第9讲 可能性进阶（奥数培优讲义）-2026-2027学年五年级上册数学（人教版）

奥数培优讲义 第9讲 可能性进阶 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 事件分类 （1）确定事件：结果固定，可以提前预知。 1　 必然事件：一定发生，可能性 = （或）。例：太阳从东方升起。 2　 不可能事件：一定不发生，可能性 = 。例：掷一枚普通骰子，点数是7。 （2）不确定事件（随机事件）：可能发生、也可能不发生，可能性在 之间，用分数表示。 2. 古典概型核心公式（本讲重点） 使用前提：每一种结果出现的机会相等（等可能性）。 关键步骤： (1) 枚举 / 算出一共有多少种等可能结果（总情况）； (2) 找出满足题目要求的结果有多少种（符合条件情况）； (3) 用分数化简，得到可能性大小。 课本基础：只凭数量多少比较可能性大小；奥数进阶：会枚举所有情况，用分数精确计算可能性、判断游戏公平性、放回与不放回摸球、组合摸多个球。 3. 摸球两类模型（高频易错） (1) 有放回摸球：摸完一个，放回去摇匀，前后两次摸球互不影响，总数量不变。 (2) 无放回摸球：摸出不放回，总数变少，下一次的总情况数跟着改变。 4. 游戏公平性判断规则 (1) 游戏公平：双方获胜的可能性大小相等； (2) 游戏不公平：双方获胜的可能性大小不相等； (3) 修改方案思路：调整规则，让两人获胜对应的情况数量一样。 5. 枚举法（本讲核心解题方法） 有序列举，做到不重复、不遗漏。常用：列表法、连线法。掷两枚骰子、摸两个球、抽卡片优先用枚举。 6. 重要易错提醒 (1) 可能性大小 ≠ 一定会发生。可能性大只是机会多，不代表本次一定赢；可能性小也不代表一定不发生。 (2) 区分"摸一个"和"一次摸两个"：一次摸两个属于组合，不分先后；先后不放回摸两个，很多题目和一次摸两个结果一致。 (3) 分数结果一定要化成最简分数。 例题讲解 典型例题1 盒子里有除颜色外完全相同的4个红球，2个白球。从中任意摸出1个球。 （1）摸到红球的可能性是多少？ （2）摸到白球的可能性是多少？ 【详解】 总球数： 个，一共6种等可能结果。 （1）红球4个，符合条件4种：摸到红球可能性 （2）白球2个，符合条件2种：摸到白球可能性 【答案】（1）；（2） 跟踪训练1 袋子里有5个黑球，3个灰球，球大小质地一样。任意摸1个球。 （1）摸到黑球的可能性是几分之几？ （2）摸到灰球的可能性是几分之几？ 【详解】 总数量：，一共8种等可能结果。 （1）黑球5个：摸到黑球可能性 （2）灰球3个：摸到灰球可能性 【答案】（1）；（2） 典型例题2 同时掷两枚质地均匀的骰子（骰子点数1~6），两枚点数之和等于7的可能性是多少？ 【详解】 先枚举全部等可能情况：第一枚6种，第二枚6种，总情况： 种。 点数和为7的组合：，一共6种。 可能性： 【答案】 跟踪训练2 同时掷两枚骰子，点数之和等于8的可能性是多少？ 【详解】 总情况： 种。 和为8：，一共5种。 可能性： 【答案】 典型例题3 盒子里有3个红球、2个白球，除颜色外完全相同。一次同时摸出2个球，求摸到1红1白的可能性。 【详解】 标记红球：红₁、红₂、红₃；白球：白₁、白₂。 一次摸2个，全部组合枚举（不分先后）： 红₁红₂、红₁红₃、红₁白₁、红₁白₂、红₂红₃、红₂白₁、红₂白₂、红₃白₁、红₃白₂、白₁白₂，共10种。 1红1白的情况：红₁白₁、红₁白₂、红₂白₁、红₂白₂、红₃白₁、红₃白₂，共6种。 可能性： 【答案】 跟踪训练3 盒子里面有2个红球、2个黄球，一次摸出2个球，摸到两个颜色相同的可能性是多少？ 【详解】 标记红₁、红₂、黄₁、黄₂。 全部组合：红₁红₂、红₁黄₁、红₁黄₂、红₂黄₁、红₂黄₂、黄₁黄₂，共6种。 同色：红₁红₂、黄₁黄₂，共2种。 可能性： 【答案】 典型例题4 小明和小亮玩游戏：掷一枚骰子，如果朝上点数大于3，小明赢；点数小于3，小亮赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请修改规则使其公平。 【详解】 骰子点数：1、2、3、4、5、6，一共6种等可能。 大于3：4、5、6 → 3种，小明获胜可能性 小于3：1、2 → 2种，小亮获胜可能性 ，可能性不相等，游戏不公平。 修改方案示例：点数是奇数小明赢，点数是偶数小亮赢（各3种，可能性相等）。 【答案】不公平；修改示例：掷骰子，奇数小明胜，偶数小亮胜（方案不唯一）。 跟踪训练4 两人玩抽卡片游戏，卡片数字：1、2、3、4。任意抽一张，抽到大于2的数甲赢，抽到小于等于2的数乙赢。判断游戏是否公平。 【详解】 总情况4种：1、2、3、4。 大于2：3、4，共2种，甲可能性 小于等于2：1、2，共2种，乙可能性 可能性相等，游戏公平。 【答案】公平。 典型例题5 盒子里有4个红球、1个蓝球，球大小质地一样。无放回先后摸两次，已知第一次摸到红球，求第二次摸到蓝球的可能性是多少？ 【详解】 无放回，第一次摸走1个红球，剩下：3红、1蓝，剩余总数4个。 第二次摸蓝球，符合条件1种，总4种。 可能性： 【答案】 跟踪训练5 袋子里有5个白球、2个绿球，不放回摸两次，已知第一次摸到绿球，求第二次摸到绿球的可能性是多少？ 【详解】 第一次拿走1个绿球，剩下：5白、1绿，总数量 个。 绿球剩1个，可能性： 【答案】 提升练习 第1题 袋子里有7个红球、5个黄球，球除颜色外完全相同。任意摸出1个球，摸到红球的可能性是多少？ 【详解】 总球数： 个，共12种等可能结果。 红球7个，符合条件7种：可能性 （已是最简分数）。 【答案】 第2题 一个圆形转盘被平均分成8等份，其中红色占3份、蓝色占2份、绿色占3份。转动指针，指针停在红色区域的可能性是多少？ 【详解】 转盘共8等份，指针停在哪一份机会都相等，共8种结果。 红色占3份，符合条件3种：可能性 。 【答案】 第3题 从写有数字1、2、3、4、5、6、7、8、9的九张卡片中任意抽出一张，抽到奇数的可能性是多少？ 【详解】 9张卡片，共9种等可能结果。 奇数有：1、3、5、7、9，共5个：可能性 。 【答案】 第4题 从写有数字1～9的九张卡片中任意抽出一张，抽到质数的可能性是多少？ 【详解】 9张卡片，共9种等可能结果。 质数有：2、3、5、7，共4个：可能性 。 【答案】 第5题 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于2的可能性是多少？ 【详解】 骰子点数1、2、3、4、5、6，共6种等可能。 大于2的点数有：3、4、5、6，共4种：可能性 。 【答案】 第6题 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是3的倍数的可能性是多少？ 【详解】 骰子共6种等可能结果。 3的倍数有：3、6，共2种：可能性 。 【答案】 第7题 盒子里有5个红球、2个黑球、3个白球，球除颜色外完全相同。任意摸出1个球，摸到红球和摸到白球哪种可能性更大？ 【详解】 总球数： 个，共10种等可能。 摸到红球：；摸到白球：。 因为 ，所以摸到红球的可能性更大。 【答案】摸到红球的可能性更大（红球，白球）。 第8题 盒子里有4个红球、6个蓝球，球除颜色外完全相同。无放回地先后摸两次，第一次摸到红球后，第二次摸到蓝球的可能性是多少？ 【详解】 无放回，第一次摸走1个红球，剩下：3红、6蓝，剩余总数 个。 蓝球6个，第二次摸到蓝球可能性：。 【答案】 第9题 同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚点数之和是偶数的可能性是多少？ 【详解】 总情况： 种。 两枚点数同奇或同偶时和为偶数。同奇： 种；同偶： 种，共 种。 可能性：。 【答案】 第10题 同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚点数相同的可能性是多少？ 【详解】 总情况： 种。 两枚点数相同有：(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)，共6种。 可能性：。 【答案】 第11题 盒子里有3个红球、4个绿球，球除颜色外完全相同。一次同时摸出2个球，两个球都是红球的可能性是多少？ 【详解】 标记3个红球为红₁、红₂、红₃，4个绿球为绿₁～绿₄，共7个球。 一次摸2个的总组合数： 种。 两个都是红球：红₁红₂、红₁红₃、红₂红₃，共3种。 可能性：。 【答案】 第12题 盒子里有2个红球、3个蓝球，球除颜色外完全相同。一次同时摸出2个球，恰好摸到1红1蓝的可能性是多少？ 【详解】 共5个球，一次摸2个的总组合数： 种。 1红1蓝：2个红球中取1个、3个蓝球中取1个，共 种。 可能性：。 【答案】 第13题 从写有数字1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽一张，抽到大于4的数甲赢，抽到小于4的数乙赢，其余情况没人赢。这个游戏公平吗？为什么？ 【详解】 6张卡片，共6种等可能结果。 大于4的有5、6，共2种，甲赢可能性 。 小于4的有1、2、3，共3种，乙赢可能性 。 ，可能性不相等，游戏不公平。 【答案】不公平。甲赢可能性，乙赢可能性，不相等。 第14题 从写有数字1～10的十张卡片中任意抽一张，抽到质数甲赢，抽到合数乙赢，其余情况重抽。判断这个游戏是否公平。 【详解】 10张卡片，共10种等可能结果。 质数有2、3、5、7，共4个，甲赢可能性 。 合数有4、6、8、9、10，共5个，乙赢可能性 。 ，可能性不相等，游戏不公平（1既不是质数也不是合数）。 【答案】不公平。甲赢，乙赢，不相等。 第15题 袋子里有5个白球、3个黑球，球除颜色外完全相同。有放回地连续摸两次，两次都摸到白球的可能性是多少？ 【详解】 有放回，每次总数都是8个，每次摸到白球的可能性都是 。 两次都摸到白球：。 【答案】 第16题 盒子里有4个红球、2个蓝球，球除颜色外完全相同。有放回地连续摸两次，第一次摸到红球、第二次摸到蓝球的可能性是多少？ 【详解】 有放回，每次总数都是6个。 第一次摸红球：；第二次摸蓝球：。 两次合起来：。 【答案】 第17题 同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚点数之和等于9的可能性是多少？ 【详解】 总情况： 种。 和为9的有：(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)，共4种。 可能性：。 【答案】 第18题 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，三枚都正面朝上的可能性是多少？ 【详解】 每枚硬币正面朝上的可能性都是 。 三枚都正面朝上：。 【答案】 第19题 盒子里有6个红球、4个白球，球除颜色外完全相同。无放回地先后摸两次，两次都摸到红球的可能性是多少？ 【详解】 无放回，第一次从10个中摸到红球：。 第二次还剩5红、4白，共9个，摸到红球：。 两次都红：。 【答案】 第20题 一个圆形转盘被平均分成4等份，其中A区域占1份。转动转盘两次，两次指针都停在A区域的可能性是多少？ 【详解】 每次指针停在A区域的可能性都是 。 两次都停在A区域：。 【答案】 模拟赛场 【奥数题1】袋子里有3个红球、2个黄球、1个蓝球，球除颜色外完全相同。无放回地依次摸出3个球，摸出的3个球颜色互不相同的可能性是多少？ 【详解】 共6个球，一次摸3个的总情况数： 种。 3个球颜色互不相同，必须红、黄、蓝各取1个： 红3种、黄2种、蓝1种，共 种。 可能性：。 【答案】 【奥数题2】同时抛掷三枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数互不相同的可能性是多少？ 【详解】 总情况数： 种。 三枚点数互不相同：第一枚6种，第二枚不能与第一枚相同剩5种，第三枚不能与前两枚相同剩4种，共 种。 可能性：。 【答案】 【奥数题3】有10张卡片，分别写着数字1～10。任意抽出3张，抽到的3个数字中最大的数是8的可能性是多少？ 【详解】 从10张卡片中抽3张，总情况数： 种。 最大数是8：必须抽到8，另外2张只能从1～7中选，即 种。 可能性：。 【答案】 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第9讲 可能性进阶 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 事件分类 （1）确定事件：结果固定，可以提前预知。 1　 必然事件：一定发生，可能性 = （或）。例：太阳从东方升起。 2　 不可能事件：一定不发生，可能性 = 。例：掷一枚普通骰子，点数是7。 （2）不确定事件（随机事件）：可能发生、也可能不发生，可能性在 之间，用分数表示。 2. 古典概型核心公式（本讲重点） 使用前提：每一种结果出现的机会相等（等可能性）。 关键步骤： (1) 枚举 / 算出一共有多少种等可能结果（总情况）； (2) 找出满足题目要求的结果有多少种（符合条件情况）； (3) 用分数化简，得到可能性大小。 课本基础：只凭数量多少比较可能性大小；奥数进阶：会枚举所有情况，用分数精确计算可能性、判断游戏公平性、放回与不放回摸球、组合摸多个球。 3. 摸球两类模型（高频易错） (1) 有放回摸球：摸完一个，放回去摇匀，前后两次摸球互不影响，总数量不变。 (2) 无放回摸球：摸出不放回，总数变少，下一次的总情况数跟着改变。 4. 游戏公平性判断规则 (1) 游戏公平：双方获胜的可能性大小相等； (2) 游戏不公平：双方获胜的可能性大小不相等； (3) 修改方案思路：调整规则，让两人获胜对应的情况数量一样。 5. 枚举法（本讲核心解题方法） 有序列举，做到不重复、不遗漏。常用：列表法、连线法。掷两枚骰子、摸两个球、抽卡片优先用枚举。 6. 重要易错提醒 (1) 可能性大小 ≠ 一定会发生。可能性大只是机会多，不代表本次一定赢；可能性小也不代表一定不发生。 (2) 区分"摸一个"和"一次摸两个"：一次摸两个属于组合，不分先后；先后不放回摸两个，很多题目和一次摸两个结果一致。 (3) 分数结果一定要化成最简分数。 例题讲解 典型例题1 盒子里有除颜色外完全相同的4个红球，2个白球。从中任意摸出1个球。 （1）摸到红球的可能性是多少？ （2）摸到白球的可能性是多少？ 跟踪训练1 袋子里有5个黑球，3个灰球，球大小质地一样。任意摸1个球。 （1）摸到黑球的可能性是几分之几？ （2）摸到灰球的可能性是几分之几？ 典型例题2 同时掷两枚质地均匀的骰子（骰子点数1~6），两枚点数之和等于7的可能性是多少？ 跟踪训练2 同时掷两枚骰子，点数之和等于8的可能性是多少？ 典型例题3 盒子里有3个红球、2个白球，除颜色外完全相同。一次同时摸出2个球，求摸到1红1白的可能性。 跟踪训练3 盒子里面有2个红球、2个黄球，一次摸出2个球，摸到两个颜色相同的可能性是多少？ 典型例题4 小明和小亮玩游戏：掷一枚骰子，如果朝上点数大于3，小明赢；点数小于3，小亮赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请修改规则使其公平。 跟踪训练4 两人玩抽卡片游戏，卡片数字：1、2、3、4。任意抽一张，抽到大于2的数甲赢，抽到小于等于2的数乙赢。判断游戏是否公平。 典型例题5 盒子里有4个红球、1个蓝球，球大小质地一样。无放回先后摸两次，已知第一次摸到红球，求第二次摸到蓝球的可能性是多少？ 跟踪训练5 袋子里有5个白球、2个绿球，不放回摸两次，已知第一次摸到绿球，求第二次摸到绿球的可能性是多少？ 提升练习 第1题 袋子里有7个红球、5个黄球，球除颜色外完全相同。任意摸出1个球，摸到红球的可能性是多少？ 第2题 一个圆形转盘被平均分成8等份，其中红色占3份、蓝色占2份、绿色占3份。转动指针，指针停在红色区域的可能性是多少？ 第3题 从写有数字1、2、3、4、5、6、7、8、9的九张卡片中任意抽出一张，抽到奇数的可能性是多少？ 第4题 从写有数字1～9的九张卡片中任意抽出一张，抽到质数的可能性是多少？ 第5题 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于2的可能性是多少？ 第6题 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是3的倍数的可能性是多少？ 第7题 盒子里有5个红球、2个黑球、3个白球，球除颜色外完全相同。任意摸出1个球，摸到红球和摸到白球哪种可能性更大？ 第8题 盒子里有4个红球、6个蓝球，球除颜色外完全相同。无放回地先后摸两次，第一次摸到红球后，第二次摸到蓝球的可能性是多少？ 第9题 同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚点数之和是偶数的可能性是多少？ 第10题 同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚点数相同的可能性是多少？ 第11题 盒子里有3个红球、4个绿球，球除颜色外完全相同。一次同时摸出2个球，两个球都是红球的可能性是多少？ 第12题 盒子里有2个红球、3个蓝球，球除颜色外完全相同。一次同时摸出2个球，恰好摸到1红1蓝的可能性是多少？ 第13题 从写有数字1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽一张，抽到大于4的数甲赢，抽到小于4的数乙赢，其余情况没人赢。这个游戏公平吗？为什么？ 第14题 从写有数字1～10的十张卡片中任意抽一张，抽到质数甲赢，抽到合数乙赢，其余情况重抽。判断这个游戏是否公平。 第15题 袋子里有5个白球、3个黑球，球除颜色外完全相同。有放回地连续摸两次，两次都摸到白球的可能性是多少？ 第16题 盒子里有4个红球、2个蓝球，球除颜色外完全相同。有放回地连续摸两次，第一次摸到红球、第二次摸到蓝球的可能性是多少？ 第17题 同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚点数之和等于9的可能性是多少？ 第18题 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，三枚都正面朝上的可能性是多少？ 第19题 盒子里有6个红球、4个白球，球除颜色外完全相同。无放回地先后摸两次，两次都摸到红球的可能性是多少？ 第20题 一个圆形转盘被平均分成4等份，其中A区域占1份。转动转盘两次，两次指针都停在A区域的可能性是多少？ 模拟赛场 【奥数题1】袋子里有3个红球、2个黄球、1个蓝球，球除颜色外完全相同。无放回地依次摸出3个球，摸出的3个球颜色互不相同的可能性是多少？ 【奥数题2】同时抛掷三枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数互不相同的可能性是多少？ 【奥数题3】有10张卡片，分别写着数字1～10。任意抽出3张，抽到的3个数字中最大的数是8的可能性是多少？ 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $