奥数培优·第10讲 牛吃草问题（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义・第 10 讲 牛吃草问题 【前言】 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 牛吃草是奥数经典变量平衡模型，区别于固定总量应用题，核心难点是草每天匀速生长，总草量持续变化。题型延伸至漏水船、水库抽水、多亩草地、牛羊换算四大变形，是小升初高频压轴题型。本讲统一标准化四步解题法，拆解所有变式，掌握后可解决全部同类动态总量问题。 【三维教学目标】 知识与技能 熟记牛吃草两大核心量：原有草量、每日新生草量； 掌握标准四步解题流程，会计算草生长速度、原有存量； 熟练求解基础吃草、漏水抽水、多亩草地、牛羊单位换算四类题型； 理解 “分牛法” 平衡思想，拆分牛群分别吃新草、旧草。 过程与方法 通过线段图区分原有草、新增草，直观理解动态总量； 归纳通用等量模型，形成固定解题模板，不用反复推导； 学会单位统一（羊换算成牛）、多亩归一转化技巧。 情感态度与价值观 打破 “总量固定” 固有思维，建立动态变化数学模型思想； 培养分步拆解复杂问题的审题习惯； 感受等量抵消、平衡分配的数学逻辑美感。 【教学重难点】 重点 四步标准解题法：求总草差→每日草速→原有草量→可吃天数； 分牛思想：一部分牛专吃每日新草，剩余牛消耗原有存量； 抽水、漏水同模型迁移解题。 难点 多块草地先归一，换算单亩草速与存量；牛羊不同食量单位统一换算； 中途卖掉牛、草匀速枯萎反向变式。 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错 1：直接把总草量当成固定值，忽略每日新增草； ⚠️ 易错 2：计算草速时分母用天数大减小，分子总草量颠倒； ⚠️ 易错 3：多亩草地不做归一，直接用总头数计算单亩草； ⚠️ 易错 4：牛羊换算搞反倍数，1 牛 = 4 羊容易写成 1 羊 = 4 牛； ⚠️ 易错 5：求天数时忘记用原有草 ÷ 剩余吃草牛，重复加上新草消耗； ⚠️ 易错 6：抽水、漏水题型混淆进水 / 出水方向，模型套用错误。 一、知识点总结 （一）核心定义与两个不变量 1. 单位设定：统一设1 头牛 1 天吃 1 份草（标准化单位）； 2. 原有草量：草地一开始固定存量（不变）； 3. 每日新生草：每天匀速长出的草（每日增量固定）； 4. 总吃草总量 = 原有草量 + 生长天数 × 每日新草量。 （二）标准四步通用解题流程 步骤 1：计算两种吃法总草份数（牛头数 × 天数）； 步骤 2：求每日新生草速 =（长时间总草 − 短时间总草）÷ 天数差； 步骤 3：求原有草量 = 任意一种总草 − 生长天数 × 每日草速； 步骤 4：分牛计算天数： ① 拿出对应数量的牛，专门吃掉每天新长的草（草速对应牛头）； ② 剩余牛只吃原有存量； ③ 可吃天数 = 原有草量 ÷ 剩余牛头数。 （三）四大同类等效模型（解题方法完全一致） 1. 基础牛吃草：原有草（存量）+ 每日长草（增量）； 2. 船漏水：原有积水 + 每小时漏进水； 3. 水库抽水：原有库存水 + 每日入库河水； 4. 枯草反向：原有草 − 每日枯萎草（草速为减量）。 （四）特殊拓展规则 1. 牛羊换算：题目给出 1 头牛食量 = 4 只羊，全部统一换算成牛再计算； 2. 多块草地归一：先算出1 亩地每日草速、1 亩原有草，再乘总亩数求解； 3. 中途卖牛：分段计算前几天消耗、剩余存量，再算后半段天数。 二、经典基础例题（3 道，思路 + 解析 + 总结 + 随堂小练） 例 1 标准基础牛吃草 ★基础 【题目】牧场匀速长草，27 头牛吃 6 周，23 头牛吃 9 周，21 头牛可吃几周？ 【解题思路】四步标准法，先求每周新草、原有草，分牛计算天数。 【完整解析】 设 1 头牛 1 周吃 1 份草 ① 总草量：27×6=162 份，23×9=207 份 ② 每周新生草速：份 / 周 ③ 原有草量：份 ④ 分牛：15 头牛专吃每周新草，剩余头牛吃原有草 可吃周数：（周） 答：可供 21 头牛吃 12 周。 【方法总结】 标准题型严格遵循四步流程，分牛平衡是核心思路。 【随堂小练 1】 10 牛吃 20 天，15 牛吃 10 天，25 牛吃几天？ 例 2 漏水船等效模型 ★基础 【题目】船漏水匀速进水，10 人淘 3 小时淘完，5 人淘 8 小时淘完，2 小时淘完需几人？ 【完整解析】 设 1 人 1 小时淘 1 份水 ① 总水量：10×3=30 份，5×8=40 份 ② 每小时进水量：份 / 时 ③ 原有积水：份 ④ 2 小时总存量：原有 + 2 小时进水 =份 需要人数：（人） 答：需安排 14 人。 【方法总结】 漏水、抽水和牛吃草模型完全互通，进水 = 长草，原有积水 = 原有草。 【随堂小练 2】 水库 5 台抽 20 天干，6 台抽 15 天干，6 天干需几台？ 例 3 牛羊单位换算题型 ★提升 【题目】同一块牧场，草匀速生长，16 头牛可以吃 20 天，80 只羊可以吃 12 天，1 头牛和4 只羊吃草速度相同，问：10头 牛 和 60只羊共可以吃几天？ 【完整解析】 统一换算成牛：头牛，头牛，总牛头 设 1 牛 1 天 1 份草 ① 总草：16×20=320，20×12=240 ② 每日新草：份 / 天 ③ 原有草：份 ④ 分牛：10 头吃新草，剩余头吃原有 天数：（天） 答：可供 10 头牛 60 只羊吃 8 天。 【方法总结】 牛羊混合题第一步统一食量单位，全部换算为牛再套标准四步法。 【随堂小练 3】 1 牛 = 5 羊，12 牛 15 天，20 羊 30 天，8 牛 + 10 羊吃几天？ 三、拓展拔高例题（2 道竞赛题型） 拓展 1 多块草地归一问题 ★★拔高 【题目】12 头牛 28 天吃完 10 亩草，21 头牛 63 天吃完 30 亩，72 亩可供多少牛吃 126 天？ 【解题思路】先归一求 1 亩每日草速、1 亩原有草，再扩大到 72 亩计算。 【完整解析】 设 1 牛 1 天 1 份草 换算单亩总草： 10 亩 28 天：份 / 亩 30 亩 63 天：份 / 亩 1 亩每日新生草：份 / 天 1 亩原有草：份 72 亩总量： 原有总草：；126 天新增： 每日消耗总量：（头） 答：72 亩可供 36 头牛吃 126 天。 【方法总结】 多草地必须先归一到 1 亩，算出单亩参数再扩大总面积。 【随堂小练 4】 【题目】18 头牛24天吃完24亩，21 头牛 30 天吃完 30 亩，草匀速生长，且每亩原有草量和每日长草量相同。问：40 亩草地可供多少头牛吃 24 天？ 拓展 2 中途卖掉牛分段题型 ★★★竞赛 【题目】草匀速生长，19 头牛 24 天吃完，17 头牛 30 天吃完；若让若干头牛先吃 6 天，然后卖掉 4 头，剩余的牛再吃 2 天吃完，求原有多少头牛？ 【完整解析】 设 1 头牛 1 天吃 1 份草。 总草量：19×24=456 份，17×30=510 份 每日长草：(510−456)÷(30−24)=54÷6=9 份/天 原有草量：456−24×9=240 份 设原有 x 头牛。 前 6 天消耗：6x 份；后 2 天消耗：2(x−4) 份 8 天总草量 = 原有 + 8 天长草 = 240 + 8×9 = 312 份 列方程：6x + 2(x−4) = 312 6x + 2x − 8 = 312 → 8x = 320 → x = 40 答：原有 40 头牛。 【方法总结】 中途变动牛数量，分段计算消耗，结合原有草 + 总新生草列等式。 【随堂小练 5】 草匀速长，12 牛 30 天；先 x 牛吃 5 天，赶走 3 头，再吃 10 天吃完，求 x。 四、易错题专区（3 道典型错例） 易错题 1 草速计算分子颠倒 【题目】27 牛 6 周，23 牛 9 周，求每周长草 错误： ，错误列式用短时间总量减长时间总量，得到负数，计算逻辑颠倒 正确：大数减小数 避坑：长时间总草量一定更大，用久时间总量减短时间总量。 易错题 2 牛羊换算倍数颠倒 【题目】1 牛 = 4 羊，80 羊换算牛头 错误：头 正确：头 避坑：牛食量更大，羊换算成牛要除以倍数。 易错题 3 多草地不归一直接计算 【题目】10 亩 12 牛 28 天，直接用 12×28 算 72 亩总草 错误：不同亩地存量、长草速度不同，不能直接相乘 正确：先算出 1 亩每日草速、原有草，再乘总面积。 五、趣味挑战题 趣味 1：反向枯草问题 【题目】草地每日匀速枯萎，20 头牛 5 天吃完，16 头牛 6 吃完，11 头牛可以吃几天？ 设定：1 头牛 1 天吃 1 份草 步骤 1：计算两种总吃草量 20×5=100 份（原有草 − 5 天枯萎草） 16×6=96 份（原有草 − 6 天枯萎草） 步骤 2：求每日枯萎速度 天数相差：6−5=1 天 草量差：100−96=4 份 说明每天枯萎 4 份草（草每天自然减少 4 份） 步骤 3：求原有总草量 代入 5 天条件：原有草 = 100 + 5×4 = 120 份 验算：120 − 6×4 = 96，和第二种总草量一致，正确。 步骤 4：计算 11 头牛可吃天数 枯草思路：每天不仅牛吃草，草地自己还枯萎 4 份，每天一共消耗草：11+4=15 份 可吃天数：120 ÷ 15 = 8（天） 答：11 头牛能吃 8 天 趣味 2：车站检票排队问题 【题目】检票前已经有人排队，每分钟匀速新增来人；3 个检票口 40 分钟清空队伍，4 个检票口 25 分钟清空。若开 8 个检票口，多久无人排队？ 设定：1 个检票口 1 分钟检票 1 人 步骤 1：计算总检票人数 3×40=120 人（原有排队人 + 40 分钟新来的人） 4×25=100 人（原有排队人 + 25 分钟新来的人） 步骤 2：求每分钟新增人数 时间差：40−25=15 分钟 人数差：120−100=20 人 每分钟来人速度：20÷15 = 人 / 分 步骤 3：求检票前原有排队人数 原有 = 120 − 40× = 人 步骤 4：8 个检票口用时 分配：拿出个检票口专门消化每分钟新来的人 剩余检票口： 个 清空原有队伍时间：（分钟） 答：开 8 个检票口，10 分钟后就无人排队 趣味 3：双层水池混合模型 【题目】双层水池，下层原有固定水量，河水匀速流入下层；上层有多台抽水机持续抽水。已知：5 台抽水机 12 小时抽干全池水；7 台抽水 6 小时抽干。若开 9 台抽水机，多久抽干水池？ 设定：1 台抽水机 1 小时抽 1 份水 步骤 1：两种总抽水量 5×12=60 份（原有水 + 12 小时进水量） 7×6=42 份（原有水 + 6 小时进水量） 步骤 2：每小时进水速度 时间差：12−6=6 小时 水量差：60−42=18 份 每小时进水：18÷6=3 份 / 小时 步骤 3：水池原有水量 原有 = 60 − 12×3 = 24 份 步骤 4：9 台抽水耗时 拿出 3 台专门抽每小时新流入的水 剩余抽水机：9−3=6 台 抽干原有水用时：24 ÷ 6 = 4（小时） 答：开 9 台抽水机，4 小时可以抽干水池 六、一题多解精选（标准牛吃草问题） 【题目】 一片匀速生长的草地，可供 10 头牛吃 20 天，或者供 15 头牛吃 10 天。 问：这片草地可供 25 头牛吃多少天？（规定：1 头牛 1 天吃 1 份草。） 【核心原理】 总草量差 = 多生长的草量，利用天数差求出日长草， 再用存量草 ÷ 净消耗牛头数。 【解法一】算术标准解法 步骤 1：计算两种情况总吃草份数 10 头牛 20 天总草量：（份）= 原有草 + 20 天新长草 15 头牛 10 天总草量：（份）= 原有草 + 10 天新长草 步骤 2：求每天新长草量 两种情况相差天数：（天） 相差草量：（份） 10 天长 50 份，每天长草：（份 / 天） 步骤 3：求草地原有草量 随便代入一组条件，以 15 头牛 10 天为例： 原有草 = 总草 − 10 天新草 （份） 验算（用 20 天验证）：份，数值一致，计算正确。 步骤 4：分配牛，求 25 头牛能吃几天 每天长 5 份草，专门安排5 头牛去吃每天新长的草，新草永远刚好吃完； 剩下牛吃原有固定草：（头） 原有草共 100 份，20 头牛吃： （天） 答：可供 25 头牛吃 5 天。 【解法二】差值比例法 步骤 1 算出两种总草量 10×20=200 份（原草 + 20 天新草） 15×10=150 份（原草 + 10 天新草） 步骤 2 求每日长草量 时间差：20-10=10 天 草量差：200-150=50 份 每天新长草：50÷10=5 份 步骤 3 求原有固定草量 200 - 20×5 = 100 份 步骤 4 分配牛，求 25 头牛能吃几天 分配牛只、计算可吃天数的思路与解法一完全一致，此处省略重复步骤。 【解法三、比例差值分配法（全新思路，区别基础算术法） 【思路】每天新增 5 份草，相当于抵消 5 头牛的食量，实际消耗原有草的牛数量 = 总牛数 - 5。 设 25 头牛能吃天，原有草 100 份每天被头牛吃掉。 总原有草 ÷ 每日消耗原有草的牛头数 = 天数 列式： （天） 答：可供 25 头牛吃 5 天。 【老师的话】 解法一：课堂标准分牛算术法（基础必学） 算出两种场景总草量； 通过草量差、天数差，求出每日新生草； 计算草地原有存量草； 分出对应数量的牛专门吃每日新草，剩余牛只消耗原有草，用原有草 ÷ 剩余牛头数得到可吃天数。 解法二：差值比例消元法（消存量思路） 不设未知数，用两组总草量文字等式直接相减，抵消原有草，先算出每日长草量，后续步骤和基础解法一致，适合理解等量抵消逻辑。 解法三：比例差值分配简化法（速算思路） 前两步和基础解法完全相同，算出日长草、原有草后，直接用「原有草 ÷（总牛头数−每日长草对应的牛头数）」一步算出天数，计算步骤更精简。 七、基础必做习题（3 道） 基础1 【题目】牧场匀速长草，24 头牛 8天吃完，20 头牛 12 天吃完，18 头牛能吃几天？ 基础2 【题目】22 头牛 54 天吃完 33 亩草，17 头牛 84 天吃完 28 亩，同速 40 亩 24 天需多少牛？ 基础3 【题目】池塘匀速进水，8 台抽水机 10 天干，6 台 20 天干，5 天干需要几台抽水机？ 八、拓展拔高习题（2 道） 拓展1 【题目】牧草匀速生长，12 头牛 28 天吃完 10 亩，21 头牛 63 天吃完 30 亩，求 50 亩可供多少头牛吃 42 天？ 拓展2 【题目】草场的草匀速生长，30 头牛 10 天吃完，20 头牛吃 20 天；若先放一批牛先吃 6 天，然后卖掉 4 头，剩下的牛再吃 2 天刚好吃完，求原来有多少头牛？ 九、随堂小练参考答案 随堂小练 1 【题目】10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10 天，25 头牛可以吃几天？ 解：设 1 头牛 1 天吃 1 份草 计算两种总草量 （份） （份） 每日新生草速 天数差：天 草速： 份 / 天 求原有草量 （份） 分牛计算天数 拿出 5 头牛专门吃每天新长草 剩余牛：（头） 可吃天数：（天） 答：25 头牛可以吃 5 天。 随堂小练 2 【题目】水库抽水，5 台抽 20 天干，6 台抽 15 天干，想要 6 天干完需要几台抽水机？ 解：设 1 台抽水机 1 天抽 1 份水 总水量 份，份 每日入库水量（进水速度） 天数差：天 进水速： 份 / 天 原有库存水 （份） 6 天总水量 + 所需机器 6 天新增水：份 总水量：份 每天需要抽：（台） 答：6 天干完需要 12 台抽水机。 随堂小练 3 【题目】1 头牛食量等于 5 只羊，12 头牛吃 15 天，20 只羊吃 30 天，8 头牛 + 10 只羊一共能吃几天？ 解：统一换算为牛，1 羊 =牛 10 只羊 =头，总牛数：头 设 1 牛 1 天吃 1 份草 总草量 份 20 只羊 =头牛，份 每日长草速度： 份 / 天 原有草：份 分牛：4 头牛吃新草，剩余头吃旧草 天数：（天） 答：8 头牛和 10 只羊可以吃 20 天。 随堂小练 4 【题目】18 头牛24天吃完24亩，21 头牛 30 天吃完 30 亩，草匀速生长，且每亩原有草量和每日长草量相同。问：40 亩草地可供多少头牛吃 24 天？ 解：设 1 牛 1 天吃 1 份 归一单亩总草 24 亩 24 天：总草 = 18×24 = 432 份，单亩总草 = 432÷24 = 18 份/亩 30 亩 30 天：总草 = 21×30 = 630 份，单亩总草 = 630÷30 = 21 份/亩 天数差：30 − 24 = 6 天 单亩总草量差：21 − 18 = 3 份/亩 单亩每日长草 = 3 ÷ 6 = 0.5 份/亩·天 单亩原有草 单亩原有草 = 18 − 24×0.5 = 18 − 12 = 6 份/亩 40 亩参数 40 亩原有草：40×6 = 240 份 24 天新增草：40×0.5×24 = 480 份 24 天总草量：240 + 480 = 720 份 每天需要牛数：720 ÷ 24 = 30 头。 答：40 亩草地可供 30 头牛吃 24 天。 随堂小练 5 【题目】草匀速生长，12 头牛 30 天吃完；14 头牛 24 天吃完。先放 x 头牛吃 5 天，赶走 3 头，剩下的再吃 10 天吃完，求 x。 解： 设 1 头牛 1 天吃 1 份草。 总草量：12×30=360 份，14×24=336 份 每日长草：(360−336)÷(30−24)=24÷6=4 份/天 原有草量：360−30×4=240 份 前后一共吃了 5+10=15 天。 15 天总草量 = 原有 + 15天长草 = 240 + 15×4 = 300 份 前 5 天消耗：5x 份；后 10 天消耗：10(x−3) 份 列方程：5x + 10(x−3) = 300 5x + 10x − 30 = 300 → 15x = 330 → x = 22 答：最初放了 22 头牛。 十、基础习题参考解答 基础 1 【题目】牧场匀速长草，24 头牛 8 天吃完，20 头牛 12 天吃完，18 头牛能吃几天？ 解：设 1 牛 1 天 1 份 总草：， 日长草： 份 / 天 原有草： 份 分牛：12 头吃新草，剩余头 天数：（天） 答：18 头牛可以吃 16 天。 基础 2 【题目】22 头牛 54 天吃完 33 亩，17 头牛 84 天吃完 28 亩，40 亩 24 天需要多少牛？ 解：设 1 牛 1 天 1 份 归一单亩 33 亩 54 天： 份 / 亩 28 亩 84 天： 份 / 亩 时间差天 单亩日长： 份 单亩原有： 40 亩总量 原有： 24 天新增： 每日总消耗：（头） 答：需要 35 头牛。 基础 3 【题目】池塘匀速进水，8 台抽水 10 天干，6 台抽水 20 天干，5 天干完要几台？ 解：设 1 台 1 天抽 1 份 总水量：， 日进水： 份 / 天 原有积水： 份 5 天总水量： 每日需抽：（台） 答：5 天干完需要 12 台抽水机。 十一、拓展习题完整解答 拓展 1 【题目】牧草匀速生长，12 头牛 28 天吃完 10 亩，21 头牛 63 天吃完 30 亩，求 50 亩可供多少头牛吃 42 天？ 解：设 1 牛 1 天 1 份 归一单亩计算 10 亩 28 天： 份 / 亩 30 亩 63 天： 份 / 亩 天数差：天 单亩每日长草： 份 单亩原有草： 份 50 亩参数 50 亩原有： 42 天新增： 42 天每日总消耗： 验算：50 亩 42 天总草 1890 份，每日消耗 45 头，完全匹配单亩参数 答：50 亩可供 45 头牛吃 42 天。 拓展2 【题目】草场的草匀速生长，30 头牛 10 天吃完，20 头牛吃 20 天；若先放一批牛先吃 6 天，然后卖掉 4 头，剩下的牛再吃 2 天刚好吃完，求原来有多少头牛？ 解：设 1 牛 1 天 1 份 两组数据： 30 头牛吃 10 天：总草量 = 30×10 = 300 份 20 头牛吃 20 天：总草量 = 20×20 = 400 份 天数差：20 − 10 = 10 天 总草量差：400 − 300 = 100 份 求每日长草：100÷10= 10份/天 原有总草： （份） 设原来有x头牛， 总共吃了 6 + 2 = 8 天。 8 天内新长草：10×8 = 80 份 8 天内总草量：原有 200 + 新长 80 = 280 份 前 6 天有x 头牛，吃掉：6x 份 卖掉 4 头后剩 x−4 头，后 2 天吃掉：2(x−4) 份 总消耗： 列方程: 验证: 原有草 200 份，8 天新长 80 份，总共 280 份。 前 6 天 36 头牛吃掉：36×6 = 216 份 后 2 天剩 32 头牛吃掉：32×2 = 64 份 合计：216 + 64 = 280 份，正好吃完。 答：原来有 36 头牛。 十二、本讲全套总结 （一）思维导图 （二）核心速查表 题型 核心解题要点 标准牛吃草 四步流程，分牛平衡新旧草消耗 漏水 / 抽水 进水 = 长草，原有积水 = 原有草 牛羊混合 统一换算为牛再计算 多块草地 先归一 1 亩草速、存量，再扩总面积 中途卖牛 分段计算前后消耗，列等式求解 📌（三）避坑清单 1. 计算每日长草，总草必须长时间减短时间； 2. 牛食量更大，羊转牛用除法，不可相乘； 3. 多片草地不能直接混用总牛头，必须归一； 4. 求可吃天数只用原有草 ÷ 剩余牛，不再叠加新草； 5. 等效抽水、漏水题型分清进水 / 出水方向。 （四）解题记忆小口诀 牛吃草，有增量，两种总量分别算； 长草速度差相除，原有存量减新长； 分出牛儿吃新草，剩余专啃旧草场； 漏水抽水同模型，牛羊换算别慌张； 多块草地先归一，分段卖牛细思量。 祝贺你完成了本讲的学习！为顽强的自己点赞👍！ 学科网（北京）股份有限公司 $