根据（1）写出平面的法向量、直线的方向向量，再应用向量法求其夹角的正弦值； （3）由三角形面积公式求，向量法求点到平面的距离，最后应用棱锥的体积公式求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，可取作为平面的法向量， 直线的方向向量，设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面的夹角的正弦值为； 【小问3详解】 由（1）知，，， 所以，则， 而点到平面的距离，则， 所以三棱锥的体积为. 17. 已知点，圆：． （1）求圆过点的最短弦所在的直线方程； （2）若圆与直线相交于，两点，为原点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点的最短弦就是圆心与连线垂直的直线，借助垂直得到斜率，再用点斜式即可； （2）直线与圆的方程联立，借助韦达定理得到，.再由转化为向量数量积，综合韦达定理构造方程计算即可. 【小问1详解】 过点的最短弦就是圆心与连线垂直的直线， 圆的圆心，则， 所以过点的最短弦所在的直线方程为，即． 【小问2详解】 消去得， 化简后为． 因为圆与直线交于，两点， 所以， 即，解得． 设，，则，． 因为，所以，即． 由得． 从而，解得． 18. 直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． （1）若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1） （2） （3）由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 由轴，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为， 四边形是梯形，其上底为，下底为，高为， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和， 当时，其斜率， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得， 所以，直线过定点； 当时，、，此时直线为，过点； 综上可得：直线必过定点. 【解析】 【分析】（1）借助中点公式计算可得点、坐标，即可得直线l的方程； （2）设直线方程，代入点得到直线方程，然后得到交点坐标，由交点坐标计算三角形面积，然后利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设，利用得到，再设，根据四边形面积得到关系式，代回直线方程，求出定点得解． 【小问1详解】 由点P为线段AB的中点，则有，即，， 故直线l的方程为，即； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，不存在点，舍去； 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴； 【小问3详解】 略 19. 如图，在等腰直角三角形中，，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置. （1）求证：平面平面； （2）若为中点，且点在平面上的投影为，点满足，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若是中点，是否存在点，使得，同时直线与平面所成角为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为三角形为直角三角形，且， 故，而，所以， 由翻折过程中有：， 由，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件先证明，然后根据已知条件利用线面垂直判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）过作直线平面，而，则直线，，两两垂直，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解即可； （3）设点到平面的距离为，然后根据与平面所成角为，利用向量法表示出相关的等式解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作直线平面，而， 则直线，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 因为点在平面上的投影为，所以平面， 由，且是中点，所以分别是中点， 由，得， 此时设， 则， 因为，所以， 即，解得：， 所以，故， 设平面的法向量， ， 取，得， 而平面的法向量可取， 设平面与平面夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）中空间直角坐标系，知，， 设，，，， 则点到平面的距离为， 因为，， 由，得，解得，即， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即， 又且，即， 平面的法向量为，， 而与平面所成角为， 所以以， 解得，解得，， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $