北京市第十九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

北京市第十九中学2026-2027学年度高三年级第一次月考 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，若复数对应的点位于第三象限，则复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入如图所示的容器，则容器中水的高度h与时间t的函数图象是（ ） A． B． C． D． 6．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ） A． B． C． D． 8．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天就是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少30%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂排放的废气达标，那么废气排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：） A．2 B．3 C．4 D．5 9．若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．如图，在直角梯形中，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A． B．6 C． D．4 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知是数列的前项和．若，则___________． 12．已知角的终边经过点（3，4），把角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则___________． 13．如图所示，四点在正方形网格的格点处．若，则___________，___________ 14．设函数 ①若，则的零点的个数为___________． ②若的值域为则实数的取值范围是___________． 15．已知函数． ①函数为偶函数； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数的极值点个数为3． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知是等比数列，满足，数列满足，且是公差为2的等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 17．设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知． （1）求的值； （2）若在上有且仅有两个极大值点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：将的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称； 条件③：对于任意的实数的最大值为4． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．已知函数．曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求的最小值． 19．如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知（公里），是等腰三角形，． （1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？ （2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问汽车能否先到达C处？ 20．已知函数． （1）若在处取得极大值，求的值； （2）求的零点个数． 21．已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． （1）判断是否为数表，并求的值； （2）若数表满足，求中各数之和的最小值； （3）证明：对任意数表，存在，使得 北京市第十九中学2026-2027学年度 高三年级第一次月考数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）D（2）D（3）A（4）B（5）D （6）B（7）B（8）D（9）C（10）B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）2（12）（13）（14）①2②（15）①②③ 三、解答题（共6小题，共85分） （16） 解：（1）设数列的公比为， 则 解得， 所以，， 令，则， （2） 数列的前项和： ． （17）解：（I） 条件①，， 所以， 所以， 解得， 条件②，， 所以的图象向右平移后所得图象关于原点对称， 所以，即， 解得，经验证：符合题意， 条件③，， 所以，其中， 由题意知，，即， 因为，所以； （Ⅱ） 当时，取得极大值，即， 因为在上有且仅有两个极大值点， 所以，符合题意， 所以． （18）解：（I）易知的定义域为， 可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以， 解得； （Ⅱ）由（I）知， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以当时，取得极小值，极小值， 当时，． 所以的最小值为． （19）解：（1）已知：（公里）， 在中，由正弦定理可得，， 得（公里）． 于是，由于：， 快递小哥不能在50分钟内将快件送到处． （2）在中，， 得（公里）， 在中，， ， 由正弦定理可得，， 得（公里）， 由：（分钟）知，汽车能先到达处． （20）解：（I） 易知的定义域为， 可得 ， 因为在处取得极大值， 所以， 即， 解得或， 当时， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取得极小值，不符合题意； 当， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取得极大值，符合题意， 此时； （Ⅱ）当时， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取得极大值，极大值， 因为， 所以当时，， 又， 所以在上有且仅有一个零点， 则的零点个数为1； 当时，对任意单调递增， 又， 所以当时，存在1个零点， 则的零点个数为1； 当时， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取得极大值，极大值， 因为， 所以当时，， 又， 所以在上有且仅有一个零点， 则的零点个数为1． 综上，当时，的零点个数为1． （21）（1）解：（1）是数表， （2）由题可知 ． 当时，有， 所以． 当时，有， 所以． 所以． 所以． 或者， 或者， 或或 故各数之和， 当时，各数之和取得最小值22． （3）由于数表中共100个数字， 必然存在，使得数表中的个数满足． 设第行中的个数为． 当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接， 则该行有条有向线段， 所以横向有向线段的起点总数． 设第列中的个数为． 当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接， 则该列有条有向线段， 所以纵向有向线段的起点总数． 所以， 因为，所以． 所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点， 即存在， 使得， 所以， 则命题得证． 学科网（北京）股份有限公司 $