第4讲 错中求解（奥数培优讲义）-2026-2027学年五年级上册数学（人教版）

奥数培优讲义 第4讲 错中求解 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 什么是错中求解 错中求解，就是在计算小数乘法、小数除法时，由于看错数字、看错小数点位置、看错运算符号、漏看0等原因，得到一个错误结果；我们根据错误的算式、错误的结果，反推正确的条件，再算出正确答案。 核心思路：抓住不变量，先求未知量，再算正确结果 2. 小数乘法错中求解规律 乘法关系式：因数 × 因数 = 积 两个因数，只要其中一个因数不变，另一个因数发生变化，积跟着发生相同变化： (1) 一个因数不变，另一个因数扩大到原来的a倍，积也扩大到原来的a倍； (2) 一个因数不变，另一个因数缩小到原来的，积也缩小到原来的； (3) 小数点移动变化： 1　 小数点向右移1位 → 扩大10倍；右移2位 → 扩大100倍 2　 小数点向左移1位 → 缩小到原来；左移2位 → 缩小到原来 易错提醒：小数乘法看错小数点，本质就是因数扩大/缩小，积同步变化；区分：是一个因数看错，还是两个因数都看错。 3. 小数除法错中求解规律 除法关系式：被除数 ÷ 除数 = 商 (1) 除数不变：被除数扩大a倍，商扩大a倍；被除数缩小到，商缩小到 (2) 被除数不变：除数扩大a倍，商反而缩小到；除数缩小到，商反而扩大a倍 高频题型：把被除数小数点看错、把除数小数点看错；除法一定要分清：谁是不变量！ 4. 错中求解通用解题步骤 步骤1：抄写错误算式，标出哪些量看错了、哪些量没有变化（不变量） 步骤2：利用错误算式和错误答案，先求出不变的那个数 步骤3：还原正确的数字，写出正确算式 步骤4：计算正确结果 5. 常见错误类型 类型 说明 类型1 看错一个因数的小数点（小数乘法） 类型2 看错被除数的小数点（小数除法） 类型3 看错除数的小数点（小数除法，最容易搞反倍数） 类型4 把小数乘法当成小数除法、符号看错 类型5 计算时积/商的小数点位置点错 例题讲解 【典型例题1】 小明在计算一道小数乘法题时，把其中一个因数4.2看成了42，结果得到的积是151.2。求正确的积是多少？ 【详解】 分析：乘法里另一个因数没有看错，是不变量。 把因数4.2看成42，42÷4.2=10，说明这个因数扩大到原来的10倍。 一个因数不变，另一个因数扩大10倍，错误的积也跟着扩大10倍。 方法一：先求不变的因数 不变因数：151.2 ÷ 42 = 3.6 正确算式：3.6 × 4.2 = 15.12 方法二：直接还原积 错误积÷10 = 151.2 ÷ 10 = 15.12 【答案】 15.12 【跟踪训练1】 小丽计算小数乘法，把因数3.5看成35，算出错误的积是98，正确的积是多少？ 【详解】 另一个因数不变，35÷3.5=10，因数扩大10倍，积扩大10倍。 不变因数：98 ÷ 35 = 2.8 正确积：2.8 × 3.5 = 9.8 简便算法：98 ÷ 10 = 9.8 【答案】 9.8 【典型例题2】 小红计算一道小数除法题，把被除数25.6的小数点看漏了，当成256来除以除数，算出来商是16。原来正确的商是多少？ 【详解】 除数没有看错，除数是不变量。 被除数25.6看成256，被除数扩大：256÷25.6=10倍。 除数不变，被除数扩大10倍，商也扩大10倍。 第一步：先求除数 除数 = 256 ÷ 16 = 16 第二步：正确算式 25.6 ÷ 16 = 1.6 也可以直接：错误商 ÷ 10 = 16 ÷ 10 = 1.6 【答案】 1.6 【跟踪训练2】 小宇做小数除法，把被除数18.9看成了189（漏看小数点），得到商是21，正确的商是多少？ 【详解】 除数不变，被除数扩大10倍，商扩大10倍。 除数：189 ÷ 21 = 9 正确商：18.9 ÷ 9 = 2.1 简便算法：21 ÷ 10 = 2.1 【答案】 2.1 【典型例题3】 小虎计算小数除法时，把除数0.6看成了6，得到商是0.7，求正确的商。 【详解】 被除数没有看错，被除数是不变量！ 除数0.6看成6，除数扩大：6÷0.6=10倍。 被除数不变，除数扩大10倍，商反而缩小到原来的1/10。 先求被除数：6 × 0.7 = 4.2 正确算式：4.2 ÷ 0.6 = 7 简便思路：错误商 × 10 = 0.7 × 10 = 7 重点区分：看错除数和看错被除数变化方向相反！ 【答案】 7 【跟踪训练3】 小军计算除法，把除数0.8看成8，算出商是0.45，正确商是多少？ 【详解】 被除数不变，除数扩大10倍，商缩小10倍。 被除数：8 × 0.45 = 3.6 正确商：3.6 ÷ 0.8 = 4.5 简便计算：0.45 × 10 = 4.5 【答案】 4.5 【典型例题4】 玲玲做小数乘法，把一个因数个位上的数字看错了：把因数5.3看成5.8，得到的积比正确结果多了3.25，求正确的积是多少？ 【详解】 另一个因数不变，看错的因数相差：5.8 - 5.3 = 0.5 积多出来的部分 = 不变因数 × 0.5 不变因数：3.25 ÷ 0.5 = 6.5 正确算式：6.5 × 5.3 = 34.45 验算：6.5×5.8=37.7；37.7-34.45=3.25，符合题意。 【答案】 34.45 【跟踪训练4】 浩浩计算小数乘法，把因数4.6看成4.9，算出的积比正确积大1.8，正确积是多少？ 【详解】 因数差值：4.9 - 4.6 = 0.3 不变因数：1.8 ÷ 0.3 = 6 正确积：6 × 4.6 = 27.6 验算：6×4.9=29.4，29.4-27.6=1.8 【答案】 27.6 【典型例题5】 小轩在计算一道除法时，把被除数12.6错看成16.2，除数不变，这样商比原来多了0.6，求正确的商。 【详解】 除数不变，被除数增加了：16.2 - 12.6 = 3.6 商增加0.6，说明：增加的被除数 ÷ 除数 = 增加的商 除数 = 3.6 ÷ 0.6 = 6 正确商：12.6 ÷ 6 = 2.1 验算：16.2÷6=2.7，2.7-2.1=0.6 【答案】 2.1 【跟踪训练5】 小桐做除法，除数不变，把被除数21.5看成24.5，商比原来多0.5，正确商是多少？ 【详解】 被除数差：24.5 - 21.5 = 3 除数：3 ÷ 0.5 = 6 正确商：21.5 ÷ 6 ≈ 3.583（保留三位小数） 验算：24.5÷6≈4.083，4.083-3.583=0.5 【答案】 ≈ 3.583 提升练习 第1题 小明计算小数乘法，把因数2.6看成26，得到错误积是72.8，正确的积是多少？ 【详解】 把2.6看成26，因数扩大10倍，积跟着扩大10倍。 不变因数：72.8 ÷ 26 = 2.8 正确积：2.8 × 2.6 = 7.28 【答案】 7.28 第2题 小丽计算小数乘法，把因数5.4看成54，算出错误积是129.6，正确积是多少？ 【详解】 因数扩大10倍，积扩大10倍。 不变因数：129.6 ÷ 54 = 2.4 正确积：2.4 × 5.4 = 12.96 【答案】 12.96 第3题 小宇做小数除法，把被除数15.2漏看小数点看成152，得到商是19，正确的商是多少？ 【详解】 除数不变，被除数扩大10倍，商扩大10倍。 除数：152 ÷ 19 = 8 正确商：15.2 ÷ 8 = 1.9 【答案】 1.9 第4题 小红计算小数除法，把被除数37.8看成378，算出商是42，正确商是多少？ 【详解】 除数不变，被除数扩大10倍，商扩大10倍。 除数：378 ÷ 42 = 9 正确商：37.8 ÷ 9 = 4.2 【答案】 4.2 第5题 小虎计算小数除法，把除数0.7看成7，得到商是0.36，正确的商是多少？ 【详解】 被除数不变，除数扩大10倍，商缩小到原来1/10。 被除数：7 × 0.36 = 2.52 正确商：2.52 ÷ 0.7 = 3.6 【答案】 3.6 第6题 小军计算除法，把除数0.4看成4，算出商是0.62，正确商是多少？ 【详解】 被除数不变，除数扩大10倍，商缩小10倍。 被除数：4 × 0.62 = 2.48 正确商：2.48 ÷ 0.4 = 6.2 【答案】 6.2 第7题 玲玲做小数乘法，把因数6.2看成6.7，得到的积比正确积多4.15，正确积是多少？ 【详解】 因数相差：6.7 - 6.2 = 0.5 不变因数：4.15 ÷ 0.5 = 8.3 正确积：8.3 × 6.2 = 51.46 验算：8.3×6.7=55.61，55.61-51.46=4.15 【答案】 51.46 第8题 浩浩计算小数乘法，把因数3.7看成3.9，积比正确结果大2.4，正确积是多少？ 【详解】 因数相差：3.9 - 3.7 = 0.2 不变因数：2.4 ÷ 0.2 = 12 正确积：12 × 3.7 = 44.4 验算：12×3.9=46.8，46.8-44.4=2.4 【答案】 44.4 第9题 小轩做除法，除数不变，把被除数14.4错看成17.1，商比原来多0.3，正确商是多少？ 【详解】 被除数相差：17.1 - 14.4 = 2.7 除数：2.7 ÷ 0.3 = 9 正确商：14.4 ÷ 9 = 1.6 验算：17.1÷9=1.9，1.9-1.6=0.3 【答案】 1.6 第10题 小桐做除法，除数不变，把被除数30.8看成34.4，商比原来多0.4，正确商是多少？ 【详解】 被除数相差：34.4 - 30.8 = 3.6 除数：3.6 ÷ 0.4 = 9 正确商：30.8 ÷ 9 ≈ 3.422 验算：34.4÷9≈3.822，3.822-3.422=0.4 【答案】 ≈ 3.422 第11题 计算一道小数乘法，将一个因数1.8错看成180，得到积是936，求正确的积。 【详解】 1.8看成180，扩大180÷1.8=100倍，积扩大100倍。 不变因数：936 ÷ 180 = 5.2 正确积：5.2 × 1.8 = 9.36 【答案】 9.36 第12题 计算小数除法，把除数0.09看成0.9，得到商是1.2，正确商是多少？ 【详解】 被除数不变，除数扩大10倍，商缩小10倍。 被除数：0.9 × 1.2 = 1.08 正确商：1.08 ÷ 0.09 = 12 【答案】 12 第13题 做小数除法，把被除数8.45的小数点向右多看一位，看成84.5，除数不变，得到商是13，正确商是多少？ 【详解】 被除数扩大10倍，商扩大10倍。 除数：84.5 ÷ 13 = 6.5 正确商：8.45 ÷ 6.5 = 1.3 【答案】 1.3 第14题 做小数乘法，把因数7.1看成7.5，积比正确结果多3.4，正确积是多少？ 【详解】 因数差：7.5 - 7.1 = 0.4 不变因数：3.4 ÷ 0.4 = 8.5 正确积：8.5 × 7.1 = 60.35 验算：8.5×7.5=63.75，63.75-60.35=3.4 【答案】 60.35 第15题 一道除法题，除数不变，把被除数42.6看成36.6，商比原来少0.5，求正确的商。 【详解】 被除数减少：42.6 - 36.6 = 6 除数：6 ÷ 0.5 = 12 正确商：42.6 ÷ 12 = 3.55 验算：36.6÷12=3.05，3.55-3.05=0.5 【答案】 3.55 第16题 计算小数除法，把除数0.12看成1.2，算出商是0.45，正确商是多少？ 【详解】 被除数不变，除数扩大10倍，商缩小10倍。 被除数：1.2 × 0.45 = 0.54 正确商：0.54 ÷ 0.12 = 4.5 【答案】 4.5 第17题 小数乘法，把因数0.9看成9，得到错误积是61.2，正确积是多少？ 【详解】 因数扩大10倍，积扩大10倍。 不变因数：61.2 ÷ 9 = 6.8 正确积：6.8 × 0.9 = 6.12 【答案】 6.12 第18题 小数除法，把被除数5.12看成512，除数不变，商是160，正确商是多少？ 【详解】 被除数扩大100倍，商扩大100倍。 除数：512 ÷ 160 = 3.2 正确商：5.12 ÷ 3.2 = 1.6 【答案】 1.6 第19题 做乘法，把因数8.4看成8.1，积比正确结果少2.1，正确积是多少？ 【详解】 因数差：8.4 - 8.1 = 0.3 不变因数：2.1 ÷ 0.3 = 7 正确积：7 × 8.4 = 58.8 验算：7×8.1=56.7，58.8-56.7=2.1 【答案】 58.8 第20题 除法题，除数不变，被除数26.7看成22.2，商比原来少0.5，正确商是多少？ 【详解】 被除数差：26.7 - 22.2 = 4.5 除数：4.5 ÷ 0.5 = 9 正确商：26.7 ÷ 9 ≈ 2.967 验算：22.2÷9≈2.467，2.967-2.467=0.5 【答案】 ≈ 2.967 模拟赛场 【奥数题1】小晨计算一道小数乘法时，不小心把一个因数的小数点向右多看一位，另一个因数小数点向左多看一位，算出来积是15.6，求原来正确的积是多少？ 【详解】 一个因数×10，另一个因数÷10，积整体不变。 错误积 = 正确积，所以正确积就是15.6 【答案】 15.6 【奥数题2】小哲计算小数除法，把被除数的小数点向右多看一位，同时把除数的小数点向左多看一位，得到商是48.6，求正确的商。 【详解】 被除数右移一位：被除数×10；除数左移一位：除数÷10 变化后的商 = (被除数×10)÷(除数÷10) = 被除数÷除数 × 100 错误商是正确商的100倍 正确商：48.6 ÷ 100 = 0.486 【答案】 0.486 【奥数题3】一道小数乘法，两个因数一共是两位小数。小明计算时，把第一个因数小数点右移一位，第二个因数小数点也右移一位，得到错误积是307.2，求正确的积。 【详解】 第一个因数×10，第二个因数×10，积×100 错误积是正确积的100倍 正确积：307.2 ÷ 100 = 3.072 【答案】 3.072 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第4讲 错中求解 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 什么是错中求解 错中求解，就是在计算小数乘法、小数除法时，由于看错数字、看错小数点位置、看错运算符号、漏看0等原因，得到一个错误结果；我们根据错误的算式、错误的结果，反推正确的条件，再算出正确答案。 核心思路：抓住不变量，先求未知量，再算正确结果 2. 小数乘法错中求解规律 乘法关系式：因数 × 因数 = 积 两个因数，只要其中一个因数不变，另一个因数发生变化，积跟着发生相同变化： (1) 一个因数不变，另一个因数扩大到原来的a倍，积也扩大到原来的a倍； (2) 一个因数不变，另一个因数缩小到原来的，积也缩小到原来的； (3) 小数点移动变化： 1　 小数点向右移1位 → 扩大10倍；右移2位 → 扩大100倍 2　 小数点向左移1位 → 缩小到原来；左移2位 → 缩小到原来 易错提醒：小数乘法看错小数点，本质就是因数扩大/缩小，积同步变化；区分：是一个因数看错，还是两个因数都看错。 3. 小数除法错中求解规律 除法关系式：被除数 ÷ 除数 = 商 (1) 除数不变：被除数扩大a倍，商扩大a倍；被除数缩小到，商缩小到 (2) 被除数不变：除数扩大a倍，商反而缩小到；除数缩小到，商反而扩大a倍 高频题型：把被除数小数点看错、把除数小数点看错；除法一定要分清：谁是不变量！ 4. 错中求解通用解题步骤 步骤1：抄写错误算式，标出哪些量看错了、哪些量没有变化（不变量） 步骤2：利用错误算式和错误答案，先求出不变的那个数 步骤3：还原正确的数字，写出正确算式 步骤4：计算正确结果 5. 常见错误类型 类型 说明 类型1 看错一个因数的小数点（小数乘法） 类型2 看错被除数的小数点（小数除法） 类型3 看错除数的小数点（小数除法，最容易搞反倍数） 类型4 把小数乘法当成小数除法、符号看错 类型5 计算时积/商的小数点位置点错 例题讲解 【典型例题1】 小明在计算一道小数乘法题时，把其中一个因数4.2看成了42，结果得到的积是151.2。求正确的积是多少？ 【跟踪训练1】 小丽计算小数乘法，把因数3.5看成35，算出错误的积是98，正确的积是多少？ 【典型例题2】 小红计算一道小数除法题，把被除数25.6的小数点看漏了，当成256来除以除数，算出来商是16。原来正确的商是多少？ 【跟踪训练2】 小宇做小数除法，把被除数18.9看成了189（漏看小数点），得到商是21，正确的商是多少？ 【典型例题3】 小虎计算小数除法时，把除数0.6看成了6，得到商是0.7，求正确的商。 【跟踪训练3】 小军计算除法，把除数0.8看成8，算出商是0.45，正确商是多少？ 【典型例题4】 玲玲做小数乘法，把一个因数个位上的数字看错了：把因数5.3看成5.8，得到的积比正确结果多了3.25，求正确的积是多少？ 【跟踪训练4】 浩浩计算小数乘法，把因数4.6看成4.9，算出的积比正确积大1.8，正确积是多少？ 【典型例题5】 小轩在计算一道除法时，把被除数12.6错看成16.2，除数不变，这样商比原来多了0.6，求正确的商。 【跟踪训练5】 小桐做除法，除数不变，把被除数21.5看成24.5，商比原来多0.5，正确商是多少？ 提升练习 第1题 小明计算小数乘法，把因数2.6看成26，得到错误积是72.8，正确的积是多少？ 第2题 小丽计算小数乘法，把因数5.4看成54，算出错误积是129.6，正确积是多少？ 第3题 小宇做小数除法，把被除数15.2漏看小数点看成152，得到商是19，正确的商是多少？ 第4题 小红计算小数除法，把被除数37.8看成378，算出商是42，正确商是多少？ 第5题 小虎计算小数除法，把除数0.7看成7，得到商是0.36，正确的商是多少？ 第6题 小军计算除法，把除数0.4看成4，算出商是0.62，正确商是多少？ 第7题 玲玲做小数乘法，把因数6.2看成6.7，得到的积比正确积多4.15，正确积是多少？ 第8题 浩浩计算小数乘法，把因数3.7看成3.9，积比正确结果大2.4，正确积是多少？ 第9题 小轩做除法，除数不变，把被除数14.4错看成17.1，商比原来多0.3，正确商是多少？ 第10题 小桐做除法，除数不变，把被除数30.8看成34.4，商比原来多0.4，正确商是多少？ 第11题 计算一道小数乘法，将一个因数1.8错看成180，得到积是936，求正确的积。 第12题 计算小数除法，把除数0.09看成0.9，得到商是1.2，正确商是多少？ 第13题 做小数除法，把被除数8.45的小数点向右多看一位，看成84.5，除数不变，得到商是13，正确商是多少？ 第14题 做小数乘法，把因数7.1看成7.5，积比正确结果多3.4，正确积是多少？ 第15题 一道除法题，除数不变，把被除数42.6看成36.6，商比原来少0.5，求正确的商。 第16题 计算小数除法，把除数0.12看成1.2，算出商是0.45，正确商是多少？ 第17题 小数乘法，把因数0.9看成9，得到错误积是61.2，正确积是多少？ 第18题 小数除法，把被除数5.12看成512，除数不变，商是160，正确商是多少？ 第19题 做乘法，把因数8.4看成8.1，积比正确结果少2.1，正确积是多少？ 第20题 除法题，除数不变，被除数26.7看成22.2，商比原来少0.5，正确商是多少？ 模拟赛场 【奥数题1】小晨计算一道小数乘法时，不小心把一个因数的小数点向右多看一位，另一个因数小数点向左多看一位，算出来积是15.6，求原来正确的积是多少？ 【奥数题2】小哲计算小数除法，把被除数的小数点向右多看一位，同时把除数的小数点向左多看一位，得到商是48.6，求正确的商。 【奥数题3】一道小数乘法，两个因数一共是两位小数。小明计算时，把第一个因数小数点右移一位，第二个因数小数点也右移一位，得到错误积是307.2，求正确的积。 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $