第8讲 平均数问题（奥数讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

奥数培优讲义 第8讲 平均数问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 什么是平均数 把一组数的总数平均分成若干份，每份得到的数就是这组数的平均数。平均数反映的是一组数据的"平均水平"，是生活中最常用的统计量之一（如平均分、平均身高、平均体重、平均速度）。 2. 三个量之间的关系 平均数 = 总数 ÷ 份数 总数 = 平均数 × 份数 份数 = 总数 ÷ 平均数 这三个关系是解平均数问题的钥匙，做题时先想清楚题目给了哪两个量、要求哪一个。 3. 移多补少思想 求平均数时，可以把多的部分移给少的，使每组数变得同样多。这种"多退少补"的方法叫移多补少，是理解平均数本质的核心思想，也是许多简便计算和巧解的来源。 4. 加权平均数（求整体平均） 当几组数量不同的人（或数据）要算在一起求平均时，不能用各组平均数的简单平均，必须用总数 ÷ 总份数。即：整体平均数 =（各组总数之和）÷（各组份数之和）。 例如：甲组 6 人平均 90 分、乙组 4 人平均 85 分，全班平均不是（90+85）÷2，而是（90×6+85×4）÷（6+4）。 5. 平均数反推个别数据 当已知一组数据的平均数和个数，可以先求出总数；再结合"增加 / 去掉 / 改动"一个数后的新平均数，求出新总数，两数之差就是那个个别数据的变化量，从而推出原来的数。 (1) 去掉一个数：去掉的数 = 原总数 − 新总数； (2) 增加一个数：加上的数 = 新总数 − 原总数； (3) 改动一个数：原数 = 改后数 −（新总数 − 原总数）。 6. 常见坑总结 (1) 求总数时忘记"×份数"； (2) 求整体平均时把各组平均数直接相加再除组数（漏了加权）； (3) 反推个别数据时搞混"增加"和"去掉"的加减方向； (4) 题目问的是平均每天、平均每人、平均每次，混淆份数对应的对象。 例题讲解 【典型例题 1】（基础求平均数） 有 5 个数，分别是 3、7、9、11、15，它们的平均数是多少？ 【跟踪训练 1】 有 6 个数，分别是 12、15、18、20、22、27，它们的平均数是多少？ 【典型例题 2】（已知平均数求总数） 小明三次数学测验的平均分是 92 分，这三次他一共考了多少分？ 【跟踪训练 2】 一个车队有 5 辆汽车，平均每辆装货 4.2 吨，这个车队一共装货多少吨？ 【典型例题 3】（移多补少求新平均） 小明前 4 次跳绳的平均成绩是 120 下，第 5 次跳了 130 下，他 5 次的平均成绩是多少下？ 【跟踪训练 3】 某同学前 3 天平均每天看书 18 页，第 4 天看了 26 页，这 4 天平均每天看多少页？ 【典型例题 4】（加权平均数·整体平均） 第一组 5 人平均每人做了 25 道题，第二组 3 人平均每人做了 17 道题，两组平均每人做了多少道题？ 【跟踪训练 4】 甲组 6 人测验平均 90 分，乙组 4 人测验平均 85 分，两组全部同学的平均分是多少？ 【典型例题 5】（平均数反推·去掉一个数） 5 个数的平均数是 18，去掉其中一个数后，剩下 4 个数的平均数是 16。去掉的这个数是几？ 【跟踪训练 5】 4 个数的平均数是 12，再添上 1 个数后，5 个数的平均数是 14。添上的这个数是几？ 【典型例题 6】（奥数：改动一个数反推原数） 有 5 个数的平均数是 60，若把其中一个数改为 80，平均数就变成 70。被改动的这个数原来是几？ 【跟踪训练 6】 有 7 个数的平均数是 50，把其中一个数改成 90 后，平均数变为 60。原来这个数是几？ 提升练习 第 1 题 有 6 个数：14、16、19、21、24、26，这一组数的平均数是多少？ 第 2 题 小丽 4 次英语测试平均分是 86 分，小丽这 4 次测试总分是多少分？ 第 3 题 果园里有 8 棵苹果树，平均每棵收获苹果 32.5 千克，一共收获苹果多少千克？ 第 4 题 小亮前 5 次投篮平均投中 14 个，第 6 次投中 20 个，求 6 次投篮平均投中多少个？ 第 5 题 小宇前 4 天平均每天读 22 页课外书，第 5 天读了 32 页，这 5 天平均每天读多少页？ 第 6 题 A 组 7 人，平均每人做 24 道计算题；B 组 5 人，平均每人做 18 道计算题。两组合在一起，平均每人做多少道？ 第 7 题 男生组 5 人，平均分 91 分；女生组 4 人，平均分 97 分。这 9 名同学的平均分是多少？ 第 8 题 7 个数的平均数是 22，去掉一个数之后，剩下 6 个数平均数是 20，去掉的数是多少？ 第 9 题 6 个数平均数是 15，再加入一个数后，7 个数平均数变成 17，加入的这个数是多少？ 第 10 题 有 8 个数，平均数是 45，把其中一个数改成 62 之后，平均数变成 48，原来这个数是多少？ 第 11 题 有 9 个数，平均数是 30，把其中一个数改成 14 后，平均数变为 26，原来这个数是多少？ 第 12 题 5 名同学身高分别是 136cm、142cm、139cm、145cm、138cm，这 5 人的平均身高是多少厘米？ 第 13 题 货车前 3 小时平均每小时行驶 52 千米，第 4 小时行驶 60 千米，这辆货车 4 小时平均每小时行多少千米？ 第 14 题 一班 6 人跳绳平均 135 下，二班 4 人跳绳平均 145 下，这 10 个同学平均每人跳多少下？ 第 15 题 8 个数据的平均数是 26，去掉其中一个数，剩余 7 个数平均数是 24，去掉的数是多少？ 第 16 题 小明前三次单元测平均分是 93 分，如果想要四次测试平均分达到 95 分，第四次需要考多少分？ 第 17 题 7 筐梨，平均每筐重 28 千克，卖掉一筐之后，剩下 6 筐平均重 25 千克，卖掉这筐梨重多少千克？ 第 18 题 有一组数共 5 个，平均数是 36，再添两个相同的数，7 个数平均数变为 38，添上的每个数是多少？ 第 19 题 4 个工人，平均每人每天加工零件 36 个，又来了 2 名新工人，6 个人平均每人每天加工 32 个，新工人两人一共加工多少个？ 第 20 题 有 5 个数，平均数是 28，如果把其中一个数减去 15，新的平均数是多少？ 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两个小组，甲组有 6 人，乙组有 4 人。两组全体平均分是 84 分，甲组平均分 82 分，求乙组平均分是多少？ 【奥数题2】小明几次数学考试，如果这一次考 96 分，平均分就变成 92 分；如果这一次考 80 分，平均分就变成 88 分。小明前面已经考了几次？ 【奥数题3】有 5 个数，平均数是 20，如果把这 5 个数从小到大排列，前 3 个数平均数是 18，后 3 个数平均数是 24，中间这个数是多少？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第8讲 平均数问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 什么是平均数 把一组数的总数平均分成若干份，每份得到的数就是这组数的平均数。平均数反映的是一组数据的"平均水平"，是生活中最常用的统计量之一（如平均分、平均身高、平均体重、平均速度）。 2. 三个量之间的关系 平均数 = 总数 ÷ 份数 总数 = 平均数 × 份数 份数 = 总数 ÷ 平均数 这三个关系是解平均数问题的钥匙，做题时先想清楚题目给了哪两个量、要求哪一个。 3. 移多补少思想 求平均数时，可以把多的部分移给少的，使每组数变得同样多。这种"多退少补"的方法叫移多补少，是理解平均数本质的核心思想，也是许多简便计算和巧解的来源。 4. 加权平均数（求整体平均） 当几组数量不同的人（或数据）要算在一起求平均时，不能用各组平均数的简单平均，必须用总数 ÷ 总份数。即：整体平均数 =（各组总数之和）÷（各组份数之和）。 例如：甲组 6 人平均 90 分、乙组 4 人平均 85 分，全班平均不是（90+85）÷2，而是（90×6+85×4）÷（6+4）。 5. 平均数反推个别数据 当已知一组数据的平均数和个数，可以先求出总数；再结合"增加 / 去掉 / 改动"一个数后的新平均数，求出新总数，两数之差就是那个个别数据的变化量，从而推出原来的数。 (1) 去掉一个数：去掉的数 = 原总数 − 新总数； (2) 增加一个数：加上的数 = 新总数 − 原总数； (3) 改动一个数：原数 = 改后数 −（新总数 − 原总数）。 6. 常见坑总结 (1) 求总数时忘记"×份数"； (2) 求整体平均时把各组平均数直接相加再除组数（漏了加权）； (3) 反推个别数据时搞混"增加"和"去掉"的加减方向； (4) 题目问的是平均每天、平均每人、平均每次，混淆份数对应的对象。 例题讲解 【典型例题 1】（基础求平均数） 有 5 个数，分别是 3、7、9、11、15，它们的平均数是多少？ 【详解】先求总数：3 + 7 + 9 + 11 + 15 = 45。 平均数 = 总数 ÷ 份数 = 45 ÷ 5 = 9。 答：它们的平均数是 9。 【答案】9 【跟踪训练 1】 有 6 个数，分别是 12、15、18、20、22、27，它们的平均数是多少？ 【详解】总数：12 + 15 + 18 + 20 + 22 + 27 = 114。 平均数 = 114 ÷ 6 = 19。 答：它们的平均数是 19。 【答案】19 【典型例题 2】（已知平均数求总数） 小明三次数学测验的平均分是 92 分，这三次他一共考了多少分？ 【详解】总数 = 平均数 × 份数 = 92 × 3 = 276（分）。 答：三次一共考了 276 分。 【答案】276 分 【跟踪训练 2】 一个车队有 5 辆汽车，平均每辆装货 4.2 吨，这个车队一共装货多少吨？ 【详解】总数 = 平均数 × 份数 = 4.2 × 5 = 21（吨）。 答：这个车队一共装货 21 吨。 【答案】21 吨 【典型例题 3】（移多补少求新平均） 小明前 4 次跳绳的平均成绩是 120 下，第 5 次跳了 130 下，他 5 次的平均成绩是多少下？ 【详解】前 4 次总数：120 × 4 = 480（下）。 5 次总数：480 + 130 = 610（下）。 5 次平均：610 ÷ 5 = 122（下）。 答：他 5 次的平均成绩是 122 下。 【答案】122 下 【跟踪训练 3】 某同学前 3 天平均每天看书 18 页，第 4 天看了 26 页，这 4 天平均每天看多少页？ 【详解】前 3 天总数：18 × 3 = 54（页）。 4 天总数：54 + 26 = 80（页）。 平均：80 ÷ 4 = 20（页）。 答：这 4 天平均每天看 20 页。 【答案】20 页 【典型例题 4】（加权平均数·整体平均） 第一组 5 人平均每人做了 25 道题，第二组 3 人平均每人做了 17 道题，两组平均每人做了多少道题？ 【详解】第一组总数：25 × 5 = 125（道）；第二组总数：17 × 3 = 51（道）。 总题数：125 + 51 = 176（道）；总人数：5 + 3 = 8（人）。 整体平均：176 ÷ 8 = 22（道）。 答：两组平均每人做了 22 道题。 【答案】22 道 【跟踪训练 4】 甲组 6 人测验平均 90 分，乙组 4 人测验平均 85 分，两组全部同学的平均分是多少？ 【详解】甲组总数：90 × 6 = 540（分）；乙组总数：85 × 4 = 340（分）。 总分数：540 + 340 = 880（分）；总人数：6 + 4 = 10（人）。 整体平均：880 ÷ 10 = 88（分）。 答：两组全部同学的平均分是 88 分。 【答案】88 分 【典型例题 5】（平均数反推·去掉一个数） 5 个数的平均数是 18，去掉其中一个数后，剩下 4 个数的平均数是 16。去掉的这个数是几？ 【详解】5 个数总数：18 × 5 = 90。 剩下 4 个数总数：16 × 4 = 64。 去掉的数：90 − 64 = 26。 答：去掉的这个数是 26。 【答案】26 【跟踪训练 5】 4 个数的平均数是 12，再添上 1 个数后，5 个数的平均数是 14。添上的这个数是几？ 【详解】4 个数总数：12 × 4 = 48。 5 个数总数：14 × 5 = 70。 添上的数：70 − 48 = 22。 答：添上的这个数是 22。 【答案】22 【典型例题 6】（奥数：改动一个数反推原数） 有 5 个数的平均数是 60，若把其中一个数改为 80，平均数就变成 70。被改动的这个数原来是几？ 【详解】改动前总数：60 × 5 = 300；改动后总数：70 × 5 = 350。 总数增加了：350 − 300 = 50，说明改动的数比原来大了 50。 原来的数：80 − 50 = 30。 答：被改动的这个数原来是 30。 【答案】30 【跟踪训练 6】 有 7 个数的平均数是 50，把其中一个数改成 90 后，平均数变为 60。原来这个数是几？ 【详解】改动前总数：50 × 7 = 350；改动后总数：60 × 7 = 420。 总数增加了：420 − 350 = 70，说明改动的数比原来大了 70。 原来的数：90 − 70 = 20。 答：原来这个数是 20。 【答案】20 提升练习 第 1 题 有 6 个数：14、16、19、21、24、26，这一组数的平均数是多少？ 【详解】总数：14 + 16 + 19 + 21 + 24 + 26 = 120；平均数 = 120 ÷ 6 = 20。 【答案】20 第 2 题 小丽 4 次英语测试平均分是 86 分，小丽这 4 次测试总分是多少分？ 【详解】总数 = 平均数 × 份数 = 86 × 4 = 344（分）。 【答案】344 分 第 3 题 果园里有 8 棵苹果树，平均每棵收获苹果 32.5 千克，一共收获苹果多少千克？ 【详解】总数 = 32.5 × 8 = 260（千克）。 【答案】260 千克 第 4 题 小亮前 5 次投篮平均投中 14 个，第 6 次投中 20 个，求 6 次投篮平均投中多少个？ 【详解】前 5 次总数：14 × 5 = 70（个）；6 次总数：70 + 20 = 90（个）；6 次平均：90 ÷ 6 = 15（个）。 【答案】15 个 第 5 题 小宇前 4 天平均每天读 22 页课外书，第 5 天读了 32 页，这 5 天平均每天读多少页？ 【详解】前 4 天总页数：22 × 4 = 88（页）；5 天总页数：88 + 32 = 120（页）；平均每天：120 ÷ 5 = 24（页）。 【答案】24 页 第 6 题 A 组 7 人，平均每人做 24 道计算题；B 组 5 人，平均每人做 18 道计算题。两组合在一起，平均每人做多少道？ 【详解】A 组总题数：24 × 7 = 168（道）；B 组总题数：18 × 5 = 90（道）；总题数：168 + 90 = 258（道）；总人数：7 + 5 = 12（人）；整体平均：258 ÷ 12 = 21.5（道）。 【答案】21.5 道 第 7 题 男生组 5 人，平均分 91 分；女生组 4 人，平均分 97 分。这 9 名同学的平均分是多少？ 【详解】男生总分：91 × 5 = 455（分）；女生总分：97 × 4 = 388（分）；总分：455 + 388 = 843（分）；总人数：5 + 4 = 9（人）；平均分：843 ÷ 9 = 93 又 2/3（分，约 93.67 分）。 【答案】93 又 2/3 分（约 93.67 分） 第 8 题 7 个数的平均数是 22，去掉一个数之后，剩下 6 个数平均数是 20，去掉的数是多少？ 【详解】原来 7 个数总数：22 × 7 = 154；剩下 6 个数总数：20 × 6 = 120；去掉的数：154 − 120 = 34。 【答案】34 第 9 题 6 个数平均数是 15，再加入一个数后，7 个数平均数变成 17，加入的这个数是多少？ 【详解】原来 6 个数总数：15 × 6 = 90；7 个数总数：17 × 7 = 119；加入的数：119 − 90 = 29。 【答案】29 第 10 题 有 8 个数，平均数是 45，把其中一个数改成 62 之后，平均数变成 48，原来这个数是多少？ 【详解】改动前总数：45 × 8 = 360；改动后总数：48 × 8 = 384；总数增加：384 − 360 = 24；原数：62 − 24 = 38。 【答案】38 第 11 题 有 9 个数，平均数是 30，把其中一个数改成 14 后，平均数变为 26，原来这个数是多少？ 【详解】改动前总数：30 × 9 = 270；改动后总数：26 × 9 = 234；总数减少：270 − 234 = 36；原数：14 + 36 = 50。 【答案】50 第 12 题 5 名同学身高分别是 136cm、142cm、139cm、145cm、138cm，这 5 人的平均身高是多少厘米？ 【详解】总身高：136 + 142 + 139 + 145 + 138 = 700（cm）；平均身高：700 ÷ 5 = 140（cm）。 【答案】140 cm 第 13 题 货车前 3 小时平均每小时行驶 52 千米，第 4 小时行驶 60 千米，这辆货车 4 小时平均每小时行多少千米？ 【详解】前 3 小时路程：52 × 3 = 156（千米）；总路程：156 + 60 = 216（千米）；平均速度：216 ÷ 4 = 54（千米/时）。 【答案】54 千米/时 第 14 题 一班 6 人跳绳平均 135 下，二班 4 人跳绳平均 145 下，这 10 个同学平均每人跳多少下？ 【详解】一班总数：135 × 6 = 810（下）；二班总数：145 × 4 = 580（下）；总和：810 + 580 = 1390（下）；平均：1390 ÷ 10 = 139（下）。 【答案】139 下 第 15 题 8 个数据的平均数是 26，去掉其中一个数，剩余 7 个数平均数是 24，去掉的数是多少？ 【详解】原总数：26 × 8 = 208；剩余总数：24 × 7 = 168；去掉的数：208 − 168 = 40。 【答案】40 第 16 题 小明前三次单元测平均分是 93 分，如果想要四次测试平均分达到 95 分，第四次需要考多少分？ 【详解】前三次总分：93 × 3 = 279（分）；四次目标总分：95 × 4 = 380（分）；第四次分数：380 − 279 = 101（分）。 【答案】101 分 第 17 题 7 筐梨，平均每筐重 28 千克，卖掉一筐之后，剩下 6 筐平均重 25 千克，卖掉这筐梨重多少千克？ 【详解】7 筐总重：28 × 7 = 196（千克）；剩下 6 筐总重：25 × 6 = 150（千克）；卖掉的一筐：196 − 150 = 46（千克）。 【答案】46 千克 第 18 题 有一组数共 5 个，平均数是 36，再添两个相同的数，7 个数平均数变为 38，添上的每个数是多少？ 【详解】原来 5 个总数：36 × 5 = 180；7 个总数：38 × 7 = 266；新增两个数总和：266 − 180 = 86；每个数：86 ÷ 2 = 43。 【答案】43 第 19 题 4 个工人，平均每人每天加工零件 36 个，又来了 2 名新工人，6 个人平均每人每天加工 32 个，新工人两人一共加工多少个？ 【详解】原来 4 人总量：36 × 4 = 144（个）；6 人总量：32 × 6 = 192（个）；两名新工人合计：192 − 144 = 48（个）。 【答案】48 个 第 20 题 有 5 个数，平均数是 28，如果把其中一个数减去 15，新的平均数是多少？ 【详解】原来总数：28 × 5 = 140；新总数：140 − 15 = 125；新平均数：125 ÷ 5 = 25。 【答案】25 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两个小组，甲组有 6 人，乙组有 4 人。两组全体平均分是 84 分，甲组平均分 82 分，求乙组平均分是多少？ 【详解】两组总分：84 ×（6 + 4）= 840（分）；甲组总分：82 × 6 = 492（分）；乙组总分：840 − 492 = 348（分）；乙组平均分：348 ÷ 4 = 87（分）。 【答案】87 分 【奥数题2】小明几次数学考试，如果这一次考 96 分，平均分就变成 92 分；如果这一次考 80 分，平均分就变成 88 分。小明前面已经考了几次？ 【详解】两种情况分数相差：96 − 80 = 16（分）；平均分相差：92 − 88 = 4（分）；考试总次数：16 ÷ 4 = 4（次）；前面已经考的次数：4 − 1 = 3（次）。 【答案】3 次 【奥数题3】有 5 个数，平均数是 20，如果把这 5 个数从小到大排列，前 3 个数平均数是 18，后 3 个数平均数是 24，中间这个数是多少？ 【详解】5 个数总和：20 × 5 = 100；前 3 个数总和：18 × 3 = 54；后 3 个数总和：24 × 3 = 72；前 3 + 后 3 = 五个数总和 + 中间数（中间数被算了两次）；中间数 = 54 + 72 − 100 = 26。 【答案】26 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