精品解析：江苏苏州外国语学校2026-2027学年第一学期阶段测试（一）高一数学试卷

苏州外国语学校2026-2027学年第一学期阶段测试（一） 高一数学试卷 试卷满分：150分考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，根据集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 根据集合交集的概念及运算，可得. 故选：C. 2. 命题“，”的否定形式为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“，”的否定形式为“，”. 3. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 4. 已知命题“，使”是真命题，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合判别式求得的取值范围. 【详解】依题意：“，使”是真命题， ，解得或. 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化，分，，列出不等式限制条件，求解即可 【详解】由题意， （1）若，则，成立； （2）若，则，解得 综上，实数的取值范围是或 故选：C 6. 已知实数满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【详解】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 7. 已知，，，则下列结论不正确的是（ ）. A. B. 的最小值为 C. 若，则的最小值是 D. 若，则的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求出各个选项中代数式的最值，即可得到结果. 【详解】A选项，，当且仅当，即时，取等号，A选项正确； B选项，，当且仅当时取等号，但方程无解，B选项错误； C选项，，当且仅当，即时，取等号，C选项正确， D选项，，， 当且仅当时，即时，取等号，D选项正确. 8. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值. 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是 A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件. 【详解】选项，正实数满足 ， 当且仅当时，等号成立，故正确； 选项，由且得， 当且仅当时，等号成立，则，故正确； 选项，由且得， 则，故错误； 选项，，故正确. 故选：. 【点睛】本题注意考查基本不等式的性质、“乘1法”. 10. 下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（       ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可. 【详解】因为关于的不等式对恒成立， 当时，原不等式即为恒成立； 当时，不等式对恒成立， 可得，即，解得：. 当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立， 综上：的取值范围为：. 所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有 或. 故选：BC. 11. 下列叙述中不正确的（ ） A. 命题“，总有”的否定是“，使得” B. 设，则“”的充要条件“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件； D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】依据全称量词命题的否定的，以及必要条件､充分条件与充要条件的定义逐项判断. 【详解】解：选项A：依据全称量词命题的否定，可知命题“，总有”的否定是“，使得”，故选项A正确； 选项B：若，，则不成立，选项B不正确； 选项C：当时，一元二次方程根的判别式为， 即方程有两个根，注意到二次函数图像开口向上， 在处取值为，因此方程有一个正根和一个负根， 反之，若方程有一个正根和一个负根，则其解设为，， 有，因此是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项C不正确； 选项D：时，显然，反之，得到或，因此“”是“”的充分不必要条件，故选项D正确. 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若有两个子集，则的值是______. 【答案】0或-1 【解析】 【分析】由题意可得方程只有一个解，对参数进行讨论即可. 【详解】因为有两个子集， 则可得方程只有一个解， 当时，方程只有一个解，符合题意； 当时，方程只有一个解，则， 即解得 故答案为：0或-1 【点睛】本题考查了集合的子集个数判断方程的解，考查了对参数的讨论思想，属于较易题. 13. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【解析】 【分析】先解出集合A,B，再根据即可求得a的范围. 【详解】对集合A，，则，又，而，所以. 故答案为：. 14. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价为100元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为300元.若要使总造价不高于28000元，则正方形周长的最大值为______m. 【答案】4 【解析】 【分析】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可； 【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元， 则， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为4m. 故答案为：4. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）或或. 【解析】 【分析】（1）根据集合并集的运算性质，结合集合元素的互异性进行求解即可； （2）根据集合交集的定义，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴或， 解之得或或， 经检验或不符合集合元素的互异性，舍去， 故. （2）由（1）可得， ∵， 当时，适合题意，故， 当时，，得或， 所以或， ∴实数的值为或或. 16. 设函数， （1）若命题：是假命题，求的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由命题为真命题，求出实数的范围，即可求出命题为假命题时参数范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得，即得的取值范围. 【小问1详解】 若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则抛物线开口向上，显然符合题意； 若即，需使，解得， 综上，或. 故命题：是假命题时，； 【小问2详解】 存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 17. 已知集合. （1）若A是空集，求实数a的取值范围； （2）当时，若为非空集合，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况求解即可； （2）分和两种情况，结合一元二次方程根的分布求解即可. 【小问1详解】 若A是空集，则方程无实根， 当时，，解得，此时，不符合题意； 所以，，解得， 故实数a的取值范围为； 【小问2详解】 当时，. 所以方程至少有一个正实根. ①当时，，解得， 所以，符合题意； ②当时，由，则且， 若时，，此时，符合题意； 当且时，方程有两个不相等实根，设为， 且方程有两正根或一正根和－负根， 所以或， 解得或. 综上，实数a的取值范围为. 18. 关于的不等式组的整数解全体组成集合. （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围； （3）若集合中恰含有个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求交集即可. （2）求出的两根，结合不等式组有唯一整数解列式即可. （3）分别研究、、时集合中元素的个数即可. 【小问1详解】 第一个不等式为，解得或， 第二个不等式可因式分解为，其两个零点为和. 当时，第二个不等式的解集为， 与第一个不等式的解集取交集，得，唯一整数解是， 故. 【小问2详解】 （2）因为，解得或， 又有唯一整数解， 又的两根为和. 所以，第二个不等式的解集为， 又整数解只有，没有其他整数解， 必须使不在该开区间内，即.因此. 【小问3详解】 按两个零点的大小分类. ①当时，第二个不等式成为，无解，不符合. ②当时，第二个不等式的解集为，其中各数均小于， 故只需数其中的整数，若恰有个整数，它们必须是，，，， 共个，即且， 所以. ③当时，解必须满足，当时最多只有整数，不足个； 故须.此时负整数解仅有，余下个解必须是，，，， 即， 综上，. 19. 符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）已知分别求两方程的解集; （2）求不等式的解集： （3）设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据的定义求解即可； （2）先根据一元二次不等式的解法求出，再根据的定义求解； （3）分别求解和，再根据列出区间端点满足的表达式化简求解即可. 【详解】（1）由解得，即， 由解得，即； （2）由解得，则， 可得，故不等式的解集为； （3）由可得， 当时，则，； 当时，则无解； 当时，则，， 故， 又集合B中可得， 当时，恒成立，满足， 当时，解得或，此时，解得， 当时，解得或，此时，解得， 综上，. 【点睛】本题主要考查取整函数的运用，考查一元二次不等式的求解，注意求解带参数的表达式时要分类讨论，绝对值表达式也要分情况分段讨论，另外集合的基本关系运算时注意区间端点满足的关系式进行列式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州外国语学校2026-2027学年第一学期阶段测试（一） 高一数学试卷 试卷满分：150分考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定形式为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题“，使”是真命题，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知实数满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则下列结论不正确的是（ ）. A. B. 的最小值为 C. 若，则的最小值是 D. 若，则的最大值为 8. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是 A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 10. 下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（       ） A. B. C. D. 11. 下列叙述中不正确的（ ） A. 命题“，总有”的否定是“，使得” B. 设，则“”的充要条件“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件； D. “”是“”的充分不必要条件 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若有两个子集，则的值是______. 13. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 14. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价为100元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为300元.若要使总造价不高于28000元，则正方形周长的最大值为______m. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 设函数， （1）若命题：是假命题，求的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 17. 已知集合. （1）若A是空集，求实数a的取值范围； （2）当时，若为非空集合，求实数a的取值范围. 18. 关于的不等式组的整数解全体组成集合. （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围； （3）若集合中恰含有个元素，求实数的取值范围. 19. 符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）已知分别求两方程的解集; （2）求不等式的解集： （3）设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $