第三章 简单的几何图形全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材北京版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章简单的几何图形全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1立体图形展开图 题型2从不同的方向观察图形 题型3点、线、面、体 题型4两点确定一条直线 题型5两点之间线段最短 题型6线段中点相关计算 题型7两点间的距离 题型8直线、射线、线段多结论判断 题型9直线、射线、线段作图 题型10角的分类及表示 题型11角的度量与换算 题型12角平分线 题型13垂线与垂线段最短 目核心提升：重难题型归纳 题型1直线、射线、线段多结论 题型2线段综合 题型3角度综合 题型4新定义 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1立体图形展开图 1.A 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.D 3.B 4.D 5.A ◆题型2从不同的方向观察图形 6.A 7.B 8.B 9.B 10.A ◆题型3点、线、面、体 11.线动成面 12.C 13.B 14.A ◆题型4丙点确定一条直线 15.②③ 16.两点确定一条直线 17.两点确定一条直线 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5两点之间线段最短 18.两点之间，线段最短 19.A 20.B ◆题型6线段中点相关计算 21.(1)2 (2)5或3. 22.(1)12 (2)13或19 23.5 24.2:中点的定义：4：2. ◆题型7两点间的距离 25.①②③ 26.(1)30 (2)9 8 27. 1 2'0.5 3或10 ◆题型8直线、射线、线段多结论判断 28.D 29.B 3/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30.③④ ◆题型9直线、射线、线段作图 31.(1)如图，直线AB即为所求作； (2)如图，射线BC即为所求作： (3)如图，CD即为所求作； (4) 如图，点P即为所求. 作图依据：两点之间线段最短. B 32.(1)连接并延长B0,截取OD=B0,如图所示. D M (2)连接并延长AO,交射线BM于点C,如图所示. D B (3) 作射线AD交射线BM于点P,如图所示， 4114 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (④)在O点建设，因为两点之间线段最短. 33.(1) 解：所作射线AD如下： D C A ·B (2) 解：所作图形如图所示： ·C A B (3) 解：所作图形如图所示， D C ⊙ E 两点之间，线段最短 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型10角的分类及表示 34.B 35.A 36.B ◆题型11角的度量与换算 37.4931' 38.2750 39 55 42 ◆题型12角平分线 40.C 41. 20°或80° 10°或40° 42.B 43.55 ◆题型13垂线与垂线段最短 44.C 45.B 46.D 47. B 垂线段最短 48. PB 垂线段最短 49.(1) CD就是所作的垂线： 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B (②)如图，DE就是所作的垂线段； (3)如图，CF就是所作的平行线： (4)CE<CD<CF,垂线段最短 50.(1) 直线BC和线段AC、射线BA如图所示： B (2)如图所示： (3)如图所示： (4)用刻度尺测量，点A到直线BC的距离约为2.2厘米 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1直线、射线、线段多结论 1.B 2.C 3.B 4.7 ◆题型2线段综合 6.(1)①6：②8或4. (2)8或4 7/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.8cm或16cm 8.作图如下，长度为4 D A C B E ◆题型3角度综合 9.(1)16 (2)①75；②∠B0F的度数为125°或85° 50250 3)i或11 22 10.(1)3分钟 4.40 (2)3或3分钟 44 3)存在，4.4分钟或7分钟或11分钟 11.(1)①3： (2)①35°.②35 oz ◆题型4新定义 12.(1)5,否： (2)4或16： (3)-10≤t≤-9或8≤1≤9 57 13.0)23 2 (②)，的值为3或6： (3)r>2. 14.(1)①8：②-8或4： (2)0.5秒或4秒： (3)3或15 题型专练 高频重难特训 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.D 5.c 6.B 7.B 8.C 9.A 10.D 11.B 12.C 13.B 14.B 15.B 16.c 二、填空题 17.三棱柱 18.75 19. 11227 5155 12333 20.③ 21. A 垂线段最短 22.20 23. 3 28 三、解答题 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(1)12,6 (2)V+F-E=2 (3)18 25.40° 26.(1)6 (2)60 27.(1)解：如图所示： A 口—B (2)PC (3)PC (④)l0mm(测量结果合理即可) 28.垂直 29.(1)所作直线AB如图所示： B A D c (2)所作射线DC如图所示： B D (3)所作交点E如图所示： B E D C 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30 (1) 直线 如图所示： AD (2)以点B为端点，向点C方向作射线BC,标注射线BC与直线AD的交点为O,作图见小问1答案 (3)分别连接AC、BD,标注两条线段的交点为F,作图见小问1答案 (4)以点F为端点，经过点O作射线F0,作图见小问1答案 (⑤)以点A为端点，经过点B作射线AB,作图见小问1答案 (⑥连接点C和点D,得到线段CD,作图见小问1答案 31.(1)如图，ME即为所求： E M B A F N (2)如图，MF即为所求； E M B F (3)MN,A,ME (④)ME (5)0 32.(1)如图所示： 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从正面看 从左面看 (2)44cm2 33.29° 34.(1)①70： ②选择嘉嘉，OF平分∠BOE, .∠2=∠3」 ,OF⊥CD」 .∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°」 .∠1+∠3=90° .∠1=∠4， .∠1=∠5， ∴.∠4=∠5，即∠EOC=∠AOC, ∴.OC一定平分∠AOE C B D 选择淇淇，，OF⊥CD, :.∠FOD=90° .∠BOD+∠BOF=90」 .∠EOF=∠BOD,∠BOD=∠AOC, ·∠EOF=AOC :.∠EOF+∠COE=90°=∠COF :.AOC+∠COE=90°=∠AOE .OE⊥AB (2)∠E0F的度数为40°或140° 35.(①)20：40 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)不能 36.(1)∠DOB=70° (2)∠D0B=360°-2B 37.(1①7：@7：(2②60：(3)∠M0N-40B+26 38.(1)7.5° (2)30:7.5° (3)在旋转过程中， ∠MAN的度数不发生变化，恒为7.5o 39.(1)2 (2)所作图形如下： 40 30 (3)所作图形如下： -120 90 40.(1)10,22 (2)①x=1,②当-10≤x≤12时，最小值是22 阅1号7发” 41.(1)3 e22 (3)2 1 (47或4 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 727 42.(1)①13：9：②4或4：(2)当m=2或3或10时，0P是∠M0N的“-三分界线”： 14/14 第三章 简单的几何图形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 立体图形展开图 题型2 从不同的方向观察图形 题型3 点、线、面、体 题型4 两点确定一条直线 题型5 两点之间线段最短 题型6 线段中点相关计算 题型7 两点间的距离 题型8 直线、射线、线段多结论判断 题型9 直线、射线、线段作图 题型10 角的分类及表示 题型11角的度量与换算 题型12 角平分线 题型13 垂线与垂线段最短 核心提升：重难题型归纳 题型1 直线、射线、线段多结论 题型2 线段综合 题型3 角度综合 题型4 新定义 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 立体图形展开图 1．下列立体图形中，是圆锥的是（   ） A．底面为圆形，侧面展开是扇形，有一个顶点的立体图形 B．六个面都是正方形的立体图形 C．上下底面是全等的圆形，侧面是一个曲面的立体图形 D．四个面都是三角形的立体图形 2．如图，是某几何体的侧面展开图，该几何体是（   ） A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥 3．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（   ） A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆柱 4．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（    ） A． B． C． D． 5．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 ◆题型2 从不同的方向观察图形 6．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时，两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，从正面看它的图形是（   ） A． B． C． D． 7．下面四个几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 8．如图的几何体，从上面看得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的，则从前面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 10．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图，是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），从前面观察这个物体，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． ◆题型3 点、线、面、体 11．流星在天空划出一条线，用数学知识解释为点动成线，则直升机的螺旋桨高速旋转起来形成一个“圆面”，用数学知识解释为___________． 12．几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 13．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（   ）    A．   B．   C．   D．   14．固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 ◆题型4 两点确定一条直线 15．有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用“两点确定一条直线”解释的为________（填序号） 16．如图，工人师傅想要在操场上划出不同项目的比赛场地，往往会在这块区域的两端确定两个点，以此弹出一条线段再画线．能解释这一实际应用的数学知识是___________ 17．如图，在正常情况下，射击时只要保证瞄准点在眼和准星确定的直线上，就能射中目标，这种现象用数学知识解释为____________． ◆题型5 两点之间线段最短 18．如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是_____ ．         19．下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（　　） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 20．如图，要在直线上找一点，使它到点的距离之和最小，则该点的位置（　　） A．在点处 B．在点处 C．在点处 D．不能确定 ◆题型6线段中点相关计算 21．已知点C是线段上的点，点D是线段的中点，，． (1)求线段的长； (2)若点是直线上一点，且，直接写出线段的长． 22．如图，点C是线段的中点，线段，点D是线段的中点．    (1)求线段的长； (2)若在直线上有一点E，且，直接写出的长． 23．如图，已知线段，点C在线段上，且，点是线段的中点，求线段BD的长； 24．根据题意，补全解答过程． 如图，点，在线段上，点是的中点．若，，求线段的长． 解：∵，， ∴，________， ∵点是的中点， ∴（________）（填推理的依据）， ∴________， ∴________． ◆题型7两点间的距离 25．下列说法中错误的是______（填序号） ①如果，那么点为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度：两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④点在线段上，点、分别是线段，的中点．若，则线段． 26．如图，已知点B在线段上，，． (1)求线段的长； (2)如果点O是线段的中点，求线段的长． 27．定义：若点在同一直线上，且，则．例如，则． 如图，已知线段， （1）点是线段的中点，则=_____； （2）、是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为，当_____时，． ◆题型8直线、射线、线段多结论判断 28．下列说法中，正确的是（     ） ①射线和射线是同一条射线；②若，则点B为线段的中点；③连接两点间的线段的长度叫做这两点之间的距离；④点C在线段上，M，N分别是线段，的中点．若，则线段． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 29．下列语句中正确的是（   ） A．延长直线 B．延长线段到点C，使线段与线段相等 C．延长射线 D．反向延长射线到点B，使射线与射线相等 30．如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是_________（填序号）． ◆题型9直线、射线、线段作图 31．如图，已知四点A、B、C、D，按以下要求画图． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接； (4)确定点P，使得的值最小，并说明你的作图依据：　　　． 32．如图，平面上有A，O，B三个点，请根据下列要求完成．    (1)连接并延长，截取；（保留尺规作图痕迹） (2)连接并延长，交射线于点． (3)作射线交射线于点； (4)知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．如果，，，为四个社区，为了网购后收货方便（要求到四个社区的距离和最短），要在哪个位置建一个菜鸟驿站？并用所学数学知识说出理由． 33．如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句作图（保留作图痕迹），并回答问题． (1)画射线； (2)连接，并在线段的延长线上用圆规截取； (3)作直线与射线交于点F．观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是： ． ◆题型10角的分类及表示 34．观察以下钟表，时针与分针夹角为的是（    ） A． B． C． D． 35．用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 36．下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． ◆题型11角的度量与换算 37．计算：______． 38．计算______． 39．____________． ◆题型12角平分线 40．小明在学习了线段与角的知识之后，得到了两条结论： 甲：已知线段，若平面内的点满足，则是线段的中点； 乙：已知，若射线满足，则是的角平分线． 关于这两个结论，以下判断正确的是(   ) A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲乙都错 D．甲乙都对 41．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 42．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． ◆题型13垂线与垂线段最短 43．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 44．在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形．请你数一数，错误的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．已知，如图所示，，垂足为O，为过O点的一条直线，则与的关系一定成立的是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 46．如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（   ） A．垂线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 47．斑马线通常是由多条相互平行的白实线组成，好似斑马身上的线条，所以称作“斑马线”．A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示．假设四人速度相同，则最先通过马路的是_____ （填“A”“B”“C”或“D”），理由是_____ ． 48．如图，点，，，在直线上，点在直线外，于点，在线段中，最短的一条线段是_________，理由是_______________． 49．如图，点C在的边上，按要求作图并回答问题： (1)过点C作边的垂线交边于点D； (2)过点D作边的垂线段，垂足为E； (3)过点C作的平行线交边于点F； (4)比较三条线段，，的长度，并用“”连接．_____，得此结论的依据是_____． 50．按要求画图： 如图，点是同一平面内的四个点． (1)画直线和线段、射线； (2)取线段的中点D，连接； (3)过点A作直线于点E； (4)用刻度尺测量，点A到直线的距离约为______厘米（精确到）． ◆题型1 直线、射线、线段多结论 1．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当 时，；③． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 3．如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中是正方形，，，，都是长方形，这五个四边形的周长分别用，，，，表示，则下列各式的值为定值的是（    ） A． B． C． D． 4．的最小值是__________． 5．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为____________． ◆题型2 线段综合 6．已知线段，线段在直线上运动（在的左侧，在的左侧）．若、满足． (1)①当点与点重合时，求____________； ②是的中点，当时，求的长； (2)当线段运动到点距离点一个单位长度时，若有一点在点右侧且位于线段的延长线上，试求的值． 7．如图，已知线段，，点在线段上，且，点是的中点，在线段上另找一点，使满足条件，求的长． 8．如图，为线段中点，延长线段至，使得，反向延长至，使得，若，请你完成作图，并求出线段的长度． ◆题型3 角度综合 9．生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点和点表示，表盘与线段交于点，，为表盘圆心． (1)若为，，是的中点，则手表全长___________． (2)表盘上的点对应数字“”，点对应数字“”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①___________； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过__________分钟，的度数是． 10．如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟；射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟，和同时旋转，当旋转一周时停止，也随之停止，设旋转的时间为． (1)当为何值时，射线与重合； (2)当为何值时，； (3)试探索：在射线与旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线所在直线平分另两条射线所夹的角？若存在，请求出所有满足题意的的取值，若不存在，请说明理由． 11．综合与探究：在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴，如图，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)问题探究 若，，则____________． 若，，则____________． 若点是线段所在直线上的任意一点（不与，重合），是中点，是中点，当时，____________． (2)继续探究 “创新”小组的同学类比想到：如图，已知，在的内部作射线，再分别作和的角平分线，． 若，则_______________． 若，则_______________． (3)深入探究 “缜密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图，若，在的外部作射线，再分别作和的角平分线，，若，则_______________． ◆题型4 新定义 12．在平面内，取不重合两点、，记线段，点是直线上不同于、的一点，点、分别是线段的中点，如果，或者，则称线段与线段是线段的一对“差中线”，点称为线段的一个“差中对称点”． (1)若，点在线段上，，则 ，与是否为一对“差中线”？ (填“是”或“否”)． (2)若，且和是一对“差中线”，则的长度为 ． (3)若点在数轴上对应的点为，点在数轴上对应的点为3，点在数轴上对应的点为，点在数轴上对应的点为，若线段上存在线段的“差中对称点”，则的范围为 ． 13．对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点，重合时，规定．设数轴上的点表示的数是，点表示的数是． (1)若数轴上点，，，表示的数分别是，，，，则线段的中点表示的数是__________，线段，的相对离散度是__________； (2)设数轴上点右侧的点表示的数是，若线段，的相对离散度，求的值； (3)数轴上点，都在点的右侧（其中，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出所表示的数的取值范围．（参考材料：．若，则．其中，且；．如图：点把线段分成相等的两条线段与，点叫作线段的中点） 14．距离是天文学、物理学、数学，甚至哲学中的热门话题．唯有深入了解距离，才能更好地把握宇宙尺度，把握做人做事的分寸． 研究数轴我们发现：若点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B两点之间的距离．已知如图，点O为原点，点A、B在数轴上对应的数分别为和6． (1)①A，B两点之间的距离为 ； ②点R是数轴上一点，若点R到点A的距离为6（即），则点R在数轴上对应的数为 ． (2)数轴上有一动点T，当点T以每秒1个单位长度的速度从O点向左匀速运动时，点A也以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B也以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动，若它们同时出发，则几秒后T点到A、B两点的距离相等？ (3)定义：数轴上，把表示数2的点称为标准点，记作点，对于两个不同的点O和Q，若点P、点Q到点O的距离相等，则称点P与点Q互为标准变换点． 点M在点N的左边，点M与点N之间的距离为16个单位长度．对M、N两点做如下操作：点M沿数轴向左移个单位长度得到，为的标准变换点，点沿数轴向左移动k个单位长度得到，为的标准变换点，…，依此顺序不断地重复，得到，，…，．为N的标准变换点，将数轴沿原点对折后的落点记为，为的标准变换点，将数轴沿原点对折后的落点记为，…，依次顺序不断地重复，得到，，…，．若无论k为何值，与两点间的距离都是12，求出n的值． 一、选择题 1．如图，从正面看到的这个立体图形的形状图是（     ） A． B． C． D． 2．如图，某村庄计划从点A处修建一条通往公路l的便民道路，为了减少建设成本，工程师过点A向公路l作垂线，垂足为B点，沿方向修建道路．该设计能让道路长度最短，其数学原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 3．如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 4．下列小明的积木玩具抽象图中，不是柱体的是（     ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（     ） A．射线与射线是同一条射线 B．直线可以向两端无限延长，所以能延长直线 C．两点之间，线段最短 D．线段与线段不是同一条线段 6．有下面三种现象：①扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；②夜晚天空划过流星的痕迹；③汽车雨刮器在挡风玻璃上刮出的痕迹．其中能说明“点动成线”的现象是（     ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 7．如图，点A、B、C在同一直线上，B在A、C之间，M是的中点，N是的中点，，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 9．如图，数轴上的点，分别表示数和1，点是线段的中点，则点表示的数是（   ） A． B． C．0 D． 10．下列结论正确的是（     ） A．直线比射线长 B．射线比线段长 C．过三点一定能作三条直线 D．过两点有且只有一条直线 11．8时30分，钟表的时针与分针所成的角的度数是（     ） A． B． C． D． 12．如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 13．如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 14．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 15．下列说法： ①由两条射线组成的图形叫做角； ②连接两点的线段叫两点之间的距离； ③射线与射线是两条不同的射线； ④用两颗钉子可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ⑤两点之间直线最短． 其中正确的有（     ）个 A． B． C． D． 16．下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 17．一个几何体表面的展开图如图所示，则这个几何体是_______． 18．下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 19．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 20．下列三个日常现象： ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程； ③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩． 其中，可以用“垂线段最短”来解释的现象是__________（填序号）． 21．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在________（从点、点、点、点四个地点中选一个填入），理由是________． 22．如图，一个长方体纸箱里面恰好可以装下桶A种饮料，如果改装B种饮料，且饮料不能高出纸箱，那么B种饮料最多可以装________桶． 23．如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 三、解答题 24．数学思想·类比思想十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你根据如图几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 ___________ 正八面体 __________ 8 12 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是___________； (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是___________． 25．如图，是内任一条射线，、分别平分、，．求的度数． 26．解答以下问题 (1)已知点在线段上，取的中点，的中点，，求； (2)如图，已知，平分，平分，则的度数为______． 27．如图，已知直线以及直线外一点P．按下述要求画图并填空： (1)过点P画，垂足为点C； (2)P、C两点间的距离是线段 的长度； (3)点P到直线的距离是线段 的长度； (4)点P到直线的距离为 （精确到）． 28．如图，点A、B、C在同一条直线上，，则与垂直吗？ 29．如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作直线； (2)作射线； (3)连接，交于点． 30．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 31．如图，已知点M在的内部，点N在边上．按要求画出图形并填空． (1)过点M画，垂足为E； (2)过点M画，垂足为F； (3)M、N两点间的距离是线段________的长度，线段的长度表示________到________的距离； (4)点M到直线的距离是线段________的长度； (5)点N到直线的距离是________． 32．一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成．图1是从上面看到的几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在如图2所示的网格中画出从正面和左面看这个几何体所得到的形状图； (2)若每个小立方块的棱长均为，求这个几何体的表面积（含底面）． 33．如图，直线与交于点O，已知和位于的两侧，且，平分，若，求的度数． 34．直线，相交于点，作射线，且在的内部，作射线于点． (1)如图，当点，在直线的同侧时． ①若，则________度； ②嘉嘉说：“若平分，则一定平分．” 淇淇说：“若，则一定垂直于．” 选择其中一个人的说法进行说理； (2)若，，求的度数． 35．综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______； (2)如图3，若收纳盒的长比高多，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子） 36．如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 37．同学们，数学知识的学习往往具有相通的地方，如果在学习中你能发现这种相通的地方便可以在数学学习中做到触类旁通．就像线段的中点问题能够迁移到角平分线问题中去，本质都是平分．让同类问题的解题逻辑形成连贯的知识链条，可以让我们学起来更加轻松，请大家带着这样的思考解决下列问题． 特例感知： （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若，则线段___________． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图③所示，，且，，请直接写出与之间的关系___________． 38．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 39．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的正方形卡纸，要求大家利用它制作一个无盖的正方体纸盒．小明按照图2的方式裁剪掉阴影部分，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个无盖的礼品盒，如图3所示． (1)如果正方形的边长为6，直接写出的值； (2)小明在设计无盖正方体纸盒展开图（图2）时的方法是在正方形卡纸的四个直角的位置上分别剪去大小相等的小正方形．如果把正方形卡纸换成如图4所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．请你参考小明的方法，在图4的卡纸上进行设计，用阴影画出裁剪部分，用实线画出裁剪线，使剩下部分刚好是一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子（如图5所示）的展开图； (3)今有一张如图6所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．现以你设计的纸盒展开图（图4）为基本样式，请你在图6的卡纸中画出设计示意图（包括这张卡纸可制作几个无盖的长方体盒子，其展开图在卡纸上的分布情况）．（要求：本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”给分，设计出的展开图个数最多才能得满分） 40．如图，在数轴上，点，，表示的数分别为，，． (1)直接写出________，________； (2)设点在数轴上表示的数为． ①若点为线段的中点，求的值； ②若点为数轴上的一个动点，则当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴在，两点之间做往返运动，当点运动到点时，和两点同时停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 41．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具、数轴上两点、表示的数分别为，若，则两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则两点间的距离为．定义：在数轴上，如果线段上从左往右的点将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，．．．．．，是靠近的第个等分点，则记为， (1)探究一：如图1，在数轴上两点表示的数分别为，若，则线段的二等分点表示的数为．当时，线段的二等分点表示的数为___________． (2)探究二：如图2，在数轴上两点表示的数分别为，求线段上靠近点的第2个五等分点表示的数； (3)应用一；如图3，在数轴上两点表示的数分别为，数轴上两点表示的数分别为，若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，求的值； (4)应用二：如图4，在数轴上两点表示的数分别为，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合，求此时的的值． 42．（1）定义：已知点在线段上，且点将线段分成两个部分，我们把点称为线段的“一三分界点” 如图1，在数轴上已知点、点、点、点分别表示的数为：，为线段之间的一条动线段．，点、分别是线段、中点，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当运动到点位置时，马上以原速度返回继续向左运动，当到达点运动停止．设动线段的运动时间为， ①当为1秒时，____________，____________． ②当为多少秒时，点是线段的“一三分界点”？ （2）定义：已知射线在内部，且射线将分成两个部分，我们把射线称为的“一三分界线”： 如图2，已知，，，射线、、分别平分、、，将先绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转到位置时，马上以原速度返回继续逆时针运动，当旋转到时运动停止．设的旋转时间为，则当____________时，是的“一三分界线”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 简单的几何图形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 立体图形展开图 题型2 从不同的方向观察图形 题型3 点、线、面、体 题型4 两点确定一条直线 题型5 两点之间线段最短 题型6 线段中点相关计算 题型7 两点间的距离 题型8 直线、射线、线段多结论判断 题型9 直线、射线、线段作图 题型10 角的分类及表示 题型11角的度量与换算 题型12 角平分线 题型13 垂线与垂线段最短 核心提升：重难题型归纳 题型1 直线、射线、线段多结论 题型2 线段综合 题型3 角度综合 题型4 新定义 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 立体图形展开图 1．下列立体图形中，是圆锥的是（   ） A．底面为圆形，侧面展开是扇形，有一个顶点的立体图形 B．六个面都是正方形的立体图形 C．上下底面是全等的圆形，侧面是一个曲面的立体图形 D．四个面都是三角形的立体图形 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的定义．圆锥的定义是有一个圆形底面和一个顶点，侧面展开为扇形，选项A符合此定义，其他选项分别对应立方体、圆柱和四面体，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、底面为圆形，侧面展开是扇形，有一个顶点的立体图形，故该立体图形为圆锥，符合题意； B、六个面都是正方形的立体图形，故该立体图形为立方体，不符合题意； C、上下底面是全等的圆形，侧面是一个曲面的立体图形，故该立体图形为圆柱，不符合题意； D、四个面都是三角形的立体图形，故该立体图形为四面体，不符合题意； 故选：A 2．如图，是某几何体的侧面展开图，该几何体是（   ） A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据常见几何体的侧面展开图特征判断，扇形是圆锥的侧面展开图． 【详解】解：根据题图可知，该侧面展开图为扇形，则该几何体为圆锥． 3．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（   ） A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆柱 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据该几何体有四个面，且每个面都是三角形分析即可． 【详解】解：由图形可知，该几何体有四个面，且每个面都是三角形， 则该几何体是三棱锥， 故选：B． 4．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立体图形的展开图，根据常见几何体的表面展开图的特征来判断该展开图对应的几何体即可． 【详解】解：该几何体的上下底面是圆，侧面展开图是长方形，故该几何体是圆柱， 故选：D． 5．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 【答案】A 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱， 故选：A． ◆题型2 从不同的方向观察图形 6．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时，两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，从正面看它的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从正面看“牟合方盖”的图形如图所示： 故A选项符合题意． 7．下面四个几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的识别，正确判断立体图形的主视图是解题的关键． 只需从正面观察各个立体图形，即可做出判断． 【详解】解：A、长方体从正面看到的图形是长方形，故该选项不符合题意； B、圆锥从正面看到的图形是三角形，故该选项符合题意； C、圆柱从正面看到的图形是长方形，故该选项不符合题意； D、球体从正面看到的图形是圆，故该选项不符合题意． 故选： B． 8．如图的几何体，从上面看得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． 直接根据从上面看到的形状作答即可． 【详解】解：从上面看得到的平面图形是： ． 故选：B． 9．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的，则从前面看这个几何体得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了从不同位置看简单组合体，关键是掌握从不同位置看到的图形．从前面看得到从左往右2列，正方形的个数依次为2，1，且上面一层有1个，依此画出图形即可． 【详解】解：从前面看得到从左往右有2列，正方形的个数依次为2，1，且上面一层有1个． 故选：B． 10．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图，是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），从前面观察这个物体，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看，底层是一个三角形，上层是一个矩形，由此即可得出结果，还考查了空间想象能力． 【详解】解：从正面看，底层是一个三角形，上层是一个矩形，如图： ， 故选：A． ◆题型3 点、线、面、体 11．流星在天空划出一条线，用数学知识解释为点动成线，则直升机的螺旋桨高速旋转起来形成一个“圆面”，用数学知识解释为___________． 【答案】线动成面 【分析】本题考查点、线、面、体及其相互关系，掌握“点动成线，线动成面，面动成体”是关键．根据点、线、面、体及其相互关系“点动成线，线动成面，面动成体”进行判断即可． 【详解】解；直升机的螺旋桨高速旋转起来形成一个“圆面”，用数学知识解释为线动成面． 故答案为：线动成面． 12．几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识．根据点，线，面，体的相关知道分析即可． 【详解】解：A、粉笔写字是“点动成线”，故本选项不合题意； B、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项不符合题意； C、硬币在桌上旋转是“面动成体”，故本选项符合题意； D、汽车雨刷转动是“线动成面”，故本选项不合题意． 故选：C． 13．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形中间大，两端小，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形中间小，两端一样大，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； 故选：． 14．固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体，理解点、线、面、体之间的联系是解题的关键．根据点、线、面、体的关系即可得出答案． 【详解】解：固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出，能正确解释这一现象的数学知识是点动成线． 故选：A． ◆题型4 两点确定一条直线 15．有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用“两点确定一条直线”解释的为________（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，根据两点之间，线段最短和两点确定一条直线逐一判断即可． 【详解】解：①原理是“两点之间，线段最短”，与“两点确定一条直线”无关； ②原理是“两点确定一条直线”； ③原理是“两点确定一条直线”． 故答案为：②③． 16．如图，工人师傅想要在操场上划出不同项目的比赛场地，往往会在这块区域的两端确定两个点，以此弹出一条线段再画线．能解释这一实际应用的数学知识是___________ 【答案】两点确定一条直线 【分析】该题考查了两点确定一条直线，解题关键是理解“经过两点有且只有一条直线”． 根据“经过两点有且只有一条直线”即可进行分析． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的两个点，只能弹出一条笔直的墨线． 故答案为：两点确定一条直线． 17．如图，在正常情况下，射击时只要保证瞄准点在眼和准星确定的直线上，就能射中目标，这种现象用数学知识解释为____________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查直线的基本性质，解题的关键是理解“两点确定一条直线”的实际应用． 结合射击时“眼、准星、瞄准点”的位置关系，联系直线的性质进行解释． 【详解】解：射击时，眼的位置、准星的位置是两个确定的点，瞄准点在这两个点确定的直线上，根据直线的基本性质：两点确定一条直线，所以只要保证这三个点在同一直线上，就能射中目标． 故答案为：两点确定一条直线． ◆题型5 两点之间线段最短 18．如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是_____ ．         【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，直线的性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 根据线段的性质，即可解答． 【详解】解：如图，从地到地有，，三条道路，人们通常会选择距离最短的道路，这样做依据的数学原理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 19．下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象有（　　） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是熟练掌握该定理． 利用两点之间线段最短逐项进行判断即可． 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意； 故选：A． 20．如图，要在直线上找一点，使它到点的距离之和最小，则该点的位置（　　） A．在点处 B．在点处 C．在点处 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握线段的性质是解题的关键． 根据两点之间，线段最短知：连接，即可得到结论． 【详解】解：连接交直线于点，则该点的位置在点处． 故选：B． ◆题型6线段中点相关计算 21．已知点C是线段上的点，点D是线段的中点，，． (1)求线段的长； (2)若点是直线上一点，且，直接写出线段的长． 【答案】(1)2 (2)或． 【分析】本题考查了线段的和差计算，以及线段中点． （1）利用线段的和差计算，以及线段中点计算即可； （2）根据点和点的位置关系分两种情况讨论，利用线段的和差计算求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 点D是线段的中点， ； （2）解：①当点在点左侧时，； ②当点在点右侧时，； 综上可知，线段的长为或． 22．如图，点C是线段的中点，线段，点D是线段的中点．    (1)求线段的长； (2)若在直线上有一点E，且，直接写出的长． 【答案】(1)12 (2)13或19 【分析】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段中点的定义，可求出、，再根据即可解决问题； （2）分两种情况：当在B的左边时，当在B的右边时，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，线段， ， 是的中点， ， ； （2）解：∵点C是线段的中点，线段， ∴， ，， ， 当在B的左边时，； 当在B的右边时，． 的长为13或19． 23．如图，已知线段，点C在线段上，且，点是线段的中点，求线段BD的长； 【答案】 【分析】本题考查了与中点有关的计算题，线段的和差关系，先求出，结合点是线段的中点，得，最后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：，， ． ∵点是线段的中点， ， ． 24．根据题意，补全解答过程． 如图，点，在线段上，点是的中点．若，，求线段的长． 解：∵，， ∴，________， ∵点是的中点， ∴（________）（填推理的依据）， ∴________， ∴________． 【答案】；中点的定义；；． 【分析】此题考查了线段的和与差与线段中点的相关计算，由，，则，，又点是的中点，所以，则有，然后通过线段的和与差即可求解，熟练掌握线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点是的中点， ∴（中点的定义）， ∴， ∴， 故答案为：；中点的定义；；． ◆题型7两点间的距离 25．下列说法中错误的是______（填序号） ①如果，那么点为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度：两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④点在线段上，点、分别是线段，的中点．若，则线段． 【答案】①②③ 【分析】本题考查几何概念辨析，包括中点定义、两点之间线段最短、距离的定义以及线段中点的性质． 根据中点定义、两点之间线段最短、距离的定义以及线段中点的性质一一判断即可 【详解】解：说法①：如果，点不一定在线段上，因此①错误； 说法②：把弯曲的河道改直可以缩短长度，原因是两点之间线段最短，而非两点确定一条直线，因此②错误； 说法③：连接两点间的线段是图形，而两点间的距离是线段的长度（数值），因此③错误； 说法④：点在线段上，、分别为、中点，则，∵，∴，因此④正确； 故错误的有①、②、③． 故答案为：①②③． 26．如图，已知点B在线段上，，． (1)求线段的长； (2)如果点O是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1)30 (2)9 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差．解题关键是根据已知条件逐步求出相关线段的长度． （1）根据所给图形利用可求出，即得； （2）由点O是线段的中点，求出，再可解． 【详解】（1）解：∵点B在线段上，，, ∴， ∴． （2）解：∵点O是线段的中点， ∴， ∴ ． 27．定义：若点在同一直线上，且，则．例如，则． 如图，已知线段， （1）点是线段的中点，则=_____； （2）、是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为，当_____时，． 【答案】 / 或10 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，根据定义，即可求解； （2）根据题意，分当点Q在点A右侧时和当点Q在点A左侧时两种情况，利用定义列出方程，然后解方程，即可求解． 【详解】解：（1）点是线段的中点， ． ． （2）依题意，当点Q在点A右侧时，，． ． ， ． 解得； 当点Q在点A左侧时，，． ． ， ． 解得； 故答案为：或10． ◆题型8直线、射线、线段多结论判断 28．下列说法中，正确的是（     ） ①射线和射线是同一条射线；②若，则点B为线段的中点；③连接两点间的线段的长度叫做这两点之间的距离；④点C在线段上，M，N分别是线段，的中点．若，则线段． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查射线、线段中点、两点间距离的相关几何概念，需逐一分析每个说法的正误来得出答案．根据射线的定义、线段中点的定义、两点之间的距离的定义及线段的和差求解． 【详解】解：①射线和射线是两条射线；故①是错误的； ②若，当A、B、C共线时，则点B为线段的中点；当A、B、C不共线时，点B不是线段的中点；故②是错误的； ③连接两点间的线段的长度叫做这两点之间的距离，故③是正确的； ④点C在线段上，M、N分别是线段，的中点．则，，即可得到，若，则线段，故④是正确的； 故选：D． 29．下列语句中正确的是（   ） A．延长直线 B．延长线段到点C，使线段与线段相等 C．延长射线 D．反向延长射线到点B，使射线与射线相等 【答案】B 【分析】本题考查了几何基本概念：直线、射线与线段；根据几何基本概念，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A选项错误：直线是向两端无限延伸的，没有端点，因此无法再被“延长”； B选项正确：线段可以沿B点方向延长到点C，使；例如，用圆规截取的长度，从B点延长即可构造点C； C选项错误：射线从端点O向A方向无限延伸，已无法再延长； D选项错误：射线反向延长得到的是另一条射线（方向与相反），射线本身是无限长的，无法定义“相等”； 综上，只有B选项符合几何基本概念． 故选：B． 30．如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是_________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：以C为端点的射线共有3条，故①错误； 因为射线和射线的端点不同，方向也不同，所以不是同一条射线，故②错误； 直线和直线是同一条直线，故③正确； 射线的端点相同，都为点A，故④正确． 综上所述，其中正确的结论是：③④． 故答案为：③④． ◆题型9直线、射线、线段作图 31．如图，已知四点A、B、C、D，按以下要求画图． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接； (4)确定点P，使得的值最小，并说明你的作图依据：　　　． 【答案】(1)如图，直线即为所求作； (2)如图，射线即为所求作； (3)如图，即为所求作； (4) 如图，点P即为所求． 作图依据：两点之间线段最短． 【分析】此题考查了根据直线、射线、线段的定义进行基本作图，解题的关键是熟悉基本几何作图，知道两点之间线段最短． （1）直线没有端点，向两端无限延伸，如图所示； （2）射线只有一个端点，向一边无限延伸，如图所示； （3）线段有两个端点，如图所示； （4）连接交于，根据两点之间线段最短可判断点满足条件． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 32．如图，平面上有A，O，B三个点，请根据下列要求完成．    (1)连接并延长，截取；（保留尺规作图痕迹） (2)连接并延长，交射线于点． (3)作射线交射线于点； (4)知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．如果，，，为四个社区，为了网购后收货方便（要求到四个社区的距离和最短），要在哪个位置建一个菜鸟驿站？并用所学数学知识说出理由． 【答案】(1)连接并延长，截取，如图所示． (2)连接并延长，交射线于点，如图所示． (3) 作射线交射线于点，如图所示． (4)在点建设，因为两点之间线段最短． 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． （1）根据线段的定义作图即可； （2）根据射线的定义作图即可； （3）根据射线的定义作图即可； （4）根据线段的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 33．如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句作图（保留作图痕迹），并回答问题． (1)画射线； (2)连接，并在线段的延长线上用圆规截取； (3)作直线与射线交于点F．观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是： ． 【答案】(1) 解：所作射线如下： (2) 解：所作图形如图所示； (3) 解：所作图形如图所示， 两点之间，线段最短 【分析】（1）根据射线的定义画图即可． （2）根据线段的定义可画出线段的延长线，以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的延长线于点． （3）根据直线的定义画图即可；根据线段的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短； 故答案为两点之间，线段最短． ◆题型10角的分类及表示 34．观察以下钟表，时针与分针夹角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了钟面角，求出时针与分针相差的大格个数是解题的关键．求出每个选项时针与分针的夹角判断即可． 【详解】解：A、时间为，时针与分针夹角为，不符合题意； B、时间为，时针与分针夹角为，符合题意； C、时间为，时针与分针夹角为，不符合题意； D、时间为，时针与分针夹角为，不符合题意； 故选：B． 35．用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的性质，熟练掌握角的性质是解题的关键．根据角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，解答即可． 【详解】解：角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，因此用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数仍然是． 故选：A． 36．下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【详解】解：A、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； B、图中的，可以用表示，也能用表示，故该选项符合题意； C、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； D、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； 故选：B ． ◆题型11角的度量与换算 37．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据将转化为，再计算角度的减法即可得． 【详解】解： ． 故答案为：． 38．计算______． 【答案】 【分析】本题考查角度的减法运算，将转化为，再进行减法运算，解题的关键是掌握：进行角度的减法运算时，同单位相减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减，不够减的，从上一级借，再进行减法运算． 【详解】解：． 故答案为：． 39．____________． 【答案】 42 【分析】本题考查了度分秒的换算，关键在于要注意度分秒是60进制． 根据度、分、秒是60进制，用小数部分乘以60，再进行相加计算即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 故答案为：55，42． ◆题型12角平分线 40．小明在学习了线段与角的知识之后，得到了两条结论： 甲：已知线段，若平面内的点满足，则是线段的中点； 乙：已知，若射线满足，则是的角平分线． 关于这两个结论，以下判断正确的是(   ) A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲乙都错 D．甲乙都对 【答案】C 【分析】本题考查线段中点和角平分线的定义，解题思路是根据定义分析点或射线的位置是否符合条件． 【详解】解：分析结论甲： ∵线段的中点是在线段上且到、距离相等的点，而平面内满足的点可能在线段的垂直平分线上(不在线段上)，此时不是线段的中点， ∴结论甲错误． 分析结论乙： ∵角平分线是在角的内部且将角分成两个相等角的射线，而射线若在的外部，也可能满足，但此时不是的角平分线， ∴结论乙错误． 综上，甲乙都错． 故选：C． 41．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，由于未确定的位置，需分两种情况讨论：在内部和在外部，结合角的和差定义与角平分线的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ， 平分，平分， ，， ； 当在外部时， ， 平分，平分， ，， ， 综上，或，或． 42．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 43．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 【答案】 【详解】解：点是直线上一点，， ． 平分， ． ， ． ◆题型13垂线与垂线段最短 44．在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形．请你数一数，错误的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】第一个图形，过点B作所在直线的垂线段，垂足为，符合定义，正确； 第二个图形，不垂直于所在直线，错误； 第三个图形，垂线过上一点，不过点B，错误； 第四个图形，直角顶点在B处，未垂直于所在直线，错误． 所以错误的个数为3个． 45．已知，如图所示，，垂足为O，为过O点的一条直线，则与的关系一定成立的是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【答案】B 【分析】根据图形可看出，，，即可得． 【详解】解：图中，，， ∴， ∴与互余． 故选：B． 46．如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（   ） A．垂线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的性质，关键是掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：依题意，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上， ∴其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 47．斑马线通常是由多条相互平行的白实线组成，好似斑马身上的线条，所以称作“斑马线”．A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示．假设四人速度相同，则最先通过马路的是_____ （填“A”“B”“C”或“D”），理由是_____ ． 【答案】 B 垂线段最短 【分析】根据垂线段最短可知B同学行走的路程最短，又因为四人速度相同，所以B最先通过马路． 【详解】解：只有B同学走的路线是垂线段， B同学行走的路程最短， 四人速度相同， 最先通过马路的是B同学， 理由是：垂线段最短． 48．如图，点，，，在直线上，点在直线外，于点，在线段中，最短的一条线段是_________，理由是_______________． 【答案】 垂线段最短 【详解】解：∵点，，，在直线上，点在直线外，于点， ∴在线段中，最短的一条线段是，理由是：垂线段最短． 49．如图，点C在的边上，按要求作图并回答问题： (1)过点C作边的垂线交边于点D； (2)过点D作边的垂线段，垂足为E； (3)过点C作的平行线交边于点F； (4)比较三条线段，，的长度，并用“”连接．_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1) 就是所作的垂线： (2)如图，就是所作的垂线段； (3)如图，就是所作的平行线； (4)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的作法画图即可； （2）根据垂线的作法画图即可； （3）根据平行线的作法画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：． 依据是：垂线段最短． 50．按要求画图： 如图，点是同一平面内的四个点． (1)画直线和线段、射线； (2)取线段的中点D，连接； (3)过点A作直线于点E； (4)用刻度尺测量，点A到直线的距离约为______厘米（精确到）． 【答案】(1) 直线和线段、射线如图所示： (2)如图所示； (3)如图所示； (4)用刻度尺测量，点A到直线的距离约为厘米 【分析】本题考查了画直线，射线，线段，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线、线段、射线的特征作图即可； （2）根据题意进行作图即可； （3）利用三角板的两条直角边作图即可； （4）用刻度尺测量，即可得出点A到直线的距离，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：用刻度尺量出线段的中点，记为D，连接． （3）解：过点A作直线于点E． （4）解：依题意，用刻度尺测量，点A到直线的距离约为厘米． ◆题型1 直线、射线、线段多结论 1．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当 时，；③． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据题意用含的代数式表示出点、、、对应的数，再逐项判断线段长度关系及方程解的情况． 【详解】解：根据题意得，点表示的数为，点表示的数为， 点为的中点，点表示， 点表示的数为， 点为的中点， 点表示的数为； ①，即，两点之间的距离不会随着的变化而变化，故①正确； ②，， 当时，即， 或， 解得或，故②错误； ③，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 2．如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点M应建在（    ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； ∵A处，B处，C处，D处，E处，且这五户居民的人数依次有1人，2人，3人，3人，2人． 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为． ∵观察线段可得， ∴当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小 故选：C． 3．如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中是正方形，，，，都是长方形，这五个四边形的周长分别用，，，，表示，则下列各式的值为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在图形中标注出各点，结合题意分析、、、是否为定值即可． 【详解】解：如下图，标注出各点， ∵是正方形， ∴， ∵，，，都是长方形， ∴， A.，的长度不确定，故不是定值，不符合题意； B. ， 因为大长方形的周长定值，故为定值，符合题意； C.不是定值，为定值，所以不是定值，不符合题意； D.同B选项，是定值，不是定值，所以，不是定值，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形和长方形的周长、线段的相关运算等知识，理解题意，结合图形分析是解题关键． 4．的最小值是__________． 【答案】7 【分析】本题考查的是绝对值的含义，数轴上两点之间的距离，线段的和差，记分别表示，表示数，可得，，，，可得，再进一步分情况讨论即可. 【详解】解：记分别表示，表示数， ∴，，，， ∴， 如图，当时， ， 如图，当时， ， 如图，当时， ， 当时， ， 如图，当时， ， 当时， ， 综上：的最小值为， 故答案为7． 5．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为____________． 【答案】 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，最短． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度． ◆题型2 线段综合 6．已知线段，线段在直线上运动（在的左侧，在的左侧）．若、满足． (1)①当点与点重合时，求____________； ②是的中点，当时，求的长； (2)当线段运动到点距离点一个单位长度时，若有一点在点右侧且位于线段的延长线上，试求的值． 【答案】(1)①；②或． (2)或 【分析】（1）①根据平方非负性求出a，b的值；②根据中点性质可求解； （2）根据线段的和差来表示，分类讨论． 本题考查了线段的和差，解题关键是正确画图． 【详解】（1）解：, ，， ①当D点与B点重合时, , ②如图， 当点在点左侧， ,,, , 是的中点， , , 当点在点右侧， ,,, , 是的中点， , , 故答案为：①；②或． （2）解：如下图， 由题意得： , , , ． 如下图， ， ， 。 ． 故答案为：或． 7．如图，已知线段，，点在线段上，且，点是的中点，在线段上另找一点，使满足条件，求的长． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况：点在点左侧或点在点右侧，作出图形，数形结合，由相关线段的和差倍分关系求解即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： 当点在点左侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 当点在点右侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 综上所述，的长为或． 8．如图，为线段中点，延长线段至，使得，反向延长至，使得，若，请你完成作图，并求出线段的长度． 【答案】作图如下，长度为4 【分析】本题考查了线段的和与差、线段的中点，关键根据线段间的数量关系来解答． 根据题意作出图形，由中点性质得，再根据计算，即可求解． 【详解】解：因为为线段中点， 所以， 所以 所以， 所以． ◆题型3 角度综合 9．生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点和点表示，表盘与线段交于点，，为表盘圆心． (1)若为，，是的中点，则手表全长___________． (2)表盘上的点对应数字“”，点对应数字“”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①___________； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过__________分钟，的度数是． 【答案】(1) (2)①；②的度数为或 (3)或 【分析】本题考查线段中点有关的计算，钟面角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据线段的中点，求出的长，由比例关系，求出的长，再根据，计算即可； （2）①求出分针每分钟走，时针每分钟走，根据角的和差关系进行求解即可；②分在的内部和在的外部，两种情况进行求解即可； （3）设经过分钟，的度数是，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：是的中点，， ． ． ，， ， ， 故答案为：； （2）①分针每分钟走， 时针每分钟走． 分钟时针走过， 即时针从点到走过， ， 故答案为：； ②当在的内部时，， ； 当在的外部时，； 综上，的度数为或； （3）设经过分钟，的度数是， 时针与分针每分钟走的度数差为， ， 平分， ， 解得或， 的值为或， 故答案为：或． 10．如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟；射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟，和同时旋转，当旋转一周时停止，也随之停止，设旋转的时间为． (1)当为何值时，射线与重合； (2)当为何值时，； (3)试探索：在射线与旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线所在直线平分另两条射线所夹的角？若存在，请求出所有满足题意的的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)分钟 (2)或分钟 (3)存在，分钟或分钟或11分钟 【分析】本题由角的边的旋转考查了角的和差运算，角平分线的定义． （1）当与重合时，根据角度关系可知，利用题中射线的旋转速度，由角度时间旋转速度，列出方程，求解即可得到射线与重合时的时间； （2）当时，可分为两种情况，当与相遇前：；当与相遇后：，列出对应的方程，求解即可； （3）分三种情况来考虑，当为角平分线时，当为角平分线时，当为角平分线时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 即当分钟时，射线与重合； （2）解：当与相遇前：，则可得， 解得分钟； 当与相遇后：，则可得， 解得分钟； 综上可知，当或分钟时，∠； （3）解：存在， 如图1，当为角平分线时， ， 解得； 如图2，当为角平分线时， ， 解得； 如图3，当为角平分线时， ， 解得． 综上可知，t的值为分钟或分钟或11分钟． 11．综合与探究：在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴，如图，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)问题探究 若，，则____________． 若，，则____________． 若点是线段所在直线上的任意一点（不与，重合），是中点，是中点，当时，____________． (2)继续探究 “创新”小组的同学类比想到：如图，已知，在的内部作射线，再分别作和的角平分线，． 若，则_______________． 若，则_______________． (3)深入探究 “缜密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图，若，在的外部作射线，再分别作和的角平分线，，若，则_______________． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】本题考查了线段的中点，角平分线的性质，熟练掌握线段的中点、角平分线的定义，能够利用和差关系运算求解是关键． （1）根据中点的性质结合线段之间的和差关系求解即可；由可直接得解；分三种情况讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在线段上时，分别列式计算即可； （2）根据角平分线的性质结合角的和差关系求解即可；由可直接得解； （3）根据角平分线的性质结合角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； 由可得； 故答案为：； 当点在点左侧时，； 当点在点右侧时，； 当点在线段上时，由知，； 综上，； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：． 由可得． 故答案为：． （3）解：平分，平分， ，， ， ， ． 故答案为：． ◆题型4 新定义 12．在平面内，取不重合两点、，记线段，点是直线上不同于、的一点，点、分别是线段的中点，如果，或者，则称线段与线段是线段的一对“差中线”，点称为线段的一个“差中对称点”． (1)若，点在线段上，，则 ，与是否为一对“差中线”？ (填“是”或“否”)． (2)若，且和是一对“差中线”，则的长度为 ． (3)若点在数轴上对应的点为，点在数轴上对应的点为3，点在数轴上对应的点为，点在数轴上对应的点为，若线段上存在线段的“差中对称点”，则的范围为 ． 【答案】(1)，否； (2)或； (3)或 【分析】（1）根据线段中点的性质求出的长度，再结合“差中线”的定义验证条件是否成立即可； （2）设的长度为，分点在线段上、点在延长线上、点在延长线上三种情况，结合“差中线”的定义列绝对值方程求解，舍去不符合题意的解即可； （3）先求出的长度，结合新定义推导出差中对称点在数轴上的对应数值，再根据线段上存在差中对称点，列不等式求解的范围即可． 【详解】（1）解：如图： ∵，，点在线段上， ∴． ∵点、分别是线段、的中点， ∴，， ∴． ∵，，，不满足“差中线”的定义， ∴与不是一对“差中线”； （2）解：设的长度为，，已知，分三种情况讨论： ①如图，当点在线段上时，， ∵、分别是线段、的中点， ∴， ∵和是一对“差中线”， ∴或， 即或， 解得(舍去)或方程无解，故此情况无符合条件的解； ②当点在延长线上时，， ∵、分别是线段、的中点， ∴， ∵和是一对“差中线”， ∴或， 即或， 解得或(舍去)或方程无解，符合题意； ③当点在延长线上时，， ∵、分别是线段、的中点， ∴， ∵和是一对“差中线”， ∴或， 即或， 解得(舍去)或方程误解或，符合题意； 综上，的长度为或； （3）解：∵点在数轴上对应的点为，点在数轴上对应的点为，∴，即，． 设线段的“差中对称点”为点，点在数轴上对应的数为，点、分别是线段、的中点，则，． ①当点在线段上时， ． ②当点在的延长线上时， ． ③当点在的延长线上时， ． 综上， 根据“差中对称点”的定义，需满足或， 即或． ①对于，， ∴，即或， 解得(与点重合，舍去)、、(与点重合，舍去)； ②对于，， ∴，即或， 解得、(与点重合，舍去)、(与点重合，舍去)； 综上，线段的“差中对称点”在数轴上对应的数为和． ∵点对应的数为，点对应的数为，线段上存在差中对称点， ∴当在线段上时，，解得； 当9在线段上时，，解得； 综上，的范围为或． 13．对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点，重合时，规定．设数轴上的点表示的数是，点表示的数是． (1)若数轴上点，，，表示的数分别是，，，，则线段的中点表示的数是__________，线段，的相对离散度是__________； (2)设数轴上点右侧的点表示的数是，若线段，的相对离散度，求的值； (3)数轴上点，都在点的右侧（其中，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出所表示的数的取值范围．（参考材料：．若，则．其中，且；．如图：点把线段分成相等的两条线段与，点叫作线段的中点） 【答案】(1)，； (2)的值为或； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． （）设线段，的中点为，，由题意可得：，所以线段的中点表示的数是，线段的中点表示的数是，通过，得，求得； （）设，中点记为，，由题意可得，，所以点，在数轴上表示的数分别为，，则，根据线段，的相对离散度， 且，故有，然后求出的值即可； （）设数轴上点对应的数分别为，可得点所表示的数，设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为，所以，又线段，的相对离散度为，且，所以，得，同理，从而可得，然后分当，时，当，时，当，时，当，时即可求解． 【详解】（1）解：设线段，的中点为，， 由题意可得：， ∴线段的中点表示的数是，线段的中点表示的数是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：设，中点记为，， 由题意可得：，， ∴点，在数轴上表示的数分别为，， ∴， ∵线段，的相对离散度， 且， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点对应的数分别为， ∵数轴上点都在点的右侧 (其中不重合)， ∴，且， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ∴， ∵线段，的相对离散度为，且， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， 当，时， 解得：， ∵不重合, ∴ 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴ 即：， ∴， 即． 14．距离是天文学、物理学、数学，甚至哲学中的热门话题．唯有深入了解距离，才能更好地把握宇宙尺度，把握做人做事的分寸． 研究数轴我们发现：若点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B两点之间的距离．已知如图，点O为原点，点A、B在数轴上对应的数分别为和6． (1)①A，B两点之间的距离为 ； ②点R是数轴上一点，若点R到点A的距离为6（即），则点R在数轴上对应的数为 ． (2)数轴上有一动点T，当点T以每秒1个单位长度的速度从O点向左匀速运动时，点A也以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B也以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动，若它们同时出发，则几秒后T点到A、B两点的距离相等？ (3)定义：数轴上，把表示数2的点称为标准点，记作点，对于两个不同的点O和Q，若点P、点Q到点O的距离相等，则称点P与点Q互为标准变换点． 点M在点N的左边，点M与点N之间的距离为16个单位长度．对M、N两点做如下操作：点M沿数轴向左移个单位长度得到，为的标准变换点，点沿数轴向左移动k个单位长度得到，为的标准变换点，…，依此顺序不断地重复，得到，，…，．为N的标准变换点，将数轴沿原点对折后的落点记为，为的标准变换点，将数轴沿原点对折后的落点记为，…，依次顺序不断地重复，得到，，…，．若无论k为何值，与两点间的距离都是12，求出n的值． 【答案】(1)①8；②或4； (2)0.5秒或4秒； (3)3或15 【分析】（1）①根据A、B两点之间的距离为，可以求出A，B两点之间的距离； ②设R的对应数为x，A和R之间距离为，可以求出x有两个值； （2）分两种情况讨论：当T在A、B相遇之前，当T在A、B相遇之后时，分别求出t的值； （3）先根据变换，求出前5个M的值，找到M的变换规律，再求出前6个N的值，从而得到N的变换规律，最后利用距离公式，求出n的值． 【详解】（1）解：①； ②设R对应的数为x，则， 或， 解得或， 点R在数轴上对应的数为或4， 故答案为：①8；②或4． （2）解：当T在A、B相遇之前， 解得； 当T在A、B相遇之后时， ， 解得， 综上所述，出发0.5秒或4秒后，T点到A、B两点的距离相等． （3）解：设点M表示的数为P，则点N表示的数为，由题意得， 表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数， 表示的数，表示的数，表示的数，表示的数,表示的数，表示的数 由此可得： ①，， 令， 解得或， ∵m为正整数， ∴这种情况不满足， ②，， 令， 解得或， 即或3， ∴或． 【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类、数轴以及解一元一次方程，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及找到标准变换点的变化规律． 一、选择题 1．如图，从正面看到的这个立体图形的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从正面看，是上面小、下面大的两个长方形，上面长方形中间有一条竖直的线段，所以选项A符合题意． 2．如图，某村庄计划从点A处修建一条通往公路l的便民道路，为了减少建设成本，工程师过点A向公路l作垂线，垂足为B点，沿方向修建道路．该设计能让道路长度最短，其数学原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】解：要从点A处修建一条通往公路l的便民道路，过点A向公路l作垂线，垂足为B，沿方向修建的道路最短，理由是垂线段最短． 3．如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主视图是从物体正面观察得到的平面图形，看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线． 【详解】解：从正面观察该几何体，外轮廓是矩形，棱位于几何体后方，被前面的面遮挡，不可见，不可见的棱在主视图中应画成虚线， 所以主视图是中间有一条竖直虚线的矩形：． 4．下列小明的积木玩具抽象图中，不是柱体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据柱体和锥体的定义进行判断，柱体包括棱柱和圆柱，锥体包括棱锥和圆锥． 【详解】解：A是三棱柱，属于柱体； B是圆柱，属于柱体； C是四棱柱，属于柱体； D是四棱锥，属于锥体，不是柱体． 5．下列说法正确的是（     ） A．射线与射线是同一条射线 B．直线可以向两端无限延长，所以能延长直线 C．两点之间，线段最短 D．线段与线段不是同一条线段 【答案】C 【分析】根据直线，射线，线段的相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、射线与射线的端点不同，方向不同，它们不是同一条射线，故本选项说法错误； B、直线本就无限延伸，不能说延长直线，故本选项说法错误； C、两点之间，线段最短，故本选项说法正确； D、线段与线段的端点相同，它们是同一条线段，故本选项说法错误． 6．有下面三种现象：①扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；②夜晚天空划过流星的痕迹；③汽车雨刮器在挡风玻璃上刮出的痕迹．其中能说明“点动成线”的现象是（     ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 【答案】B 【详解】解：现象①：小石子看作一个点，在空中飞行的路线是线，符合“点动成线”； 现象②：流星看作一个点，划过的痕迹是线，符合“点动成线”； 现象③：雨刮器看作一条线，在挡风玻璃上刮出的痕迹是面，属于“线动成面”． 7．如图，点A、B、C在同一直线上，B在A、C之间，M是的中点，N是的中点，，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点，，， ∴， ∴． 8．如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点是线段的一个三等分点，， ∴． 9．如图，数轴上的点，分别表示数和1，点是线段的中点，则点表示的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上的点，分别表示数和1，点是线段的中点， ∴点表示的数是. 10．下列结论正确的是（     ） A．直线比射线长 B．射线比线段长 C．过三点一定能作三条直线 D．过两点有且只有一条直线 【答案】D 【分析】结合直线、射线的度量性质及直线的基本事实判断各选项正误． 【详解】解：A、B选项，直线、射线不可度量，无法比较长短，均错误； C选项，若三点共线，仅能作1条直线，错误； D选项，过两点有且只有一条直线，正确． 11．8时30分，钟表的时针与分针所成的角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据钟面角的性质求解即可． 【详解】解：∵钟面一圈为，共12个大格， ∴每个大格对应． ∵8时30分时，分针指向6，时针经过8后又走了半小时， ∴时针在8与9的正中间， ∴时针与分针间隔个大格， ∴夹角为． 12．如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的度数，再进行角度求和运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 13．如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，三条射线将分为4个相等的小角，设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， 即可求出． 【详解】设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， ∴，， ∴， 根据角平分线的定义，射线是的角平分线． 14．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 15．下列说法： ①由两条射线组成的图形叫做角； ②连接两点的线段叫两点之间的距离； ③射线与射线是两条不同的射线； ④用两颗钉子可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ⑤两点之间直线最短． 其中正确的有（     ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面几何相关基本概念，逐一判断正误，统计正确说法的个数即可得到结果． 【详解】解：① 角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，该说法未提及公共端点，∴①错误； ② 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，不是连接两点的线段本身，∴②错误； ③ 射线的端点是，射线的端点是，端点不同，延伸方向不同，是两条不同的射线，∴③正确； ④ 基本事实“两点确定一条直线”，因此用两颗钉子可以把木条固定在墙上，该说法正确，∴④正确； ⑤ 正确结论为两点之间线段最短，直线没有长度，∴⑤错误； 综上，正确的说法共个． 16．下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：线段的长度表示点到直线距离的是， 故选：C． 二、填空题 17．一个几何体表面的展开图如图所示，则这个几何体是_______． 【答案】三棱柱 【详解】由题图可知，这个几何体侧面有三个长方形，底面有两个三角形，符合三棱柱表面的展开图的特征． 18．下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面角的定义，分别计算时针和分针的位置，再求其夹角的度数，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题的关键． 【详解】解：点分，时针在与正中间，即； 分针在，即； 夹角． 19．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【分析】度分秒运算规则为，加法满进，减法不够减时借当，有括号先算括号内运算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 20．下列三个日常现象： ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程； ③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩． 其中，可以用“垂线段最短”来解释的现象是__________（填序号）． 【答案】③ 【分析】根据线段的性质、垂线的性质、直线的性质分别进行分析即可得出答案． 【详解】解：逐个分析三个现象对应的原理如下， ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，依据是两点确定一条直线，不符合要求； ②把弯曲的公路改直缩短路程，依据是两点之间线段最短，不符合要求； ③测量跳远成绩，是测量落脚点到起跳线的垂线段长度，依据是垂线段最短，符合要求． 21．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在________（从点、点、点、点四个地点中选一个填入），理由是________． 【答案】 A 垂线段最短 【分析】根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处． 22．如图，一个长方体纸箱里面恰好可以装下桶A种饮料，如果改装B种饮料，且饮料不能高出纸箱，那么B种饮料最多可以装________桶． 【答案】20 【分析】先求出纸箱子的长宽高，再利用圆柱的特征进行合理摆放即可． 【详解】解：纸箱长（厘米），纸箱宽（厘米），纸箱高14厘米 将B种饮料的高沿长方体的宽进行摆放， 长可以摆放（桶），宽可以摆放（桶），高可以摆放（桶）……2（厘米） 最多可以装（桶） 因此最多可以装20桶． 23．如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 【答案】 【分析】根据旋转性质表示出和，利用角平分线和四等分线定义表示和，根据与的位置关系分和两种情况，结合绝对值方程求解． 【详解】解：由题意得，， 射线为的四等分线， ， 当旋转到的延长线上时，如图，此时，则， ①当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 当旋转到与重合时，则， ②当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 综上所述，的值为或28． 三、解答题 24．数学思想·类比思想十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你根据如图几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 ___________ 正八面体 __________ 8 12 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是___________； (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是___________． 【答案】(1)12，6 (2) (3)18 【分析】（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义可得数据； （2）接下来根据多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得V、F、E之间的数量关系式；（3）根据（2）中顶点数，面数和棱数之间的关系式列出关于面数的方程求解，问题即可解答． 本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，结合题干的图形，作答如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 故答案为：12，6； （2）解：观察模型中的四面体，长方体，正八面体的顶点数（V），面数（F），棱数（E）， 则有，，， ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是， 故答案为：； （3）解：∵一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：18． 25．如图，是内任一条射线，、分别平分、，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义，推出，即可得出结果. 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ， ， . 26．解答以下问题 (1)已知点在线段上，取的中点，的中点，，求； (2)如图，已知，平分，平分，则的度数为______． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了线段双中点模型和角的双角平分线模型．利用中点的定义和角平分线的定义即可解题． 【详解】（1）解：的中点为，的中点为， ，， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ， ， ． 27．如图，已知直线以及直线外一点P．按下述要求画图并填空： (1)过点P画，垂足为点C； (2)P、C两点间的距离是线段 的长度； (3)点P到直线的距离是线段 的长度； (4)点P到直线的距离为 （精确到）． 【答案】(1)解：如图所示： (2) (3) (4)（测量结果合理即可） 【分析】（1）将三角板的一条直角边与直线完全贴合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点，沿经过点的这条直角边画出直线，与直线交于点，在交点处标注直角符号，即得到满足的图形； （2）两点之间的距离是连接两点的线段的长度； （3）直线外一点到这条直线的距离，是该点到直线的垂线段的长度； （4）使用刻度尺测量垂线段的长度，按题目要求精确到． 【详解】（1）略； （2）解：P、C两点间的距离是线段的长度； （3）解：点P到直线的距离是线段的长度； （4）解：点P到直线的距离为． 28．如图，点A、B、C在同一条直线上，，则与垂直吗？ 【答案】垂直 【分析】求出即可． 【详解】解：∵点、、在同一条直线上，， ∴， ∴． 29．如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作直线； (2)作射线； (3)连接，交于点． 【答案】(1)所作直线如图所示： (2)所作射线如图所示： (3)所作交点E如图所示： 【分析】根据直线、射线、线段的定义画图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 30．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 【答案】(1)，直线如图所示； (2)以点B为端点，向点C方向作射线，标注射线与直线的交点为O，作图见小问1答案 (3)分别连接、，标注两条线段的交点为F，作图见小问1答案 (4)以点F为端点，经过点O作射线，作图见小问1答案 (5)以点A为端点，经过点B作射线，作图见小问1答案 (6)连接点C和点D，得到线段，作图见小问1答案 【详解】（1）作图见答案 （2）作图见小问1答案 （3）作图见小问1答案 （4）作图见小问1答案 （5）作图见小问1答案 （6）作图见小问1答案 31．如图，已知点M在的内部，点N在边上．按要求画出图形并填空． (1)过点M画，垂足为E； (2)过点M画，垂足为F； (3)M、N两点间的距离是线段________的长度，线段的长度表示________到________的距离； (4)点M到直线的距离是线段________的长度； (5)点N到直线的距离是________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3)，A， (4) (5)0 【分析】（1）根据垂线的定义作图； （2）根据垂线的定义作图； （3）根据两点之间的距离求解和点到直线的距离求解； （4）根据点到直线的距离求解； （5）根据点到直线的距离求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：M、N两点间的距离是线段的长度，线段的长度表示A到的距离； （4）解：点M到直线的距离是线段的长度； （5）解：点N到直线的距离是0． 32．一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成．图1是从上面看到的几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在如图2所示的网格中画出从正面和左面看这个几何体所得到的形状图； (2)若每个小立方块的棱长均为，求这个几何体的表面积（含底面）． 【答案】(1)如图所示： (2) 【分析】（1）根据从正面看、从左面看到的图形，画出这个几何体的形状图即可； （2）根据几何体的表面积的计算方法解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，这个几何体的表面积为： ． 33．如图，直线与交于点O，已知和位于的两侧，且，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直定义求得，再根据角平分线的定义，然后根据对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 34．直线，相交于点，作射线，且在的内部，作射线于点． (1)如图，当点，在直线的同侧时． ①若，则________度； ②嘉嘉说：“若平分，则一定平分．” 淇淇说：“若，则一定垂直于．” 选择其中一个人的说法进行说理； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)①； ②选择嘉嘉，∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一定平分． 选择淇淇，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴． (2)的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，垂直的定义，与余角补角相关的计算，数形结合是解题的关键． （1）①根据垂直，得到，根据对顶角，则，根据，即可；②选择嘉嘉：根据角平分线，则，根据垂直的定义，则，，等量代换，得到角的等量关系，进行解答，选择淇淇：根据垂直，则，根据，等量代换，即可； （2）当点，在的同侧时，根据垂直，得到，根据，；当点，在的异侧时，，进行解答，即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②略 （2）解：当点，在的同侧时， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴； 当点，在的异侧时， ． 35．综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______； (2)如图3，若收纳盒的长比高多，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子） 【答案】(1)； (2)不能 【分析】（1）结合图形计算与； （2）设收纳盒的高为，则长为，由构造方程求解出，进而表示出收纳盒的长宽高，与玩具机械狗的尺寸对比，即可得出结论． 【详解】（1）解：，； （2）解：设收纳盒的高为，则长为， 由题意可知，， 解得， ∴收纳盒的宽为， ∵， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 36．如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再由角平分线的定义得，从而可求的度数； （2）由题意可得，由角平分线的定义可得，利用邻补角即可求得． 【详解】（1）解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 37．同学们，数学知识的学习往往具有相通的地方，如果在学习中你能发现这种相通的地方便可以在数学学习中做到触类旁通．就像线段的中点问题能够迁移到角平分线问题中去，本质都是平分．让同类问题的解题逻辑形成连贯的知识链条，可以让我们学起来更加轻松，请大家带着这样的思考解决下列问题． 特例感知： （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若，则线段___________． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图③所示，，且，，请直接写出与之间的关系___________． 【答案】（1）①7；②7；（2）；（3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． （1）①根据线段中点的定义得到，由，即可求解；②方法同上； （2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵分别是和的中点， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵分别是和的中点， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，射线平分，射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 38．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 39．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的正方形卡纸，要求大家利用它制作一个无盖的正方体纸盒．小明按照图2的方式裁剪掉阴影部分，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个无盖的礼品盒，如图3所示． (1)如果正方形的边长为6，直接写出的值； (2)小明在设计无盖正方体纸盒展开图（图2）时的方法是在正方形卡纸的四个直角的位置上分别剪去大小相等的小正方形．如果把正方形卡纸换成如图4所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．请你参考小明的方法，在图4的卡纸上进行设计，用阴影画出裁剪部分，用实线画出裁剪线，使剩下部分刚好是一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子（如图5所示）的展开图； (3)今有一张如图6所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．现以你设计的纸盒展开图（图4）为基本样式，请你在图6的卡纸中画出设计示意图（包括这张卡纸可制作几个无盖的长方体盒子，其展开图在卡纸上的分布情况）．（要求：本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”给分，设计出的展开图个数最多才能得满分） 【答案】(1)2 (2)所作图形如下： (3)所作图形如下： 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由图4可知每个小正方形的边长为，要裁剪出一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子的展开图，则四个角各剪去四个小正方形，即可画出图形； （3）根据（2）的无盖长方体盒子的展开图，且要求展开图个数最多，画出图形即可． 【详解】（1）解：：由题意得：． （2）略 （3）略 40．如图，在数轴上，点，，表示的数分别为，，． (1)直接写出________，________； (2)设点在数轴上表示的数为． ①若点为线段的中点，求的值； ②若点为数轴上的一个动点，则当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴在，两点之间做往返运动，当点运动到点时，和两点同时停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②当时，最小值是 (3)或11 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案；②表示到的距离，表示到的距离，再根据两点之间线段最短，当动点落在，两点之间（含端点）时，距离之和最小，最小值就是线段的长度； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵点P为线段的中点， ∴， ∴， 解得． ②的几何意义：数轴上点到点与点的距离之和， 当点在线段上（即）时，距离和最小，最小值为； （3）解：∵动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， ∴点运动到点所用时间：（秒），点从点到点所需时间：（秒） ∴点M表示的数为； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为． 当时，， ∴或， 解得或； 当时，， ∴或， 解得或． ∴存在t值，使得，或11． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 41．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具、数轴上两点、表示的数分别为，若，则两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则两点间的距离为．定义：在数轴上，如果线段上从左往右的点将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，．．．．．，是靠近的第个等分点，则记为， (1)探究一：如图1，在数轴上两点表示的数分别为，若，则线段的二等分点表示的数为．当时，线段的二等分点表示的数为___________． (2)探究二：如图2，在数轴上两点表示的数分别为，求线段上靠近点的第2个五等分点表示的数； (3)应用一；如图3，在数轴上两点表示的数分别为，数轴上两点表示的数分别为，若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，求的值； (4)应用二：如图4，在数轴上两点表示的数分别为，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合，求此时的的值． 【答案】(1)3 (2) (3)2 (4)7或 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）根据“探究一”的计算方法求值即可； （3）根据题意可得线段上靠近的四等分点表示的数，线段上靠近的十等分点表示的数，列出方程即可； （4）求出点P，Q表示的数，以及线段上靠近的八等分点表示的数，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：当时，线段的二等分点表示的数为； （2）解：线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为； （3）解：根据题意得：线段上靠近的四等分点表示的数为， 线段上靠近的十等分点表示的数为， ∵线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合， ∴， 解得：； （4）解：线段上靠近的八等分点表示的数为， ∵在数轴上两点表示的数分别为，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P在点Q的左边时，，此时，则， ∴线段靠近点P的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合， ∴或， 解得：或（舍去）； 当点P在点Q的右边时，，此时，则， ∴线段靠近点Q的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的八等分点与线段的三等分点重合， ∴或， 解得：或（舍去）； 综上所述，t的值为7或． 42．（1）定义：已知点在线段上，且点将线段分成两个部分，我们把点称为线段的“一三分界点” 如图1，在数轴上已知点、点、点、点分别表示的数为：，为线段之间的一条动线段．，点、分别是线段、中点，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当运动到点位置时，马上以原速度返回继续向左运动，当到达点运动停止．设动线段的运动时间为， ①当为1秒时，____________，____________． ②当为多少秒时，点是线段的“一三分界点”？ （2）定义：已知射线在内部，且射线将分成两个部分，我们把射线称为的“一三分界线”： 如图2，已知，，，射线、、分别平分、、，将先绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转到位置时，马上以原速度返回继续逆时针运动，当旋转到时运动停止．设的旋转时间为，则当____________时，是的“一三分界线”． 【答案】（1）①13；9；②或；（2）当或3或10时，是的“一三分界线”． 【分析】（1）①根据线段中点的定义解答即可；②分和两种情况结合点是线段的“一三分界点”讨论即可； （2）分和两种情况结合是的“一三分界线”讨论即可． 【详解】解：（1）①∵点、点分别表示的数为：， ∴当为1秒时，点、点分别表示的数为：， ∵点、分别是线段、中点，点、点分别表示的数为：， ∴点、分别表示的数为：， ∴，； 故答案为：13；9 ②当运动到时，； 当运动到时，； ∴当向右运动时，，当向左运动时，， 当时，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵点、分别是线段、中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，， ∵点是线段的“一三分界点”， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或； 当时，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵点、分别是线段、中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，， ∵点是线段的“一三分界点”， ∴或， ∴或， 解得：或（舍去）， 综上所述，当为或秒时，点是线段的“一三分界点”； （2）解：∵，，， ∴， 当旋转到位置时，，当旋转到时，， 当时， ∵射线、、分别平分、、， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∵是的“一三分界线”， ∴或， 或， 解得：（舍去）或； 当时， ∵射线、、分别平分、、， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∵是的“一三分界线”， ∴或， 或， 解得：或； 综上所述，当或3或时，是的“一三分界线”． 故答案为：2或3或10． 【点睛】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、数轴上的动点问题、两点之间的距离、角平分线的定义、角的和差等知识点，关键是画出符合题意的图形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $