29.2.3 圆周角 第2课时 课件 2026-2027学年人教版 数学九年级上册

第二十九章 圆 第2课时 理解圆内接四边形以及四边形外接圆概念，熟练掌握对角互补性质，能直接利用性质完成基础角度计算. 能够结合圆周角定理完成对角互补性质推导，在综合图形中识别模型，灵活解决多步几何推理计算题. 经历类比、观察、猜想、证明的探究流程，体会弧角转化思想，提升几何演绎推理与识图分析能力. 感受圆与四边形知识的内在联系，体会几何逻辑严谨美，养成善于探究、有理有据思考的学习习惯. 说一说什么是圆周角？ 有关圆周角的定理是什么？由此又得出了哪些推论？ 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 活动一：探究圆内接多边形的概念 1 如图，多边形ABCDE有什么特点？ O A D B E 类似于圆的内接三角形和三角形的外接圆，给这类图案命一个名字吧？ C 多边形ABCDE的五个顶点都在圆上； 五个内角都是圆周角； 五条边都是圆的弦． 活动一：探究圆内接多边形的概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. 圆的内接多边形 O A C B D 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形； ☉O是四边形ABCD的外接圆. 因为圆内接四边形的每个角都是圆周角，所以可以利用圆周角定理研究圆内接四边形的角之间的关系. 圆内接四边形的四个角除了具有一般四边形的内角和为360°的性质，是否还有其他性质？ 2 　 画一个⊙O，再画出任意一个⊙O 的内接四边形ABCD，测量∠A与∠C，∠B与∠D，它们之间具有什么数量关系？ O C D B A 100° 90° 90° 80° ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°． 活动二：探究圆内接四边形的性质 仔细观察下面的动图，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 3 活动二：探究圆内接四边形的性质 你能用几何方法证明圆内接四边形的四个角之间的关系吗？ 4 O C B D A 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形. 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 活动二：探究圆内接四边形的性质 活动二：探究圆内接四边形的性质 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 符号语言： 如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. O C B D A 每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆. 观察下面的动图，圆内接四边形的外角与内角之间有什么关系？ 活动三：探究圆内接四边形外角与内角的关系 5 圆内接四边形的任意一个外角与其相邻的内角的对角相等． 证明你的猜想. 6 已知：如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，E为CB延长线上一点. 求证：∠ABE=∠D． A D C B O E ∵四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABC+∠D=180°． 又∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ABE=∠D． 活动三：探究圆内接四边形外角与内角的关系 圆内接四边形的角的关系： 对角互补； 四个内角的和是360°； 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角． O C D B A E 活动三：探究圆内接四边形外角与内角的关系 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=100°，求∠A和∠C的度数. A B C D O 圆中求角的几个常用思路： 同弧所对的圆周角、圆心角分别相等； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 圆内接四边形的对角互补； 同圆的半径相等，在以两半径为边的三角形中，等边对等角； 直径所对的圆周角是90°. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=50°，∠ACD=25°，∠BAD=65°. 求证：(1)AD=CD；(2)AB是⊙O的直径． (1)∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D=180°∠B=180°50°=130°. 又∵∠ACD=25°， ∴∠DAC=180°∠D∠ACD =180°130°25°=25°， ∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD. A B C D O (2)∵∠BAC=∠BAD∠DAC =65°25°=40°，∠B=50°， ∴∠ACB=180°∠B∠BAC =180°50°40°=90°， ∴AB是⊙O的直径． A B C D O 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=50°，∠ACD=25°，∠BAD=65°. 求证：(1)AD=CD；(2)AB是⊙O的直径． A B C D O E (2)求证：△ABC是等边三角形. A B C D O E 1. 如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 把它的四个内角分成八个角，这八个角中哪些相等？为什么？ 解：∠1=∠4， ∠3=∠6， ∠2=∠7， ∠5=∠8. 理由：同弧所对的圆周角相等. A B C D 2 1 4 3 6 5 8 7 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠D=180°. 又∵∠ABC+∠ABE=180°. ∴∠ABE=∠D=110°. 2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为CB延长线上一点.若∠D=110°，求∠ABE的度数. A D C B O E 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°. ∴∠A=180°∠C=102°. ∵AB=AD， ∴∠ABD=(180°∠A)÷2=39°. 3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AD.若∠C=78°，求∠ABD的度数. A D C B O 任务 学习背景 我们已经知道：不在同一直线上的三个点确定一个圆；圆内接四边形的重要性质是对角互补。矩形属于圆内接四边形。请你围绕平行四边形、菱形、正方形开展探究，判断它们是否为圆内接四边形。 工具准备：圆规、直尺、量角器、草稿纸 任务1 猜想先行 先独立猜想：平行四边形、菱形、正方形，哪些是圆内接四边形？把你的猜想写下来。 圆内接四边形探秘 任务 任务2 动手探究、验证猜想 1.画一个任意平行四边形，测量两组对角，算出对角之和.思考：它的对角一定互补吗？能不能画出经过它四个顶点的圆？ 2.画一个菱形(不是正方形)，测量它的内角，观察对角的数量关系，判断对角是否互补，能否四点共圆？ 3.画一个正方形，测量内角，验证对角关系，尝试画出它的外接圆，找到外接圆圆心与半径. 图形 对角是否互补 是否为圆内接四边形 简要理由 一般平行四边形 菱形 正方形 圆内接四边形探秘 探究1 归纳说理 结合上面的操作，完成下面问题： 1.什么样的平行四边形才是圆内接四边形？说说你的发现； 2.为什么普通菱形不能内接于圆？核心原因是什么？ 探究2 拓展思辨 1.有一个平行四边形，四个顶点共圆，这个平行四边形一定是什么图形？ 2.判断题：对角相等的四边形一定是圆内接四边形，这句话对吗？举例子说明. 探究3 迁移思考(选做) 想一想：等腰梯形是不是圆内接四边形？动手画图、测角验证. 探究 圆内接四边形探秘 $