第2讲 小数除法与循环小数探究（奥数讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

奥数培优讲义 第2讲 小数除法与循环小数探究 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 小数的分类 小数按照小数部分的位数是否有限，分为有限小数和无限小数两大类。 (1) 有限小数：小数部分的位数是有限的。例如 、、。 (2) 无限小数：小数部分的位数是无限的。无限小数又分为循环小数和无限不循环小数。 1　 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现。例如 ，。 2　 无限不循环小数：小数部分没有重复出现的数字序列，例如圆周率 。 重要结论：循环小数一定是无限小数；但无限小数不一定是循环小数（如 就是无限不循环小数）。 2. 循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 简写规则：只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点。 (1) ，循环节是 3。 (2) ，循环节是 12。 (3) ，循环节是 63。 易错提醒：要找准循环是从哪一位开始的，不是看到重复数字就直接当作循环节。例如 中，"05"并不参与循环。 3. 循环小数的大小比较 方法：把循环小数多写出几位小数，再按照小数大小比较的方法，从高位往低位依次比较。 例：比较 与 展开后： (1) (2) 逐位比较：前两位都是 5、4，第三位上前者是 5，后者是 4，所以 。 4. 循环小数的周期问题（奥数核心考点） 已知循环小数，求小数点后第 位上的数字、或求前 位数字之和，是本专题的高频题型。 解题步骤： (1) 找出循环节，算出循环节长度（即周期）； (2) 判断小数部分从第几位开始进入循环，区分"纯循环"与"混循环"； (3) 减去不循环部分的位数，用剩余位数除以周期； (4) 根据余数判断：余数为 0，对应循环节最后一位；余数不为 0，对应循环节中第"余数"位数字； (5) 求和时：一个周期内数字之和 × 完整周期个数 + 余下几个数字之和。 5. 小数除法与循环小数的关系 两个整数相除，如果不能除尽，所得的商一定是循环小数。 原因：被除数除以除数时，余数的个数最多比除数少 1 个；当余数重复出现时，商就开始循环。 经典例子：，循环节为 142857，共 6 位，是奥数中最常考的循环小数之一。 6. 循环小数与分数的简单转化（培优拓展） (1) 纯循环小数（从小数第一位就开始循环）：循环节有几位，分母就写几个 9，分子就是循环节。例如 。 (2) 混循环小数（不是从小数第一位开始循环）：分母前面写 9（9 的个数等于循环节位数），后面写 0（0 的个数等于不循环部分位数）；分子 = 小数点后到第一个循环节结束所组成的数 − 不循环部分组成的数。 例题讲解 【典型例题1】 把下面各循环小数展开多写几位，再比较大小： 　、　　、　 【详解】 先把循环小数展开： 有限小数： 从高位依次对比：十分位都是 7，百分位都是 8；千分位上， 是 7，另外两个是 8，所以 最小；万分位上， 是 0， 是 8，所以 。 因此大小关系为：。 【答案】　 【跟踪训练1】 比较大小：、、 【详解】 展开各数： 逐位比较：前两位都为 3、6，第三位上 是 3，最小；第三位上 是 6，而 第三位是 7，所以 。 大小关系为：。 【答案】　 【典型例题2】 已知 ，这个循环小数的小数点后第 30 位上的数字是几？ 【详解】 ① 循环节为 142857，周期长度 = 6；该小数从小数第 1 位起就开始循环，没有不循环部分。 ② 列式：，余数为 0。 ③ 余数为 0，说明刚好排满 5 个完整周期，对应循环节的最后一位数字。 循环节为 1、4、2、8、5、7，最后一位是 7。 所以小数点后第 30 位数字是 7。 【答案】　7 【跟踪训练2】 ，小数点后第 45 位上的数字是多少？ 【详解】 周期 = 6，，商为 7，余数为 3，对应循环节中第 3 位数字。 循环节：第 1 位 1，第 2 位 4，第 3 位 2。 所以小数点后第 45 位数字是 2。 【答案】　2 【典型例题3】 循环小数 ，小数点后第 50 位数字是几？ 提示：小数第一位 2 不循环，从第 2 位开始循环，循环节为 571428。 【详解】 ① 不循环部分：小数点后第 1 位（数字 2）； ② 从第 2 位开始循环，循环节为 571428，周期 = 6； ③ 参与循环的位数：（位）； ④ ，余数为 1，对应循环节中第 1 位数字，即 5。 所以小数点后第 50 位数字是 5。 【答案】　5 【跟踪训练3】 循环小数 ，小数点后第 36 位数字是几？ 提示：小数点后第 1 位是 1，不循环；从第 2 位开始循环，循环节为 428571，周期为 6。 【详解】 小数点后第 1 位是 1，不循环；参与循环的位数：。 ，余数为 5，对应循环节中第 5 位数字。 循环节：4（第1位）、2（第2位）、8（第3位）、5（第4位）、7（第5位）、1（第6位），第 5 位数字是 7。 所以小数点后第 36 位数字是 7。 【答案】　7 【典型例题4】 ，求小数点后前 30 位所有数字之和。 【详解】 循环节为 142857，周期为 6；一个周期内数字之和： ，刚好 5 组完整周期，没有剩余数字。 总和：。 【答案】　135 【跟踪训练4】 ，求小数点后前 45 位数字之和。 【详解】 周期为 6，一个周期数字和 = 27。 ，即 7 个完整周期，余下 3 个数字：1、4、2。 总和：。 【答案】　196 【典型例题5】 计算 ，先用循环小数表示商，再求小数点后第 2026 位上的数字。 【详解】 。 循环节为 45，周期 = 2，从小数第一位开始循环。 ，余数为 0，取循环节最后一位数字，即 5。 所以小数点后第 2026 位数字是 5。 【答案】　商为 ；小数点后第 2026 位数字是 5。 【跟踪训练5】 计算 ，写出它的循环小数形式，并求小数点后前 20 位数字的总和。 【详解】 。 循环节为 63，周期 = 2，一组数字之和：。 （组），刚好 10 组完整周期。 总和：。 【答案】　商为 ；小数点后前 20 位数字之和为 90。 提升练习 【练习1】 把下列各数按要求分类：、、、、 【详解】 有限小数：、（小数部分位数有限）； 循环小数：、； 无限不循环小数：。 【答案】　有限小数：0.375、2.73；循环小数：、；无限不循环小数： 【练习2】 用简便记法表示下列循环小数：、、 【详解】 ，循环节为 7； ，循环节为 26； ，循环节为 45（前面的 1 不循环）。 【答案】　、、 【练习3】 写出下列循环小数的循环节：、、 【详解】 依次重复"123"，循环节是 123； 依次重复"357"，循环节是 357； 从第 3 位起重复"63"，循环节是 63。 【答案】　123、357、63 【练习4】 比较大小： 和 【详解】 展开多写几位： ， 十分位都是 6；百分位上，前者是 6，后者是 7，7 > 6，所以 。 【答案】　 【练习5】 比较大小：、、 【详解】 展开：，， 千分位上 是 2，其余两个是 3，所以它最小； 万分位上 是 0， 是 3，所以 。 大小关系：。 【答案】　 【练习6】 循环小数 的小数点后第 10 位数字是几？ 【详解】 循环节为 45，周期 = 2，且从小数第 1 位起就循环。 ，余数为 0，取循环节最后一位数字，即 5。 所以小数点后第 10 位数字是 5。 【答案】　5 【练习7】 循环小数 （循环节 123）的小数点后第 25 位数字是几？ 【详解】 循环节 123，周期 = 3，从小数第 1 位起就循环。 ，余数为 1，取循环节第 1 位数字，即 1。 所以小数点后第 25 位数字是 1。 【答案】　1 【练习8】 循环小数 （循环节 67）的小数点后第 30 位数字是几？ 【详解】 小数点后第 1 位是 0，不循环；从第 2 位起循环，循环节 67，周期 = 2。 参与循环的位数：； ，余数为 1，取循环节第 1 位数字，即 6。 所以小数点后第 30 位数字是 6。 【答案】　6 【练习9】 已知 ，求小数点后第 100 位上的数字。 【详解】 循环节 142857，周期 = 6，从小数第 1 位起循环。 ，余数为 4，取循环节第 4 位数字。 循环节 142857 的第 4 位是 8。 所以小数点后第 100 位数字是 8。 【答案】　8 【练习10】 已知 ，求小数点后前 24 位数字之和。 【详解】 循环节 142857，周期 = 6，一个周期内数字之和：。 ，刚好 4 组完整周期。 总和：。 【答案】　108 【练习11】 已知 ，求小数点后前 38 位数字之和。 【详解】 周期 = 6，一个周期数字和 = 27。 ，即 6 个完整周期，余下 2 个数字：1、4。 总和：。 【答案】　167 【练习12】 计算 ，用循环小数表示商，并求小数点后第 15 位数字。 【详解】 ，循环节 571428，周期 = 6。 ，余数为 3，取循环节第 3 位数字。 循环节 571428 的第 3 位是 1。 所以小数点后第 15 位数字是 1。 【答案】　商为 ；小数点后第 15 位数字是 1 【练习13】 计算 ，用循环小数表示商，并求小数点后第 20 位数字。 【详解】 ，循环节 27，周期 = 2。 ，余数为 0，取循环节最后一位数字，即 7。 所以小数点后第 20 位数字是 7。 【答案】　商为 ；小数点后第 20 位数字是 7 【练习14】 计算 ，用循环小数表示商，并求小数点后第 18 位数字。 【详解】 ，循环节 461538，周期 = 6。 ，余数为 0，取循环节最后一位数字，即 8。 所以小数点后第 18 位数字是 8。 【答案】　商为 ；小数点后第 18 位数字是 8 【练习15】 把一根 2 米长的绳子平均分成 6 段，每段长多少米？用循环小数表示。 【详解】 每段长：（米） 用循环小数表示： 米。 【答案】　 米 【练习16】 根据规律填空：，那么 ，。 【详解】 是纯循环小数，循环节 1 位，分母写 1 个 9，分子是 4，即 ； 循环节 2 位，分母写 2 个 9，分子是 12，即 。 【答案】　； 【练习17】 判断下面循环小数的简便写法是否正确，错误的改正： ① 　　② 【详解】 ① 错误。 循环节是 12，应写为 ； ② 错误。 只有数字 5 在循环，前面的 3 不循环，应写为 。 【答案】　① 错误，应为 ；② 错误，应为 【练习18】 循环小数 小数点后前 30 位数字之和是多少？ 【详解】 循环节 23，周期 = 2，一个周期数字和：。 ，刚好 15 组完整周期。 总和：。 【答案】　75 【练习19】 循环小数 小数点后前 20 位数字之和是多少？ 【详解】 小数点后第 1 位是 0，不循环；循环节 45，周期 = 2，一个周期数字和：。 前 20 位去掉第 1 位，还有 19 位：，即 9 组完整周期，余 1 个数字 4。 总和：。 【答案】　85 【练习20】 把一根 5 米长的彩带平均分成 9 段，每段长用循环小数表示，并求小数点后第 10 位数字。 【详解】 每段长：（米），即 米。 循环节 5，周期 = 1，小数部分每一位都是 5，所以第 10 位数字是 5。 【答案】　 米；小数点后第 10 位数字是 5 模拟赛场 【奥数题1】已知 ，求小数点后第 2024 位上的数字，并求小数点后前 2024 位数字之和。 【详解】 循环节 142857，周期 = 6，一个周期数字和：。 先求第 2024 位：，余数为 2，取循环节第 2 位数字，即 4。 再求前 2024 位之和：。 【答案】　小数点后第 2024 位数字是 4；前 2024 位数字之和是 9104 【奥数题2】已知 ，求小数点后第 2026 位上的数字，并求小数点后前 2026 位数字之和。 【详解】 ，循环节 428571，周期 = 6，一个周期数字和：。 先求第 2026 位：，余数为 4，取循环节第 4 位数字，即 5。 再求前 2026 位之和：。 【答案】　小数点后第 2026 位数字是 5；前 2026 位数字之和是 9118 【奥数题3】根据规律，纯循环小数 可化成分数 。请把 化成最简分数，并判断它是否大于 。 【详解】 ，循环节两位，分母写两个 9，分子是 71，所以 （71 与 99 互质，已是最简分数）。 比较 与 ：交叉相乘，，。 因为 ，所以 ，即 。 【答案】　；因为 ，所以 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第2讲 小数除法与循环小数探究 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 小数的分类 小数按照小数部分的位数是否有限，分为有限小数和无限小数两大类。 (1) 有限小数：小数部分的位数是有限的。例如 、、。 (2) 无限小数：小数部分的位数是无限的。无限小数又分为循环小数和无限不循环小数。 1　 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现。例如 ，。 2　 无限不循环小数：小数部分没有重复出现的数字序列，例如圆周率 。 重要结论：循环小数一定是无限小数；但无限小数不一定是循环小数（如 就是无限不循环小数）。 2. 循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 简写规则：只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点。 (1) ，循环节是 3。 (2) ，循环节是 12。 (3) ，循环节是 63。 易错提醒：要找准循环是从哪一位开始的，不是看到重复数字就直接当作循环节。例如 中，"05"并不参与循环。 3. 循环小数的大小比较 方法：把循环小数多写出几位小数，再按照小数大小比较的方法，从高位往低位依次比较。 例：比较 与 展开后： (1) (2) 逐位比较：前两位都是 5、4，第三位上前者是 5，后者是 4，所以 。 4. 循环小数的周期问题（奥数核心考点） 已知循环小数，求小数点后第 位上的数字、或求前 位数字之和，是本专题的高频题型。 解题步骤： (1) 找出循环节，算出循环节长度（即周期）； (2) 判断小数部分从第几位开始进入循环，区分"纯循环"与"混循环"； (3) 减去不循环部分的位数，用剩余位数除以周期； (4) 根据余数判断：余数为 0，对应循环节最后一位；余数不为 0，对应循环节中第"余数"位数字； (5) 求和时：一个周期内数字之和 × 完整周期个数 + 余下几个数字之和。 5. 小数除法与循环小数的关系 两个整数相除，如果不能除尽，所得的商一定是循环小数。 原因：被除数除以除数时，余数的个数最多比除数少 1 个；当余数重复出现时，商就开始循环。 经典例子：，循环节为 142857，共 6 位，是奥数中最常考的循环小数之一。 6. 循环小数与分数的简单转化（培优拓展） (1) 纯循环小数（从小数第一位就开始循环）：循环节有几位，分母就写几个 9，分子就是循环节。例如 。 (2) 混循环小数（不是从小数第一位开始循环）：分母前面写 9（9 的个数等于循环节位数），后面写 0（0 的个数等于不循环部分位数）；分子 = 小数点后到第一个循环节结束所组成的数 − 不循环部分组成的数。 例题讲解 【典型例题1】 把下面各循环小数展开多写几位，再比较大小： 　、　　、　 【跟踪训练1】 比较大小：、、 【典型例题2】 已知 ，这个循环小数的小数点后第 30 位上的数字是几？ 【跟踪训练2】 ，小数点后第 45 位上的数字是多少？ 【典型例题3】 循环小数 ，小数点后第 50 位数字是几？ 提示：小数第一位 2 不循环，从第 2 位开始循环，循环节为 571428。 【跟踪训练3】 循环小数 ，小数点后第 36 位数字是几？ 提示：小数点后第 1 位是 1，不循环；从第 2 位开始循环，循环节为 428571，周期为 6。 【典型例题4】 ，求小数点后前 30 位所有数字之和。 【跟踪训练4】 ，求小数点后前 45 位数字之和。 【典型例题5】 计算 ，先用循环小数表示商，再求小数点后第 2026 位上的数字。 【跟踪训练5】 计算 ，写出它的循环小数形式，并求小数点后前 20 位数字的总和。 提升练习 【练习1】 把下列各数按要求分类：、、、、 【练习2】 用简便记法表示下列循环小数：、、 【练习3】 写出下列循环小数的循环节：、、 【练习4】 比较大小： 和 【练习5】 比较大小：、、 【练习6】 循环小数 的小数点后第 10 位数字是几？ 【练习7】 循环小数 （循环节 123）的小数点后第 25 位数字是几？ 【练习8】 循环小数 （循环节 67）的小数点后第 30 位数字是几？ 【练习9】 已知 ，求小数点后第 100 位上的数字。 【练习10】 已知 ，求小数点后前 24 位数字之和。 【练习11】 已知 ，求小数点后前 38 位数字之和。 【练习12】 计算 ，用循环小数表示商，并求小数点后第 15 位数字。 【练习13】 计算 ，用循环小数表示商，并求小数点后第 20 位数字。 【练习14】 计算 ，用循环小数表示商，并求小数点后第 18 位数字。 【练习15】 把一根 2 米长的绳子平均分成 6 段，每段长多少米？用循环小数表示。 【练习16】 根据规律填空：，那么 ，。 【练习17】 判断下面循环小数的简便写法是否正确，错误的改正： ① 　　② 【练习18】 循环小数 小数点后前 30 位数字之和是多少？ 【练习19】 循环小数 小数点后前 20 位数字之和是多少？ 【练习20】 把一根 5 米长的彩带平均分成 9 段，每段长用循环小数表示，并求小数点后第 10 位数字。 模拟赛场 【奥数题1】已知 ，求小数点后第 2024 位上的数字，并求小数点后前 2024 位数字之和。 【奥数题2】已知 ，求小数点后第 2026 位上的数字，并求小数点后前 2026 位数字之和。 【奥数题3】根据规律，纯循环小数 可化成分数 。请把 化成最简分数，并判断它是否大于 。 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $