第5讲 周期问题（奥数培优讲义）-2026-2027学年五年级上册数学（人教版）

奥数培优讲义 第5讲 周期问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 周期问题定义 事物按照固定的规律，周而复始、重复不断出现，这类现象叫做周期现象；研究周期现象的数学问题，称为周期问题。 重复出现的一组内容，叫做一个周期；一个周期里面包含元素的个数，叫做周期长度。 常见周期：一周 7 天（周期 7）、四季（周期 4）、循环小数的循环节、图形排列、数列重复、积的个位尾数周期等。 2. 核心解题公式 (1) 余数 > 0：余数是几，结果就是一个周期里的第几个； (2) 余数 = 0（整除）：刚好排完整数组，结果就是一个周期里的最后一个。 3. 两大常考题型 题型①：求第 n 个是什么（位置问题） 解题步骤： (1) 观察排列，找出重复单元，确定周期长度； (2) 用总序号 ÷ 周期长度，算出商和余数； (3) 根据余数判断对应位置。 题型②：求前 n 个里面，某一类元素有多少个 / 前 n 个数字总和是多少 解题步骤： (1) 先算出完整周期有几组，余下几个元素； (2) 一组里面目标元素数量（或一组和）× 完整组数，再加上余下部分里面对应数量（或余下数字和）。 4. 三类高频周期场景 (1) 图形周期：△□○△□○……图形循环排列； (2) 数列、循环小数周期（本册重点，对接循环小数）：如 ，循环节 6 位； (3) 日期星期周期：星期 7 天一循环，注意算经过天数，分清"包含当天"还是"再过几天"。 5. 易错提醒（必记） 易错点 1：周期找错！一定要确认从第 1 个开始重复，不要把前面单独的数算进周期； 易错点 2：余数为 0，对应周期最后一个，不是第 0 个； 易错点 3：星期计算：起始日不算，算"再过多少天"； 易错点 4：循环小数：小数点后第一位才是循环节第一位，不要把整数部分算进去。 例题讲解 【典型例题 1】 有一串图形按规律排列： （1）第 38 个图形是什么？ （2）前 38 个图形里面，△ 一共有多少个？ 【跟踪训练 1】 一串图形排列： （1）第 50 个图形是什么？ （2）前 50 个图形里 △ 一共有多少个？ 【典型例题 2】 计算 ，它是循环小数，循环节为 285714。 （1）小数点后面第 45 位上的数字是几？ （2）小数点后前 45 位数字相加的和是多少？ 【跟踪训练 2】 已知 ，循环节是 027。 （1）小数点后面第 32 位数字是几？ （2）小数点后前 32 位数字之和是多少？ 【典型例题 3】 2026 年 10 月 23 日是星期五，请问：2026 年 11 月 10 日是星期几？ 【跟踪训练 3】 2026 年 9 月 5 日是星期六，请问：2026 年 9 月 28 日是星期几？ 【典型例题 4】 求 的个位数字是几？（ 代表 99 个 3 相乘） 【跟踪训练 4】 求 的个位数字是几？ 提升练习 第 1 题 有一串图形按规律排列：○△□○△□○△□……，第 32 个图形是什么？ 第 2 题 一串图形按规律排列：☆△△○☆△△○……，前 40 个图形中 △ 一共有多少个？ 第 3 题 一串数字：2、3、5、2、3、5、2、3、5……，第 48 个数字是几？ 第 4 题 一串数字：1、2、3、4、1、2、3、4……，前 50 个数字的和是多少？ 第 5 题 循环小数 0.327327327……（循环节是 327），小数点后第 20 位上的数字是几？ 第 6 题 循环小数 0.618618618……（循环节是 618），小数点后前 30 位数字之和是多少？ 第 7 题 2026 年 11 月 1 日是星期日，那么 2026 年 12 月 1 日是星期几？（11 月有 30 天） 第 8 题 今天是星期六，再过 32 天是星期几？ 第 9 题 求 的个位数字。 第 10 题 求 的个位数字。 第 11 题 生肖每 12 年轮回一次。已知 2026 年是马年，那么 2050 年是什么年？ 第 12 题 一串珠子按"红、黄、蓝、绿"4 种颜色循环排列，第 67 颗珠子是什么颜色？ 第 13 题 街道两侧挂灯笼，按"红、红、黄、黄、绿"5 个一组的规律排列，前 200 个灯笼中红色灯笼有多少个？ 第 14 题 同学们围成一圈报数，从 1 开始按 1、2、3 循环报数，报到第 35 个数时，报的是几？ 第 15 题 图形按 △、□、○、□ 循环排列，规定 △＝1、□＝2、○＝3，前 20 个图形对应数字的总和是多少？ 第 16 题 一串字母按规律排列：A、B、C、D、E、D、C、B、A、B、C、D、E、D、C、B……，第 100 个字母是什么？ 第 17 题 2016 个图形按"★、☆"两个一组循环排列，最后一个图形是什么？ 第 18 题 2026 年 3 月 8 日是星期日，那么 2026 年 4 月 8 日是星期几？（3 月有 31 天） 第 19 题 一串数：1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、2、3、4、5、6、7、8、9……，第 56 个数是几？ 第 20 题 一列数：3、6、9、3、6、9、3、6、9……，前 34 个数的和是多少？ 模拟赛场 【奥数题1】已知 ，循环节是 076923。 （1）小数点后第 2015 位上的数字是几？ （2）小数点后前 2015 位数字之和是多少？ 【奥数题2】今天是星期六。从今天起（包括今天）数到第 2026 天，这一天是星期几？ 【奥数题3】已知 ，循环节是 0588235294117647（共 16 位）。小数点后第 2026 位上的数字是几？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第5讲 周期问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 周期问题定义 事物按照固定的规律，周而复始、重复不断出现，这类现象叫做周期现象；研究周期现象的数学问题，称为周期问题。 重复出现的一组内容，叫做一个周期；一个周期里面包含元素的个数，叫做周期长度。 常见周期：一周 7 天（周期 7）、四季（周期 4）、循环小数的循环节、图形排列、数列重复、积的个位尾数周期等。 2. 核心解题公式 (1) 余数 > 0：余数是几，结果就是一个周期里的第几个； (2) 余数 = 0（整除）：刚好排完整数组，结果就是一个周期里的最后一个。 3. 两大常考题型 题型①：求第 n 个是什么（位置问题） 解题步骤： (1) 观察排列，找出重复单元，确定周期长度； (2) 用总序号 ÷ 周期长度，算出商和余数； (3) 根据余数判断对应位置。 题型②：求前 n 个里面，某一类元素有多少个 / 前 n 个数字总和是多少 解题步骤： (1) 先算出完整周期有几组，余下几个元素； (2) 一组里面目标元素数量（或一组和）× 完整组数，再加上余下部分里面对应数量（或余下数字和）。 4. 三类高频周期场景 (1) 图形周期：△□○△□○……图形循环排列； (2) 数列、循环小数周期（本册重点，对接循环小数）：如 ，循环节 6 位； (3) 日期星期周期：星期 7 天一循环，注意算经过天数，分清"包含当天"还是"再过几天"。 5. 易错提醒（必记） 易错点 1：周期找错！一定要确认从第 1 个开始重复，不要把前面单独的数算进周期； 易错点 2：余数为 0，对应周期最后一个，不是第 0 个； 易错点 3：星期计算：起始日不算，算"再过多少天"； 易错点 4：循环小数：小数点后第一位才是循环节第一位，不要把整数部分算进去。 例题讲解 【典型例题 1】 有一串图形按规律排列： （1）第 38 个图形是什么？ （2）前 38 个图形里面，△ 一共有多少个？ 【详解】 观察： 4 个图形重复，周期长度 = 4。 （1）（组）（个） 余数是 2，对应周期里第 2 个图形：□。 （2）每组里面 △ 有 1 个；9 组共有： 个； 余下 2 个图形：△、□，里面还有 1 个 △； △ 总数：（个）。 【答案】（1）第 38 个图形是 □；（2）△ 一共有 10 个。 【跟踪训练 1】 一串图形排列： （1）第 50 个图形是什么？ （2）前 50 个图形里 △ 一共有多少个？ 【详解】 周期：，周期长度 = 4。 （1）（组）（个） 余数 2，对应周期第 2 个：△。 （2）每组 △ 有 2 个；12 组： 个； 余下 2 个：□、△，含 △ 1 个； △ 总数：（个）。 【答案】（1）第 50 个图形是 △；（2）△ 一共有 25 个。 【典型例题 2】 计算 ，它是循环小数，循环节为 285714。 （1）小数点后面第 45 位上的数字是几？ （2）小数点后前 45 位数字相加的和是多少？ 【详解】 循环节：2、8、5、7、1、4，周期长度 = 6；一组数字和：。 （1）（组）（个） 余数 3，对应循环节第 3 位：5。 （2）7 组总和：； 余下 3 个数字：2、8、5，和：； 全部总和：。 【答案】（1）小数点后第 45 位数字是 5；（2）前 45 位数字和为 204。 【跟踪训练 2】 已知 ，循环节是 027。 （1）小数点后面第 32 位数字是几？ （2）小数点后前 32 位数字之和是多少？ 【详解】 循环节：0、2、7，周期长度 = 3；一组和：。 （1）（组）（个） 余数 2，对应循环节第 2 位：2。 （2）10 组总和：； 余下 2 个数字：0、2，和：； 总和：。 【答案】（1）小数点后第 32 位数字是 2；（2）前 32 位数字和为 92。 【典型例题 3】 2026 年 10 月 23 日是星期五，请问：2026 年 11 月 10 日是星期几？ 【详解】 第一步：算总天数。10 月有 31 天，10 月 23 日到 10 月 31 日： 天； 再加上 11 月 1 日～11 月 10 日共 10 天； 一共经过天数： 天（周期：星期 7 天）。 （周）（天）。 从星期五往后数 4 天：星期五 → 星期六 → 星期日 → 星期一 → 星期二。 【答案】2026 年 11 月 10 日是星期二。 【跟踪训练 3】 2026 年 9 月 5 日是星期六，请问：2026 年 9 月 28 日是星期几？ 【详解】 经过天数： 天，周期 7 天。 （周）（天）。 星期六往后数 2 天：星期六 → 星期日 → 星期一。 【答案】2026 年 9 月 28 日是星期一。 【典型例题 4】 求 的个位数字是几？（ 代表 99 个 3 相乘） 【详解】 先找 3 相乘的个位规律： ，个位 3；，个位 9；，个位 7；，个位 1；，个位 3； 个位循环：3、9、7、1，周期长度 = 4。 （组）（个） 余数 3，对应周期第 3 个：7。 【答案】个位数字是 7。 【跟踪训练 4】 求 的个位数字是几？ 【详解】 找 7 相乘个位规律： ，个位 7；，个位 9；，个位 3；，个位 1；，个位 7； 个位循环：7、9、3、1，周期长度 = 4。 （组），余数 0，取周期最后一个：1。 【答案】个位数字是 1。 提升练习 第 1 题 有一串图形按规律排列：○△□○△□○△□……，第 32 个图形是什么？ 【详解】图形按 ○、△、□ 循环，周期长度 = 3。（组）……2（个），余数 2 对应周期第 2 个：△。 【答案】第 32 个图形是 △。 第 2 题 一串图形按规律排列：☆△△○☆△△○……，前 40 个图形中 △ 一共有多少个？ 【详解】周期：☆、△、△、○，长度 = 4，每组有 2 个 △。（组），正好排完整。（个）。 【答案】△ 一共有 20 个。 第 3 题 一串数字：2、3、5、2、3、5、2、3、5……，第 48 个数字是几？ 【详解】数字按 2、3、5 循环，周期长度 = 3。（组），整除取周期最后一个数字：5。 【答案】第 48 个数字是 5。 第 4 题 一串数字：1、2、3、4、1、2、3、4……，前 50 个数字的和是多少？ 【详解】周期：1、2、3、4，长度 = 4，一组和 = 。（组）……2（个），。 【答案】前 50 个数字的和是 123。 第 5 题 循环小数 0.327327327……（循环节是 327），小数点后第 20 位上的数字是几？ 【详解】循环节 3、2、7，周期长度 = 3。（组）……2（个），余数 2 对应循环节第 2 位：2。 【答案】第 20 位上的数字是 2。 第 6 题 循环小数 0.618618618……（循环节是 618），小数点后前 30 位数字之和是多少？ 【详解】循环节 6、1、8，长度 = 3，一组和 = 。（组），。 【答案】前 30 位数字之和是 150。 第 7 题 2026 年 11 月 1 日是星期日，那么 2026 年 12 月 1 日是星期几？（11 月有 30 天） 【详解】从 11 月 1 日到 12 月 1 日经过 30 天。（周）……2（天），星期日往后数 2 天：星期日 → 星期一 → 星期二。 【答案】2026 年 12 月 1 日是星期二。 第 8 题 今天是星期六，再过 32 天是星期几？ 【详解】星期 7 天一循环。（周）……4（天），星期六往后数 4 天：六 → 日 → 一 → 二 → 三。 【答案】再过 32 天是星期三。 第 9 题 求 的个位数字。 【详解】、、、、……个位按 2、4、8、6 循环，周期 = 4。（组），整除取周期最后一个：6。 【答案】 的个位数字是 6。 第 10 题 求 的个位数字。 【详解】、、、……个位按 8、4、2、6 循环，周期 = 4。（组）……1（个），余数 1 对应周期第 1 个：8。 【答案】 的个位数字是 8。 第 11 题 生肖每 12 年轮回一次。已知 2026 年是马年，那么 2050 年是什么年？ 【详解】2050 − 2026 = 24（年），（组），整除，与 2026 年相同：马年。 【答案】2050 年是马年。 第 12 题 一串珠子按"红、黄、蓝、绿"4 种颜色循环排列，第 67 颗珠子是什么颜色？ 【详解】周期：红、黄、蓝、绿，长度 = 4。（组）……3（个），余数 3 对应周期第 3 个：蓝。 【答案】第 67 颗珠子是蓝色。 第 13 题 街道两侧挂灯笼，按"红、红、黄、黄、绿"5 个一组的规律排列，前 200 个灯笼中红色灯笼有多少个？ 【详解】周期：红、红、黄、黄、绿，长度 = 5，每组有 2 个红色。（组），（个）。 【答案】红色灯笼有 80 个。 第 14 题 同学们围成一圈报数，从 1 开始按 1、2、3 循环报数，报到第 35 个数时，报的是几？ 【详解】周期：1、2、3，长度 = 3。（组）……2（个），余数 2 对应报数：2。 【答案】报到第 35 个数时是 2。 第 15 题 图形按 △、□、○、□ 循环排列，规定 △＝1、□＝2、○＝3，前 20 个图形对应数字的总和是多少？ 【详解】周期：△、□、○、□，对应数字 1、2、3、2，长度 = 4，一组和 = 。（组），。 【答案】前 20 个图形对应数字的总和是 40。 第 16 题 一串字母按规律排列：A、B、C、D、E、D、C、B、A、B、C、D、E、D、C、B……，第 100 个字母是什么？ 【详解】字母按 A、B、C、D、E、D、C、B 循环，长度 = 8。（组）……4（个），余数 4 对应周期第 4 个字母：D。 【答案】第 100 个字母是 D。 第 17 题 2016 个图形按"★、☆"两个一组循环排列，最后一个图形是什么？ 【详解】周期：★、☆，长度 = 2。（组），整除取周期最后一个：☆。 【答案】最后一个图形是 ☆。 第 18 题 2026 年 3 月 8 日是星期日，那么 2026 年 4 月 8 日是星期几？（3 月有 31 天） 【详解】从 3 月 8 日到 4 月 8 日经过 31 天。（周）……3（天），星期日往后数 3 天：日 → 一 → 二 → 三。 【答案】2026 年 4 月 8 日是星期三。 第 19 题 一串数：1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、2、3、4、5、6、7、8、9……，第 56 个数是几？ 【详解】数字按 1～9 循环，周期长度 = 9。（组）……2（个），余数 2 对应周期第 2 个数：2。 【答案】第 56 个数是 2。 第 20 题 一列数：3、6、9、3、6、9、3、6、9……，前 34 个数的和是多少？ 【详解】周期：3、6、9，长度 = 3，一组和 = 。（组）……1（个），。 【答案】前 34 个数的和是 201。 模拟赛场 【奥数题1】已知 ，循环节是 076923。 （1）小数点后第 2015 位上的数字是几？ （2）小数点后前 2015 位数字之和是多少？ 【详解】循环节 0、7、6、9、2、3，长度 = 6，一组和 = 。 （1）（组）……5（个），余数 5 对应循环节第 5 位：2。 （2）335 组总和：；余下 5 个数字 0、7、6、9、2 的和 = ；全部总和 = 。 【答案】（1）第 2015 位上的数字是 2；（2）前 2015 位数字之和是 9069。 【奥数题2】今天是星期六。从今天起（包括今天）数到第 2026 天，这一天是星期几？ 【详解】"包括今天"第 1 天是星期六，则第 2026 天从星期六起经过 2026 − 1 = 2025 天。（周）……2（天），星期六往后数 2 天：六 → 日 → 一。 【答案】这一天是星期一。 【奥数题3】已知 ，循环节是 0588235294117647（共 16 位）。小数点后第 2026 位上的数字是几？ 【详解】循环节 0、5、8、8、2、3、5、2、9、4、1、1、7、6、4、7，长度 = 16。（组）……10（个），余数 10 对应循环节第 10 位：4。 【答案】小数点后第 2026 位上的数字是 4。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $