第10讲 解方程进阶（奥数讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

奥数培优讲义 第10讲解方程进阶 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1.等式的两条基本性质（解方程的根本依据） 性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立。 若a=b,则a士c=b±c。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或者同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 若a=b,则a×c=b×c;a÷c=b÷c(c0)。 规范要求：解方程必须先写"解："，等号上下对齐；求出解之后，可以口头代入原方程检 验（左边=右边，解正确）。 2.进阶方程四大核心题型与解法 (1)两边都含有未知数的方程（课本拓展，奥数高频) 形式：ax+b=CX+d 思路：利用等式性质，消掉其中一边的未知数。优先消系数更小的未知数项，计算更简单； 把含的项移到左边，常数项移到右边。 移项口决：移项要变号，不移不变号。（本质是等式性质，不要死记口诀，理解优先） 例：7x+12=4x+24 第1页共20页 奥数培优讲义 两边同时减4x:3x+12=24 两边同时减12：3x=12 x=4 (2)带括号的复杂方程（两种解法) 形式：ax±b)±c=d、a(x±b)=c(x±d) 方法①【整体法，推荐新手】：把括号整体看成一个未知数，先求出括号整体等于多少，再 拆开求x,不容易符号出错。 方法②【去括号法】：乘法分配律去括号Q(x+b)=ax+ab;重点难点：括号前面是减号， 去括号之后，括号里面每一项都要变号！ 例：24-3(x+5)=6 去括号：24-3x-15=6(-3×x=-3x,-3×5=-15) 易错点：-(a-b)=-a+b,很多同学忘记变后面符号。 (3)未知数在减数、除数位置（奥数易错题) ①a-x=b(x是减数) 思路：两边同时+x,转化为a=b+x,再求x ②a÷x=b(x是除数，x≠0) 思路：两边同时×x,转化为Q=b×x 第2页共20页 奥数培优讲义 (4)多层括号方程（小括号+中括号) 思路：由内向外逐层去括号，先去小括号，化简之后再去中括号；每一步先化简能算出来的 常数，不要急着全部展开。 3.解方程通用步骤（进阶版) (1)写"解："； (②)有括号：优先判断用整体法还是去括号；括号前负号，去括号记得变号； (3)化简：计算能直接算出的常数； (4)消元：把所有含x放一侧，常数放另一侧； (⑤)整理成Ax=B; (6)两边同除以A,求出x; (⑦)检验（培优要求）：把x代入原式，左边=右边，解正确。 4.检验方法示范 方程3(x+2)=21,解x=5 左边=3×(5+2=21，右边=21，左边=右边，x=5是方程的解。 ■例题讲解■ 【典型例题1】两边都有未知数 解方程：6x-18=2x+10 第3页共20页 奥数培优讲义 【详解】 解：6x-18=2x+10 两边同时减去2x 6x-2x-18=10 4x-18=10 两边同时加18 4x=10+18 4x=28 两边同时除以4 x=7 检验：左边=6×7-18=24，右边=2×7+10=24，左边=右边。 【答案】x=7 【跟踪训练1】 解方程：5x+14=3x+26 【详解】 解：5x+14=3x+26 5x-3x=26-14 2x=12 X=6 检验：左边=5×6+14=44，右边=3×6+26=44，左边=右边。 第4页共20页 奥数培优讲义 【答案】x=6 【典型例题2】括号前是减号（重难点) 解方程：45-4(x+3)=13 【详解】 解：45-4(x+3)=13 方法：去括号 45-4x-12=13 先化简常数：33-4x=13 未知数在减数位置，两边同时+4x 33=13+4x 4X=33-13 4x=20 x=5 检验：左边=45-4×(5+3)=45-32=13，右边=13，左边=右边。 【答案】x=5 【跟踪训练2】 解方程：32-5(x-2)=7 【详解】 解：32-5(x-2)=7 第5页共20页 奥数培优讲义 32-5x+10=7 42-5x=7 42=7+5x 5x=42-7 5x=35 x=7 检验：左边=32-5×(7-2)=32-25=7，右边=7，左边=右边。 【答案】x=7 【典型例题3】未知数在除数位置（易错题） 解方程：72÷x+6=14 【详解】 解：72÷x+6=14 把72÷x看成整体，两边减6 72÷x=14-6 72÷X=8 两边同时乘x 72=8x x=72÷8 x=9 检验：左边=72÷9+6=8+6=14，右边=14，左边=右边。 【答案】x=9 第6页共20页 奥数培优讲义 【跟踪训练3】 解方程：48÷x-5=3 【详解】 解：48÷x-5=3 48÷x=3+5 48÷X=8 48=8x X=6 检验：左边=48÷6-5=8-5=3，右边=3，左边=右边。 【答案】x=6 【典型例题4】两边都带括号 解方程：3(x+5)=5(x-1) 【详解】 解：3(x+5)=5(x-1) 去括号： 3x+15=5x-5 15+5=5x-3x 20=2x x=10 检验：左边=3×10+5)=45，右边=5×(10-1)=45，左边=右边。 第7页共20页 奥数培优讲义 【答案】x=10 【跟踪训练4】 解方程：4(x-2)=2(x+6) 【详解】 解：4(x-2)=2(x+6) 4x-8=2x+12 4X-2x=12+8 2x=20 x=10 检验：左边=4×(10-2)=32，右边=2×(10+6)=32，左边=右边。 【答案】x=10 【典型例题5】含有中括号，多层括号 解方程：23(x-1)+4=26 【详解】 解：23(x-1)+4=26 把中括号整体看成未知数，两边-2 3(x-1)+4=13 把3(x-1)看成整体 3(x-1)=13-4 3(x-1)=9 第8页共20页 奥数培优讲义 两边-3 x-1=3 X=4 检验：左边=2×[3×(4-1)+4]=2×(9+4)=26，右边=26，左边=右边。 【答案】x=4 【跟踪训练5】 解方程：32(x+1)-5=21 【详解】 解：32(x+1)-5=21 2(x+1)-5=7 2(x+1)=12 x+1=6 x=5 检验：左边=3×[2×(5+1)-5]=3×(12-5)=21，右边=21，左边=右边。 【答案】x=5 提升练习 1.解方程：4x+9=2x+21 【详解】 解：4x+9=2x+21 4x-2x=21-9 第9页共20页 奥数培优讲义 2x=12 x=6 检验：左边=4×6+9=33，右边=2×6+21=33，左边=右边。 【答案】x=6 2.解方程：7x-5=3x+19 【详解】 解：7x-5=3x+19 7x-3x=19+5 4x=24 x=6 检验：左边=7×6-5=37，右边=3×6+19=37，左边=右边。 【答案】x=6 3.解方程：9x+16=4x+41 【详解】 解：9x+16=4x+41 9x-4x=41-16 5x=25 X=5 检验：左边=9×5+16=61，右边=4×5+41=61，左边=右边。 【答案】x=5 第10页共20页 奥数培优讲义 4.解方程：6x-12=2x+8 【详解】 解：6x-12=2x+8 6x-2x=8+12 4x=20 x=5 检验：左边=6×5-12=18，右边=2×5+8=18，左边=右边。 【答案】x=5 5.解方程：5(x+3)=40 【详解】 解：5(x+3)=40 两边同时除以5：x+3=8 x=5 检验：左边=5×(5+3)=40，右边=40，左边=右边。 【答案】x=5 6.解方程：3(x-4)=18 【详解】 解：3(x-4)=18 x-4=6 第11页共20页 奥数培优讲义 x=10 检验：左边=3×10-4)=18，右边=18，左边=右边。 【答案】x=10 7.解方程：2(4x-1)=30 【详解】 解：2(4x-1)=30 4x-1=15 4x=16 x=4 检验：左边=2×(4×4-1)=2×15=30，右边=30，左边=右边。 【答案】x=4 8.解方程：3(2x+5)=39 【详解】 解：3(2x+5)=39 2x+5=13 2x=8 X=4 检验：左边=3×(2×4+5)=3×13=39，右边=39，左边=右边。 【答案】x=4 9.解方程：30-3(x-2)=9 第12页共20页 奥数培优讲义 【详解】 解：30-3(x-2)=9 去括号：30-3x+6=9 36-3x=9 36=9+3x 3X=27 x=9 检验：左边=30-3×(9-2)=30-21=9，右边=9，左边=右边。 【答案】x=9 10.解方程：48-4(x+3)=16 【详解】 解：48-4(x+3)=16 48-4x-12=16 36-4x=16 36=16+4x 4X=20 X=5 检验：左边=48-4×(5+3)=48-32=16，右边=16，左边=右边。 【答案】x=5 11.解方程：40-5(x+1)=10 【详解】 第13页共20页 奥数培优讲义 解：40-5(x+1)=10 40-5x-5=10 35-5x=10 35=10+5x 5X=25 x=5 检验：左边=40-5×(5+1)=40-30=10，右边=10，左边=右边。 【答案】x=5 12.解方程：60-x=24 【详解】 解：60-x=24 两边同时加x:60=24+x x=60-24 x=36 检验：左边=60-36=24，右边=24，左边=右边。 【答案】x=36 13.解方程：84-x=37 【详解】 解：84-x=37 84=37+x x=84-37 第14页共20页 奥数培优讲义 x=47 检验：左边=84-47=37，右边=37，左边=右边。 【答案】x=47 14.解方程：90÷x+5=20 【详解】 解：90÷x+5=20 90÷x=20-5 90÷x=15 90=15x x=6 检验：左边=90÷6+5=15+5=20，右边=20，左边=右边。 【答案】x=6 15.解方程：96÷x-4=12 【详解】 解：96÷x-4=12 96÷x=12+4 96÷x=16 96=16x X=6 检验：左边=96÷6-4=16-4=12，右边=12，左边=右边。 【答案】x=6 第15页共20页 奥数培优讲义 16.解方程：75÷x+8=23 【详解】 解：75÷x+8=23 75÷x=23-8 75÷x=15 75=15x x=5 检验：左边=75÷5+8=15+8=23，右边=23，左边=右边。 【答案】x=5 17.解方程：3(x+4)=2(x+9) 【详解】 解：3(x+4)=2(x+9 去括号：3x+12=2x+18 3x-2x=18-12 x=6 检验：左边=3×(6+4)=30，右边=2×(6+9)=30，左边=右边。 【答案】x=6 18.解方程：5(x-2)=3(x+4) 【详解】 第16页共20页 奥数培优讲义 解：5(x-2)=3(x+4) 5X-10=3x+12 5x-3x=12+10 2X=22 x=11 检验：左边=5×(11-2)=45，右边=3×(11+4)=45，左边=右边。 【答案】x=11 19.解方程：23(x-1)+2=16 【详解】 解：23(x-1)+2=16 两边除以2：3(x-1)+2=8 3(x-1)=6 x-1=2 X=3 检验：左边=2×[3×(3-1)+2]=2×(6+2)=16，右边=16，左边=右边。 【答案】x=3 20.解方程：32(x+1)-6=12 【详解】 解：32(x+1)-6=12 两边除以3：2(x+1)-6=4 第17页共20页 奥数培优讲义 2(x+1)=10 x+1=5 x=4 检验：左边=3×[2×(4+1)-6]=3×(10-6)=12，右边=12，左边=右边。 【答案】x=4 模拟赛场 【奥数题1】解方程：4(x-1)+3(x+2)=2(3x+1)+16 【详解】 解：4(x-1)+3(x+2)=2(3x+1)+16 左边去括号：4x-4+3x+6=7x+2 右边去括号：6x+2+16=6x+18 原方程化为：7x+2=6x+18 7x-6x=18-2 x=16 检验：左边=4×(16-1)+3×(16+2)=4×15+3×18=60+54=114 右边=2×(3×16+1)+16=2×49+16=98+16=114，左边=右边。 【答案】x=16 【奥数题2】爸爸今年42岁，儿子今年10岁。再过几年，爸爸的年龄正好是儿子年龄的3 第18页共20页 奥数培优讲义 倍？ 【详解】 解：设再过x年，爸爸年龄是儿子的3倍。 再过x年，爸爸42+x岁，儿子10+x岁。 列方程：42+x=3(10+x) 去括号：42+x=30+3x 42-30=3x-x 12=2x x=6 检验：6年后爸爸42+6=48岁，儿子10+6=16岁，48=3×16，成立。 【答案】再过6年 【奥数题3】解方程：23(2x-1)-4=3(2x+5)+1 【详解】 解：23(2x-1)-4=3(2x+5)+1 先算左边括号内：3(2x-1)-4=6x-3-4=6x-7 左边：2(6x-7)=12x-14 右边去括号：6x+15+1=6x+16 第19页共20页 奥数培优讲义 原方程化为：12x-14=6x+16 12x-6x=16+14 6x=30 x=5 检验：左边=2×[3×(2×5-1)-4]=2×[3×9-4]=2×23=46 右边=3×(2×5+5)+1=3×15+1=46，左边=右边。 【答案】x=5 第20页共20页奥数培优讲义 第10讲解方程进阶 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1.等式的两条基本性质（解方程的根本依据） 性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立。 若a=b,则a士c=b±c。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或者同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 若a=b,则a×c=b×c;a÷c=b÷c(c0)。 规范要求：解方程必须先写"解："，等号上下对齐；求出解之后，可以口头代入原方程检 验（左边=右边，解正确）。 2.进阶方程四大核心题型与解法 (1)两边都含有未知数的方程（课本拓展，奥数高频) 形式：ax+b=CX+d 思路：利用等式性质，消掉其中一边的未知数。优先消系数更小的未知数项，计算更简单； 把含的项移到左边，常数项移到右边。 移项口决：移项要变号，不移不变号。（本质是等式性质，不要死记口诀，理解优先） 例：7x+12=4x+24 第1页共10页 奥数培优讲义 两边同时减4x:3x+12=24 两边同时减12：3x=12 x=4 (2)带括号的复杂方程（两种解法) 形式：ax±b)±c=d、a(x±b)=c(x±d) 方法①【整体法，推荐新手】：把括号整体看成一个未知数，先求出括号整体等于多少，再 拆开求x,不容易符号出错。 方法②【去括号法】：乘法分配律去括号Q(x+b)=ax+ab;重点难点：括号前面是减号， 去括号之后，括号里面每一项都要变号！ 例：24-3(x+5)=6 去括号：24-3x-15=6(-3×x=-3x,-3×5=-15) 易错点：-(a-b)=-a+b,很多同学忘记变后面符号。 (3)未知数在减数、除数位置（奥数易错题) ①a-x=b(x是减数) 思路：两边同时+x,转化为a=b+x,再求x ②a÷x=b(x是除数，x≠0) 思路：两边同时×x,转化为Q=b×x 第2页共10页 奥数培优讲义 (4)多层括号方程（小括号+中括号) 思路：由内向外逐层去括号，先去小括号，化简之后再去中括号；每一步先化简能算出来的 常数，不要急着全部展开。 3.解方程通用步骤（进阶版) (1)写"解："； (②)有括号：优先判断用整体法还是去括号；括号前负号，去括号记得变号； (3)化简：计算能直接算出的常数； (4)消元：把所有含x放一侧，常数放另一侧； (⑤)整理成Ax=B; (6)两边同除以A,求出x; (⑦)检验（培优要求）：把x代入原式，左边=右边，解正确。 4.检验方法示范 方程3(x+2)=21,解x=5 左边=3×(5+2=21，右边=21，左边=右边，x=5是方程的解。 ■例题讲解■ 【典型例题1】两边都有未知数 解方程：6x-18=2x+10 第3页共10页 奥数培优讲义 【跟踪训练1】 解方程：5x+14=3+26 【典型例题2】括号前是减号（重难点) 解方程：45-4(x+3)=13 【跟踪训练2】 解方程：32-5(x-2)=7 【典型例题3】未知数在除数位置（易错题） 解方程：72÷x+6=14 第4页共10页 奥数培优讲义 【跟踪训练3】 解方程：48÷x-5=3 【典型例题4】两边都带括号 解方程：3(x+5)=5(x-1) 【跟踪训练4】 解方程：4(x-2)=2(x+6) 【典型例题5】含有中括号，多层括号 解方程：23(x-1)+4=26 第5页共10页 奥数培优讲义 【跟踪训练5】 解方程：32(x+1)-5=21 提升练习 1.解方程：4x+9=2x+21 2.解方程：7x-5=3x+19 3.解方程：9x+16=4x+41 4.解方程：6x-12=2x+8 第6页共10页 奥数培优讲义 5.解方程：5(x+3)=40 6.解方程：3(x-4)=18 7.解方程：2(4x-1)=30 8.解方程：3(2x+5)=39 9.解方程：30-3(x-2)=9 第7页共10页 奥数培优讲义 10.解方程：48-4(x+3)=16 11.解方程：40-5(x+1)=10 12.解方程：60-x=24 13.解方程：84-x=37 14.解方程：90÷x+5=20 第8页共10页 奥数培优讲义 15.解方程：96÷x-4=12 16.解方程：75÷x+8=23 17.解方程：3(x+4)=2(x+9) 18.解方程：5(x-2)=3(x+4), 19.解方程：23(x-1)+2=16 20.解方程：32(x+1)-6=12 第9页共10页 奥数培优讲义 模拟赛场 【奥数题1】解方程：4(x-1)+3(x+2)=2(3x+1)+16 【奥数题2】爸爸今年42岁，儿子今年10岁。再过几年，爸爸的年龄正好是儿子年龄的3 倍？ 【奥数题3】解方程：23(2x-1)-4=3(2x+5)+1 第10页共10页