第11讲 列方程解和差、和倍、差倍问题（奥数培优讲义）-2026-2027学年五年级上册数学（人教版）

奥数培优讲义 第11讲 列方程解和差、和倍、差倍问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 （一）列方程解应用题通用步骤 1. 审：读懂题目，找出已知条件、未知量，理清数量关系。 2. 设：设未知数。有倍数关系时，优先设 1 倍量（较小数）为 ；和差问题可任选一个量设为 ，另一个量用含 的式子表示。 3. 找：抓住等量关系（方程法核心，不用死背算术公式）。 4. 列：根据等量关系列出方程。 5. 解：利用等式性质解方程。 6. 验：把结果代入原题，检验和、差、倍数是否符合题意。 7. 答：完整写出答句。 核心思想：算术法是逆向思考；方程法顺着题意翻译等量关系，更适合五年级同学上手。 （二）类型一：和差问题 题型特征：已知两个数的总和，以及两个数的差，求这两个数各是多少。 等量关系： (1) 大数 + 小数 = 和 (2) 大数 − 小数 = 差 设未知数思路： 方案①：设小数为 ，则大数 = ，代入和的关系列方程： 方案②：设大数为 ，则小数 = ，代入和的关系列方程： 算术参考公式（了解即可）：大数 =（和＋差）÷ 2；小数 =（和－差）÷ 2。 （三）类型二：和倍问题 题型特征：已知两个数的总和，以及大数是小数的几倍，求这两个数。 等量关系： (1) 大数 = 小数 × 倍数 (2) 小数 + 大数 = 和 设未知数思路：一定设 1 倍量（小数）为 ，大数就是 。 基础方程形式： 拓展变式： (1) 几倍多几：大数 = ，方程： (2) 几倍少几：大数 = ，方程： 算术参考公式（了解）：1 倍量 = 和 ÷（倍数＋1）。 （四）类型三：差倍问题 题型特征：已知两个数的差，以及大数是小数的几倍，求这两个数。 等量关系： (1) 大数 = 小数 × 倍数 (2) 大数 − 小数 = 差 设未知数思路：设 1 倍量（小数）为 ，大数就是 。 基础方程形式： 拓展变式： (1) 几倍多几： (2) 几倍少几： 算术参考公式（了解）：1 倍量 = 差 ÷（倍数－1）。 （五）易错提醒 1. 两个未知数时，不要两个都设成 。 2. "几倍多、几倍少"不要搞反加减。 3. 解方程之后一定要检验，保证和、差、倍数与题目一致。 4. 分清：和倍看"和"，差倍看"差"，和差看"和＋差"。 例题讲解 【典型例题 1】和差基础题 甲乙两数的和是 72，甲数比乙数大 12。甲、乙两数各是多少？ 【跟踪训练 1】 两筐苹果一共重 96 千克，第一筐比第二筐重 8 千克。两筐苹果各重多少千克？ 【典型例题 2】和倍基础题 果园里桃树和梨树一共有 120 棵，梨树棵数是桃树的 2 倍。桃树、梨树各多少棵？ 【跟踪训练 2】 学校图书馆故事书和科技书一共 240 本，故事书的本数是科技书的 3 倍。两种书各多少本？ 【典型例题 3】差倍基础题 爸爸年龄是小明的 4 倍，爸爸比小明大 30 岁。爸爸和小明今年各多少岁？ 【跟踪训练 3】 一个数的 5 倍比这个数多 36，这个数是多少？ 【典型例题 4】和倍变式：几倍多几 养殖场鸡和鸭一共 230 只，鸡的只数比鸭的 3 倍多 30 只。鸡、鸭各多少只？ 【跟踪训练 4】 商店里足球和篮球一共 85 个，篮球数量比足球的 2 倍多 10 个。足球、篮球各多少个？ 【典型例题 5】差倍变式：几倍少几 甲数比乙数的 3 倍少 14，甲数比乙数大 26。甲、乙两数各是多少？ 【跟踪训练 5】 红色珠子数量比黄色珠子的 4 倍少 15 颗，红珠子比黄珠子多 45 颗。红、黄珠子各多少颗？ 【典型例题 6】综合拓展（和差进阶） 甲乙两个仓库共存粮 168 吨，如果从甲仓库运出 12 吨给乙仓库，两个仓库粮食一样多。甲、乙原来各存粮多少吨？ 【跟踪训练 6】 大小两桶油一共重 60 千克，从大桶倒 5 千克给小桶，两桶油重量相等。原来大小桶各有油多少千克？ 提升练习 第 1 题（和差问题） 甲、乙两数的和是 86，甲数比乙数大 14。甲、乙两数各是多少？ 第 2 题（和差问题） 哥哥和弟弟共有邮票 120 枚，哥哥比弟弟多 24 枚。两人各有多少枚邮票？ 第 3 题（和差问题） 三年级和四年级一共植树 180 棵，三年级比四年级少 30 棵。两个年级各植树多少棵？ 第 4 题（和差问题） 一个长方形的周长是 40 厘米，长比宽多 6 厘米。这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 第 5 题（和倍问题） 果园里苹果树和梨树共 180 棵，苹果树是梨树的 2 倍。两种树各有多少棵？ 第 6 题（和倍问题） 图书馆有故事书和连环画共 320 本，故事书的本数是连环画的 3 倍。两种书各有多少本？ 第 7 题（和倍变式·几倍多几） 甲、乙两数的和是 154，甲数是乙数的 4 倍还多 4。甲、乙两数各是多少？ 第 8 题（和倍变式·几倍少几） 学校买来篮球和排球共 60 个，篮球比排球的 2 倍少 6 个。两种球各有多少个？ 第 9 题（和倍·三个量） 甲、乙、丙三个数的和是 300，乙数是甲数的 2 倍，丙数是甲数的 3 倍。三个数各是多少？ 第 10 题（差倍问题） 小明家养的鸡比鸭多 18 只，鸡的只数是鸭的 4 倍。鸡、鸭各有多少只？ 第 11 题（差倍问题） 一个数比另一个数大 21，大数是小数的 4 倍。这两个数各是多少？ 第 12 题（差倍问题） 妈妈今年的年龄是小芳的 5 倍，妈妈比小芳大 32 岁。妈妈和小芳今年各多少岁？ 第 13 题（差倍问题） 一件上衣的价格是一条裤子的 3 倍，上衣比裤子贵 96 元。上衣和裤子各多少元？ 第 14 题（差倍变式·几倍多几） 甲数比乙数的 2 倍多 5，甲数比乙数大 15。甲、乙两数各是多少？ 第 15 题（综合·移多补少） 两箱货物共重 160 千克，从甲箱取出 20 千克放入乙箱后，两箱一样重。原来两箱各重多少千克？ 第 16 题（综合·移多补少） 甲、乙两个书架共有书 280 本，如果从甲书架拿 40 本到乙书架，两个书架的书就相等。两个书架原来各有多少本书？ 第 17 题（综合·变化后成倍数） 甲、乙两数的差是 30。如果把甲数减少 6、乙数不变，那么甲数正好是乙数的 3 倍。原来甲、乙两数各是多少？ 第 18 题（综合·分数倍） 一个数加上它的一半等于 120。这个数是多少？ 第 19 题（综合·移多补少） 甲、乙两人共有存款 200 元。如果甲给乙 20 元，两人的钱数就相等。甲、乙原来各有多少元？ 第 20 题（差倍问题） 学校合唱队男生比女生少 24 人，女生人数是男生的 3 倍。合唱队男、女生各有多少人？ 模拟赛场 【奥数题1】父亲今年的年龄是儿子的 5 倍。10 年后，父亲的年龄是儿子的 3 倍。父亲和儿子今年各多少岁？ 【奥数题2】甲、乙、丙三个数的和是 305，甲数比乙数的 2 倍多 5，丙数是乙数的 3 倍。三个数各是多少？ 【奥数题3】有两筐苹果，第一筐的千克数是第二筐的 3 倍。从第一筐取出 15 千克放入第二筐后，第一筐仍然比第二筐多 10 千克。原来两筐各有多少千克苹果？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第11讲 列方程解和差、和倍、差倍问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 （一）列方程解应用题通用步骤 1. 审：读懂题目，找出已知条件、未知量，理清数量关系。 2. 设：设未知数。有倍数关系时，优先设 1 倍量（较小数）为 ；和差问题可任选一个量设为 ，另一个量用含 的式子表示。 3. 找：抓住等量关系（方程法核心，不用死背算术公式）。 4. 列：根据等量关系列出方程。 5. 解：利用等式性质解方程。 6. 验：把结果代入原题，检验和、差、倍数是否符合题意。 7. 答：完整写出答句。 核心思想：算术法是逆向思考；方程法顺着题意翻译等量关系，更适合五年级同学上手。 （二）类型一：和差问题 题型特征：已知两个数的总和，以及两个数的差，求这两个数各是多少。 等量关系： (1) 大数 + 小数 = 和 (2) 大数 − 小数 = 差 设未知数思路： 方案①：设小数为 ，则大数 = ，代入和的关系列方程： 方案②：设大数为 ，则小数 = ，代入和的关系列方程： 算术参考公式（了解即可）：大数 =（和＋差）÷ 2；小数 =（和－差）÷ 2。 （三）类型二：和倍问题 题型特征：已知两个数的总和，以及大数是小数的几倍，求这两个数。 等量关系： (1) 大数 = 小数 × 倍数 (2) 小数 + 大数 = 和 设未知数思路：一定设 1 倍量（小数）为 ，大数就是 。 基础方程形式： 拓展变式： (1) 几倍多几：大数 = ，方程： (2) 几倍少几：大数 = ，方程： 算术参考公式（了解）：1 倍量 = 和 ÷（倍数＋1）。 （四）类型三：差倍问题 题型特征：已知两个数的差，以及大数是小数的几倍，求这两个数。 等量关系： (1) 大数 = 小数 × 倍数 (2) 大数 − 小数 = 差 设未知数思路：设 1 倍量（小数）为 ，大数就是 。 基础方程形式： 拓展变式： (1) 几倍多几： (2) 几倍少几： 算术参考公式（了解）：1 倍量 = 差 ÷（倍数－1）。 （五）易错提醒 1. 两个未知数时，不要两个都设成 。 2. "几倍多、几倍少"不要搞反加减。 3. 解方程之后一定要检验，保证和、差、倍数与题目一致。 4. 分清：和倍看"和"，差倍看"差"，和差看"和＋差"。 例题讲解 【典型例题 1】和差基础题 甲乙两数的和是 72，甲数比乙数大 12。甲、乙两数各是多少？ 【详解】 解：设乙数为 ，则甲数为 。 等量关系：甲数 + 乙数 = 72 甲数： 检验：，，符合题意。 答：甲数是 42，乙数是 30。 【答案】甲数 42，乙数 30。 【跟踪训练 1】 两筐苹果一共重 96 千克，第一筐比第二筐重 8 千克。两筐苹果各重多少千克？ 【详解】 解：设第二筐重 千克，则第一筐重 千克。 第一筐：（千克） 检验：，。 答：第一筐 52 千克，第二筐 44 千克。 【答案】第一筐 52 千克，第二筐 44 千克。 【典型例题 2】和倍基础题 果园里桃树和梨树一共有 120 棵，梨树棵数是桃树的 2 倍。桃树、梨树各多少棵？ 【详解】 分析：桃树是 1 倍量，设桃树 棵，梨树 棵。 等量关系：桃树 + 梨树 = 120 梨树：（棵） 检验：，。 答：桃树 40 棵，梨树 80 棵。 【答案】桃树 40 棵，梨树 80 棵。 【跟踪训练 2】 学校图书馆故事书和科技书一共 240 本，故事书的本数是科技书的 3 倍。两种书各多少本？ 【详解】 解：设科技书 本，故事书 本。 故事书：（本） 检验：，。 答：科技书 60 本，故事书 180 本。 【答案】科技书 60 本，故事书 180 本。 【典型例题 3】差倍基础题 爸爸年龄是小明的 4 倍，爸爸比小明大 30 岁。爸爸和小明今年各多少岁？ 【详解】 分析：小明年龄是 1 倍量，设小明 岁，爸爸 岁。 等量关系：爸爸年龄 − 小明年龄 = 30 爸爸：（岁） 检验：，。 答：小明 10 岁，爸爸 40 岁。 【答案】小明 10 岁，爸爸 40 岁。 【跟踪训练 3】 一个数的 5 倍比这个数多 36，这个数是多少？ 【详解】 解：设这个数是 。 检验：。 答：这个数是 9。 【答案】这个数是 9。 【典型例题 4】和倍变式：几倍多几 养殖场鸡和鸭一共 230 只，鸡的只数比鸭的 3 倍多 30 只。鸡、鸭各多少只？ 【详解】 分析：鸭是 1 倍量，设鸭 只，鸡就是 只。 等量关系：鸭 + 鸡 = 230 鸡：（只） 检验：，。 答：鸭 50 只，鸡 180 只。 【答案】鸭 50 只，鸡 180 只。 【跟踪训练 4】 商店里足球和篮球一共 85 个，篮球数量比足球的 2 倍多 10 个。足球、篮球各多少个？ 【详解】 解：设足球 个，篮球 个。 篮球：（个） 检验：，。 答：足球 25 个，篮球 60 个。 【答案】足球 25 个，篮球 60 个。 【典型例题 5】差倍变式：几倍少几 甲数比乙数的 3 倍少 14，甲数比乙数大 26。甲、乙两数各是多少？ 【详解】 分析：乙数是 1 倍量，设乙数 ，甲数 。 等量关系：甲数 − 乙数 = 26 甲数： 检验：，。 答：乙数 20，甲数 46。 【答案】乙数 20，甲数 46。 【跟踪训练 5】 红色珠子数量比黄色珠子的 4 倍少 15 颗，红珠子比黄珠子多 45 颗。红、黄珠子各多少颗？ 【详解】 解：设黄珠子 颗，红珠子 颗。 红珠子：（颗） 检验：，。 答：黄珠子 20 颗，红珠子 65 颗。 【答案】黄珠子 20 颗，红珠子 65 颗。 【典型例题 6】综合拓展（和差进阶） 甲乙两个仓库共存粮 168 吨，如果从甲仓库运出 12 吨给乙仓库，两个仓库粮食一样多。甲、乙原来各存粮多少吨？ 【详解】 分析：甲给乙 12 吨后相等，说明原来甲比乙多： 吨。 设乙原有 吨，甲原有 吨。 甲：（吨） 检验：；，。 答：甲仓库原有 96 吨，乙仓库原有 72 吨。 【答案】甲仓库 96 吨，乙仓库 72 吨。 【跟踪训练 6】 大小两桶油一共重 60 千克，从大桶倒 5 千克给小桶，两桶油重量相等。原来大小桶各有油多少千克？ 【详解】 分析：大桶原来比小桶多 千克。 解：设小桶原有 千克，大桶 千克。 大桶：（千克） 检验：；，。 答：小桶 25 千克，大桶 35 千克。 【答案】大桶 35 千克，小桶 25 千克。 提升练习 第 1 题（和差问题） 甲、乙两数的和是 86，甲数比乙数大 14。甲、乙两数各是多少？ 【详解】 解：设乙数为 ，则甲数为 。 等量关系：甲数 + 乙数 = 86，得 。 ，。 甲数：。 检验：，，符合题意。 【答案】甲数 50，乙数 36。 第 2 题（和差问题） 哥哥和弟弟共有邮票 120 枚，哥哥比弟弟多 24 枚。两人各有多少枚邮票？ 【详解】 解：设弟弟有 枚，则哥哥有 枚。 ，，。 哥哥：（枚）。 检验：，。 【答案】哥哥 72 枚，弟弟 48 枚。 第 3 题（和差问题） 三年级和四年级一共植树 180 棵，三年级比四年级少 30 棵。两个年级各植树多少棵？ 【详解】 解：设三年级植树 棵，则四年级植树 棵。 ，，。 四年级：（棵）。 检验：，。 【答案】三年级 75 棵，四年级 105 棵。 第 4 题（和差问题） 一个长方形的周长是 40 厘米，长比宽多 6 厘米。这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 【详解】 解：长与宽的和 = 周长 ÷ 2 = 20 厘米。 设宽为 厘米，则长为 厘米。 ，，。 长：（厘米）。 检验：，。 【答案】长 13 厘米，宽 7 厘米。 第 5 题（和倍问题） 果园里苹果树和梨树共 180 棵，苹果树是梨树的 2 倍。两种树各有多少棵？ 【详解】 解：梨树是 1 倍量，设梨树 棵，苹果树 棵。 ，，。 苹果树：（棵）。 检验：，。 【答案】苹果树 120 棵，梨树 60 棵。 第 6 题（和倍问题） 图书馆有故事书和连环画共 320 本，故事书的本数是连环画的 3 倍。两种书各有多少本？ 【详解】 解：设连环画 本，故事书 本。 ，，。 故事书：（本）。 检验：，。 【答案】故事书 240 本，连环画 80 本。 第 7 题（和倍变式·几倍多几） 甲、乙两数的和是 154，甲数是乙数的 4 倍还多 4。甲、乙两数各是多少？ 【详解】 解：设乙数为 ，则甲数为 。 ，，。 甲数：。 检验：，。 【答案】甲数 124，乙数 30。 第 8 题（和倍变式·几倍少几） 学校买来篮球和排球共 60 个，篮球比排球的 2 倍少 6 个。两种球各有多少个？ 【详解】 解：设排球 个，则篮球 个。 ，，。 篮球：（个）。 检验：，。 【答案】篮球 38 个，排球 22 个。 第 9 题（和倍·三个量） 甲、乙、丙三个数的和是 300，乙数是甲数的 2 倍，丙数是甲数的 3 倍。三个数各是多少？ 【详解】 解：设甲数为 ，则乙数为 ，丙数为 。 ，，。 乙数：；丙数：。 检验：。 【答案】甲数 50，乙数 100，丙数 150。 第 10 题（差倍问题） 小明家养的鸡比鸭多 18 只，鸡的只数是鸭的 4 倍。鸡、鸭各有多少只？ 【详解】 解：设鸭有 只，则鸡有 只。 ，，。 鸡：（只）。 检验：，。 【答案】鸡 24 只，鸭 6 只。 第 11 题（差倍问题） 一个数比另一个数大 21，大数是小数的 4 倍。这两个数各是多少？ 【详解】 解：设小数为 ，则大数为 。 ，，。 大数：。 检验：，。 【答案】这两个数是 28 和 7。 第 12 题（差倍问题） 妈妈今年的年龄是小芳的 5 倍，妈妈比小芳大 32 岁。妈妈和小芳今年各多少岁？ 【详解】 解：设小芳今年 岁，则妈妈今年 岁。 ，，。 妈妈：（岁）。 检验：，。 【答案】妈妈 40 岁，小芳 8 岁。 第 13 题（差倍问题） 一件上衣的价格是一条裤子的 3 倍，上衣比裤子贵 96 元。上衣和裤子各多少元？ 【详解】 解：设裤子 元，则上衣 元。 ，，。 上衣：（元）。 检验：，。 【答案】上衣 144 元，裤子 48 元。 第 14 题（差倍变式·几倍多几） 甲数比乙数的 2 倍多 5，甲数比乙数大 15。甲、乙两数各是多少？ 【详解】 解：设乙数为 ，则甲数为 。 ，。 甲数：。 检验：，。 【答案】甲数 25，乙数 10。 第 15 题（综合·移多补少） 两箱货物共重 160 千克，从甲箱取出 20 千克放入乙箱后，两箱一样重。原来两箱各重多少千克？ 【详解】 分析：取 20 千克后相等，说明原来甲箱比乙箱多 千克。 解：设乙箱原来 千克，则甲箱原来 千克。 ，，。 甲箱：（千克）。 检验：，。 【答案】甲箱 100 千克，乙箱 60 千克。 第 16 题（综合·移多补少） 甲、乙两个书架共有书 280 本，如果从甲书架拿 40 本到乙书架，两个书架的书就相等。两个书架原来各有多少本书？ 【详解】 分析：拿 40 本后相等，说明甲书架比乙书架多 本。 解：设乙书架原来 本，则甲书架 本。 ，，。 甲书架：（本）。 检验：，。 【答案】甲书架 180 本，乙书架 100 本。 第 17 题（综合·变化后成倍数） 甲、乙两数的差是 30。如果把甲数减少 6、乙数不变，那么甲数正好是乙数的 3 倍。原来甲、乙两数各是多少？ 【详解】 解：设乙数为 ，则甲数原来为 。 甲数减少 6 后为 ，此时是乙数的 3 倍： ，，。 甲数：。 检验：；。 【答案】甲数 42，乙数 12。 第 18 题（综合·分数倍） 一个数加上它的一半等于 120。这个数是多少？ 【详解】 解：设这个数为 。 ，即 。 。 检验：。 【答案】这个数是 80。 第 19 题（综合·移多补少） 甲、乙两人共有存款 200 元。如果甲给乙 20 元，两人的钱数就相等。甲、乙原来各有多少元？ 【详解】 分析：甲给乙 20 元后相等，说明甲比乙多 元。 解：设乙原来 元，则甲原来 元。 ，，。 甲：（元）。 检验：，。 【答案】甲 120 元，乙 80 元。 第 20 题（差倍问题） 学校合唱队男生比女生少 24 人，女生人数是男生的 3 倍。合唱队男、女生各有多少人？ 【详解】 解：设男生 人，则女生 人。 ，，。 女生：（人）。 检验：，。 【答案】男生 12 人，女生 36 人。 模拟赛场 【奥数题1】父亲今年的年龄是儿子的 5 倍。10 年后，父亲的年龄是儿子的 3 倍。父亲和儿子今年各多少岁？ 【详解】 解：设儿子今年 岁，则父亲今年 岁。 10 年后：儿子 岁，父亲 岁。 等量关系：。 ，，。 父亲：（岁）。 检验：10 年后儿子 20 岁，父亲 60 岁，。 【答案】父亲今年 50 岁，儿子今年 10 岁。 【奥数题2】甲、乙、丙三个数的和是 305，甲数比乙数的 2 倍多 5，丙数是乙数的 3 倍。三个数各是多少？ 【详解】 解：乙数是最小量，设乙数为 ，则甲数为 ，丙数为 。 ，。 ，。 甲数：；丙数：。 检验：，，。 【答案】甲数 105，乙数 50，丙数 150。 【奥数题3】有两筐苹果，第一筐的千克数是第二筐的 3 倍。从第一筐取出 15 千克放入第二筐后，第一筐仍然比第二筐多 10 千克。原来两筐各有多少千克苹果？ 【详解】 解：设第二筐原来 千克，则第一筐原来 千克。 取出 15 千克后：第一筐 千克，第二筐 千克。 等量关系：。 ，，。 第一筐：（千克）。 检验：，，。 【答案】第一筐 60 千克，第二筐 20 千克。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $