精品解析：吉林四平市第一高级中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性测试数学试题

四平市第一高级中学2026—2027学年度上学期第一次阶段性测试 高二数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 以为圆心，为半径的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 3. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】A选项，椭圆的长轴长为，椭圆的长轴长为，所以A选项错误； B选项，椭圆的短轴长为，椭圆的短轴长为，所以B选项错误； C选项，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，所以C选项错误； D选项，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以D选项正确. 4. 已知直线过点，斜率为，则直线在轴上的截距为（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】直线过点，且斜率, 根据直线的点斜式方程可得：，化简得, 令，得,所以直线在轴上的截距为. 5. 平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 6. 已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率为， 解得， 故选：B． 7. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解． 【详解】设，由题可知，， 则，所以，即，解得， 所以，则， 所以， 故选：B． 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程，数形结合得到最小距离为圆心到直线的距离减去半径，结合点到直线距离公式求出答案. 【详解】设，则，化简得， 即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆， 则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 即，点到直线的距离最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则或2 【答案】BC 【解析】 【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 10. 已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，得的轨迹是以为直径的圆O，故点P是两圆的交点，根据圆与圆的位置关系即可求解m的范围． 【详解】∵，∴点的轨迹是以为直径的圆O，半径为， 故点P是圆O与圆C的交点， 圆心和半径分别为，， 因此两圆相切或相交，即， 解得． 故选：BCD 11. 设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的面积为2 C. D. 的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，三角形面积公式可判定B，利用向量数量积公式可判定C，根据等面积法可判定D. 【详解】由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 对于A，在中，设，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； 对于B，的面积为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度，所得直线与原直线重合，则直线的斜率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设直线l的方程为，可得到平移后的直线方程为，由题意可得，即可求得答案. 【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为， 则根据平移过程知，平移后的方程为，该直线与原直线重合， 则，则， 故答案为： 13. 求经过点以及圆与交点的圆的方程________. 【答案】. 【解析】 【分析】方法一，按照圆系方程设为，再代入点，即可求解；方法二，首先求两圆的交点，再根据交点特征，设出圆的方程，代入交点以及点后，即可求解. 【详解】方法一：将化为一般式，所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为，整理得：； 此圆经过,代入上述方程得，解得, 所以该圆的方程为，即. 方法二：圆与的交点为，因为圆心在轴上 设所求圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，化为一般式为. 故答案为：. 14. 曲线围成的图形的面积是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可. 【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 因此只需求出第一象限的面积即可， 当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆， ∴， 故围成的图形的面积为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线的方程. （1）经过两条直线和的交点，且垂直于直线； （2）平行于直线，且与它的距离为的直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程解方程组可得直线交点，由垂直关系可得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程； （2）由平行关系可设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，求解可得方程． 【小问1详解】 ，交点. 的斜率为，所以直线的斜率. 从而直线的方程为，即. 【小问2详解】 设直线的方程为. 两平行线间距离为，所以，解得或. 所以直线的方程为或. 16. 已知圆N的圆心在原点，半径为2，，，，点P在圆N上运动. （1）求圆N的方程； （2）求的最大值和最小值； （3）过点作圆N的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）最大值为88，最小值为72 （3）或 【解析】 【分析】（1）直接写出圆N的标准方程即可； （2）设，利用两点间的距离公式得到，再由点在圆N上运动，化简可求的最大值和最小值． （3）设切线的斜率为，则切线的方程为，由点到直线的距离公式可得，解方程可求得切线的方程. 【小问1详解】 因为圆N的圆心在原点，半径为2，所以圆N的方程为. 【小问2详解】 设，则， ， 因为，所以， 即的最大值为88，最小值为72. 【小问3详解】 易知切线斜率存在，设切线的斜率为，则切线的方程为， 即. 由圆心到切线的距离等于圆半径2得， 平方得，解得，所以或. 因此所求的切线方程为或， 即或. 17. 已知点和以点为圆心的圆. （1）求以为直径，点为圆心的圆的方程； （2）设圆与圆相交于，两点，证明：直线，是圆的切线； （3）求直线的方程. 【答案】（1） （2）因为为直径，所以，，即，， 从而，是圆的切线. （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标，结合两点距离公式、中点坐标公式计算即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，及切线的性质判定即可； （3）直接对两圆的方程作差即可得出公共弦方程. 【小问1详解】 因为，，所以，， 所以半径， 所以圆. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 分别将圆和圆化为一般型，得圆， 圆， 两式相减得，即， 所以公共弦的方程为. 18. 点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）已知直线与（1）中点的轨迹方程交于，两点，令的中点为. （i）求的取值范围； （ii）证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】（1），轨迹为焦点在轴上的椭圆. （2）（i） （ii）令，，中点为， 由于，，两式相减得， 即， ，，. 所以，从而. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程即可求解； （2）（i）根据题意，联立直线与椭圆，由直线与椭圆有两个交点可得，求解即可；（ii）设，，中点为，将点代入椭圆方程，结合直线的斜率公式即可求解. 【小问1详解】 设点，根据题意可得，化简得， 所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆. 【小问2详解】 （i）联立直线与椭圆，得， 由于直线与椭圆有两个交点，所以， 即，解得； （ii）略. 19. 已知圆：的圆心为椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，分别过作椭圆的切线，两切线相交于点. （i）求证：三点共线； （ii）当不与轴垂直时，求的最小值. 【答案】（1） （2） （i）①当斜率不存在时，轴， 由椭圆的对称性可知，均在轴上，所以三点共线. ②当斜率存在时，设的方程为，且， 联立方程组可得：， 则，点的坐标为， 所以所在的直线的方程为， 先证：椭圆上一点处的切线方程为， 当切线斜率存在时，设过点 的切线方程为， 联立方程，整理得， 由可得，所以 由韦达定理可知，即， 把代入中，得， 所以，化简得． 当切线斜率不存在时，过 的切线方程为，满足上式． 综上，椭圆上一点的切线方程为. 所以椭圆在处的切线方程为， 联立方程组解得点的坐标为， ，故三点共线. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得，，即可求解椭圆方程； （2）（i）分斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，韦达定理求出的坐标，利用判别式法求出切线方程，进而求得的坐标为，即可证明三点共线； （ii）利用距离公式和弦长公式分别求出，即可求解. 【小问1详解】 由圆：即可得：圆心，所以， 又离心率，所以，所以， 所以椭圆标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可知，， 又三点共线，所以，所以， 即点化简得， 所以，， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭椭圆上一点处的切线方程为，属较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平市第一高级中学2026—2027学年度上学期第一次阶段性测试 高二数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 以为圆心，为半径的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 4. 已知直线过点，斜率为，则直线在轴上的截距为（ ） A. 1 B. C. D. 5 5. 平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则或2 10. 已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. 4 C. D. 6 11. 设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的面积为2 C. D. 的内切圆半径为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度，所得直线与原直线重合，则直线的斜率是_____. 13. 求经过点以及圆与交点的圆的方程________. 14. 曲线围成的图形的面积是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线的方程. （1）经过两条直线和的交点，且垂直于直线； （2）平行于直线，且与它的距离为的直线的方程. 16. 已知圆N的圆心在原点，半径为2，，，，点P在圆N上运动. （1）求圆N的方程； （2）求的最大值和最小值； （3）过点作圆N的切线，求切线的方程. 17. 已知点和以点为圆心的圆. （1）求以为直径，点为圆心的圆的方程； （2）设圆与圆相交于，两点，证明：直线，是圆的切线； （3）求直线的方程. 18. 点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）已知直线与（1）中点的轨迹方程交于，两点，令的中点为. （i）求的取值范围； （ii）证明：直线与直线的斜率之积为定值. 19. 已知圆：的圆心为椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，分别过作椭圆的切线，两切线相交于点. （i）求证：三点共线； （ii）当不与轴垂直时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $