精品解析：江苏省昆山市柏庐高级中学2026～2027学年高一上学期10月阶段性测试数学试卷

昆山市柏庐高级中学高一年级10月阶段性测试 数学学科 分值：150分 测试时间：120分钟 命题人：程智雄 审题人：王素彦 一、单选题（8*5分=40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用存在量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 2. 已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 3. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：共4个元素， 所以真子集个数为. 4. 使成立的必要不充分条件是 （    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义求解. 【详解】设：，为其必要不充分条件. 必要不充分条件要求：，，即集合是对应集合的真子集. 可以推出，而无法推出，因此是成立的必要不充分条件. 5. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 6. 已知，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设， 所以，解得，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以. 7. 已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 当时，，即，符合题意； 当时，，即时， ，解得，所以； 综上所述：. 8. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 二、多选题（3*6分=18分，漏选得2分、3分或4分） 9. 设正实数x，y满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为4 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式变形求出最值判断AB；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可判断C；先将平方展开，再利用基本不等式求出，进一步运算即可判断D. 【详解】对于A，由基本不等式可得，因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时有最大值为1，故A正确； 对于B，因为，所以， 根据选项A可知，所以，即， 当且仅当时等号成立，此时有最小值为2，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以， 当且仅当，解得时等号成立， 此时有最小值为，故C正确； 对于D， 又因为，则， 即，所以， 当且仅当，即时等号成立， 此时有最大值为，故D正确. 10. 已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可. 【详解】由，， 可得：，设， 当时，， 当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 11. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ） A. M没有最大元素，N有一个最小元素 B. M没有最大元素，N也没有最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M有一个最大元素，N没有最小元素 【答案】ABD 【解析】 【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果． 【详解】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能； 令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能； 假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的； 令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能. 故选：ABD． 三、填空题（3*5分=15分） 12. 若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为对任意都恒成立. 【详解】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：， 所以实数的取值范围是. 13. 若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，结合一次函数、二次函数最值可得，运算求解即可. 【详解】因为对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，取到最大值； 当时，取到最大值； 则，即，解得， 所以的取值范围为. 14. 已知，，满足，求的最小值________． 【答案】 【解析】 【分析】令换元变成，由通过1的代换构造利用基本不等式可求最值. 【详解】令，则 所以 因为，所以，故， 而，，故，同理， 而， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 【点睛】合理利用换元将复杂式子转化成熟悉的基本不等式问题求解. 四、解答题（13分+15分+15分+17分+17分=77分） 15. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据充分条件，得到包含关系列不等式求参数范围即可； （2）讨论是否为空，结合交集为空列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题意可得，所以，解得， 即实数的取值范围是. 【小问2详解】 若，即，此时，满足； 若，即， 因为，所以或，解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 已知二次函数，． （1）若的解集为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若正数a，b满足，求的最小值． （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）9 （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，结合基本不等式进行求解即可； （2）运用因式分解法，结合方程根的情况分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以，n是方程的两根， 则，解得，，故． （ⅱ）由（ⅰ）得，， 所以， 当且仅当，即，时取得等号，故的最小值为9． 【小问2详解】 由不等式得，， 若，解得； 若，原不等式可化为， 当时，解得； 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或． 17. 如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. （1）若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； （2）求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）设花坛的长为米，由花坛的宽与长之比为（），得到花坛的宽为米，由花坛的周长为120米和矩形花坛的面积为500平方米，建立和的等式，求解即可； （2）设花坛的长为米，得到花坛的宽为米，由题中条件得到，整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米，从而求得整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米，， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. 【小问2详解】 设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 18. 已知，一元二次方程有两不等实根为，满足 （1）用m表示； （2）若，求m的取值范围； （3）若，不等式恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理以及完全平方公式即可求解； （2）根据三个二次之间的关系即可求解； （3）转化不等式，将不等式与函数建立联系，结合恒成立问题与函数值的关系即可求解； 【小问1详解】 由韦达定理，， 又因为， 所以. 【小问2详解】 ， 由，得，即， 又因为方程有两个不相等的实数根，所以， 即或， 综上，的取值范围是或. 【小问3详解】 将，代入，不等式化为， 即， 令，则等价于函数在上恒为正， 因此有，，解得或， 故的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若，，函数的最小值为0，求a的值； （2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围； （3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入已知条件，分类讨论的取值情况，利用判别式法即可得解； （2）先分析得的两个实根满足，进而得到，从而利用二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解； （3）根据题意分析得，，进而得到，再多次利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 当，时，， 由题意得，函数的值域， （i）时，不符合题意； （ii）时，，即；此时满足题意， 综上，. 【小问2详解】 因为，不等式转化为， 因为有四个整数解， 则必有两个不相等实数根，记为，且， 又因为当时，， 当时，， 的图象开口向上，对称轴为，所以， 故不等式的解集中的四个整数解为，所以， 所以，故. 【小问3详解】 因为当时，对，， 由题设，有，则， 又，， 故存在使成立，则， 所以， 令，则，， 令，则，且， 故， 当且仅当，即，，时，等号成立， 所以，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆山市柏庐高级中学高一年级10月阶段性测试 数学学科 分值：150分 测试时间：120分钟 命题人：程智雄 审题人：王素彦 一、单选题（8*5分=40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A. B. C. D. 3. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 4. 使成立的必要不充分条件是 （    ） A. B. C. D. 5. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 6. 已知，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题（3*6分=18分，漏选得2分、3分或4分） 9. 设正实数x，y满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为4 C. 有最小值为 D. 有最大值为 10. 已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ） A. M没有最大元素，N有一个最小元素 B. M没有最大元素，N也没有最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M有一个最大元素，N没有最小元素 三、填空题（3*5分=15分） 12. 若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 13. 若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围为___________． 14. 已知，，满足，求的最小值________． 四、解答题（13分+15分+15分+17分+17分=77分） 15. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数，． （1）若的解集为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若正数a，b满足，求的最小值． （2）求关于x的不等式的解集． 17. 如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. （1）若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； （2）求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 18. 已知，一元二次方程有两不等实根为，满足 （1）用m表示； （2）若，求m的取值范围； （3）若，不等式恒成立，求x的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，，函数的最小值为0，求a的值； （2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围； （3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $