第10讲 数量关系建模与和差倍问题 专题讲义-人教版数学五年级上册奥数培优

第10讲 数量关系建模与和差倍问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 什么是数量关系建模 核心：把题目中的文字描述，转化为清晰的数学数量关系，用代数式表示各个未知量，再根据和、差、倍的等量关系列出等式求解。 关键：找准1 倍量（标准量），通常设 1 倍量为，用含的式子表示其他所有量。 2. 三大基础题型与公式 （1）和倍问题 题型特征：已知两个数的和，以及它们的倍数关系，求这两个数。 基本公式： 小数（1 倍量） 和 （倍数 ） 大数 小数 倍数 或 大数 和 小数 方程建模：设小数为，则大数为，列方程： （2）差倍问题 题型特征：已知两个数的差，以及它们的倍数关系，求这两个数。 基本公式： 小数（1 倍量） 差 （倍数 ） 大数 小数 倍数 或 大数 小数 差 方程建模：设小数为，则大数为，列方程： （3）和差问题 题型特征：已知两个数的和与差，求这两个数。 基本公式： 大数 （和 差） 小数 （和 差） 方程建模：设小数为，则大数为，列方程： 3. 拓展题型：几倍多几 / 几倍少几 题型特征：两个数不是整倍数关系，而是 “几倍多几” 或 “几倍少几”，同时给出和或差。 建模要点： 几倍多几：先把多的部分减掉，转化为整倍数，再按基础和差倍计算； 几倍少几：先把少的部分补上，转化为整倍数，再按基础和差倍计算。 方程法：设 1 倍量为，多几就加几，少几就减几，再根据和 / 差列方程。 4. 多个量的和差倍 题型特征：三个或三个以上的量，给出两两之间的倍数关系、和或差。 解题关键：找准公共的 1 倍量，所有量都用这个 1 倍量表示，再根据总和或总差列方程求解。 5. 通用解题步骤（建模四步走） ① 找：找出题目中的 1 倍量，以及和、差、倍等量关系； ② 设：设 1 倍量为，用含的代数式表示其他各个量； ③ 列：根据和、差的等量关系，列出方程； ④ 解：解方程求出，再求出其他量，检验作答。 例题讲解 【典型例题 1】和倍问题 甲乙两个数的和是 48，甲数是乙数的 3 倍。甲、乙两数各是多少？ 【跟踪训练 1】 果园里苹果树和梨树一共 120 棵，苹果树的棵数是梨树的 5 倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 【典型例题 2】差倍问题 甲数比乙数大 24，甲数是乙数的 4 倍。甲、乙两数各是多少？ 【跟踪训练 2】 爸爸的年龄比小明大 30 岁，爸爸的年龄是小明的 6 倍。爸爸和小明各多少岁？ 【典型例题 3】和差问题 甲乙两数的和是 36，甲数比乙数大 8。甲、乙两数各是多少？ 【跟踪训练 3】 一班和二班共有学生 86 人，一班比二班多 4 人。一班、二班各有多少人？ 【典型例题 4】拓展题型 —— 几倍多几的和倍问题 甲数是乙数的 3 倍还多 5，甲乙两数的和是 45。甲、乙两数各是多少？ 【跟踪训练 4】 苹果的重量是梨的 2 倍少 3 千克，苹果和梨一共重 42 千克。苹果和梨各重多少千克？ 巩固练习 1. 甲、乙两数的和是 72，甲数是乙数的 5 倍。甲数是多少？ 2. 公鸡比母鸡多 36 只，公鸡只数是母鸡的 4 倍。母鸡有多少只？ 3. 两筐水果共重 50 千克，第一筐比第二筐重 6 千克。第一筐重多少千克？ 4. 甲数是乙数的 2 倍多 4，两数之和是 34。乙数是多少？ 5. 红花比黄花的 3 倍少 5 朵，红花比黄花多 19 朵。红花有多少朵？ 6. 三个数的和是 90，甲数是乙数的 2 倍，丙数是乙数的 3 倍。乙数是多少？ 7. 小明有邮票 80 张，小红有邮票 60 张。小明给小红多少张后，两人邮票数相等？ 8. 被除数与除数的和是 120，商是 7。被除数是多少？ 9. 甲比乙多 28，甲是乙的 3 倍多 2。乙数是多少？ 10. 长方形周长是 36 厘米，长是宽的 2 倍。长是多少厘米？ 11. 甲乙两桶油共重 60 千克，从甲桶倒 6 千克给乙桶，两桶油一样重。甲桶原来有多少千克？ 12. 三个数的和是 74，甲数比乙数多 10，乙数比丙数多 5。丙数是多少？ 真题训练 1.（小升初真题）甲、乙两数的和是 56，甲数是乙数的 7 倍。甲数是（ ） 2.（希望杯模拟题）爷爷比孙子大 54 岁，爷爷的年龄是孙子的 10 倍。孙子（ ）岁。 3.（小升初真题）两筐苹果共重 48 千克，第一筐比第二筐少 8 千克。第一筐重（ ）千克。 4.（华杯赛初赛）甲数是乙数的 3 倍少 6，两数之和是 42。乙数是（ ） 5.（重点中学分班考）A、B、C 三个数的和是 180，A 是 B 的 2 倍，C 是 A 的 3 倍。B 是（ ） 6.（走美杯真题）被除数比除数大 63，商是 8。被除数是（ ） 7.（小升初真题）长方形周长是 48 米，长是宽的 3 倍。长是（ ）米。 8.（小升初压轴题）甲仓存粮是乙仓的 3 倍，从甲仓运出 15 吨放入乙仓，两仓存粮相等。甲仓原来存粮（ ）吨。 9.（希望杯真题）小明和小红共有邮票 120 张，小明的邮票比小红的 2 倍多 6 张。小明有（ ）张。 10.（重点中学自主招生）甲乙两人的年龄和是 40 岁，当甲像乙现在这么大时，甲的年龄是乙的 2 倍。甲今年（ ）岁。 11.（华杯赛模拟题）三个连续自然数的和是 45，中间的数是（ ） 12.（思维训练题）有两堆棋子，第一堆有 87 个，第二堆有 69 个。从第一堆拿多少个给第二堆，第二堆棋子是第一堆的 3 倍？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 数量关系建模与和差倍问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 什么是数量关系建模 核心：把题目中的文字描述，转化为清晰的数学数量关系，用代数式表示各个未知量，再根据和、差、倍的等量关系列出等式求解。 关键：找准1 倍量（标准量），通常设 1 倍量为，用含的式子表示其他所有量。 2. 三大基础题型与公式 （1）和倍问题 题型特征：已知两个数的和，以及它们的倍数关系，求这两个数。 基本公式： 小数（1 倍量） 和 （倍数 ） 大数 小数 倍数 或 大数 和 小数 方程建模：设小数为，则大数为，列方程： （2）差倍问题 题型特征：已知两个数的差，以及它们的倍数关系，求这两个数。 基本公式： 小数（1 倍量） 差 （倍数 ） 大数 小数 倍数 或 大数 小数 差 方程建模：设小数为，则大数为，列方程： （3）和差问题 题型特征：已知两个数的和与差，求这两个数。 基本公式： 大数 （和 差） 小数 （和 差） 方程建模：设小数为，则大数为，列方程： 3. 拓展题型：几倍多几 / 几倍少几 题型特征：两个数不是整倍数关系，而是 “几倍多几” 或 “几倍少几”，同时给出和或差。 建模要点： 几倍多几：先把多的部分减掉，转化为整倍数，再按基础和差倍计算； 几倍少几：先把少的部分补上，转化为整倍数，再按基础和差倍计算。 方程法：设 1 倍量为，多几就加几，少几就减几，再根据和 / 差列方程。 4. 多个量的和差倍 题型特征：三个或三个以上的量，给出两两之间的倍数关系、和或差。 解题关键：找准公共的 1 倍量，所有量都用这个 1 倍量表示，再根据总和或总差列方程求解。 5. 通用解题步骤（建模四步走） ① 找：找出题目中的 1 倍量，以及和、差、倍等量关系； ② 设：设 1 倍量为，用含的代数式表示其他各个量； ③ 列：根据和、差的等量关系，列出方程； ④ 解：解方程求出，再求出其他量，检验作答。 例题讲解 【典型例题 1】和倍问题 甲乙两个数的和是 48，甲数是乙数的 3 倍。甲、乙两数各是多少？ 【分析】这是基础和倍问题，乙数是 1 倍量，甲数是 3 倍量，总和对应倍量。可以用算术法直接算 1 倍量，也可以设乙数为，根据总和列方程求解。 【详解】 方法一：算术法 乙数（1 倍量）： 甲数： 方法二：方程法 设乙数为，则甲数为。 甲数： 【答案】甲数，乙数 【跟踪训练 1】 果园里苹果树和梨树一共 120 棵，苹果树的棵数是梨树的 5 倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】梨树是 1 倍量，苹果树是 5 倍量，总棵数对应倍量。 【详解】 算术法： 梨树：（棵） 苹果树：（棵） 方程法： 设梨树有棵，苹果树有棵。 苹果树：（棵） 【答案】苹果树棵，梨树棵 【典型例题 2】差倍问题 甲数比乙数大 24，甲数是乙数的 4 倍。甲、乙两数各是多少？ 【分析】乙数是 1 倍量，甲数是 4 倍量，两数的差 24 对应倍量，求出 1 倍量即可得到两数。 【详解】 算术法： 乙数： 甲数： 方程法： 设乙数为，甲数为。 甲数： 【答案】甲数，乙数 【跟踪训练 2】 爸爸的年龄比小明大 30 岁，爸爸的年龄是小明的 6 倍。爸爸和小明各多少岁？ 【分析】小明年龄是 1 倍量，年龄差 30 岁对应倍量。 【详解】 算术法： 小明：（岁） 爸爸：（岁） 方程法： 设小明岁，爸爸岁。 爸爸：（岁） 【答案】爸爸岁，小明岁 【典型例题 3】和差问题 甲乙两数的和是 36，甲数比乙数大 8。甲、乙两数各是多少？ 【分析】已知两数和与差，可直接用和差公式计算；也可以设乙数为，甲数为，根据总和列方程。 【详解】 算术法： 甲数（大数）： 乙数（小数）： 方程法： 设乙数为，甲数为。 甲数： 【答案】甲数，乙数 【跟踪训练 3】 一班和二班共有学生 86 人，一班比二班多 4 人。一班、二班各有多少人？ 【分析】典型和差问题，总人数 86，人数差 4 人。 【详解】 算术法： 一班：（人） 二班：（人） 方程法： 设二班有人，一班有人。 一班：（人） 【答案】一班人，二班人 【典型例题 4】拓展题型 —— 几倍多几的和倍问题 甲数是乙数的 3 倍还多 5，甲乙两数的和是 45。甲、乙两数各是多少？ 【分析】乙数是 1 倍量，甲数比 3 倍还多 5。先把多的 5 从总和里减掉，总和就对应倍量，转化为基础和倍问题求解。 【详解】 算术法： 把多的 5 减去，总和变为整倍数： 乙数： 甲数： 方程法： 设乙数为，甲数为。 甲数： 【答案】甲数，乙数 【跟踪训练 4】 苹果的重量是梨的 2 倍少 3 千克，苹果和梨一共重 42 千克。苹果和梨各重多少千克？ 【分析】几倍少几型和倍问题，梨是 1 倍量。先把少的 3 千克补上，总和就对应整倍数，再按基础和倍计算。 【详解】 算术法： 补上少的 3 千克，总和对应整倍数： （千克） 梨：（千克） 苹果：（千克） 方程法： 设梨重千克，苹果重千克。 苹果：（千克） 【答案】苹果千克，梨千克 巩固练习 1. 甲、乙两数的和是 72，甲数是乙数的 5 倍。甲数是多少？ 【分析】和倍问题，乙数是 1 倍量，总和对应 6 倍量。 【详解】 乙数： 甲数： 【答案】 2. 公鸡比母鸡多 36 只，公鸡只数是母鸡的 4 倍。母鸡有多少只？ 【分析】差倍问题，差 36 对应 3 倍量。 【详解】 母鸡：（只） 【答案】只 3. 两筐水果共重 50 千克，第一筐比第二筐重 6 千克。第一筐重多少千克？ 【分析】和差问题，求大数。 【详解】 第一筐：（千克） 【答案】千克 4. 甲数是乙数的 2 倍多 4，两数之和是 34。乙数是多少？ 【分析】几倍多几的和倍，先减多的部分，再算 1 倍量。 【详解】 乙数： 【答案】 5. 红花比黄花的 3 倍少 5 朵，红花比黄花多 19 朵。红花有多少朵？ 【分析】几倍少几的差倍，先补少的部分，差对应整倍数。 【详解】 补上 5 朵，差对应倍： （朵） 黄花：（朵） 红花：（朵） 【答案】朵 6. 三个数的和是 90，甲数是乙数的 2 倍，丙数是乙数的 3 倍。乙数是多少？ 【分析】三个量的和倍，乙数是 1 倍量，总和对应倍。 【详解】 乙数： 【答案】 7. 小明有邮票 80 张，小红有邮票 60 张。小明给小红多少张后，两人邮票数相等？ 【分析】和差问题，先算差，给对方差的一半两人就相等。 【详解】 差：（张） 给的张数：（张） 【答案】张 8. 被除数与除数的和是 120，商是 7。被除数是多少？ 【分析】商是 7 说明被除数是除数的 7 倍，属于和倍问题。 【详解】 除数： 被除数： 【答案】 9. 甲比乙多 28，甲是乙的 3 倍多 2。乙数是多少？ 【分析】差倍多几型，先减多的 2，差对应 2 倍量。 【详解】 乙数： 【答案】 10. 长方形周长是 36 厘米，长是宽的 2 倍。长是多少厘米？ 【分析】周长 ÷2 得到长与宽的和，再按和倍问题计算。 【详解】 长 + 宽：（厘米） 宽：（厘米） 长：（厘米） 【答案】厘米 11. 甲乙两桶油共重 60 千克，从甲桶倒 6 千克给乙桶，两桶油一样重。甲桶原来有多少千克？ 【分析】先算原来的差：倒 6 千克相等，说明原来差千克，再按和差问题计算。 【详解】 原来差：（千克） 甲桶：（千克） 【答案】千克 12. 三个数的和是 74，甲数比乙数多 10，乙数比丙数多 5。丙数是多少？ 【分析】以丙数为 1 倍量，乙数比丙多 5，甲数比丙多。总和减去所有多的部分，就是 3 倍的丙数。 【详解】 甲数比丙数多： 总和减去多的部分： 丙数： 【答案】 真题训练 1.（小升初真题）甲、乙两数的和是 56，甲数是乙数的 7 倍。甲数是（ ） 【分析】和倍问题，总和对应 8 倍量。 【详解】 乙数： 甲数： 【答案】 2.（希望杯模拟题）爷爷比孙子大 54 岁，爷爷的年龄是孙子的 10 倍。孙子（ ）岁。 【分析】差倍问题，差对应 9 倍量。 【详解】 孙子：（岁） 【答案】 3.（小升初真题）两筐苹果共重 48 千克，第一筐比第二筐少 8 千克。第一筐重（ ）千克。 【分析】和差问题，求小数。 【详解】 第一筐：（千克） 【答案】 4.（华杯赛初赛）甲数是乙数的 3 倍少 6，两数之和是 42。乙数是（ ） 【分析】几倍少几的和倍，补上少的 6，总和对应 4 倍量。 【详解】 乙数： 【答案】 5.（重点中学分班考）A、B、C 三个数的和是 180，A 是 B 的 2 倍，C 是 A 的 3 倍。B 是（ ） 【分析】以 B 为 1 倍量，A 是 2 倍，C 是 A 的 3 倍即 6 倍，总和对应倍。 【详解】 C 是 B 的倍数： B： 【答案】 6.（走美杯真题）被除数比除数大 63，商是 8。被除数是（ ） 【分析】商是 8 说明被除数是除数的 8 倍，属于差倍问题。 【详解】 除数： 被除数： 【答案】 7.（小升初真题）长方形周长是 48 米，长是宽的 3 倍。长是（ ）米。 【分析】周长 ÷2 得长宽和，再按和倍计算。 【详解】 长 + 宽：（米） 宽：（米） 长：（米） 【答案】 8.（小升初压轴题）甲仓存粮是乙仓的 3 倍，从甲仓运出 15 吨放入乙仓，两仓存粮相等。甲仓原来存粮（ ）吨。 【分析】先算原来的差：运 15 吨相等，差是吨，差倍问题。 【详解】 原来差：（吨） 乙仓：（吨） 甲仓：（吨） 【答案】 9.（希望杯真题）小明和小红共有邮票 120 张，小明的邮票比小红的 2 倍多 6 张。小明有（ ）张。 【分析】几倍多几的和倍，先减 6，总和对应 3 倍。 【详解】 （张） 小红：（张） 小明：（张） 【答案】 10.（重点中学自主招生）甲乙两人的年龄和是 40 岁，当甲像乙现在这么大时，甲的年龄是乙的 2 倍。甲今年（ ）岁。 【分析】年龄差不变。设当时乙的年龄为 1 倍，甲当时 2 倍，年龄差 1 倍。现在乙的年龄等于当时甲的年龄即 2 倍，甲现在是倍，年龄和对应 5 倍。 【详解】 1 倍量：（岁） 甲今年：（岁） 【答案】 11.（华杯赛模拟题）三个连续自然数的和是 45，中间的数是（ ） 【分析】连续自然数差 1，和是中间数的 3 倍。 【详解】 中间数： 【答案】 12.（思维训练题）有两堆棋子，第一堆有 87 个，第二堆有 69 个。从第一堆拿多少个给第二堆，第二堆棋子是第一堆的 3 倍？ 【分析】总数不变，先算总和。后来第二堆是第一堆的 3 倍，总和对应 4 倍，算出后来第一堆数量，再求拿的个数。 【详解】 总数：（个） 后来第一堆：（个） 拿的个数：（个） 【答案】个 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $