奥数培优·第4讲 带余数的除法（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义·第4讲 带余数的除法 【前言】 华罗庚名人名言："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" 导入语：同学们，我们已经学过了整除的知识。但在生活中，很多时候除法是除不尽的，会有余数。比如：16个苹果平均分给3个小朋友，每人分5个，还剩1个。这"剩下的1个"就是余数。别小看余数，它能帮我们解决很多有趣的问题：分东西、找规律、算日期、解谜题…… 今天，让我们一起探索带余数的除法，发现余数的奥秘吧！ 【三维教学目标】 知识与技能： 理解带余数除法的概念，掌握被除数、除数、商、余数之间的关系 掌握余数的基本性质（余数小于除数） 能运用带余数除法的知识解决实际问题，包括中国剩余定理类问题 过程与方法： 通过观察、比较、归纳，总结出带余数除法的规律 经历解决实际问题的过程，培养分析问题和逻辑推理能力 体会数学与生活的密切联系，提高数学应用意识 情感态度与价值观： 感受数学的规律性和简洁美 培养严谨的逻辑思维能力 激发学习数学的兴趣和探索精神 【教学重难点】 重点： 带余数除法的基本概念和关系式 余数小于除数的性质 运用带余数除法解决实际问题 难点： 理解被除数、除数、商、余数之间的数量关系 灵活运用余数性质解决复杂问题 掌握中国剩余定理类问题的解题方法 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错点1：余数比除数大 很多同学计算时会出现余数比除数大的情况，比如17÷5=2……7，这是错误的！记住：余数一定小于除数！ ⚠️ 易错点2：公式记混 被除数=除数×商+余数，不要记成被除数=除数×商-余数，也不要把商和余数搞反了。 ⚠️ 易错点3："除"和"除以"搞不清 "一个数去除251"是用这个数做除数，251做被除数；"一个数除以251"才是用251做除数。"除"和"除以"正好相反！ “A除B” = B÷A（A是除数，B是被除数） “A除以B” = A÷B（A是被除数，B是除数） ⚠️ 易错点4：中国剩余定理盲目套公式 中国剩余定理类问题要先分析条件，看看有没有"余同"、"和同"、"差同"的情况，再选择合适的解法（逐步满足法或枚举法），不要盲目枚举，也不要死记硬背公式。 一、知识点总结 （一）基本概念 带余数除法的定义 一般地，如果a是整数，b是正整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a = b×q + r。 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。 带余除法又可以表示为：a÷b = q……r，0≤r＜b。 各部分名称 被除数：a（被除的数） 除数：b（除的数） 商：q（不完全商） 余数：r（剩下的数） （二）基本性质 性质1：余数必须小于除数，即0≤r＜b。 性质2：被除数 = 除数 × 商 + 余数，即a = b×q + r。 性质3：除数 = （被除数 - 余数）÷ 商，即b = (a - r) ÷ q。 性质4：商 = （被除数 - 余数）÷ 除数，即q = (a - r) ÷ b。 性质5：余数 = 被除数 - 除数 × 商，即r = a - b×q。 （三）同余的性质 如果两个整数a和b，除以同一个正整数m所得的余数相同，那么就称a和b对于模m同余。 性质1：如果a和b对于模m同余，那么a-b能被m整除。 性质2：如果a-b能被m整除，那么a和b对于模m同余。 性质3：如果a和b对于模m同余，b和c对于模m同余，那么a和c对于模m同余。（传递性） （四）解题方法 公式法：直接利用被除数=除数×商+余数的公式求解 枚举法：从小到大枚举，找出满足条件的数 逐步满足法：先满足一个条件，再满足第二个条件，直到满足所有条件 同余法：利用同余的性质，将余数问题转化为整除问题 二、经典例题 【例1 求除数】★★基础 【题目】 一个两位数去除251，得到的余数是41。求这个两位数。 【解题思路】 这是一道带余除法题，要求的数是大于41的两位数。解题可从带余除式入手分析。根据"被除数=除数×商+余数"，可以知道"被除数-余数=除数×商"，也就是251-41=210，210是除数和商的乘积。然后找出210的两位数因数，且这个因数要大于余数41。 【完整解析】 解：∵ 被除数 ÷ 除数 = 商……余数， 即 被除数 = 除数 × 商 + 余数， ∴ 251 = 除数 × 商 + 41， 251 - 41 = 除数 × 商， 210 = 除数 × 商。 又∵ 余数是41， ∴ 除数必须大于41（余数小于除数）。 210的两位数因数有：10、14、15、21、30、35、42、70。 其中大于41的有：42、70。 验证： 251 ÷ 42 = 5……41 ✅ 251 ÷ 70 = 3……41 ✅ 答：这个两位数是42或70。 【方法总结】 已知被除数和余数，求除数的方法： 1. 先算被除数-余数，得到除数和商的乘积 2. 找出这个乘积的所有因数 3. 根据"余数小于除数"，筛选出大于余数的因数 4. 根据题目要求（如两位数、三位数等），确定最终答案 【随堂小练1】 一个三位数去除1290，得到的余数是30。求这个三位数。 【例2 求被除数和除数】★★基础 【题目】 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16。被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 【解题思路】 这道题知道商和余数，还知道四个数的和，要求被除数和除数。我们可以设除数为x，那么被除数就是40x+16，然后根据四个数的和是933列出方程，求出除数，再求被除数。 【完整解析】 解：∵ 被除数 = 除数 × 商 + 余数， 即 被除数 = 除数 × 40 + 16。 设除数为x，则被除数为40x+16。 根据题意： 被除数 + 除数 + 商 + 余数 = 933 (40x + 16) + x + 40 + 16 = 933 41x + 72 = 933 41x = 933 - 72 41x = 861 x = 861 ÷ 41 x = 21 被除数 = 40 × 21 + 16 = 840 + 16 = 856 验证： 856 ÷ 21 = 40……16 ✅ 856 + 21 + 40 + 16 = 933 ✅ 答：被除数是856，除数是21。 【方法总结】 已知商、余数和四个数的和，求被除数和除数的方法： 1. 设除数为x，用含x的式子表示被除数（商×x+余数） 2. 根据"被除数+除数+商+余数=总和"列出方程 3. 解方程求出除数 4. 再求出被除数 【随堂小练2】 用一个自然数去除另一个整数，商是15，余数是10。被除数、除数、商、余数的和是323。求被除数和除数各是多少？ 【例3 余数的性质】★★提升 【题目】 两个数相除，商是12，余数是8。如果被除数和除数同时扩大到原来的4倍，商是多少？余数是多少？ 【解题思路】 这道题考查的是商不变的性质在带余数除法中的应用。我们知道，在整除的情况下，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变。但在带余数的除法中，商不变，但余数会跟着扩大相同的倍数。我们可以举个例子来验证。 【完整解析】 解：我们先举个例子： 假设除数是9，那么被除数 = 12×9 + 8 = 108 + 8 = 116 116 ÷ 9 = 12……8 ✅ 被除数和除数同时扩大4倍： 被除数：116 × 4 = 464 除数：9 × 4 = 36 464 ÷ 36 = 12……32 商还是12，余数变成了32，也就是8×4=32。 再举个例子验证： 假设除数是10，被除数 = 12×10 + 8 = 128 128 ÷ 10 = 12……8 ✅ 扩大4倍后： 被除数：128 × 4 = 512 除数：10 × 4 = 40 512 ÷ 40 = 12……32 商还是12，余数还是32。 规律：在带余数的除法中，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数也扩大相同的倍数。 答：商是12，余数是32。 【方法总结】 带余数除法的商不变性质： 被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变 但余数会跟着扩大（或缩小）相同的倍数 【记住】商不变，余数变。“缩小”时，需保证余数能被倍数整除，否则不能直接应用该性质（小学阶段一般只讨论“扩大”的情况）。 【随堂小练3】 两个数相除，商是8，余数是5。如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商是多少？余数是多少？ 三、拓展例题 【拓展1 中国剩余定理（余同）】★★★拔高 【题目】 一个数除以3余2，除以5余2，除以7余2，求适合此条件的最小数。 【解题思路】 这道题三个条件的余数都是2，属于"余同"的情况。也就是说，这个数减去2之后，就能同时被3、5、7整除。所以我们可以先求3、5、7的最小公倍数，再加上2，就是满足条件的最小数。 【完整解析】 解：分析题意： 一个数除以3余2 → 这个数 - 2 能被3整除 一个数除以5余2 → 这个数 - 2 能被5整除 一个数除以7余2 → 这个数 - 2 能被7整除 所以，这个数 - 2 是3、5、7的公倍数。 3、5、7的最小公倍数是：3×5×7 = 105 所以满足条件的最小数是：105 + 2 = 107 验证： 107 ÷ 3 = 35……2 ✅ 107 ÷ 5 = 21……2 ✅ 107 ÷ 7 = 15……2 ✅ 答：适合此条件的最小数是107。 【方法总结】 中国剩余定理之"余同加余"： 如果一个数除以几个不同的数，余数都相同 那么这个数 = 这几个数的最小公倍数 + 相同的余数 口诀：余同加余 【随堂小练4】 一个数除以4余1，除以6余1，除以9余1，求适合此条件的最小数。 【拓展2 中国剩余定理（逐步满足法）】★★★拔高 【题目】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。 【解题思路】 这道题的余数不都相同，不能直接用"余同加余"。我们可以用"逐步满足法"：先满足一个条件，再满足第二个条件，最后满足第三个条件。先找出"除以3余2，除以7余2"的数（这两个余同），再从中找出"除以5余3"的最小数。 【完整解析】 解：第一步，先找满足"除以3余2，除以7余2"的数。 这两个条件余数相同，都是2，所以： 3和7的最小公倍数是21 满足条件的数是：21 + 2 = 23，42 + 2 = 44，63 + 2 = 65，…… 第二步，从这些数中找满足"除以5余3"的数。 23 ÷ 5 = 4……3 ✅ 刚好满足！ 所以最小的数是23。 验证： 23 ÷ 3 = 7……2 ✅ 23 ÷ 5 = 4……3 ✅ 23 ÷ 7 = 3……2 ✅ 答：适合此条件的最小数是23。 【方法总结】 中国剩余定理之"逐步满足法"： 1. 先找出满足前两个条件的数（如果有"余同"、"和同"、"差同"可以先利用） 2. 再从这些数中找出满足第三个条件的数 3. 依次类推，直到满足所有条件 4. 找到的第一个数就是最小的 【随堂小练5】 一个数除以5余1，除以7余3，除以9余4，求适合此条件的最小数。 【拓展3 同余问题】★★★★挑战 【题目】 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。 【解题思路】 这道题考查的是同余的性质。如果两个数被同一个数除余数相同，那么这两个数的差就能被这个数整除。所以我们可以先算出每两个数的差，然后找出这些差的最大公约数，就是N的最大值。 【完整解析】 解：根据同余的性质： 如果a和b被N除余数相同，那么a-b能被N整除。 所以： 90 - 69 = 21，21能被N整除 125 - 90 = 35，35能被N整除 125 - 69 = 56，56能被N整除 也就是说，N是21、35、56的公约数。 要求N的最大值，就是求21、35、56的最大公约数。 21 = 3 × 7 35 = 5 × 7 56 = 8 × 7 最大公约数是7。 验证： 69 ÷ 7 = 9……6 ✅ 90 ÷ 7 = 12……6 ✅ 125 ÷ 7 = 17……6 ✅ 余数都是6，相同。 答：N的最大值是7。 【方法总结】 同余问题求除数的方法： 1. 算出每两个被除数的差 2. 求这些差的最大公约数 3. 这个最大公约数就是除数的最大值 4. 原理：同余的两个数，差能被除数整除 【随堂小练6】 135、216和300被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。 四、易错题专区 【易错题1 余数比除数大】 【题目】 计算：37 ÷ 5 = 6……7。（ ） 【错误解法】 √，因为5×6+7=37，所以是对的。 【错误分析】 这是最常见的错误！余数必须小于除数，7>5，说明商小了，还能再商1。 正确的应该是37÷5=7……2。 记住：余数一定要比除数小！ 【正确解法】 ×，37÷5=7……2，余数是2，不是7。 【避坑提醒】 做完带余数的除法，一定要检查：余数是不是比除数小？如果余数比除数大或者等于除数，说明商小了，还需要再调大。 【易错题2 "除"和"除以"搞反】 【题目】 5除125，商是多少？ 【错误解法】 5÷125=0.04，商是0.04。 【错误分析】 "除"和"除以"是不一样的！ "5除125"是用5去除125，也就是125÷5，不是5÷125。 "5除以125"才是5÷125。 记住："除"前面的是除数，后面的是被除数；"除以"前面的是被除数，后面的是除数。 【正确解法】 5除125就是125÷5=25，商是25。 【避坑提醒】 看到"除"和"除以"一定要小心： A除以B → A÷B A除B → B÷A A被B除 → A÷B （A是被除数，B是除数） 顺序正好相反！ 【易错题3 公式用错】 【题目】 一个数除以8，商是12，余数是5，求这个数。 【错误解法】 8×12-5=96-5=91，这个数是91。 【错误分析】 公式记错了！被除数=除数×商+余数，不是减余数。 可以这样理解：把被除数平均分成几份，每份是商，还剩余数，所以总数就是"每份×份数+剩下的"。 【正确解法】 被除数 = 除数 × 商 + 余数 = 8×12+5 = 96+5 = 101 答：这个数是101。 【避坑提醒】 带余除法公式：被除数 = 除数 × 商 + 余数 是"+"不是"-"！ 可以用简单的例子记：7÷3=2……1，7=3×2+1，没错。 五、趣味挑战题 【趣味挑战1 韩信点兵】 韩信是古代的大将军，他带兵有个特点，不直接数人数，而是让士兵排队。他先让士兵3人一排，结果多出2人；再让士兵5人一排，结果多出3人；又让士兵7人一排，结果多出2人。韩信马上就知道有多少士兵了。你知道韩信是怎么算的吗？如果士兵人数在1000~1100之间，你能算出有多少士兵吗？ 【趣味挑战2 日期推算】 今天是星期一，再过100天是星期几？再过200天呢？你能用带余数的除法快速算出来吗？ 【趣味挑战3 神奇的读心术】 魔术师对观众说："你随便想一个100以内的正整数，把它除以3，告诉我余数是多少；再除以5，告诉我余数是多少；再除以7，告诉我余数是多少。我就能猜出你想的数是多少！"你知道魔术师是怎么做到的吗？ 六、一题多解精选 【经典题】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。 【方法一：逐步满足法】 第一步，先找满足"除以3余2，除以7余2"的数。 3和7的最小公倍数是21，满足条件的数是21+2=23，42+2=44，…… 第二步，从这些数中找满足"除以5余3"的数。 23÷5=4……3，刚好满足！ 所以最小的数是23。 优点：思路清晰，容易理解 缺点：需要一步一步来 【方法二：枚举法】 除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…… 除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，…… 除以7余2的数：2，9，16，23，30，…… 三个都满足的最小数是23。 优点：简单直接，不容易错 缺点：数大的时候比较麻烦 【方法三：中国剩余定理公式法】 这道题可以用中国剩余定理的公式来算，不过对于小学生来说，逐步满足法就够了。 优点：计算快，适合大数 缺点：公式难记，容易用错 【老师点评】 三种方法各有优缺点。枚举法最直观，适合初学者；逐步满足法最常用，效率也比较高；公式法最快，但需要记忆公式。推荐大家掌握逐步满足法，这是最通用、最不容易错的方法。 七、基本练习（5道） 1. 一个两位数去除187，得到的余数是22。求这个两位数。 2. 两个数相除，商是15，余数是7。被除数、除数、商、余数的和是285。求被除数和除数各是多少？ 3. 两个数相除，商是9，余数是6。如果被除数和除数同时扩大到原来的5倍，商是多少？余数是多少？ 4. 一个数除以5余3，除以6余3，除以8余3，求适合此条件的最小数。 5. 判断：在带余数的除法中，余数是8，除数最小是7。（ ） 八、拓展练习（3道） 1. 一个数除以3余1，除以5余2，除以7余3，求适合此条件的最小数。 2. 有一筐苹果，每次拿3个，最后剩2个；每次拿5个，最后剩3个；每次拿7个，最后剩4个。这筐苹果至少有多少个？ 3. 157、234和311被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。 九、随堂小练答案 【随堂小练1】 解： 1290 - 30 = 1260 除数是1260的三位数因数，且大于30。 1260的三位数因数有：105、126、140、180、210、252、315、420、630； 答：这个三位数可能是105、126、140、180、210、252、315、420、630。（共9个） 【随堂小练2】 解： 设除数为x，则被除数为15x+10。 根据题意： (15x + 10) + x + 15 + 10 = 323 16x + 35 = 323 16x = 288 x = 18 被除数 = 15 × 18 + 10 = 270 + 10 = 280 验证： 280 ÷ 18 = 15……10 ✅ 280 + 18 + 15 + 10 = 323 ✅ 答：被除数是280，除数是18。 【随堂小练3】 解： 商不变，还是8。 余数扩大10倍，5×10=50。 答：商是8，余数是50。 【随堂小练4】 解： 4、6、9的最小公倍数是36。 36 + 1 = 37 验证： 37÷4=9……1 ✅ 37÷6=6……1 ✅ 37÷9=4……1 ✅ 答：适合此条件的最小数是37。 【随堂小练5】 解： 用逐步满足法。 先找满足"除以5余1，除以7余3"的数。 观察：5-1=4，7-3=4，差都是4，属于"差同"（除数与余数的差相同）。 5和7的最小公倍数是35。 满足条件的数是：35 - 4 = 31，70 - 4 = 66，105 - 4 = 101，…… 再找满足"除以9余4"的数。 31÷9=3……4 ✅ 刚好满足！ 所以最小的数是31。 验证： 31÷5=6……1 ✅ 31÷7=4……3 ✅ 31÷9=3……4 ✅ 答：适合此条件的最小数是31。 【随堂小练6】 解： 216 - 135 = 81 300 - 216 = 84 300 - 135 = 165 求81、84、165的最大公约数。 81 = 3×3×3×3 84 = 3×4×7 165 = 3×5×11 最大公约数是3。 验证： 135÷3=45……0 ✅ 216÷3=72……0 ✅ 300÷3=100……0 ✅ 余数都是0，相同。（余数为0也属于同余） 答：N的最大值是3。 十、基本练习答案 【第1题】 解： 187 - 22 = 165 除数是165的两位数因数，且大于22。 165的两位数因数有：11、15、33、55 其中大于22的有：33、55 验证： 187÷33=5……22 ✅ 187÷55=3……22 ✅ 答：这个两位数是33或55。 【第2题】 解： 设除数为x，则被除数为15x+7。 根据题意： (15x + 7) + x + 15 + 7 = 285 16x + 29 = 285 16x = 256 x = 16 被除数 = 15 × 16 + 7 = 240 + 7 = 247 验证： 247 ÷ 16 = 15……7 ✅ 247 + 16 + 15 + 7 = 285 ✅ 答：被除数是247，除数是16。 【第3题】 解： 商不变，还是9。 余数扩大5倍，6×5=30。 答：商是9，余数是30。 【第4题】 解： 5、6、8的最小公倍数是120。 120 + 3 = 123 验证： 123÷5=24……3 ✅ 123÷6=20……3 ✅ 123÷8=15……3 ✅ 答：适合此条件的最小数是123。 【第5题】 解： ×，余数是8，除数必须大于8，所以除数最小是9，不是7。 答：×。 十一、拓展练习答案 【第1题】 解： 用逐步满足法。 先找满足"除以3余1，除以5余2"的数。 除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，…… 除以5余2的数：2，7，12，17，…… 第一个同时满足的是7。 3和5的最小公倍数是15。 所以满足前两个条件的数是：7，22，37，52，…… 再找满足"除以7余3"的数。 7÷7=1……0 ❌ 22÷7=3……1 ❌ 37÷7=5……2 ❌ 52÷7=7……3 ✅ 所以最小的数是52。 验证： 52÷3=17……1 ✅ 52÷5=10……2 ✅ 52÷7=7……3 ✅ 答：适合此条件的最小数是52。 【第2题】 解： 这道题就是：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求最小数。 用逐步满足法。 先找满足"除以3余2，除以5余3"的数。 除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，…… 除以5余3的数：3，8，13，18，23，…… 第一个同时满足的是8。 3和5的最小公倍数是15。 所以满足前两个条件的数是：8，23，38，53，…… 再找满足"除以7余4"的数。 8÷7=1……1 ❌ 23÷7=3……2 ❌ 38÷7=5……3 ❌ 53÷7=7……4 ✅ 所以最小的数是53。 验证： 53÷3=17……2 ✅ 53÷5=10……3 ✅ 53÷7=7……4 ✅ 答：这筐苹果至少有53个。 【第3题】 解： 根据同余的性质： 234 - 157 = 77 311 - 234 = 77 311 - 157 = 154 N是77和154的公约数。 最大公约数是77。 验证： 157 ÷ 77 = 2……3 ✅ 234 ÷ 77 = 3……3 ✅ 311 ÷ 77 = 4……3 ✅ 余数都是3，相同。 答：N的最大值是77。 十二、本讲总结 （1） 思维导图速记 （2） （二）核心公式速查表 类型 公式 说明 基本公式 被除数=除数×商+余数 最核心的公式 求除数 除数=(被除数-余数)÷商 余数必须小于除数 求商 商=(被除数-余数)÷除数 求余数 余数=被除数-除数×商 余数<除数 商不变性质 同扩同缩，商不变，余数同变 余数跟着扩大/缩小 同余性质 a-b能被m整除 → a,b模m同余 反过来也成立 余同加余 最小公倍数+相同余数 余数都相同的情况 差同减差 最小公倍数-相同差 除数-余数都相同 （三）避坑清单 ❌ 坑1：余数比除数大 ✅ 正确：余数一定小于除数，做完要检查 ❌ 坑2："除"和"除以"搞反 ✅ 正确：A除B = B÷A，A除以B = A÷B ❌ 坑3：公式记错，用减号 ✅ 正确：被除数=除数×商+余数，是"+"不是"-" ❌ 坑4：商不变，余数也不变 ✅ 正确：商不变，余数会跟着扩大/缩小 ❌ 坑5：中国剩余定理盲目枚举 ✅ 正确：先看有没有余同、和同、差同，再用逐步满足法 （四）解题小口诀 带余除法很重要， 四个部分要记牢。 被除数等于除数乘商， 还要把那余数加。 余数一定比除数小， 这个性质要记好。 除和除以不一样， 顺序反了可不行。 中国剩余有妙招， 余同加余差同减。 逐步满足是个宝， 一步一步找答案。 同余问题怎么办？ 先求差来再求公。 带余除法用处多， 生活处处有数学！ 恭喜你完成了本讲的学习！你真棒！🎉 学科网（北京）股份有限公司 $