第三单元 小数除法（思维拓展培优）-五年级上册数学从课本到奥数系列讲义（人教版）

第三单元 小数除法（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：小数除法的算理与基本计算法则 1. 除数是整数的小数除法 (1) 核心法则：按照整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 (2) 特殊情况处理：如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除；如果被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点继续除。 (3) 思维拓展：理解“位值原理”，即每一步商的数值代表的是当前数位上的计数单位个数。 2. 除数是小数的小数除法 (1) 转化思想：利用商不变的性质，将除数转化为整数。 (2) 操作步骤： 1　 移动除数的小数点，使其变成整数。 2　 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，在被除数末尾用0补足）。 3　 按照除数是整数的小数除法进行计算。 (3) 易错点警示：被除数移动小数点后，若原整数部分不足，需补0占位，不可遗漏。 知识点二：商的变化规律与性质 1. 商不变性质的深化应用 (1) 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 (2) 推论：在除法算式中，若被除数扩大 倍，除数缩小 倍，则商扩大 倍。 2. 商与被除数的大小关系判断 (1) 当除数 时，商 被除数（被除数 ）。 (2) 当除数 且 时，商 被除数（被除数 ）。 (3) 当除数 时，商 被除数。 (4) 思维拓展：此规律可用于快速估算和检查计算结果的合理性，无需完整计算即可判断数量级。 3. 连除与除法的运算性质 (1) (2) (3) 应用技巧：在简便运算中，观察除数的乘积是否为整十、整百数，优先结合除数进行计算。 知识点三：循环小数的概念与分类 1. 基本概念 (1) 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 (2) 循环节：循环小数中依次不断重复出现的数字。 (3) 有限小数与无限小数：小数部分的位数是有限的小数叫有限小数；小数部分的位数是无限的小数叫无限小数。循环小数属于无限小数。 2. 循环小数的表示法 (1) 简便写法：只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 (2) 示例： 写作 ； 写作 。 3. 思维拓展：周期性问题 (1) 利用循环节的周期性，确定小数点后第 位上的数字。 (2) 计算方法： 循环节位数，看余数。余数是几，就是循环节的第几个数字；若无余数，则是循环节的最后一个数字。 知识点四：商的近似数与实际应用策略 1. 求商的近似数方法 (1) 四舍五入法：计算时，除到比需要保留的小数位数多一位，再按“四舍五入”法取近似值。 (2) 进一法：在解决实际问题时，无论余数是多少，都要向前一位进一。 适用场景：装油桶、运货物、租船/车等（只要有余量，就需要增加一个单位容器或批次）。 (3) 去尾法：在解决实际问题时，无论余数是多少，都直接舍去。 适用场景：做衣服、裁剪材料、购物预算等（剩余部分不足以构成一个完整单位，只能舍去）。 2. 思维拓展：误差分析 (1) 理解近似数带来的误差范围。 (2) 在连续运算中，建议中间过程保留较多小数位数，最后一步再取近似值，以减小累积误差。 知识点五：小数的四则混合运算 1. 运算顺序 (1) 与整数四则混合运算顺序相同： 1　 只有加减或只有乘除，从左往右依次计算。 2　 既有加减又有乘除，先算乘除，后算加减。 3　 有括号的，先算括号里面的（先小括号，再中括号）。 2. 运算定律的推广 (1) 整数乘法的交换律、结合律、分配律对于小数乘法同样适用。 (2) 常见简算模型： 1　 2　 3　 (3) 注意：除法没有分配律，即 。 3. 计算规范 (1) 能简算的要简算，不能简算的按顺序计算。 (2) 注意小数点位置的移动对数值大小的影响，避免抄错数或看错符号。 知识点六：复杂情境下的解题策略 1. 归一法与归总法 (1) 归一法：先求出单一量（单位数量），再求总量或另一个单一量。 (2) 归总法：先求出总量，再根据新的条件求单一量或份数。 (3) 关键：识别题目中的“不变量”（如总价、工作总量、路程等）。 2. 分段计费问题模型 (1) 结构特征：费用标准随数量区间变化（如出租车费、电费、水费）。 (2) 解题步骤： 1　 确定临界点（分界值）。 2　 分段计算：基础部分按基础单价，超出部分按超额单价。 3　 求和：将各段费用相加。 (3) 逆向思维：已知总费用求数量时，需先减去基础费用，再除以超额单价，最后加上基础数量。 3. 相遇与追及问题中的小数运算 (1) 将整数背景替换为小数数据，核心公式不变： 1　 速度和 相遇时间 总路程 2　 速度差 追及时间 路程差 (2) 重点：提高小数混合运算的准确率，注意运算顺序。 重难点题型精讲 题型一、小数除法的算理与基本计算法则 【例题1】列竖式计算，带※的要验算。 35.2÷16＝            38.16÷7.2＝            ※5.6÷0.35＝        2.8÷0.12＝ 【答案】2.2；5.3；16； 【分析】计算除数是整数的小数除法，要按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐，除到小数部分有余数时，添0再除。 计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。小数除法验算时，根据乘法和除法互为逆运算的关系，把除数和商相乘，如果乘得的积与被除数相同，那么原计算正确。 商是循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【详解】35.2÷16＝2.2                                   38.16÷7.2＝5.3                            5.6÷0.35＝16                                 2.8÷0.12＝ 验算：      【跟踪训练1】列竖式计算。（带*的要验算） 30.45÷29＝     31.52÷0.8＝     1.308÷1.2＝ *7.05÷0.94＝         *14÷0.56＝ 【答案】1.05；39.4；1.09； 7.5；25 【分析】计算除数是整数的小数除法时，按照整数除法的方法计算，被除数的整数部分不够除时，要在被除数的个位数字上面商0，对齐被除数的小数点点上商的小数点，再继续往下除； 计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，最后根据“被除数＝商×除数”进行验算，据此解答。 【详解】30.45÷29＝1.05               31.52÷0.8＝39.4               1.308÷1.2＝1.09                                *7.05÷0.94＝7.5                             *14÷0.56＝25 验算：      验算： 题型二、商的变化规律与性质 【例题2】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 32.8÷0.94( )32.8    0.55÷0.1( )0.55×10    3.7×1.6( )3.7÷1.6 15÷1.98( )15÷0.198    2.8÷0.95( )2.8×0.95    8.8÷0.5( )8.8×2 【答案】 ＞ ＝ ＞ ＜ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小；除以小于1的数，商比原数大；乘大于1的数，积比原数大；除以大于1的数，商比原数小。 【详解】（1）0.94＜1，所以32.8÷0.94＞32.8； （2）除以0.1就相当于这个数乘10，所以0.55÷0.1＝0.55×10。 （3）1.6＞1，所以3.7×1.6＞3.7，3.7÷1.6＜3.7，所以3.7×1.6＞3.7÷1.6； （4）1.98＞1，所以15÷1.98＜15；0.198＜1，所以15÷0.198＞15；则15÷1.98＜15÷0.198； （5）0.95＜1，所以2.8÷0.95＞2.8，2.8×0.95＜2.8；所以2.8÷0.95＞2.8×0.95； （6）除以0.5相当于把这个数变成原来的2倍，所以8.8÷0.5＝8.8×2。 【跟踪训练2】在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.17÷0.8( )2.17            20.5( )20.5÷3.1 m÷2.5( )m÷0.25（m＞0）    1.25÷a( )1.25÷b（0＜a＜1＜b） 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＞ 【分析】根据商与被除数的大小关系：一个非零数除以大于1的数，商比原数小；除以小于1（0除外）的数，商比原数大，进行判断。 【详解】因为0.8＜1，所以2.17÷0.8＞2.17； 因为3.1＞1，所以20.5÷3.1＜20.5，即20.5＞20.5÷3.1； 因为2.5＞1，0.25＜1，所以m÷2.5＜m，m÷0.25＞m，所以m÷2.5＜m÷0.25； 因为a＜1，b＞1，所以1.25÷a＞1.25，1.25÷b＜1.25，所以1.25÷a＞1.25÷b。 题型三、循环小数的概念与分类 【例题3】3.636363…的简写是( )，循环节是( )，小数点后第297位上的数字是( )。 【答案】 63 6 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，若循环节只有一个数字，就在该数字上面点一个圆点；据此填写①、②； 该小数从小数点后第一位开始循环，循环节中有两个数字，用297除以2，根据余数判断第297位为循环节的哪一个数字。若没有余数，则该位置上的数字为3，若余数为1，则该位置上的数字为6，据此解答。 【详解】3.636363…依次不断重复出现的数字是63，所以循环节是63，简写为； 297÷2＝148……1，余数为1，对应循环节第一个数字6。 3.636363…的简写是，循环节是63，小数点后第297位上的数字是6。 【跟踪训练3】循环小数2.316316…小数部分第100位上的数字是( )。小数部分前100位数字的和是( )。 【答案】 3 333 【分析】循环小数2.316316……是从小数部分第一位开始，每三位一循环，直接用总个数÷周期数＝组数……余数，通过余数可确定100位对应的数；接着计算一个循环节的和，再乘组数，加上剩余数字即可求出前100位数字的和。 【详解】100÷3＝33……1，第一个数是3，所以小数部分第100位上的数字是3 每组三位数都是316，和是3＋1＋6＝10 33×10＋3＝333，所以小数部分前100位数字的和是333。 题型四、商的近似数与实际应用策略 【例题4】菠菜是一种含铁、锌特别丰富的蔬菜。某蛋糕房研制了一款菠菜糕，要用到菠菜汁，李师傅榨好了3.45升的菠菜汁，将这些菠菜汁分别装在0.91升的保鲜盒，至少需要多少个这样的盒子？ 【答案】4个 【分析】求需要的保鲜盒数量，就是求3.45升里包含多少个0.91升，用除法计算。剩余的菠菜汁即使不满1盒，也需要1个盒子盛放，因此要用进一法取整数结果。 【详解】（个）……（升） （个） 答：至少需要4个这样的盒子。 【跟踪训练4】十一国庆节前几天，某小学的同学们打算做“中国结”来迎接祖国的生日，他们买来50米长的红绳，每个中国结需要3.2米长的红绳，这些一共能做多少个中国结？ 【答案】15个 【分析】求能做中国结的数量，就是求50米中包含多少个3.2米，用除法计算；剩余红绳长度不足3.2米时无法制作一个完整的中国结，需用去尾法取整数结果。 【详解】（个）余下的红绳不够做1个中国结，因此最多能做15个。 答：这些一共能做15个中国结。 题型五、小数的四则混合运算 【例题5】计算下面各题，能简算的要简算。 0.84×13.5÷0.16     96.5÷5÷0.2     1.25×88 7.8＋2.2×5.54     4.5×2.74－0.74×4.5     0.225÷0.25×4 【答案】70.875；96.5；110； 19.988；9；3.6 【分析】①按从左往右的顺序依次计算； ②将连续除法转化为除以两个数的积进行简便计算； ③将88看作8×11；再按从左往右的顺序依次计算； ④先算乘法；再算加法； ⑤根据乘法分配律进行简便计算； ⑥按从左往右的顺序依次计算。 【详解】0.84×13.5÷0.16 ＝11.34÷0.16 ＝70.875 96.5÷5÷0.2 ＝ 96.5÷（5×0.2） ＝96.5÷1 ＝96.5 1.25×88 ＝1.25×（8×11） ＝1.25×8×11 ＝10×11 ＝110 7.8＋2.2×5.54 ＝7.8＋12.188 ＝19.988 4.5×2.74－0.74×4.5 ＝4.5×（2.74－0.74） ＝4.5×2 ＝9 0.225÷0.25×4 ＝0.9×4 ＝3.6 【跟踪训练5】脱式计算，能简算的要简算。 8.35×1.01－8.35         2.5×0.24             8.4÷0.21÷0.4 7.38×0.42÷0.738         10.5÷1.25÷8         4.8×（23.5÷4.7） 【答案】；；； ；；； 【分析】把后面的看作，利用乘法分配律的逆运算，提取共同的因数； 把看作，利用乘法结合律，先算； 利用除法的性质，先算； 利用乘法交换律和带符号搬家，交换和的位置，进行简便计算； 利用除法的性质，先算； 先算小括号里的除法，再算括号外的乘法。 【详解】 题型六、复杂情境下的解题策略 【例题6】某停车场的收费标准如图所示，笑笑一家周末出行，爸爸开车离开停车场时，共付了14.6元的停车费，笑笑爸爸在停车场最长停了多长时间？ 停车标准： 2小时内：5元 超过2小时：超过的部分每小时2.4元，不足1小时按1小时算。 【答案】 小时 【分析】总停车费元，超过小时内的元，说明停车时间超过小时。先算出超过小时部分的停车费，再除以超过部分每小时的收费标准，得到超过小时的最长停车时间，加上最初的小时就是总最长停车时间。 【详解】 答：笑笑爸爸在停车场最长停了小时。 【跟踪训练6】客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米。两车相遇后又以原速前进，到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。甲、乙两站间的路程是多少千米？ 【答案】122.4千米 【分析】首先，根据客车比货车多行的路程（路程差）和两车的速度差，可以求出从出发到第二次相遇所用的时间。然后，利用相遇时间乘两车的速度和，求出两车行驶的总路程。最后，根据总路程是单程路程的倍这一关系，除以即可求出甲、乙两站间的路程。 【详解】根据分析，解答如下： 21.6÷（54－48） ＝21.6÷6 ＝3.6（小时） ÷3 ＝3.6×102÷3 ＝122.4（千米） 答：甲、乙两站间的路程是122.4千米。 培优练习 1．下列情境中，不能用10.5÷1.5解决的是（    ）。 A．10.5元人民币可以兑换1.5美元，1元人民币可以兑换多少美元？ B．橡皮的单价是1.5元/块，小丽有10.5元可以买几块？ C．长方形菜地面积是10.5平方米，其中宽是1.5米，问长是多少米？ D．一架直升机飞行10.5千米用时1.5分钟，平均每分钟飞行多少千米？ 【答案】A 【分析】A．求1元人民币可兑换的美元金额，用美元总数除以人民币总数； B．数量＝总价÷单价； C．长方形的面积＝长×宽，据此推出长＝长方形的面积÷宽； D．速度＝路程÷时间； 根据各情境对应的数量关系列出算式，与对比即可。 【详解】A．根据分析列式：，不能用解决； B．根据分析列式：，能用解决； C．根据分析列式：，能用解决； D．根据分析列式：，能用解决。 2．要使□.09÷5的商大于1，那么□里可以填（    ）。 A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】在小数除法计算中，若商大于1，则被除数必须大于除数，据此判断方框内可填的数字。 【详解】要使的商大于1，需满足，因此□里可填大于等于5的数，可以填5、6、7、8、9； 结合选项可知：要使□.09÷5的商大于1，那么□里可以填5。 3．张老师带了100元钱去超市买文具，一支圆珠笔1.5元，一个笔记本4.5元，张老师买完10支圆珠笔后最多可以再买（    ）本笔记本。 A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】先根据“总价＝单价×数量”求出10支圆珠笔的总钱数，再用一共带的钱数减去购买圆珠笔的钱数得到剩下的钱数，最后根据“数量＝总价÷单价”求出可以购买笔记本的数量，余下的钱数不够买一本笔记本时直接舍去，结果用“去尾法”取整数。 【详解】1.5×10＝15（元） 100－15＝85（元） 85÷4.5≈18（本） 所以，张老师买完10支圆珠笔后最多可以再买18本笔记本。 4．小马虎计算一个数除以17时，误将除号当成加号，算出的结果是71.4，则正确的结果是（    ）。 A．12.8 B．0.3125 C．21.2 D．3.2 【答案】D 【分析】误将除号当成加号，一个加数＝和－另一个加数，求出原来的被除数，再用被除数除以17即可得到正确结果。 【详解】原来的被除数：71.4－17＝54.4 正确的结果：54.4÷17＝3.2 5．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4.23×0.99( )4.23    0.76÷0.2( )0.76×5    6.75÷1.15( )6.75 3.6÷0.1( )3.6×10    7.2÷6( )0.36÷0.3    1.28÷0.98( )1.28×0.98 【答案】 ＜ ＝ ＜ ＝ ＝ ＞ 【分析】（1）一个不为0的数乘小于1（0除外）的数，积小于原数。 （2）分别计算左右两边的结果，再比较大小。 （3）一个不为0的数除以大于1的数，商小于原数。 （4）分别计算左右两边的结果，再比较大小。 （5）分别计算左右两边的结果，再比较大小。 （6）一个不为0的数除以小于1（0除外）的数，商大于原数；一个不为0的数乘小于1（0除外）的数，积小于原数。 【详解】（1）因为0.99＜1，所以4.23×0.99＜4.23。 （2）0.76÷0.2＝3.8，0.76×5＝3.8，所以0.76÷0.2＝0.76×5。 （3）因为1.15＞1，所以6.75÷1.15＜6.75。 （4）3.6÷0.1＝36，3.6×10＝36，所以3.6÷0.1＝3.6×10。 （5）7.2÷6＝1.2，0.36÷0.3＝1.2，所以7.2÷6＝0.36÷0.3。 （6）因为0.98＜1，所以1.28÷0.98＞1.28，1.28×0.98＜1.28，因此1.28÷0.98＞1.28×0.98。 6．根据算式☆÷○＝5.6，将下面各式补充完整。 ☆÷（○×7）＝( )；（☆×10）÷（○×_____）＝11.2。 【答案】 0.8 5 【分析】根据商的变化规律，被除数不变，除数乘几，那么商反而除以几；根据被除数乘n，除数乘m，那么商先乘n，再除以m；用原来的商先乘10，再除以新的商，即可得到除数乘几；据此解答。 【详解】根据分析，5.6÷7＝0.8，所以☆÷（○×7）＝0.8； 5.6×10＝56，56÷11.2＝5，所以（☆×10）÷（○×5）＝11.2。 7．的商的最高位是( )位，用循环小数表示是( )，小数点后第199位上的数字是( )。 【答案】 个 3 【分析】除数是小数的除法计算方法：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算，算出商即可确定商的最高位。 计算出7÷1.1的商，观察商的小数部分重复出现的数字，确定循环节，在循环节上点小圆点即可。 确定循环节的长度，用199除以循环节长度，如果余数为0，那么对应循环节最后一位，余数是几则对应循环节中第几位的数字。 【详解】7÷1.1＝6.3636…＝，商的最高位是个位，用循环小数表示是； 的循环节是2个数字，按“3、6”的顺序重复。 199÷2＝99⋯⋯1 199位里完整循环了99组“36”，还多出来1个数字，这个余下的数字就是循环节的第1个数字3，所以小数点后第199位上的数字是3。 8．小明0.8小时行走了4.25千米，按这样的速度，小明走1千米需要( )小时。1小时可以行走( )千米。 【答案】 0.188 5.3125 【分析】走1千米需要的时间＝总时间÷行驶的路程；速度＝路程÷时间，求出他1小时行驶的路程即可。 【详解】0.8÷4.25≈0.188（小时），他走1千米需要0.188小时； 4.25÷0.8＝5.3125（千米），小明1小时可以走5.3125千米。 9．某市出租车起步价为6元（3千米及以内），超过3千米，超出部分每千米1.5元（不足1千米按1千米算）。王叔叔从家打车去上班共付车费12元，他家离单位最远( )千米。 【答案】 7 【分析】因为总车费12元大于起步价6元，所以行驶路程超过3千米。用总花费12元减去起步价6元得到超出3千米部分的总费用，再除以1.5元即可求出超出3千米的最远距离，再加上3千米即可求出他家离单位最远的距离。 【详解】（12－6）÷1.5＋3 ＝6÷1.5＋3 ＝4＋3 ＝7（千米） 即他家离单位最远7千米。 10．用竖式计算。（除不尽的保留两位小数）                                                   【答案】0.585；34.24；111.32； 1.5；30；33.10 【分析】（1）除数是整数的小数除法的计算：按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0，再继续除； （2）除数是小数的小数除法的计算：先根据商不变的性质把除数变成整数，再根据除数是整数的小数除法的计算方法计算； （3）把一个小数保留两位小数：看小数点后的第三位，这个数字大于或等于5，则给百分位上加1再去掉百分位后面的数字，如果这个数字小于5，则直接去掉百分位后面的数字，据此解答。 【详解】2.34÷4＝0.585          8.56÷0.25＝34.24          42.3÷0.38≈111.32 /                   2.25÷1.5＝1.5              18.6÷0.62＝30             19.2÷0.58≈33.10                    11．脱式计算。（能简算的要简算） 9.6÷（3.2＋1.6）                   6.25÷0.25×4 0.395×27.4－17.4×0.395                0.48÷[（6.1－4.6）×0.8] 【答案】；； ；； 【分析】第一个先算小括号里面的加法，再算小括号外面的除法； 第二个从左到右依次计算； 第三个利用乘法分配律进行计算； 第四个先算小括号里面的减法，再算乘法，最后算除法。 【详解】 12．有5.5千克可乐需要装在杯子中，每个杯子可以装0.3千克。至少需要准备多少个杯子？ 【答案】19个 【分析】用可乐总量除以每个杯子可以装的量，结果用“进一法”保留整数。 【详解】5.5÷0.3≈19（个） 答：至少需要准备19个杯子。 13．李阿姨卖出土豆105千克，卖出黄瓜84千克，共收入720.3元。已知土豆每千克3.5元，黄瓜每千克多少元？ 【答案】4.2元 【分析】先用土豆的重量乘单价求出土豆的总售价，用总收入减去土豆的总售价得到黄瓜的总售价，再除以黄瓜的重量，即可求出黄瓜的单价。 【详解】（720.3－105×3.5）÷84 ＝（720.3－367.5）÷84 ＝352.8÷84 ＝4.2（元） 答：黄瓜每千克4.2元。 14．一条高速公路长343千米，一辆客车3.5小时行完全程，一辆货车4小时行完全程。客车每小时比货车多行驶多少千米？ 【答案】12.25千米 【分析】先根据“速度＝路程÷时间”，分别算出客车和货车的速度，再用客车速度减去货车速度，求出速度差。 【详解】343÷3.5－343÷4 ＝98－85.75 ＝12.25（千米） 答：客车每小时比货车多行驶12.25千米。 15．骑行是一种改善人们心肺功能的有氧运动。周末龙龙一家骑车去“农家乐”郊游，全程10.8千米，去时用了3小时，返回时用了2小时。他们往返的平均速度是多少？ 【答案】4.32千米/时 【分析】全程×2＝往返总路程，往返总路程÷往返总时间＝往返的平均速度。 【详解】10.8×2÷（3＋2） ＝21.6÷5 ＝4.32（千米/时） 答：他们往返的平均速度是4.32千米/时。 16．某中央厨房需要配送一批重238千克的食材到分店，人工配送了82.6千克后，剩下的食材由4台智能机器人负责配送。平均每台智能机器人配送多少千克食材？ 【答案】 38.85千克 【分析】先求出配送82.6千克后剩余的食材质量，再将剩余质量平均分给4台智能机器人，通过减法和除法即可计算出结果。 【详解】 ＝ ＝38.85（千克） 答：平均每台智能机器人配送38.85千克食材。 17．甲车和乙车在距离456千米的AB两地相向而行。甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶64千米。已知乙车比甲车提前1.5小时开出，甲车开出多久与乙车相遇？ 【答案】2.5小时 【分析】先根据“路程＝速度×时间”，求出乙车提前1.5小时行驶的路程；再用总路程减去这段路程，得到甲、乙两车同时行驶的路程和；最后根据“相遇时间＝路程和÷速度和”，求出甲车开出后的相遇时间。 【详解】乙车提前行的路程：64×1.5＝96（千米） 两车同时行驶的路程和：456－96＝360（千米） 速度和：80＋64＝144（千米/时） 甲车开出后的相遇时间：360÷144＝2.5（小时） 答：甲车开出2.5小时与乙车相遇。 18．为了鼓励节约用电，某地采取按月分段计费的方法收取电费，调整后收费标准如下表： 每月用电量 收费标准（元/度） 100度以内（含100度） 0.52 超出100度的部分 0.6 (1)若灵灵家9月份的用电量为126度，应缴电费多少元？ (2)强强家9月份电费是61.6元，他家9月份用电量是多少度？ 【答案】(1)67.6元 (2)116度 【分析】（1）因为用电量126度大于100度，所以电费分为两部分计算：100度按0.52元/度计算，超出100度的部分按0.6元/度计算，再将两部分费用相加即可求解。 （2）先用总电费61.6元减去100度的费用（100×0.52＝52）元即可算出超出100度部分的费用，再除以0.6得到超出的用电量，最后加上100度得到总用电量。 【详解】（1）0.52×100＋（126－100）×0.6 ＝52＋26×0.6 ＝52＋15.6 ＝67.6（元） 答：应缴电费67.6元。 （2）61.6－0.52×100 ＝61.6－52 ＝9.6（元） 9.6÷0.6＋100 ＝16＋100 ＝116（度） 答：强强家9月份用电量是116度。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 小数除法（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：小数除法的算理与基本计算法则 1. 除数是整数的小数除法 (1) 核心法则：按照整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 (2) 特殊情况处理：如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除；如果被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点继续除。 (3) 思维拓展：理解“位值原理”，即每一步商的数值代表的是当前数位上的计数单位个数。 2. 除数是小数的小数除法 (1) 转化思想：利用商不变的性质，将除数转化为整数。 (2) 操作步骤： 1　 移动除数的小数点，使其变成整数。 2　 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，在被除数末尾用0补足）。 3　 按照除数是整数的小数除法进行计算。 (3) 易错点警示：被除数移动小数点后，若原整数部分不足，需补0占位，不可遗漏。 知识点二：商的变化规律与性质 1. 商不变性质的深化应用 (1) 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 (2) 推论：在除法算式中，若被除数扩大 倍，除数缩小 倍，则商扩大 倍。 2. 商与被除数的大小关系判断 (1) 当除数 时，商 被除数（被除数 ）。 (2) 当除数 且 时，商 被除数（被除数 ）。 (3) 当除数 时，商 被除数。 (4) 思维拓展：此规律可用于快速估算和检查计算结果的合理性，无需完整计算即可判断数量级。 3. 连除与除法的运算性质 (1) (2) (3) 应用技巧：在简便运算中，观察除数的乘积是否为整十、整百数，优先结合除数进行计算。 知识点三：循环小数的概念与分类 1. 基本概念 (1) 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 (2) 循环节：循环小数中依次不断重复出现的数字。 (3) 有限小数与无限小数：小数部分的位数是有限的小数叫有限小数；小数部分的位数是无限的小数叫无限小数。循环小数属于无限小数。 2. 循环小数的表示法 (1) 简便写法：只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 (2) 示例： 写作 ； 写作 。 3. 思维拓展：周期性问题 (1) 利用循环节的周期性，确定小数点后第 位上的数字。 (2) 计算方法： 循环节位数，看余数。余数是几，就是循环节的第几个数字；若无余数，则是循环节的最后一个数字。 知识点四：商的近似数与实际应用策略 1. 求商的近似数方法 (1) 四舍五入法：计算时，除到比需要保留的小数位数多一位，再按“四舍五入”法取近似值。 (2) 进一法：在解决实际问题时，无论余数是多少，都要向前一位进一。 适用场景：装油桶、运货物、租船/车等（只要有余量，就需要增加一个单位容器或批次）。 (3) 去尾法：在解决实际问题时，无论余数是多少，都直接舍去。 适用场景：做衣服、裁剪材料、购物预算等（剩余部分不足以构成一个完整单位，只能舍去）。 2. 思维拓展：误差分析 (1) 理解近似数带来的误差范围。 (2) 在连续运算中，建议中间过程保留较多小数位数，最后一步再取近似值，以减小累积误差。 知识点五：小数的四则混合运算 1. 运算顺序 (1) 与整数四则混合运算顺序相同： 1　 只有加减或只有乘除，从左往右依次计算。 2　 既有加减又有乘除，先算乘除，后算加减。 3　 有括号的，先算括号里面的（先小括号，再中括号）。 2. 运算定律的推广 (1) 整数乘法的交换律、结合律、分配律对于小数乘法同样适用。 (2) 常见简算模型： 1　 2　 3　 (3) 注意：除法没有分配律，即 。 3. 计算规范 (1) 能简算的要简算，不能简算的按顺序计算。 (2) 注意小数点位置的移动对数值大小的影响，避免抄错数或看错符号。 知识点六：复杂情境下的解题策略 1. 归一法与归总法 (1) 归一法：先求出单一量（单位数量），再求总量或另一个单一量。 (2) 归总法：先求出总量，再根据新的条件求单一量或份数。 (3) 关键：识别题目中的“不变量”（如总价、工作总量、路程等）。 2. 分段计费问题模型 (1) 结构特征：费用标准随数量区间变化（如出租车费、电费、水费）。 (2) 解题步骤： 1　 确定临界点（分界值）。 2　 分段计算：基础部分按基础单价，超出部分按超额单价。 3　 求和：将各段费用相加。 (3) 逆向思维：已知总费用求数量时，需先减去基础费用，再除以超额单价，最后加上基础数量。 3. 相遇与追及问题中的小数运算 (1) 将整数背景替换为小数数据，核心公式不变： 1　 速度和 相遇时间 总路程 2　 速度差 追及时间 路程差 (2) 重点：提高小数混合运算的准确率，注意运算顺序。 重难点题型精讲 题型一、小数除法的算理与基本计算法则 【例题1】列竖式计算，带※的要验算。 35.2÷16＝            38.16÷7.2＝            ※5.6÷0.35＝        2.8÷0.12＝ 【跟踪训练1】列竖式计算。（带*的要验算） 30.45÷29＝     31.52÷0.8＝     1.308÷1.2＝ *7.05÷0.94＝         *14÷0.56＝ 题型二、商的变化规律与性质 【例题2】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 32.8÷0.94( )32.8    0.55÷0.1( )0.55×10    3.7×1.6( )3.7÷1.6 15÷1.98( )15÷0.198    2.8÷0.95( )2.8×0.95    8.8÷0.5( )8.8×2 【跟踪训练2】在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.17÷0.8( )2.17            20.5( )20.5÷3.1 m÷2.5( )m÷0.25（m＞0）    1.25÷a( )1.25÷b（0＜a＜1＜b） 题型三、循环小数的概念与分类 【例题3】3.636363…的简写是( )，循环节是( )，小数点后第297位上的数字是( )。 【跟踪训练3】循环小数2.316316…小数部分第100位上的数字是( )。小数部分前100位数字的和是( )。 题型四、商的近似数与实际应用策略 【例题4】菠菜是一种含铁、锌特别丰富的蔬菜。某蛋糕房研制了一款菠菜糕，要用到菠菜汁，李师傅榨好了3.45升的菠菜汁，将这些菠菜汁分别装在0.91升的保鲜盒，至少需要多少个这样的盒子？ 【跟踪训练4】十一国庆节前几天，某小学的同学们打算做“中国结”来迎接祖国的生日，他们买来50米长的红绳，每个中国结需要3.2米长的红绳，这些一共能做多少个中国结？ 题型五、小数的四则混合运算 【例题5】计算下面各题，能简算的要简算。 0.84×13.5÷0.16     96.5÷5÷0.2     1.25×88 7.8＋2.2×5.54     4.5×2.74－0.74×4.5     0.225÷0.25×4 【跟踪训练5】脱式计算，能简算的要简算。 8.35×1.01－8.35         2.5×0.24             8.4÷0.21÷0.4 7.38×0.42÷0.738         10.5÷1.25÷8         4.8×（23.5÷4.7） 题型六、复杂情境下的解题策略 【例题6】某停车场的收费标准如图所示，笑笑一家周末出行，爸爸开车离开停车场时，共付了14.6元的停车费，笑笑爸爸在停车场最长停了多长时间？ 停车标准： 2小时内：5元 超过2小时：超过的部分每小时2.4元，不足1小时按1小时算。 【跟踪训练6】客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米。两车相遇后又以原速前进，到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。甲、乙两站间的路程是多少千米？ 培优练习 1．下列情境中，不能用10.5÷1.5解决的是（    ）。 A．10.5元人民币可以兑换1.5美元，1元人民币可以兑换多少美元？ B．橡皮的单价是1.5元/块，小丽有10.5元可以买几块？ C．长方形菜地面积是10.5平方米，其中宽是1.5米，问长是多少米？ D．一架直升机飞行10.5千米用时1.5分钟，平均每分钟飞行多少千米？ 2．要使□.09÷5的商大于1，那么□里可以填（    ）。 A．2 B．5 C．4 D．3 3．张老师带了100元钱去超市买文具，一支圆珠笔1.5元，一个笔记本4.5元，张老师买完10支圆珠笔后最多可以再买（    ）本笔记本。 A．17 B．18 C．19 D．20 4．小马虎计算一个数除以17时，误将除号当成加号，算出的结果是71.4，则正确的结果是（    ）。 A．12.8 B．0.3125 C．21.2 D．3.2 5．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4.23×0.99( )4.23    0.76÷0.2( )0.76×5    6.75÷1.15( )6.75 3.6÷0.1( )3.6×10    7.2÷6( )0.36÷0.3    1.28÷0.98( )1.28×0.98 6．根据算式☆÷○＝5.6，将下面各式补充完整。 ☆÷（○×7）＝( )；（☆×10）÷（○×_____）＝11.2。 7．的商的最高位是( )位，用循环小数表示是( )，小数点后第199位上的数字是( )。 8．小明0.8小时行走了4.25千米，按这样的速度，小明走1千米需要( )小时。1小时可以行走( )千米。 9．某市出租车起步价为6元（3千米及以内），超过3千米，超出部分每千米1.5元（不足1千米按1千米算）。王叔叔从家打车去上班共付车费12元，他家离单位最远( )千米。 10．用竖式计算。（除不尽的保留两位小数）                                                   11．脱式计算。（能简算的要简算） 9.6÷（3.2＋1.6）                   6.25÷0.25×4 0.395×27.4－17.4×0.395                0.48÷[（6.1－4.6）×0.8] 12．有5.5千克可乐需要装在杯子中，每个杯子可以装0.3千克。至少需要准备多少个杯子？ 13．李阿姨卖出土豆105千克，卖出黄瓜84千克，共收入720.3元。已知土豆每千克3.5元，黄瓜每千克多少元？ 14．一条高速公路长343千米，一辆客车3.5小时行完全程，一辆货车4小时行完全程。客车每小时比货车多行驶多少千米？ 15．骑行是一种改善人们心肺功能的有氧运动。周末龙龙一家骑车去“农家乐”郊游，全程10.8千米，去时用了3小时，返回时用了2小时。他们往返的平均速度是多少？ 16．某中央厨房需要配送一批重238千克的食材到分店，人工配送了82.6千克后，剩下的食材由4台智能机器人负责配送。平均每台智能机器人配送多少千克食材？ 17．甲车和乙车在距离456千米的AB两地相向而行。甲车每小时行驶80千米，乙车每小时行驶64千米。已知乙车比甲车提前1.5小时开出，甲车开出多久与乙车相遇？ 18．为了鼓励节约用电，某地采取按月分段计费的方法收取电费，调整后收费标准如下表： 每月用电量 收费标准（元/度） 100度以内（含100度） 0.52 超出100度的部分 0.6 (1)若灵灵家9月份的用电量为126度，应缴电费多少元？ (2)强强家9月份电费是61.6元，他家9月份用电量是多少度？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $