第三单元 小数除法-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+18个考点讲练+19个奥数拓展+真题难度分层演练 共94题）2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统梳理小数除法知识体系，知识梳理分计算、商的近似数、循环小数、解决问题四大模块，以算理本质和技巧点拨呈现重难点，形成从基础到应用的递进脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，18个考点讲练涵盖“循环小数周期性规律”等真题题型，19个奥数拓展如“错中求解”提升推理意识，分层演练助力不同学生发展运算能力，教师可精准教学，学生自主复习效率高。

2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第三单元 小数除法『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+18个考点讲练+19个奥数拓展+真题难度分层演练 共94题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 小数除法计算 3 知识点二 商的近似数 4 知识点三 循环小数 4 知识点四 解决问题 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 除数是整数的小数除法 5 高频考点二 除数是整数，商小于1的小数除法 6 高频考点三 除数是整数，需要补0的小数除法 7 高频考点四 循环小数的认识与简写 8 高频考点五 有限小数和无限小数的认识 10 高频考点六 除数是整数的小数除法的应用 10 高频考点七 用“四舍五入”法求商的近似数 11 高频考点八 用归纳法解决计算器探索规律问题 13 高频考点九 循环小数和周期性规律综合问题 14 高频考点十 除数是小数的小数除法 15 高频考点十一 被除数和商的大小关系（小数除法） 16 高频考点十二 除数是小数的小数除法的应用 17 高频考点十三 用“进一法”、“去尾法”解决问题 18 高频考点十四 小数的连除运算 18 高频考点十五 小数的乘、除法混合运算 20 高频考点十六 小数的四则运算及法则 21 高频考点十七 利用小数四则混合运算解决问题 22 高频考点十八 分段计费问题（小数除法) 23 难点突破 奥数拓展 25 奥数拓展一 除数是整数的小数除法计算与应用 25 奥数拓展二 除数是整数，需要补0的小数除法 27 奥数拓展三 循环小数的认识与简写 29 奥数拓展四 有限小数和无限小数的认识 31 奥数拓展五 除数是整数的小数除法的应用 33 奥数拓展六 用“四舍五入”法求商的近似数 34 奥数拓展七 循环小数比大小 36 奥数拓展八 循环小数和周期性规律综合问题 37 奥数拓展九 除数是小数的小数除法 38 奥数拓展十 被除数和商的大小关系（小数除法） 39 奥数拓展十一 除数是小数的小数除法的应用 40 奥数拓展十二 用“进一法”、“去尾法”解决问题 41 奥数拓展十三 小数的连除运算 42 奥数拓展十四 小数的乘、除法混合运算 44 奥数拓展十五 小数的四则运算及法则 45 奥数拓展十六 利用小数四则混合运算解决问题 46 奥数拓展十七 错中求解问题（小数除法) 48 奥数拓展十八 判定被除数的最大值和最小值 49 奥数拓展十九 分段计费问题（小数除法) 49 优选真题 实战演练 51 【能力提升练】 51 【思维创新练】 56 知识点一 小数除法计算 1、除数是整数的小数除法 （1）计算方法：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商的整数部分写“0”，点上小数点后继续除；若除到被除数末尾仍有余数，在余数末尾添“0”继续除。 （2）算理本质：将被除数看成“几个十分之一”“几个百分之一”，转化为整数除法。 【技巧点拨】 （1）商的小数点对齐是关键：避免将商的小数点与除数的小数点对齐。 （2）整数部分不够除需写“0”。 （3）余数添“0”继续除，不能漏添“0”导致商不完整。 2、一个数除以小数 （1）计算方法：看除数有几位小数，就把除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数；同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（若被除数位数不足，用“0”补足）；按“除数是整数的小数除法”计算。 （2）算理依据：商不变的性质——被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。 【技巧点拨】 （1）除数和被除数的小数点移动位数必须相同。 （2）被除数位数不足用“0”补。 知识点二 商的近似数 求近似数的方法：根据题目要求的“保留位数”，除到比保留位数多一位，再用“四舍五入法”取近似值。 【技巧点拨】 （1）除到“多一位”是前提：若要求保留一位小数，需除到小数点后第二位；保留两位小数，除到第三位，不能提前停止计算。 （2）“四舍五入”规则要牢记：看“保留位数的下一位”，小于5舍去，大于或等于5进1。 （3）近似数用“≈”连接。 （4）结合实际确定保留位数。 知识点三 循环小数 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数。 4、循环小数一定是无限小数。 【技巧点拨】 （1）只有“依次不断重复”的数字才是循环节。 （2）循环节标记要准确：若循环节是多个数字，需在首位和末位各点一个点；若循环节是单个数字，在该数字上点一个点即可。 （3）循环小数的近似值：取循环小数的近似数时需除到比保留位数多一位，再用四舍五入法。 知识点四 解决问题 1、用 “进一法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分不够1，也要向整数部分进1，确保“所有物品都能被容纳或完成任务”。 （2）适用场景：装东西（如装水、装粮食）、运输货物、分配容器等“必须将物品全部装完或运完”的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“进一”的必要性：只有当“剩余部分也需要1个单位”时才用进一法，不能随意使用。 （2）结果必须是整数：进一法的结果是比精确商大的最小整数。 （3）避免与“四舍五入”混淆。 2、用 “去尾法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分接近1，也要舍去小数部分，只保留整数部分，确保 “物品数量为完整的个体”。 （2）适用场景：做衣服、裁布料、做蛋糕、剪绳子等“需要完整个体，剩余材料不够做1个” 的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“去尾”的合理性：只有当“剩余部分不够做1个完整个体”时才用去尾法，不能盲目舍去。 （2）结果必须是整数：去尾法的结果是比精确商小的最大整数。 （3）与“进一法”的场景区分：装东西用进一法（需全部装完），做东西用去尾法（需完整个体），避免混淆（如“用瓶子装水”用进一法，“用布做衣服”用去尾法）。 高频考点一 除数是整数的小数除法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）下面四个算式中，结果最小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】分别计算四个算式的结果，比较大小后就能找到结果最小的选项。 【规范解答】A． B． C． D． 【变式训练】（25-26五年级上·山西临汾·期末）张大伯家今年一共收获了21.6吨白菜，用一辆载重4吨的卡车来运，至少（    ）次才能运完。 A．4 B．5 C．5.4 D．6 【答案】D 【思路引导】总次数＝白菜总重÷一辆卡车的载重，结果用“进一法”取整数。 【规范解答】21.6÷4≈6（次） 至少6次才能运完。 高频考点二 除数是整数，商小于1的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·北京海淀·期末）下面算式的得数与N最接近的是（    ）。 A．0.35÷4.9 B．3.5÷4.9 C．3.5÷49 D．3.5×0.49 【答案】B 【思路引导】观察可知，N大于0.5又小于1。根据除数是小数的小数除法法则：先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；然后按照除数是整数的小数除法来除 。小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。如果积的小数部分末尾有0，要把0去掉。分别计算出各选项的结果，除不尽的采用“四舍五入法”保留结果到可比较的位数，再选择。 【规范解答】A．； B．； C．； D．。 1.715＞1＞0.714＞0.5＞0.071 故答案为：B 【变式训练】（24-25五年级上·湖北荆州·期中）列竖式计算。 3.85×2.6＝       20.16÷28＝         5.61÷6.1≈   （保留一位小数） 【答案】10.01； 0.72 ；0.9 【思路引导】小数乘法法则：先按整数乘法的法则先求出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 除数是整数的小数除法，与整数除法一样。都是按照整数除法的法则去除，除到哪一位商就写在那一位的上面；商的小数点要和被除数的小数点对齐；遇到整数部分不够商“1”就商“0”；如果除到被除数的末尾仍有余数，添0继续除。除数是小数的除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。除不尽的保留一位小数，即除到小数点后第二位，看小数点后面第二位的数字是几，根据“四舍五入”法取近似数。 【规范解答】3.85×2.6＝10.01 20.16÷28＝ 0.72         5.61÷6.1≈0.9                  高频考点三 除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏常州·期末）如图是竖式计算“15.35÷5”的错误过程，判断错误的原因是（    ）。 A．小数点的位置点错了 B．商的小数点没有与被除数的小数点对齐 C．除到不够商1时，商没有用0占位 D．被除数没有添0继续除 【答案】C 【思路引导】根据小数除法的计算方法，先按照整数除法的计算方法计算，商的小数点和被除数的小数点对齐，如果除到最后没除尽，在被除数的末尾加0继续除；观察算式，十分位上的3落下来，3不够除，对应商的位置部分应该加0，再落下5，组成35，商的位置填7。 【规范解答】A．小数点位置正确，说法错误。 B．算式中商的小数点和被除数的小数点对齐了；说法错误； C．除到不够商1时，也就是十分位商0，题干没有商0，说法正确。 D．算式算到最后能除尽，不需要商0，原说法错误。 判断错误的原因是：除到不够商1时，商没有用0占位 【变式训练】（25-26五年级上·陕西延安·期末）解方程。 （1）        （2）        （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）根据等式的性质，两边同时除以8； （2）根据等式的性质，两边先同时减1.6，再同时除以0.5； （3）先计算出左边式子的结果，再根据等式的性质，两边同时除以4。 【规范解答】（1）    解： （2） 解： （3） 解： 高频考点四 循环小数的认识与简写 【典例精讲】（25-26五年级上·广西桂林·期末）用竖式计算。 62.9÷17.5≈（保留一位小数）   9÷3.6＝    12.6÷12＝    14.2÷11＝（商用循环小数） 【答案】3.6；2.5；1.05； 【思路引导】除数是整数的小数除法：按照整数的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如果被除数比除数小，商的个位上写“0”；如果被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答； 循环小数简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【规范解答】62.9÷17.5≈3.6       9÷3.6＝2.5                   12.6÷12＝1.05       14.2÷11＝                       【变式训练】（25-26五年级上·山东枣庄·期末）如果，，，那么7÷A＝( )。 【答案】0. 【思路引导】观察题干信息可以发现，被除数乘几，商就乘几，且商是循环小数，循环节为0.09×被除数的小数部分 。 【规范解答】0.09×被除数的小数部分为循环节值，故7÷A的循环节为63，所以7÷A＝ 高频考点五 有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】下列说法正确的是（    ）。 A．小数可以分为有限小数和循环小数。 B．两数相除的商不是整数就是小数。 C．有限小数一定小于循环小数。 【答案】B 【思路引导】小数可以分为有限小数和无限小数，无限小数包括循环小数和不循环小数；两数相除的商，不是整数就是小数；小数比较大小要按照先比较整数部分，整数部分大的则大；整数部分相同，再比较十分位，十分位大的则大；十分位相同，再比较百分位……以此类推，直到比较出大小为止；据此判断即可。 【规范解答】A．小数可以分为有限小数和无限小数，无限小数包括循环小数和不循环小数，原题说法错误，不符题意； B．两数相除的商不是整数就是小数，如：0÷1＝0，1÷2＝0.5，原题说法正确，符合题意； C．有限小数不一定小于循环小数，如0.5＞0.111……，原题说法错误，不符题意。 故答案为：B 【变式训练】（23-24五年级上·山东菏泽·期中）无限小数都有循环节。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】无限小数：是小数点后面有无限多个不全为“0”的数字的小数。 无限循环小数：一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。 【规范解答】无限小数不一定是循环小数，循环小数才有循环节，所以原题说法错误。 故答案为：× 高频考点六 除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽蚌埠·期中）李师傅5小时做40个零件，平均每小时做( )个零件，平均做一个零件需要( )小时。 【答案】 8 0.125 【思路引导】求李师傅平均每小时做零件的个数，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用做的零件个数除以时间，即可求出平均每小时做多少个零件。 求平均做一个零件需要的时间，用做零件的时间除以零件的个数。 【规范解答】40÷5＝8（个） 5÷40＝ 0.125（小时） 李师傅5小时做40个零件，平均每小时做8个零件，平均做一个零件需要0.125小时。 【变式训练】（24-25五年级上·河南周口·期末）妈妈在菜市场买了3kg鲫鱼付了30元，找回1.8元，平均每千克鲫鱼多少元？列综合算式是( )。 【答案】（30－1.8）÷3＝9.4（元） 【思路引导】先用30减1.8求出买3千克鲫鱼花的钱数，再根据单价＝总价÷数量，列式为：（30－1.8）÷3。 【规范解答】（30－1.8）÷3 ＝28.2÷3 ＝9.4（元） 所以列综合算式是（30－1.8）÷3＝9.4（元）。 高频考点七 用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏扬州·期末）竖式计算。 37.2＋3.08＝        9.2−4.94＝ 0.28×0.45（精确到百分位）≈ 8.89÷1.7（得数保留两位小数）≈ 【答案】40.28；4.26 0.13 5.23 【思路引导】小数加减法的计算方法：把两个小数的小数点对齐，也就是让相同的数位对齐，从最低位开始，按照整数加减法的规则进行计算，满十进一，不够减就向前一位借一当十。计算完成后，在结果里对齐上面的小数点，点上小数点。 小数乘法的运算法则：先按照整数乘法算出积，再点小数点；点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 精确到百分位，就是保留两位小数，要看小数点后面第三位是几，根据四舍五入法取近似值即可。 除数是小数的小数除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 【规范解答】37.2＋3.08＝40.28 9.2−4.94＝4.26                  0.28×0.45（精确到百分位）≈0.13 8.89÷1.7（得数保留两位小数）≈5.23 【变式训练】（25-26五年级上·云南玉溪·期末）水果店中一箱橙子售价45.6元，张阿姨打算买1.5箱（按重量折算，可拆分），带70元够吗？下面是四名同学的解题思路，他们的思路正确吗？请在括号里判断“√”或“×”，并选择一种正确解法说明理由。 小辰：45.6×1.5≈46×1.5＝69元，69＜70，所以够。( ) 小悠：45.6×1.5≈45×1.5＝67.5元，67.5＜70，所以够。( ) 小铭：70÷45.6≈70÷46≈1.52箱，1.52＞1.5，所以够。( ) 小希：70÷1.5≈46.67元，46.67＞45.6，所以够。( ) 我选择的是( )的解法，理由是：_________________________________________。 【答案】 √ × √ √ 小辰 把45.6估大到46，计算得69元，实际费用小于69元，所以70元够 【思路引导】小辰把45.6看成46，是把单价往大估，计算出的69元比实际总价要高，高估后的价格仍小于70元，就可以确定实际总价一定小于70元，所以带70元够，思路正确。 小悠把45.6看成45，是把单价往小估，计算出的67.5元比实际总价低，无法确定实际总价是否超过70元，所以思路错误。 小铭用70元除以单价估算能买的箱数，把45.6看成46往大估，得到1.52箱，比1.5箱多，说明70元够，思路正确。 小希用70元除以1.5箱，算出每箱的最高承受价格约46.67元，这个价格高于实际单价45.6元，说明70元够，思路正确。 任选一种正确的思路，写出对应的理由即可。 【规范解答】小辰：45.6×1.5≈46×1.5＝69元，69＜70，所以够。（√）　　　　　　   小悠：45.6×1.5≈45×1.5＝67.5元，67.5＜70，所以够。（×）　　　　　　   小铭：70÷45.6≈70÷46≈1.52箱，1.52＞1.5，所以够。（√）　　　　　　   小希：70÷1.5≈46.67元，46.67＞45.6，所以够。（√）　　　　　　   我选择的是小辰的解法，理由是：把45.6估大到46，计算得69元，实际费用小于69元，所以70元够。（答案不唯一） 高频考点八 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】已知1÷A＝0.09，2÷A＝0.18，3÷A＝0.27，4÷A＝0.36，那么（    ）÷A＝0.63。 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【思路引导】由题意可知，被除数是从1开始的自然数，除数都是A，商＝被除数×0.09，据此解答。 【规范解答】1÷A＝0.09＝0.09×1 2÷A＝0.18＝0.09×2 3÷A＝0.27＝0.09×3 4÷A＝0.36＝0.09×4 5÷A＝0.45＝0.09×5 6÷A＝0.54＝0.09×6 7÷A＝0.63＝0.09×7 故答案为：B 【考点剖析】找出商和被除数的变化规律是解答题目的关键。 【变式训练】根据1÷37＝，2÷37＝，3÷37＝，4÷37＝，则7÷37＝( )。 【答案】 【思路引导】以第一个算式为基础，每个算式除数不变，被除数分别扩大2倍，3倍，4倍，相应的商也扩大2倍，3倍，4倍，在算式7÷37中，除数不变，被除数扩大7倍，商扩大7倍，应是×7＝，据此解答即可。 【规范解答】 【考点剖析】本题考查用计算器探索规律，解答本题的关键是掌握算式的规律。 高频考点九 循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·单元复习）在循环小数0.ABCABC⋯中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（、、为3个不同的自然数） 【答案】510；015 【思路引导】循环节的数位是三位，那么前90位有多少组这样的循环节，就用90÷3求得；再用前90位数字和180除以30，得出一组的和是6，A、B、C又是3个不同的自然数，那么会有：6＝5＋1＋0、6＝4＋2＋0、6＝3＋2＋1，6＝0＋1＋5，所以这个循环小数的循环节最大是510，最小是015。 【规范解答】循环节的个数：90÷3＝30（个） 循环节上数字的和：180÷30＝6 把6写成三个不同自然数和的形式有： 6＝5＋1＋0 6＝4＋2＋0 6＝3＋2＋1 6＝0＋1＋5 组成最大的三位数是0.510，最小的是0.015。 答：这个循环小数的循环节最大是510，最小是015。 【变式训练】（24-25五年级上·湖北咸宁·期中）3.1÷0.74的商的小数点后面第2024位上的数字是（    ）。 A．4 B．2 C．8 D．5 【答案】C 【思路引导】先根据除数是小数的小数除法计算法则算出3.1÷0.74的商是循环小数，循环节是189，每3个数字一循环，求商的小数点后面第2024位上的数字，就是求2024里面有几个3，用除法计算；余数是几，就表示是一个循环里的第几个数，即可得解。 【规范解答】3.1÷0.74＝ 2024÷3＝674……2 余数是2，表示是一个循环里的第2个数，即8； 所以，3.1÷0.74的商的小数点后面第2024位上的数字是8。 故答案为：C 高频考点十 除数是小数的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）竖式计算，除不尽的保留两位小数。 2.04×8.5＝    6.85÷0.45≈ 【答案】17.34；15.22 【思路引导】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，如果位数不够，就用“0”补足； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算，保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，利用“四舍五入”法保留两位小数。 【规范解答】2.04×8.5＝17.34                      6.85÷0.45≈15.22                   【变式训练】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）直接写出得数。 6.3÷0.9÷7＝    2.9×0.5＝    5.9×0.2＝    3.6×7＝    4.3×0.3＝ 5.9×0.9＝    9.4×0.8＝    7.5×6＝    1.3×8.3＝    3.8×7＝ 【答案】 1；1.45；1.18；25.2；1.29； 5.31；7.52；45；10.79；26.6 【解析】略 高频考点十一 被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】在括号里填上合适的运算符号。 0.87( )1.2＝1.044                 73( )0.2＝365 【答案】 × ÷ 【思路引导】（1）一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大，1.044比0.87和1.2大，则括号里面填“＋”或“×”，0.87＋1.2＞1.2，不符合题意，所以0.87×1.2＝1.044； （2）被除数大于0时，被除数除以小于1的数，所得结果一定大于原来这个数，365比73大，则括号里面填“＋”或“÷”，73＋0.2＝73.2，不符合题意，所以73÷0.2＝365。 【规范解答】分析可知，0.87（   ×   ）1.2＝1.044   73（   ÷   ）0.2＝365 【考点剖析】根据乘数和积、被除数和商的关系选择合适的运算符号是解答题目的关键。 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 15×1( )15×0.8   4.8÷1.2( )4.8     0.82×0.99( )0.82 4.62÷1.05( )4.62     5.94÷0.9( )5.94     2.75×1.01( )2.75 【答案】 ＞ ＜ ＜ ＜ ＞ ＞ 【思路引导】（1）一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小；一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大； （2）被除数大于0时，被除数除以大于1的数，所得结果一定小于原来这个数；被除数大于0时，被除数除以小于1的数，所得结果一定大于原来这个数；据此解答。 【规范解答】（1）因为1＞0.8，所以15×1＞15×0.8 （2）1.2＞1，则4.8÷1.2＜4.8 （3）0.99＜1，则0.82×0.99＜0.82 （4）1.05＞1，则4.62÷1.05＜4.62 （5）0.9＜1，则5.94÷0.9＞5.94 （6）1.01＞1，则2.75×1.01＞2.75 【考点剖析】掌握积和乘数、商和被除数的关系是解答题目的关键。 高频考点十二 除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（23-24五年级上·江苏盐城·期末）学校图书馆长9.7米，宽5.3米，用边长0.9米的正方形瓷砖铺地，（    ）块够。（不考虑损耗） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】C 【思路引导】首先，计算学校图书馆的面积，面积通过长×宽来计算，学校图书馆长9.7米，宽5.3米，所以面积为9.7×5.3平方米。然后，计算每块正方形瓷砖的面积，瓷砖边长为0.9米，面积通过边长×边长来计算，即0.9×0.9平方米。最后，用图书馆的面积除以每块瓷砖的面积，即（9.7×5.3）÷（0.9×0.9），据此解答。 【规范解答】（9.7×5.3）÷（0.9×0.9） ＝51.41÷0.81 ≈64（块） 所以70块够。 故答案为：C 【变式训练】购买（    ）种包装的酱油比较便宜，（    ）种包装的最贵。 ①   ②   ③ A．①；② B．①；③ C．②；③ 【答案】A 【思路引导】已知三种包装的容量及价格，根据除法的意义，用钱数除以容量分别求出三种包装每升的价格即能确定哪种酱油比较便宜。 【规范解答】①350毫升＝0.35升，1.00÷0.35≈2.86（元） ②1000毫升＝1升，4.50÷1＝4.50（元） ③7.50÷1.75≈4.29（元） 2.86＜4.29＜4.50 所以买①种包装的酱油比较便宜，买②种包装的最贵。 故答案为：A 高频考点十三 用“进一法”、“去尾法”解决问题 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）每个空瓶可以装2.5kg色拉油，李阿姨要把25.7kg色拉油装在这样的瓶子里，至少需要（    ）个这样的瓶子。 A．10 B．11 C．12 【答案】B 【思路引导】所需瓶子数量等于色拉油总质量除以每个瓶子的装油量，剩余的色拉油也需要1个瓶子盛放，结果用进一法取整数。 【规范解答】25.7÷2.5＝10.28（个） 10＋1＝11（个） 所以至少需要11个这样的瓶子。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）分装58千克食用油，若每个油桶可装油4.8千克，求需要准备多少个油桶，要用（    ）取近似值。 A．“四舍五入”法 B．“进一”法 C．“去尾”法 【答案】B 【思路引导】求需要准备多少个油桶，就是求58里有多少个4.8，用除法计算，计算结果不是整数时，要用“进一”法保留整数，因为无论余下多少千克油，都需要再装一个油桶。据此解答。 【规范解答】58÷4.8≈13（个）需要准备13个油桶。 分装58千克食用油，若每个油桶可装油4.8千克，求需要准备多少个油桶，要用“进一”法取近似值。 故答案为：B 高频考点十四 小数的连除运算 【典例精讲】怎样简便就怎样算。 1.27＋3.9＋0.73＋6.1      2.4×1.02       13÷2.5÷0.4      55×4.8＋52×5.5 【答案】12；2.448；13；550 【思路引导】（1）利用加法结合律简便计算； （2）（4）利用乘法分配律简便计算； （3）利用除法性质简便计算。 【规范解答】（1）1.27＋3.9＋0.73＋6.1 ＝（1.27＋0.73）＋（3.9＋6.1） ＝2＋10 ＝12 （2）2.4×1.02 ＝2.4×（1＋0.02） ＝2.4×1＋2.4×0.02 ＝2.4＋0.048 ＝2.448 （3）13÷2.5÷0.4 ＝13÷（2.5×0.4） ＝13÷1 ＝13 （4）55×4.8＋52×5.5 ＝5.5×48＋52×5.5 ＝5.5×（48＋52） ＝5.5×100 ＝550 【变式训练】用你喜欢的方法计算。 3.5÷2.5÷4                     2.8－0.8÷0.4          6.6÷0.4—18×0.4               64÷（8.1－7.7） 【答案】0.35；0.8 9.3；160 【思路引导】3.5÷2.5÷4，根据除法性质，原式化为：3.5÷（2.5×4），再进行计算； 2.8－0.8÷0.4，根据运算法则，先计算除法，再计算减法； 6.6÷0.4－18×0.4，根据小数四则混合运算法则，先计算除法和乘法，再计算减法； 64÷（8.1－7.7），先计算括号里的减法，再计算除法。 【规范解答】3.5÷2.5÷4 ＝3.5÷（2.5×4） ＝3.5÷10 ＝0.35 2.8－0.8÷0.4 ＝2.8－2 ＝0.8 6.6÷0.4－18×0.4 ＝16.5－7.2 ＝9.3 64÷（8.1－7.7） ＝64÷0.4 ＝160 高频考点十五 小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】用你喜欢的方法计算。 37.5÷［0.3×（1.34－0.84）］        2.1÷0.25÷4        3.4×7.8÷3.9 【答案】250；2.1；6.8 【思路引导】先算小括号的减法，再算中括号的乘法，最后算括号外的除法； 根据除法的性质，连续除以两个数等于除以这两个数的积； 可先算后面的除法，再算前面的乘法。 【规范解答】37.5÷［0.3×（1.34－0.84）］ ＝37.5÷［0.3×0.5］ ＝37.5÷0.15 ＝250； 2.1÷0.25÷4 ＝2.1÷（0.25×4） ＝2.1÷1 ＝2.1； 3.4×7.8÷3.9 ＝ 3.4×（7.8÷3.9） ＝3.4×2 ＝6.8 【变式训练】小马虎又马虎了，在计算一个数除以3.6时错算成了除以6.3，结果是1.2。这道题的正确答案应是（    ）。 A．27.216 B．3.24 C．2.1 【答案】C 【思路引导】因为一个数除以6.3，得到的结果是1.2，可求出被除数是6.3×1.2，这是正确的被除数，再用被除数除以正确的除数3.6就是正确的结果。 【规范解答】6.3×1.2÷3.6 ＝7.56÷3.6 ＝2.1 这道题的正确答案应是2.1 故答案选：C 【考点剖析】此题中的被除数是不变的，解答的关键在于求出被除数，进而解决问题。 高频考点十六 小数的四则运算及法则 【典例精讲】脱式计算，能简算的要简算。 20÷1.25÷8        3.64－16÷5×0.56 7.52×10.65－7.52×0.65        102×0.32 【答案】；1.848 ；32.64 【思路引导】第一题利用除法的性质进行简算； 第二题先计算除法和乘法，再计算减法； 第三题利用乘法分配律进行简算； 第四题将102拆分成100＋2，再利用乘法分配律进行简算。 【规范解答】20÷1.25÷8    ＝20÷（1.25×8） ＝20÷10 ＝2； 3.64－16÷5×0.56 ＝3.64－3.2×0.56 ＝3.64－1.792 ＝1.848； 7.52×10.65－7.52×0.65 ＝7.52×（10.65－0.65） ＝75.2； 102×0.32 ＝（100＋2）×0.32 ＝100×0.32＋2×0.32 ＝32.64 【变式训练】计算下面各题（用你喜欢的方法计算，但必须写下计算的过程）。 （1）0.27×35÷0.21      （2）8÷2.5×4      （3）0.35×6.4－5.4×0.35 【答案】45；12.8；0.35 【思路引导】（1）按照从左到右的顺序，先算乘法，再算除法； （2）按照从左到右的顺序，先算除法，再算乘法； （3）运用乘法分配律进行简算。 【规范解答】（1）0.27×35÷0.21 ＝9.45÷0.21 ＝45      （2）8÷2.5×4 ＝3.2×4 ＝12.8       （3）0.35×6.4－5.4×0.35 ＝0.35×（6.4－5.4） ＝0.35×1 ＝0.35 高频考点十七 利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·河北·课后作业）南京长江大桥是长江上第一座由中国自行设计和建造的双层式铁路、公路两用桥梁，铁路桥全长约6.8千米。一列火车以每小时150千米的速度经过一根电线杆用了0.14分钟（电线杆的宽度忽略不计）。这列火车以同样的速度经过南京长江大桥时大约需要多少分钟？ 【答案】2.86分钟 【思路引导】先根据进率“1小时＝60分钟”把火车速度150千米/时换算成2.5千米/分，已知这列火车0.14分钟经过一根电线杆，根据“路程＝速度×时间”求出车长； 那么这列火车以同样的速度经过全长约6.8千米的南京长江大桥，这列火车从车头进入大桥至车尾离开大桥一共要行驶的路程是（车长＋桥长），根据路程÷速度＝时间，求出这列火车经过南京长江大桥的时间。 【规范解答】150÷60＝2.5（千米/分） 2.5×0.14＝0.35（千米） （0.35＋6.8）÷2.5 ＝7.15÷2.5 ＝2.86（分钟） 答：这列火车以同样的速度经过南京长江大桥时大约需要2.86分钟。 【变式训练】（25-26五年级下·辽宁辽阳·期末）李老师给全班每名学生准备了3本练习本，每本练习本1.8元，总共花了205.2元。这个班共有多少名学生？ 【答案】 名 【思路引导】先算出每名学生的练习本总费用，再用总花费除以每名学生的费用，即可求出学生人数。 【规范解答】 （名） 答：这个班共有名学生。 高频考点十八 分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（2026·湖南长沙·小升初真题）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水15吨以内（含15吨），按2.88元/吨收取；超出15吨但不超过22吨（含22吨）的部分，按3.64元/吨收取，超过22吨的部分，按4.39元/吨收取。 (1)小明家10月份用水12吨，应缴水费多少元？ (2)11月份用了21吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家10月份缴水费57.76元，她家10月份用水多少吨？ 【答案】(1)34.56元 (2)65.04元 (3)19吨 【思路引导】明确收费的三个区间分界点：15吨、22吨，以及对应区间的单价，首先判断用水量或水费所属的收费区间 已知用水量求水费的问题：如果用水量在第一区间，那么直接用水量乘对应单价即可；如果用水量在第二区间，那么先计算15吨的费用，再加上超出15吨部分乘第二区间单价；如果用水量在第三区间，那么分别计算三个区间的费用再求和。 已知水费求用水量的问题：先计算第一区间满额费用，判断水费是否超出该费用，如果未超出则直接除以第一区间单价得用水量；如果超出则再计算第二区间满额总费用，判断是否超出第二区间总费用，若未超出则先减去第一区间费用，剩余部分除以第二区间单价得到超出15吨的水量，再加15吨得总用水量；若超出第二区间总费用则对应计算第三区间水量。 【规范解答】（1）小明家应缴水费 12吨吨，全部按第一档计费：（元） 答：小明家10月份用水12吨，应缴水费元。 （2）21吨水应缴水费 15吨吨吨，分两档计费： 15吨费用：（元） 超出15吨的部分：（吨），费用（元） 总水费：（元） 答：11月份用了21吨水，应缴水费元。 （3）小红家用水量 先判断用水量档位： 15吨总水费：（元） 22吨总水费： （元） 因为，所以用水量在15~22吨之间。 超出15吨的费用：（元） ，超出15吨的水量：（吨） 总用水量：（吨） 答：她家10月份用水吨 。 【变式训练】（24-25六年级下·江苏南通·期末）代驾已成为热潮，让不方便开车的人群多了一点安全。如表是某代驾公司的收费标准。（不满1千米按1千米收费） 收费标准 时间段 起步价格 里程费 07：00～23：59 9.9元（2千米及以内） 超过起步价里程，但没有超过12千米的单价是每千米4元，超过12千米以后，每千米再加收1.5元 00：00～06：59 18元（3千米及以内） 某天凌晨1：00，王叔叔向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费92.5元，此次代驾最多行驶了多少千米？ 【答案】19千米 【思路引导】首先要确定王叔叔叫代驾的时间段对应的收费标准，然后根据总费用逐步减去各段的费用，从而算出超出部分的里程，最后加上起步里程得到总行驶里程。王叔叔凌晨1：00叫代驾，适用00：00−06：59的收费标准。 【规范解答】92.5－18－（12－3）×4 ＝74.5－9×4 ＝38.5（元） 38.5÷（4＋1.5） ＝38.5÷5.5 ＝7（千米） 12＋7＝19（千米） 答：此次代驾最多行驶了19千米。 奥数拓展一 除数是整数的小数除法计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级下·河南安阳·期末）一条河的水流速度为2千米/时，甲船在下游A港，速度为12千米/时，乙船在中游B港，速度为4千米/时，A、B两港相距12千米，甲、乙两船同时同向出发，开往距B港88千米的上游C港，甲到达C港后立刻返回，问甲和乙迎面相遇的地点与C港相距多远？ 【答案】59.5千米 【思路引导】顺水船速＝船在静水中的速度＋水速，逆水船速＝船在静水中的速度－水速；甲船从A港行驶至C港，逆水行驶，先求出逆水船速，再根据时间＝路程（AB＋BC）÷速度，求出甲船所用时间；根据路程＝速度×时间，求出乙船在该时间段内行驶的路程（乙船从B港行驶至C港，也是逆水行驶）；甲船从C港返回，顺水行驶，求出船速（此时乙船仍是逆水行驶），根据相遇时间＝总路程（88－20）÷速度之和，求出甲和乙迎面相遇的时间，×甲的顺水船速，即可求得甲和乙迎面相遇的地点与C港相距的距离。 【规范解答】甲船：A港—C港，逆水行驶，船速为12－2＝10（千米/时） 需要的时间：（12＋88）÷10 ＝100÷10 ＝10（时） 乙船：B港—C港，逆水行驶，船速为4－2＝2（千米/时） 乙船10时内行驶的路程为2×10＝20（千米） 甲船从C港返回，顺水行驶，船速为12＋2＝14（千米/时） 相遇用时：（88－20）÷（14＋2） ＝68÷16 ＝4.25（时） 4.25×14＝59.5（千米） 答：甲和乙迎面相遇的地点与C港相距59.5千米。 【变式训练】学校买来72只桶，共交了□67.9□元钱，（□内的数字辨认不清）请你算出每只桶要用多少元？ 【答案】5.11元 【思路引导】可以把□67.9□元看成□679□分，因为是72个桶的总价，所以，这个数一定能被72整除，72＝8×9，可以根据能被8和9整除的特征求出各□的数。 被8整除的特征是后三位数是8的倍数，所以，79□的□内应填2，又知□＋6＋7＋9＋2＝24＋□能被9整除，因此前面□内应填3。那么72只桶总价钱是367.92元，然后用总价÷数量＝单价即可。 【规范解答】由分析得， 被8整除的特征是后三位数是8的倍数，所以，79□的□内应填2， 又知□＋6＋7＋9＋2＝24＋□能被9整除，因此前面□内应填3。 那么72只桶总价钱是367.92元， 367.92÷72＝5.11（元） 答：每只桶要用5.11元。 【考点剖析】此题考查的是倍数的应用，解答此题关键是掌握能被8和9整除的特征。 奥数拓展二 除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（26-27五年级·全国·暑假作业）请结合“买书”的情境（4套书93元），用自己的话说一说：在计算93÷4时，为什么要先在商的个位写3，然后在余数1后面添0继续除？这个“添0”的过程实际上是在做什么？ 【答案】在计算93÷4时，先用93个一除以4。十位商2后余1个十，与个位的3合起来是13个一，13个一除以4商3个一，余1个一，所以商的个位写3。 此时余数是1，表示还剩1个一（在实际情境中即还剩1元）。因为1元不够平均分成4份，需要化成更小的单位继续分。在余数1后面添0，同时商点上小数点，实际上是将1个一转化为10个十分之一（即把1元化成10角），这样就可以继续除以4，求出小数部分的商。 【思路引导】本题考查小数除法中“整数除以整数，商是小数”的算理理解。把“93÷4”放到买4套书一共93元这个情境里，分步说明如下： 第一步：先分“整十元的钱”。93元可以看成：9张10元＋3张1元。现在要平均分给4套书，那我们先分这9张10元的，每套书先拿2张10元（也就是20元），4套一共拿走8张10元。剩下1张10元（也就是10元）没法再整张地分给4套了。所以商的十位上是2，余下的1在十位上，表示“还剩1个10元”。 第二步：为什么商的个位先写3？现在把剩下的这1张10元换成10个1元，加上原来就有的3个1元，一共是13个1元。13个1元分给4套，每套最多拿3个1元（3元），4套拿走12个1元。剩下1个1元。所以商的个位是3，表示每套书已经分了20元＋3元＝23元。 第三步：为什么要在余数1后面添0继续除？现在还剩1元，分给4套，每套分不到1元了，但钱还可以继续细分（比如角、分）。这个“添0”就是把剩下的1元，换成10个1角（也就是10角）。所以在竖式里，余数1后面添一个0，就表示“1元＝10角”，现在我们要继续分这10角。10角÷4＝2角，每套再得2角，4套用掉8角，还剩2角。再添0变成20分，现在我们要继续分这20分。20分÷4＝5分，每套再得5分，4套用掉20分，正好分完。 所以“添0”的过程实际上是把上一轮剩下的单位，拆成更小的单位，让除法能继续进行，从而得到更精确的结果。它在小数除法里就是“把余数细化成低一级单位”的过程。 【变式训练】（2025·重庆渝北·小升初真题）B地在A，C两地之间。甲从B地到A地去，甲出发后1小时乙从B地出发到C地，乙出发后1小时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从B地出发骑车去追赶甲和乙。已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地所用时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？ 【答案】丙应先追乙再返回追甲 【思路引导】分两种情况：①若先追甲，甲已走了2小时，则追上甲需1小时，返回B地又用1小时，此时乙已走了3小时，再追上乙需1.5小时，返回B地再用1.5小时，共用5小时。②若先追乙，乙已走了1小时，则追上乙需0.5小时，返回B地又用0.5小时，此时甲已走了3小时，再追上甲需1.5小时，返回B地再用1.5小时，共用4小时。据此解答。 【规范解答】先追甲，再追乙： （1＋1）÷（3－1）×2 ＝2÷2×2 ＝2（小时） （1＋2）÷（3－1）×2 ＝3÷2×2 ＝3（小时） 2＋3＝5（小时） 先追乙，再追甲： 1÷（3－1）×2 ＝1÷2×2 ＝1（小时） （1＋1＋1）÷（3－1）×2 ＝3÷2×2 ＝3（小时） 1＋3＝4（小时） 5＞4，先追乙，再追甲。 答：丙应先追乙再返回追甲。 【考点剖析】本题主要考查追及问题，解题时注意无论先追谁追上后返回B地所用时间应乘2，另一人所走的时间也要加上这段时间。 奥数拓展三 循环小数的认识与简写 【典例精讲】（25-26五年级下·浙江温州·期末）我们学习了分数和小数互化。分数可以转化为有限小数或者无限循环小数。 (1)把转化为循环小数是( )。 (2)我们已经学会了把有限小数转化为分数，那么，无限循环小数又该怎么转化成分数呢？请你仔细观察下面的转化过程，然后找出其中的规律。 转化1： 转化2： 转化3： 根据规律，＝( )＝( )。 (3)我们还可以用方程的方法探究这种规律背后的秘密。 设 那么 将上面两式相减，得 所以 请你阅读上面的证明过程，把化成分数。 设 那么（    ）×x＝（    ） 将上面两式相减，得 请在此处写出过程 所以（    ）。 (4)如果一个最简分数化成小数后是，利用方程的方法求出这个最简分数。 【答案】(1) (2) (3)100；； (4)设，这个小数的循环节是3位，那么 解： 所以这个最简分数是。 【思路引导】（1）因为分数化小数用分子除以分母的方法，所以直接计算，观察商的循环规律得到结果。 （2）观察给出的3个转化例子可以发现规律：纯循环小数的循环节有几位，分母就是几个9，分子就是循环节组成的整数，最后再约分成最简分数。的循环节是3位，所以分母就是999，约分成最简分数即可。 （3）因为的循环节是2位，所以需要将x扩大100倍，使扩大后的数的小数部分和原x的小数部分完全相同，再通过两式相减消去循环部分，解方程得到分数。 （4）先按照（3）中的方程法，设，根据循环节位数确定扩大的倍数，列方程求出对应分数，再将分数约分为最简形式。 【规范解答】（1），循环节是63，写成循环小数就是。 （2） （3）设，这个小数的循环节是2位，那么： 解： 所以 （4）设，这个小数的循环节是3位，那么 解： 所以这个最简分数是。 【变式训练】（25-26五年级上·湖北咸宁·期末）在，，中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 【思路引导】小数大小比较：先比较整数部分，整数部分大的数就大，如果整数部分相同，再比较十分位，十分位上数字大的数就大，若十分位上数字相同，再比较百分位，以此类推。一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫做循环小数，循环节的含义：在循环小数中，小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 【规范解答】＝6.7444…… ＝6.74040…… ＝6.704704…… 4＞0 6.704704……＜6.74040……＜6.7444……，即＜＜ 。 最大的数是，最小的数是。 奥数拓展四 有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·广东佛山·期中）在、、、中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 0.788 【思路引导】（1）明确循环小数的展开形式： ：循环节是787，所以…。 ：循环节是87，所以…。 ：循环节是7，所以…。 0.788是有限小数，可以看作0.788000…。 （2）比较大小 从高位到低位依次比较：整数部分都为0，十分位都为7，百分位都为8。千分位，千分位是7，千分位是7，千分位是7，0.788千分位是8，所以0.788在千分位就比其他三个数大。再比较、、的万分位，万分位是7，万分位是8，万分位是7，所以大于和。接着比较和的十万分位，十万分位是8，十万分位是7，所以大于。 【规范解答】由分析可得，，所以最大的是0.788，最小的是。 【考点剖析】比较循环小数和有限小数的大小时，先把循环小数的循环节多写几位，转化为便于比较的形式，再从高位到低位依次比较每一位上的数字大小。 【变式训练】下列语句描述中，说法正确的有（    ）个。 ①0.3乘一个小数，所得的积一定比0.3小。 ②无限小数一定是循环小数。 ③掷一枚硬币，连续10次均是正面朝上，如果再掷一次，一定反面朝上。 ④＝0是一个方程。 ⑤14.3÷2.4的商是5.9，余数为0.14。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； ②一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数；循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数； ③无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件； ④含有未知数的等式叫做方程； ⑤根据“被除数＝商×除数＋余数”，验证商是5.9，除数是2.4，余数为0.14时的被除数是否是14.3，据此判断。 【规范解答】①如：0.3×10.1＝3.03，3.03＞0.3；原题说法错误； ②如：3.14159…是无限小数，但不是循环小数；原题说法错误； ③掷一枚硬币，连续10次均是正面朝上，如果再掷一次，可能正面朝上，也可能反面朝上；原题说法错误； ④＝0既含有未知数，又是等式，所以它是一个方程，原题说法正确； ⑤检验： 5.9×2.4＋0.14 ＝14.16＋0.14 ＝14.3 14.3÷2.4的商是5.9，余数为0.14；原题说法正确； 综上所述，说法正确的有④⑤，共2个。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查积与因数之间的大小关系、循环小数的认识、可能性、方程的认识以及小数除法的计算。 奥数拓展五 除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·湖南邵阳·期末）买4盒牙膏和3支牙刷要73.5元，买3盒牙膏和4支牙刷要63元，牙膏每盒( )元，每支牙刷( )元。 【答案】 15 4.5 【思路引导】将两次购买的总数量和总价分别相加，得到7盒牙膏和7支牙刷的总价，从而求出一盒牙膏和一支牙刷的价格和；再根据第一次购买的总价，减去3组牙膏和牙刷的价格和，得到一盒牙膏的价格；最后用一盒牙膏和一支牙刷的价格和减去一盒牙膏的价格，得到一支牙刷的价格。 【规范解答】（73.5＋63）÷（4＋3） ＝136.5÷7 ＝19.5（元） 73.5－19.5×3 ＝73.5－58.5 ＝15（元） 19.5－15＝4.5（元） 牙膏每盒15元，每支牙刷4.5元。 【考点剖析】解题关键是先把两次买的东西和总价合起来，算出1盒牙膏和1支牙刷的价格和，再用减法去掉其中一种的价钱，就能求出牙膏和牙刷各自的单价。 【变式训练】（2025·重庆渝北·小升初真题）A、B两地相距150千米。运动员进行骑摩托车训练，速度为80千米/小时，一辆行驶速度40千米/小时的公共汽车和摩托车同时从A地出发，摩托车到B地后立即返回，途中和公共汽车相遇，相遇后，摩托车又立即掉头驶向地，当摩托车到达地时，公共汽车离地还有多远？ 【答案】25千米 【思路引导】摩托车和公共汽车同时从A出发，摩托车先到达B地后返回，途中与公共汽车相遇，再掉头到B地； 摩托车从A到B再返回与公共汽车相遇，总路程为150×2＝300千米，两车的相对速度为80＋40＝120千米/小时，因此可以计算得到相遇的时间＝路程÷速度和；再计算出公共汽车在相遇时已经行驶的路程，也就是相遇地点距A地的路程，由此可以算出此时公共汽车与B地的距离以及摩托车到达B地公共汽车从相遇地点行驶的路程；据此解答。 【规范解答】150×2÷（80＋40） ＝300÷120 ＝2.5（小时） 因此出发2.5小时后两车相遇； 相遇地点距B地： 150－2.5×40 ＝150－100 ＝50（千米） 摩托车到达B地公共汽车从相遇地点行驶： 50÷80×40 ＝2000÷80 ＝25（千米） 公共汽车距B地：50－25＝25（千米） 答：当摩托车到达地时，公共汽车离地还有25千米。 【考点剖析】本题考查相遇问题，熟练运用“相遇路程＝速度和×时间”公式计算。 奥数拓展六 用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·四川自贡·期末）直线上点a可能表示的是（    ）算式的结果。 A．0.7□×5 B．2.6÷0.1□ C．31.□÷13 【答案】C 【思路引导】0.7□×5，0.7≤0.7□＜0.8，则0.7×5≤0.7□×5＜0.8×5，由此求出0.7□×5的范围，再和直线上的点a相比较； 2.6÷0.1□，0.1≤0.1□＜0.2，则2.6÷0.2＜2.6÷0.1□≤2.6÷0.1，由此求出2.6÷0.1□的范围，再和直线上的点a相比较； 31.□÷13，31≤31.□＜32，则31÷13≤31.□÷13＜32÷13，由此求出31.□÷13的范围，再和直线上的点a相比较，据此解答。 【规范解答】A．因为0.7≤0.7□＜0.8，则0.7×5≤0.7□×5＜0.8×5，所以3.5≤0.7□×5＜4，说明0.7□×5的结果在3和4之间，而点a在2和3之间，即点a不可能表示0.7□×5的结果； B．因为0.1≤0.1□＜0.2，则2.6÷0.2＜2.6÷0.1□≤2.6÷0.1，所以13＜2.6÷0.1□≤26，说明2.6÷0.1□的结果在13和26之间（含26），而点a在2和3之间，即点a不可能表示2.6÷0.1□的结果； C．因为31≤31.□＜32，则31÷13≤31.□÷13＜32÷13，31÷13≈2.38，32÷13≈2.46，说明31.□÷13的结果可能在2.38和2.46之间，而点a在2和3之间，即点a可能表示31.□÷13的结果。 故答案为：C 【考点剖析】分析题意根据含有方框数的范围求出整个算式结果的取值范围，并和直线上的点a相比较是解答题目的关键。 【变式训练】（24-25五年级上·浙江宁波·期中）的商小数点后第十位是( )，保留两位小数约是( )。 【答案】 6 2.38 【思路引导】本题需要先计算出7.856÷3.3的商，确定其循环节（如果是循环小数 ），然后根据循环节的规律确定小数点后第十位的数字，再利用四舍五入法保留两位小数。 ①7.856÷3.3＝2.380606…… ​可以发现商是一个循环小数，循环节是06，先去掉不循环的3和8，从第三位开始循环，循环节长度为2。（10－2）÷2＝4，没有余数， 说明小数点后第十位刚好是循环节的最后一位，循环节06的最后一位是6，所以小数点后第十位是6。 ②保留两位小数，需要看小数点后第三位数字，根据四舍五入法进行取舍。 7.856÷3.3＝2.380606……，商2.380606……小数点后第三位是0，0＜5，则舍去第三位及后面的数字，所以保留两位小数约是2.38。 【规范解答】①7.856÷3.3＝2.380606…… ​ 10－2＝8 8÷2＝4，没有余数， 所以小数点后第十位是6。 ②7.856÷3.3＝2.380606……≈2.38 的商小数点后第十位是6，保留两位小数约是2.38。 【考点剖析】对于循环小数，要先确定循环节及非循环部分，通过计算循环位数与循环节长度的关系，确定指定位置的数字。 保留小数位数时，依据四舍五入法，看要保留位数的下一位数字大小进行取舍。 奥数拓展七 循环小数比大小 【典例精讲】（25-26五年级上·广西玉林·期末）将4.863，，，按从大到小的顺序排列：( )＞( )＞( )＞( )。 【答案】 4.863 【思路引导】小数比较大小：从高位到低位逐位比较。 【规范解答】4个小数的个位都是4； 比较十分位：4个小数的十分位都是8； 比较百分位：4个小数的百分位都是6； 比较千分位：4个小数的千分位都是3； 比较万分位：4.863的万分位是0，的万分位是8，的万分位是6，的万分位是3，8＞6＞3＞0。 排序为＞＞＞4.863 【变式训练】（25-26五年级上·河北保定·期末）从小到大排列2.046、、、，( )＜( )＜( )＜( )。 【答案】 2.046 【思路引导】要比较循环小数和有限小数的大小，将循环小数展开到足够多的小数位数，确保能区分大小。小数比较大小要从高位到低位依次比较，所以先比较整数部分，整数部分相同则比较十分位，十分位相同比较百分位，以此类推，直到比较出大小差异。 【规范解答】＝2.046464646......； ＝2.046046046.....； ＝2.046666......； 通过比较：2.046＜＜＜ 奥数拓展八 循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·期末）小薇在计算14.6÷11时，发现商是一个循环小数，它的小数部分第2025位是（    ）。 A．1 B．3 C．2 D．7 【答案】D 【思路引导】14.6÷11＝1.32727…，即小数部分从第2位开始循环，循环节是27，长度为2。第1位小数是3，从第2位起进入循环。 求第2025位，需要先去掉第1位非循环部分：2025－1＝2024，然后用2024除以循环节长度2，得2024÷2＝1012，余数为0。余数为0说明第2024位（对应原小数第2025位）是循环节的最后一位，即7。 【规范解答】14.6÷11＝1.32727…，循环节是27。 2025－1＝2024 2024÷2＝1012 所以它的小数部分第2025位是7。 故答案为：D 【考点剖析】先求出商，区分非循环部分、循环节及循环节长度；用目标位数减去非循环部分的位数，得到它在循环部分里的序号；最后用序号除以循环节长度，余0取循环节最后一位，非0取余数对应位。 【变式训练】（24-25五年级上·江西南昌·期末）20÷3.7的商是一个( )小数，用简便形式表示为( )，这个小数的小数点后面的第100位上的数字是( )，保留两位小数是( )。 【答案】 循环 4 5.41 【思路引导】第①空：先计算20÷3.7＝5.405405…，根据商的形式可以判断它是一个无限循环小数； 第②空：循环小数的简便记法，首先找出循环节，循环节是循环小数的小数部分依次不断出现的数字，然后在循环节的第一位和末位数字上点上一个小圆点； 第③空：用100除以循环节的位数，余数是几，就从循环节的第一位数出即可； 第④空：保留两位小数，即精确到百分位，看小数点后面第三位（千分位），然后运用“四舍五入”法解答即可。 【规范解答】20÷3.7＝5.405405… 第①空：20÷3.7的商是一个循环小数； 第②空：循环节是405，所以5.405405…用简便形式表示为； 第③空：100÷3＝33（组）……1（个），所以余1对应循环节上的第1个数字是4； 第④空：5.405405…保留两位小数是5.41。 【考点剖析】识别循环小数的循环节，利用除法余数判断指定位置的数字，并掌握 “四舍五入” 保留小数位数的方法。 奥数拓展九 除数是小数的小数除法 【典例精讲】（25-26五年级下·山西运城·期末）修路是民生大事，更是发展要事。近年来，盐湖区持续推进道路提质升级工程。在施工过程中，一辆后八轮自卸车参与沙石运输作业，该车斗内部长5.5米，宽2.4米，高1.5米，现将整车装满沙石用于铺设路面。若路面宽度为9米，铺设厚度为0.2米，这些沙石可以铺多长的路？ 【答案】 米 【思路引导】这是一道形积变化的问题，根据车厢里沙石的总体积 ＝ 铺在路面上沙石的体积计算。车厢是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，可求出车厢里沙石的体积是立方米；铺出来的路面是一个很薄的长方体，已知宽是米，厚度是米，可求出路面的横截面积是平方米。再用总沙石体积 ÷ 路面的横截面积即可求出路面的长度。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝（米） 答：这些砂石可以铺11米长的路。 【变式训练】（25-26五年级上·四川成都·期末）估一估：0.19□÷0.2□的商可能是（    ）。 A．0.08 B．0.8 C．8 D．80 【答案】B 【思路引导】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）商不变，除数是小数的除法，将除数的小数点向右移动使除数变为整数，被除数的小数点要相应的向右移动相同的位数。 【规范解答】0.19□÷0.2□ ＝（0.19□×100）÷（0.2□×100） ＝19.□÷2□ 被除数的整数部分19小于除数，商0占位，然后整数部分的19与十分位上的数字组成19□，除以2□，所以商的最高位是十分位，符合条件的是B。 奥数拓展十 被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（25-26五年级上·河南南阳·期末）如图所示，根据x、y两个数的位置，下面计算结果最大的是（    ）。 A．x×y B．y÷x C．x÷y 【答案】B 【思路引导】由图可知，x＝0.5，1＜y＜1.5，一个数（0除外）除以一个大于1的数，商小于原数；一个数（0除外）除以一个小于1的数，商大于原数；两个非0的数相除，如果被除数大于除数，商大于1，如果被除数小于除数，商小于1；假设y＝1.3，求出x×y的值。据此判断。 【规范解答】由图可知，x＝0.5，1＜y＜1.5 A．假设y＝1.3，x×y＝0.5×1.3＝0.65＜1。 B．因为x＝0.5，1＜y＜1.5，所以y÷x＞y＞1。 C．因为x＝0.5，1＜y＜1.5，所以x÷y＜x＜1。 所以结果最大的是y÷x。 【变式训练】（25-26五年级上·江苏淮安·期末）已知甲÷乙＝2.3，如果把甲的小数点向右移动一位，把乙的小数点向左移动一位，那么结果是（    ）。 A．0.23 B．2.3 C．0.023 D．230 【答案】D 【思路引导】依据商的变化规律，甲的小数点向右移动一位，甲就扩大到原来的10倍；乙的小数点向左移动一位，乙就缩小到原来的，商就会扩大到原来的10×10＝100倍。 【规范解答】2.3×10×10 ＝23×10 ＝230 故答案为：D 【考点剖析】理解小数点移动对被除数和除数的影响，再结合商的变化规律计算出新的商。 奥数拓展十一 除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（2025五年级上·江苏常州·专题练习）甲、乙、丙三人各出同样多的钱，合买苹果若干千克。分苹果时，甲和丙都比乙多拿了7.5千克苹果，这样，甲和丙各应给乙6元。问：每千克苹果多少元？ 【答案】2.4元 【思路引导】本来应该三人平分，实际甲和丙都多拿了，把一共多拿的部分再次平均分给三人，就可以算出原本每人应该分多少千克，进而算出实际甲和丙各自分了多少苹果，再根据“单价＝总价÷数量”计算出苹果的单价。 【规范解答】7.5×2÷3 ＝15÷3 ＝5（千克） 7.5－5＝2.5（千克） 6÷2.5＝2.4（元） 答：每千克苹果2.4元。 【考点剖析】本题难点在于甲和乙多付的钱是在三人均分的基础上多的钱。 【变式训练】（2025五年级上·广东广州·专题练习）甲和乙在一条路的两端同时出发，各自以固定速度向对方的出发点跑去。12分钟后，甲到达乙的出发点，而乙距离甲的出发点还有960米。若乙每分钟跑120米，则甲和乙在出发后经过( )分钟于路上相遇。 【答案】7.5 【思路引导】首先求甲12分钟跑的路程：已知乙每分钟跑120米，12分钟后乙跑的路程为120×12＝1440（米）。此时乙距离甲的出发点还有960米，那么甲12分钟跑的路程就是乙12分钟跑的路程加上960米，即1440＋960＝2400（米）。 然后求这条路的总长度：由前面可知甲12分钟跑完全程，所以路的总长度为2400米。 最后求相遇时间：甲的速度为2400÷12＝200（米/分），甲、乙两人的速度和为200＋120＝320（米/分）。根据相遇时间＝总路程÷速度和，总路程是2400米，速度和是320米/分，所以相遇时间为2400÷320＝7.5（分钟）。据此解答即可。 【规范解答】120×12＝1440（米） 1440＋960＝2400（米） 2400÷12＝200（米/分） 200＋120＝320（米/分） 2400÷320＝7.5（分钟） 甲和乙在出发后经过7.5分钟于路上相遇。 【考点剖析】根据乙走的路程加上剩余路程，先求出甲走的路程，也就是全程；再根据甲走的时间，求出甲的速度，甲的速度加上乙的速度，求出速度和，全程已知，根据相遇时间＝总路程÷速度和，求相遇时间。 奥数拓展十二 用“进一法”、“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·四川·期末）一辆轿车油箱的容量为50升，加满油后由上海出发前往相距2560千米的哈尔滨。已知轿车每行驶100千米耗油8升，为保证行车安全油箱内至少应存油6升。那么，在去哈尔滨的途中至少需要加油( )次。 【答案】4 【思路引导】2560除以100，总共有25.6个100千米，可以求出总的耗油量，每消耗44升需要加油1次，可求出总的耗油量里面包含几个44升，然后求出加油的次数。 【规范解答】（升） （升） （次），此处采用进一法取近似值； （次），减去出发时加油的一次，途中需要加油4次。 【考点剖析】求商的近似值有四舍五入法、进一法、去尾法这几种方法，需要根据具体情况进行选择。 【变式训练】（25-26五年级上·浙江杭州·期中）学校买来6根15米长的绳子准备为同学们做跳绳。一根跳绳长1.8米，最多能做多少根？三个小朋友有不同的想法，他们三人说得对吗？请分别判断对错，并说明理由。 【答案】小明：错误。理由：这种计算方法忽略了“单根绳子不能拼接”的实际情况。 小悦：正确。理由：先算单根15米的绳子能做的跳绳数，用去尾法得8根；再算6根绳子能做的总数，符合实际情况。 小欣：错误。理由：小欣算出单根绳子能做15÷1.8≈8.333后，错误地用9根来计算，不符合实际，因为单根绳子实际只能做8根。 【思路引导】做跳绳时，绳子的长度不能拼接，所以需要先计算单根15米长的绳子能做几根1.8米的跳绳，再乘绳子的总根数6，得到最终能做的跳绳数量。计算单根绳子能做的跳绳数时，要用去尾法取整数（因为剩余的绳子长度不足1.8米就无法做一根完整的跳绳）。据此逐个分析每个小朋友的想法。 【规范解答】小明：错误。 理由：小明先算出6根绳子的总长度为6×15＝90米，再用90÷1.8＝50根，但实际跳绳不能拼接，剩余的短绳无法利用，这种计算方法忽略了“单根绳子不能拼接”的实际情况。 小悦：正确。 理由：先算单根15米的绳子能做的跳绳数：15÷1.8≈8.333，用去尾法得8根；再算6根绳子能做的总数：8×6＝48根，符合实际情况。 小欣：错误。 理由：小欣算出单根绳子能做15÷1.8≈8.333后，错误地用9根来计算（没有用去尾法取整），得出9×6＝54根，不符合实际，因为单根绳子实际只能做8根。 【考点剖析】本题的关键在于跳绳的绳子不能拼接，计算时需用去尾法取整，先算单根15米长的绳子能做的跳绳数量，再计算6根的总数，而非先算总长度再除法。 奥数拓展十三 小数的连除运算 【典例精讲】（25-26五年级上·河北秦皇岛·期末）看一看，填一填。 观察前三题发现规律，根据规律把后三题补充完整。 ( ) ( ) ( )( ) 【答案】 12345 1.111104 1.1111103 0.000001 【思路引导】除数1固定为0.9，除数2的小数部分0的个数依次递增1位； 商是连续自然数组成的多位数，位数依次加1； 被除数整数部分为1，小数部分由“连续1（个数为商的位数减2）、一个0和末尾递减数字”组成，且连续1的个数＝商的位数－2。据此解答。 【规范解答】 【考点剖析】此类小数连除找规律题的解题关键在于拆分观察、联动归纳——分别梳理除数、被除数、商各自的变化特征，再抓住“除数2的小数0的个数递增、商的自然数位数递增、被除数小数部分结构固定”这三大规律，就能快速推导空缺数值。 【变式训练】脱式计算。 3.6÷0.18÷20            0.375÷0.15×8 7.44÷（37.2×0.5）        （1.8＋202）÷2.5 【答案】1；20 0.4；81.52 【思路引导】（1）按照从左向右的顺序进行计算； （2）按照从左向右的顺序进行计算； （3）有括号先算括号内的乘法，再算括号外的除法； （4）有括号先算括号内的加法，再算括号外的除法。 【规范解答】3.6÷0.18÷20 ＝20÷20 ＝1 0.375÷0.15×8 ＝2.5×8 ＝20 7.44÷（37.2×0.5） ＝7.44÷18.6 ＝0.4 （1.8＋202）÷2.5 ＝203.8÷2.5 ＝81.52 奥数拓展十四 小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（24-25五年级上·河北保定·期末）小马虎在计算一道小数除法题时，错把除数1.34看成了13.4，结果商是0.46，正确的商应该是（    ）。 A．4.6 B．6.164 C．0.046 D．61.64 【答案】A 【思路引导】被除数÷除数＝商，因为小马虎错把除数1.34看成了13.4，结果商是0.46，也就是被除数÷13.4＝0.46，则被除数＝0.46×13.4，再用被除数除以正确的除数1.34，计算出商即可。 【规范解答】0.46×13.4÷1.34 ＝6.164÷1.34 ＝4.6 所以小马虎在计算一道小数除法题时，错把除数1.34看成了13.4，结果商是0.46，正确的商应该是4.6。 故答案为：A 【考点剖析】这类题目，主要找到“不变量”，比如本题中，除数看错了，导致商也变了，但是被除数不变，所以先计算出被除数即可。 【变式训练】（24-25五年级上·河北保定·期末）王叔叔一家准备从涞源到太原自驾游。 （1）王叔叔的汽车行驶150千米耗油12升，照这样计算，涞源到太原的距离大约339千米，油箱里还有25升汽油。王叔叔中途还需要加油吗？请列式计算说明理由。 （2）王叔叔一家到景区游玩，离开时共付停车费14元，王叔叔一家在该景区最多游玩了几小时？ 景区停车场收费标准如下： （1）1小时及以内收费5元； （2）超过1小时的部分，每0.5小时收费1.5元（不足0.5小时，按0.5小时计算）。 【答案】（1）需要； 12÷150×339 ＝0.08×339 ＝27.12（升） 27.12＞25 （2）4小时 【思路引导】（1）汽车行驶150千米耗油12升，用12升除以150千米，计算出1千米所需的汽油量，再乘涞源与太原的距离339千米，计算出王叔叔从涞源到太原所需要的汽油量，与25升汽油相比较，据此分析；（分析方法不唯一） （2）分段计费问题：共付停车费14元，14元＞5元，所以停车时间超过1小时，且超过1小时部分的费用是14－5＝9（元），由题意知：超过1小时的部分，每0.5小时收费1.5元，则9元里面有几个1.5元，就能多停几个0.5小时，据此列式9÷1.5×0.5，再加上最开始的1小时，就是王叔叔一家在该景区最多游玩的时间，据此分析。 【规范解答】（1）12÷150×339 ＝0.08×339 ＝27.12（升） 27.12＞25 所以25升不够王叔叔涞源到太原。 答：王叔叔中途需要加油。 （2）（14－5）÷1.5×0.5＋1 ＝9÷1.5×0.5＋1 ＝6×0.5＋1 ＝3＋1 ＝4（小时） 答：王叔叔一家在该景区最多游玩了4小时。 【考点剖析】掌握1千米所需的汽油量的计算方法，以及分段计费中，注意1小时和超出1小时计费的方式，是解答本题的关键。 奥数拓展十五 小数的四则运算及法则 【典例精讲】（25-26五年级上·贵州遵义·期末）乐乐在用计算器计算“4.9×7”时，发现计算器的键“4”坏了，他想到了四种不同的输入方法，下面方法（    ）是错误的。 A．9.8×7÷2 B．50.1×7 C．7×0.7×7 D．2×2×7＋0.9×7 【答案】B 【思路引导】本题需要判断在计算器键“”坏了的情况下，哪种输入方法是错误的。关键在于将进行合理拆分，然后根据乘法交换律、乘法分配律的逆运用、以及四则运算法则来分析。 【规范解答】A．，根据乘法交换律，，该选项正确； B．，但应该是，所以该选项错误； C．（从左往右依次计算），该选项正确； D．根据乘法分配律的逆运用，。该选项正确。 故答案为：B 【变式训练】（25-26五年级上·上海·期末）递等式计算，能简便运算的要用简便方法计算。 126＋74÷0.37×9.5    26.4×6.4－2.64＋3.7×26.4     [2.1－（0.37＋1.53）]×50÷0.8 【答案】2026；264；12.5 【思路引导】（1）先算除法，再算乘法，最后算加法。 （2）把2.64转化为26.4×0.1，将式子统一为含有相同因数26.4的形式，再利用乘法分配律提取相同因数，计算括号内的6.4－0.1＋3.7得到10，最后和26.4相乘，简化计算。 （3）先算小括号里的加法，接着算中括号里的减法，再算括号外的乘法，最后算除法。 【规范解答】（1）126＋74÷0.37×9.5 ＝126＋200×9.5 ＝126＋1900 ＝2026 （2）26.4×6.4－2.64＋3.7×26.4 ＝26.4×6.4－26.4×0.1＋3.7×26.4 ＝26.4×（6.4－0.1＋3.7） ＝26.4×（6.3＋3.7） ＝26.4×10 ＝264 （3）[2.1－（0.37＋1.53）]×50÷0.8 ＝[2.1－1.9]×50÷0.8 ＝0.2×50÷0.8 ＝10÷0.8 ＝12.5 奥数拓展十六 利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·河北衡水·期末）代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表：           行驶里程 时间段 7千米以内（含7千米） 超过7千米的部分 7∶00～21∶59 45元 每千米3.5元 22∶00～次日6∶59 68元 每千米4.5元 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 李叔叔在饭店参加聚会，22∶30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务。服务结束后，李叔叔支付了117.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】18千米 【思路引导】李叔叔在22∶30预约代驾，属于“22∶00～次日6∶59”时段，计费规则为： 7千米以内（含7千米）：68元 超过7千米的部分：每千米4.5元 首先，李叔叔支付了117.5元，超过了68元，说明行驶里程超过了7千米。 我们先计算超出7千米部分的费用，再根据单价算出超出的里程，最后加上基础的7千米，即可得到总里程。 【规范解答】117.5－68＝49.5（元） 49.5÷4.5＝11（千米） 7＋11＝18（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是18千米。 【考点剖析】关键点是先判断所属计费时段，再分段计算费用与里程，最后合并得到总里程。 【变式训练】（25-26五年级上·四川巴中·期末）水果店有两堆水果，这两堆水果的总质量是第一堆的2.8倍，如果从第二堆中拿出4.8千克放入第一堆，则两堆水果就一样多，这两堆水果原来各有多少千克？ 【答案】12千克；21.6千克 【思路引导】结合题目所给的倍数关系，由“从第二堆拿4.8千克到第一堆就一样多”，知道第二堆原来比第一堆多2个4.8千克，用多的质量除以多的倍数，就能算出第一堆的质量，再求第二堆。2.8－1＝1.8倍，说明第二堆水果的质量是第一堆的1.8倍，两者相差0.8倍。第二堆比第一堆多：4.8×2＝9.6千克，这9.6千克就与0.8倍对应，用除法计算第一堆有多少千克。 【规范解答】两堆水果的总质量相差：4.8×2＝9.6（千克） 第一堆：9.6÷（2.8－1－1） ＝9.6÷0.8 ＝12（千克） 第二堆：12＋9.6＝21.6（千克） 答：第一堆水果原来有12千克，第二堆水果原来有21.6千克。 奥数拓展十七 错中求解问题（小数除法) 【典例精讲】（25-26五年级上·湖北武汉·期中）小明在计算一道除法算式时，把被除数14.7错看成17.4，得到的商比原来多4.5。则这道除法算式正确的商是多少？ 【答案】24.5 【思路引导】根据商的变化规律，增加的被除数÷增加的商＝正确的除数，据此求出正确的除数，再用正确的被除数除以正确的除数即可。 【规范解答】（17.4－14.7）÷4.5 ＝2.7÷4.5 ＝0.6 14.7÷0.6＝24.5 答：这道除法算式正确的商是24.5。 【考点剖析】关键是熟悉除法各部分之间的关系，掌握并灵活运用商的变化规律。 【变式训练】25-26五年级上·四川广元·期中）小马虎在计算3.6除以一个数时，由于除数的小数点向左点错了一位，结果是24，这道题的除数是( )。 【答案】1.5 【思路引导】已知除数小数点向左点错一位，就是把除数缩小到原来的，根据除法里被除数不变时除数和商的反比例关系，商就会扩大到原来的10倍；根据“除数＝被除数÷商”的除法公式，用被除数3.6除以错误的商24，算出点错小数点后的错误除数；最后因为错误除数是正确除数小数点左移一位得到的，所以把错误除数的小数点向右移一位（即乘10），就能还原出正确的除数。 【规范解答】求点错小数点后的除数：3.6÷24＝0.15 还原正确的除数：0.15×10＝1.5 所以这道题的除数是1.5。 【考点剖析】本题关键在于抓住被除数不变时，除数与商的变化规律——除数的小数点向左点错一位，除数缩小到原来的，商就会扩大到原来的10倍，再通过错误的商倒推出错误除数，进而还原正确除数。 奥数拓展十八 判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（23-24五年级上·河北·课后作业）x÷0.7＝y，已知y是一个两位小数，保留一位小数是2.5。x最大是多少？最小呢？ 【答案】最大是1.778；最小是1.715。 【思路引导】2.5是一个两位小数的近似数，有两种情况，“四舍”得到2.5最大是2.54，“五入”得到2.5最小是2.45，由于x＝0.7×y，把y最大值和最小值代入即可求解。 【规范解答】由分析可知： y最大是2.54；y最小是2.45 2.54×0.7＝1.778 2.45×0.7＝1.715 答：x最大是1.778；最小是1.715。 【考点剖析】此题考查了小数的近似数，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大。 【变式训练】A÷0.6＝B，B是一个两位小数，保留一位小数是2.0，A最大是( )，最小是( )。 【答案】 1.224 1.17 【思路引导】取一个小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，要考虑2.0是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的2.0最大是2.04，“五入”得到的2.0最小是1.95，再根据商×除数＝被除数，由此解答问题即可。 【规范解答】由分析可知： B是一个两位小数，保留一位小数是2.0，则B最大是2.04，最小是1.95； 2.04×0.6＝1.224 1.95×0.6＝1.17 则A最大是1.224，最小是1.17。 【考点剖析】熟悉求小数的近似数的方法，能够结合具体题意，合理推测，是解题关键。 奥数拓展十九 分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（25-26五年级上·福建莆田·期末）春节期间，奇思和妙想一起到万达影城看电影。奇思家距离万达影城8.4千米，距离妙想家5.6千米，妙想家距离万达影城最近的距离是12.6千米。看完电影，他们计划乘坐出租车回家，聪明的他们选择了最便宜的乘车方案，两人一共付了27.8元，你知道“出租车计价标准”被遮住的数字是多少元吗？ 出租车计价标准 3千米以内8元（含3千米），超过3千米部分，每千米（不足1千米，按1千米计算）。 【答案】1.8元 【思路引导】奇思家距离万达影城8.4千米，距离妙想家5.6千米，妙想家距离万达影城最近的距离是12.6千米，因为8.4＜12.6，所以最便宜的方案是两人同车，先送奇思再送妙想，总路程为8.4＋5.6＝14千米。 总车费27.8元由两部分组成：3千米内的起步价8元和超出3千米部分的费用。先算出超出3千米的费用为27.8－8＝19.8元；再算出超出的里程为14－3＝11千米；用超出费用除以超出里程，即可得到被遮住的“超过3千米部分每千米”的价格。 【规范解答】8.4＜12.6 8.4＋5.6＝14（千米） 27.8－8＝19.8（元） 19.8÷（14－3） ＝19.8÷11 ＝1.8（元） 答：“出租车计价标准”被遮住的数字是1.8元。 【考点剖析】本题需先确定最优乘车方案，比较不同路线的总距离，因为奇思家距离万达影城8.4千米小于妙想家距离万达影城最近的距离12.6千米，所以最优方案是两人同车，先送奇思回家，再送妙想回家。 【变式训练】（25-26五年级上·河北邢台·期末）佳慧准备到A单位去洽谈业务，她从公司叫了特惠快车去该单位。下车时使用支付软件付款，使用了优惠红包5.9元，实际只支付了25.7元车费。特惠快车收费标准如下： 路程 收费标准 3千米及以内 10元 超过3千米的部分 每增加1千米，再收2.4元（不足1千米，按1千米计算） 特殊收费：应来客要求等候时，每等候5分钟，按2.4元收费 特惠快车按佳慧要求等候了5分钟，佳慧所在公司到A单位最远有多少千米？ 【答案】 11千米 【思路引导】先将实际支付的车费（25.7元）与优惠红包（5.9元）相加，得到未优惠的总费用；从总费用中减去等候5分钟的2.4元，再减去3千米及以内的10元，得到超过3千米部分的费用；超出部分每千米2.4元，用超出部分的费用除以每千米的价格，得到超出的千米数；最后将3千米与超出的路程相加，即可得到公司到A单位的最远距离。 【规范解答】25.7＋5.9＝31.6（元） 31.6－2.4＝29.2（元） （29.2－10）÷2.4 ＝19.2÷2.4 ＝8（千米） 8＋3＝11（千米） 答：佳慧所在公司到A单位最远有11千米。 【考点剖析】先通过实际支付金额加红包还原未优惠的总车费，再从总车费中扣除起步费和等候费，算出超出3千米的行驶费用，接着用该费用除以每千米单价得到超出的路程，最后将起步的3千米与超出路程相加，得出总距离。 【能力提升练】 1．（26-27六年级上·全国·课后作业）0.5＋0.5×0.5＋0.5的计算结果是（    ）。 A．1.25 B．1 C．0.5 【答案】A 【思路引导】根据四则混合运算顺序：先算乘法，再算加法。计算出结果，再选择正确的选项。 【规范解答】0.5＋0.5×0.5＋0.5 ＝0.5＋0.25＋0.5 ＝0.75＋0.5 ＝1.25 2．（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）甲、乙两港相距140千米，一艘轮船从甲港驶向乙港用了4.5小时，原路返回时因为逆水比去时多用1小时。这艘轮船往返的平均速度是（    ）千米/时。 A．28 B．21 C．14 D．7 【答案】A 【思路引导】根据“平均速度＝总路程÷总时间”，其中总路程是往返的路程之和，总时间是往返的时间之和。先求出返回时间，再求出往返的总时间，再求出总路程除以总时间，求出这艘轮船往返的平均速度。 【规范解答】（140×2）÷（4.5＋1＋4.5） ＝280÷10 ＝28（千米/时） 3．（25-26四年级下·浙江金华·期末）修一段公路，第一周修了全长的一半少0.4千米，第二周修了余下的一半多0.2千米，这时还剩下6.2千米，全长( )千米。 【答案】 24.8 【思路引导】根据题意，第二周修了余下的一半多千米，剩下千米，说明第一周修完后余下长度的一半是与的和；第一周修了全长的一半少千米，说明第一周修完后余下的长度减去千米是全长的一半。据此逐步还原即可求出全长。 【规范解答】 （千米） （千米） 全长千米。 4．（26-27五年级上·全国·课后作业）根据，直接写出下面各式的商。 ( )    ( ) ( )    ( ) 【答案】 38 3800 3.8 3800 【思路引导】除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商也同样扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一；被除数不变，除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商反而缩小到原来的几分之一或扩大到原来的几倍；被除数和除数同时扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商不变。据此解答。 【规范解答】已知912÷24＝38 912缩小到原来的，24缩小到原来的，商不变，所以9.12÷0.24＝38； 912不变，24缩小到原来的，则38扩大到原来的100倍，所以912÷0.24＝3800； 912缩小到原来的，24缩小到原来的，则38缩小到原来的；所以0.912÷0.24＝3.8； 912扩大到原来的10倍，24缩小到原来的，则38扩大到原来的100倍；所以9120÷2.4＝3800。 5．（24-25五年级上·河南驻马店·期中）根据“3.24，1.08，0.36，□”中的规律，可知□里应填0.12。( ) 【答案】√ 【思路引导】3.24÷1.08＝3；1.08÷0.36＝3；观察数列3.24，1.08，0.36，□，发现前一个数除以3得到后一个数。因此下一个数为0.36÷3＝0.12，据此分析即可。 【规范解答】根据数列规律：发现前一个数除以3得到后一个数； 3.24÷1.08＝3；1.08÷0.36＝3；0.36÷3＝0.12，因此，□里应填0.12，原题说法正确。 故答案为：√ 6．（26-27五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。                   【答案】32；4.5；6.5； 3.6；1010；4.2 【思路引导】除数是小数时，先把除数变成整数，除数扩大到原来的多少倍（即小数点向右移动几位），被除数也要扩大到原来的多少倍（即小数点也向右移动几位，位数不够的用补），然后按照除数是整数的除法进行计算，计算小数除法，除到被除数的末尾仍有余数时，在余数后面添 0继续除，计算过程中，哪一位上不够商1，就在那一位上商0占位。 【规范解答】32                  45          6.5                         3.6              1010           4.2                          7．（2026·广东揭阳·小升初真题）某市出租车收费标准如下表： 里程 收费/元 3千米以下 10元 3千米以上每增加1千米 2.8元 (1)如果从火车站坐出租车前往相距18千米的机场，应付多少元车费？ (2)现有30元，乘出租车最多能到多远？（结果保留整数） 【答案】(1)52元 (2)10千米 【思路引导】（1）分段计费，先计算超过3千米的部分的费用，用距离减去3千米得出超过3千米的部分，超过3千米的部分乘每千米收费2.8元得出超过3千米的费用； （2）总钱数减去3千米以内的总费用，剩下的钱是超出3千米部分的费用，超过3千米部分的费用除以每千米收费2.8元求出超过3千米的距离，用去尾法保留整数后，再加上3千米得出最远行驶距离。 【规范解答】（1）（18－3）×2.8＋10 ＝15×2.8＋10 ＝42＋10 ＝52（元） 答：应付52元车费。 （2）（30－10）÷2.8 ＝20÷2.8 ≈7（千米） 7＋3＝10（千米） 答：乘出租车最多能走10千米。 8．（24-25六年级下·浙江宁波·期末）2025年春节联欢晚会上，宇树H1机器人“福兮”手臂转动一圈只需0.8秒，40秒能转动多少圈？ 【答案】50圈 【思路引导】根据等量关系：转动总圈数＝总时间÷转动一圈所需时间，代入数据计算即可。 【规范解答】40÷0.8＝50（圈） 答：40秒能转动50圈。 9．（26-27五年级上·全国·课后作业）在某实验小学“迎国庆，树新风”演讲比赛中，一位选手的得分是：9.85分，9.82分，9.90分，9.88分，9.86分，9.87分，9.89分。去掉一个最高分，同时去掉一个最低分，这位选手的平均得分是多少？ 【答案】9.87分 【思路引导】先从所有得分中找出最高分和最低分并去掉，再求出剩余得分的总和，最后用总和除以剩余得分的个数即可。 【规范解答】9.82＜9.85＜9.86＜9.87＜9.88＜9.89＜9.90 去掉最高分9.90分和最低分9.82分，剩下5个得分是：9.85，9.86，9.87，9.88，9.89。 9.85＋9.86＋9.87＋9.88＋9.89＝49.35（分） 49.35÷5＝9.87（分） 答：这位选手的平均得分是9.87分。 10．（26-27五年级上·全国·课后作业）李老师的车现有15升汽油，每消耗1升汽油可行驶6.4千米。李老师准备开车外出办事，如果往返路程为128千米，至少还需要加多少升汽油？ 【答案】5升 【思路引导】根据1升汽油可行驶的千米数，先算出行驶128千米总共需要的汽油量，再减去车里现有的汽油量，就能得到至少需要加的汽油升数。 【规范解答】行驶128千米总共需要的汽油量为： （升） 则还需要加的汽油量为：（升） 答：至少还需要加5升汽油。 【思维创新练】 1．下列算式中，（    ）计算的结果不可能是24.□□ A．2.□□ B．3.□□ C．.□□ D．2.□□ 【答案】C 【思路引导】被除数＝商×除数，用每个算式中的除数、商、被除数之间的关系判断，看能否得出每个算式的计算的结果是否可能是24.□□。 【规范解答】A．0.12×24＝2.88，说明2.□□÷0.12计算的结果可能是24.□□，不符合题意； B．3.□□ ×8 计算的结果可能是24.□□，不符合题意； C．3×24＝72，48÷3.□□计算的结果不可能是24.□□，符合题意； D．2.□□ ×9计算的结果可能是24.□□，不符合题意。 故答案为：C。 【考点剖析】本题考查小数乘除法，解答本题的关键是掌握小数乘除法的计算方法。 2．（25-26五年级上·江苏扬州·期末）甲乙两数的和是29.7，把甲数的小数点向右移动一位就和乙数相等，甲数是( )，乙数是( )。 【答案】 2.7 27 【思路引导】小数点向右移动一位，这个数扩大到原来的10倍，因此乙数＝10×甲数，甲乙两数的和是29.7，对应着“1份甲数＋10份甲数”，也就是总共11份的和。 【规范解答】29.7÷（10＋1）＝2.7 2.7×10＝27 所以，甲数是2.7，乙数是27。 3．已知A＝，B＝。那么A÷B＝( )，A×B＝( )。 【答案】 0.08 【思路引导】（1）根据题意，可知A是小数点后有100＋1＝101位的小数，B是小数点后有99＋1＝100位的小数，根据小数点位置移动的知识，可以把A与B的小数点向右移动101位，使A与B变成4和50，计算出它们相除的结果； （2）求A和B的积，把4和5相乘，A是101位小数，B是100位小数，再在4和5相乘的积20往前数101＋100＝201位小数，即是A和B的积。 【规范解答】由分析可知： （1）A是小数点后有100＋1＝101位的小数，B是小数点后有99＋1＝100位的小数，根据小数点位置移动的知识，可以把A与B的小数点向右移动101位，使A与B变成4和50；A÷B根据被除数与除数同时扩大相同的倍数（0除外），商不变，即4÷50＝0.08； （2）A×B＝。 【考点剖析】小数除法由小数点位置移动的知识，把a与b变成整数，即可求出结果。小数乘法先按照整数乘法的计算，再数出两个小数中一共有几位小数，再在积里数出几位小数，点上小数点。 4．（26-27五年级上·全国·课后作业）列竖式计算，除不尽的商保留一位小数。                   【答案】0.15；1.08；1.85； 16.7；66.8；54.4 【思路引导】先看除数，除数有几位小数，被除数和除数就同时扩大多少倍，把除数变成整数；除不尽时，保留一位小数要看百分位，百分位上的数四舍五入。 【规范解答】2.55÷17＝0.15    12.96÷12＝1.08  3.33÷1.8＝1.85             8.5÷0.51≈16.7       31.4÷0.47≈66.8     11.43÷0.21≈54.4       5．（24-25六年级下·浙江宁波·期末）美国某超市一月份鸡蛋每打4.8美元，自从发起关税战后，四月份每打就变成6.4美元了。某市民一月份买12打鸡蛋的钱，到四月份只能买几打了？ 【答案】9打 【思路引导】先根据总金额单价购买数量，计算出该市民一月份买鸡蛋花费的总金额；再用得到的总金额除以四月份鸡蛋的单价，计算出四月份可购买的鸡蛋数量。 【规范解答】4.81257.6（美元） 57.66.49（打） 答：到四月份只能买9打了。 6．（26-27五年级上·全国·课后作业）莉莉家五月份付电费64.6元，她家五月份用电多少千瓦时？ 收费标准每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；若超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。 【答案】 121千瓦时 【思路引导】根据总价＝单价×数量，用0.52元乘100算出100千瓦时以内的最高电费，将其与实际电费进行比较，若实际电费高于第一档最高电费，说明用电量超过100千瓦时。然后用总电费减去第一档电费，求出超过部分的电费；用超出部分的电费除以超过部分的单价算出超过部分的用电量。最后将第一档用电量与超过部分的用电量相加即为总用电量。 【规范解答】（元） （元） （千瓦时） （千瓦时） 答：她家五月份用电121千瓦时。 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）王叔叔进了一箱玻璃杯，共40个，批发价是192元。打开箱子发现运输中破损了3个，这箱玻璃杯至少每个卖多少元才能保证盈利不低于20元？（单价取整数。） 【答案】6元 【思路引导】先算出满足盈利要求的最低总售价，再算出可售卖的完好玻璃杯数量，用最低总售价除以完好数量，结合单价取整数的要求，用进一法得到最低单价。 【规范解答】（192＋20）÷（40－3） ＝212÷37 ≈6（元） 答：这箱玻璃杯至少每个卖6元才能保证盈利不低于20元。 8．（24-25五年级上·河北·课后作业）同学们将75.5厘米长的纸带每7.8厘米截成一段，做成一个圆环，再使各个圆环连成拉花，如图所示。如果15个圆环做成一串拉花，那么13条这样的纸带可以做成几串拉花？（得数保留整数） 【答案】7串 【思路引导】先求75.5里面有几个7.8，用除法计算，得数采用“去尾法”保留整数，得到一条纸带可做的圆环数量，再乘13得到圆环总数量，再用圆环总数量除以15，得数采用“去尾法”保留整数，即可得解。 【规范解答】（个） （串） 答：13条这样的纸带可以做成7串拉花。 9．乐乐、奇奇和贝贝星期天去郊游，乐乐带了4个面包，奇奇带了3个同样的面包，贝贝没有带面包。中午，乐乐、奇奇和贝贝共同吃了这些面包，为了平均分摊费用，贝贝拿出3.5元给乐乐和奇奇两人。这些面包一共多少钱？乐乐应该得到3.5元中的多少钱？ 【答案】10.5元；2.5元 【思路引导】根据题目可知，三个人平均分摊费用，由于贝贝拿出3.5元给两人，则相当于每个人都拿出3.5元，则这些面包的钱数：3.5×3＝10.5元，由于7个面包10.5元，则一个面包：10.5÷7＝1.5元，乐乐最开始付了4个面包的钱：即1.5×4＝6元，用6减去应该付的3.5元，剩下的是得到的钱。 【规范解答】3.5×3＝10.5（元） 10.5÷（4＋3） ＝10.5÷7 ＝1.5（元） 1.5×4－3.5 ＝6－3.5 ＝2.5（元） 答：这些面包一共10.5元；乐乐应该得到3.5元中的2.5元。 【考点剖析】本题主要考查小数乘除法的应用，解题的关键是理解贝贝拿出3.5元相当于每个人都应该付3.5元。 10．春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。每个面包多少元？ 【答案】2.2元 【思路引导】小红一共花了2个2.2元，即4.4元，因为三人平均分的，所以3个人一共花了3个4.4元，即13.2元，所以6个面包的总价是13.2元，再用总价除以数量即可解答。 【规范解答】2.2×2×3÷6 ＝13.2÷6 ＝2.2（元） 答：每个面包2.2元。 【考点剖析】解答本题的关键是要求出6个面包的总价。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第三单元小数除法『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+18个考点讲练+19个奥数拓展+真题难度分层演练共94题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 具录指引内容知晓 知识梳理温故知新....· 。。。。 3 知识点一小数除法计算.· …3 知识点二商的近似数..…· .4 知识点三循环小数.... ....4 知识点四解决问题. 5 考点讲练真题汇总… 高频考点一除数是整数的小数除法.·..· 5 高频考点二除数是整数，商小于1的小数除法 6 高频考点三除数是整数，需要补0的小数除法……6 高频考点四循环小数的认识与简写............…7 第1页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点五有限小数和无限小数的认识.... > 高频考点六除数是整数的小数除法的应用 …7 高频考点七用“四舍五入”法求商的近似数.........，7 高频考点八用归纳法解决计算器探索规律问题.………8 高频考点九循环小数和周期性规律综合问题.……8 高频考点十除数是小数的小数除法. …8 高频考点十一被除数和商的大小关系（小数除法） ..9 高频考点十二除数是小数的小数除法的应用 高频考点十三用“进一法”、“去尾法”解决问题....... ….9 高频考点十四小数的连除运算... 10 高频考点十五小数的乘、除法混合运算.· 10 高频考点十六小数的四则运算及法则. ..11 高频考点十七利用小数四则混合运算解决问题...· 11 高频考点十八分段计费问题（小数除法） 12 难点突破奥数拓展…… 13 奥数拓展一除数是整数的小数除法计算与应用..」 13 奥数拓展二除数是整数，需要补0的小数除法.·· 13 奥数拓展三循环小数的认识与简写... ....14 奥数拓展四有限小数和无限小数的认识... 15 奥数拓展五除数是整数的小数除法的应用· 15 奥数拓展六用“四舍五入”法求商的近似数. 15 奥数拓展七循环小数比大小…… 16 奥数拓展八循环小数和周期性规律综合问题..· ...16 奥数拓展九除数是小数的小数除法... 16 奥数拓展十被除数和商的大小关系（小数除法） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 17 奥数拓展十一除数是小数的小数除法的应用..17 奥数拓展十二用“进一法”、“去尾法”解決问题…1 7 奥数拓展十三小数的连除运算……………………………… 18 奥数拓展十四小数的乘、除法混合运算.…18 第2页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展十五小数的四则运算及法则... 19 奥数拓展十六利用小数四则混合运算解决问题.·· 19 奥数拓展十七错中求解问题（小数除法） 20 奥数拓展十八判定被除数的最大值和最小值... 20 奥数拓展十九分段计费问题（小数除法） 21 优选真题实战演练 22 【能力提升练】 22 【思维创新练】 ………24 导图指引梳理脉络 一、除数是整数的小数除法 四、解决问题 重点回顾 ①按整数除法的法则去除。 ②商的小数点要和被除数的小数点对齐 ★会计算小数除以整数： ①单价、数量、总价问题 ★会计算一个数除以小数 例题《新闻童话集》一套共4本， ③如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。 ★能用“四舍五入”法 总价99.8元，平均每本多少钱799.8÷4=24.95（元） 例题 22+4= 求商的近似值： 5.6+7= 72+15= 答：平均每本2495元 答：5.5 答：0.8 答：4.8 ★会解决实际问影 ②行程问题（速度×时间=路程） 例题)甲车每小时行驶68km,乙车每小时行驶多少千米。 二、一个数除以小数 两车同时从两地出发，相向面行，3.5小时相遇， 两地相距455km7 ①移动除数的小数点，使它变成整致。 455+3.5+2=65(km) 6To ②除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的 小数除法 答：乙车每小时行驶65km, 位数（位数不够的，用0补足）。 ③然后按除数是整数的小数除法进行计算， 单元复习知识点 ③实际生活问题（购物、装箱、利润等） 9 例题奶奶用32元买了一袋2.7kg的红豆，每千克红豆 例题7.65+0.85 人敷版·五年级上册 多少钱？如果把这些红豆分装在右面的密封瓶里 答：9 85765 第三单元 765 可以装满几瓶？需要准备几个瓶子才能装完？ 0.85→扩大到它的100倍 32+2.711.85(元) 7.65+0.85=( 765 每瓶可装0.8kg 答：每千克11.85元。 7.65*扩大到它的100倍 765+85)■9 765 2.7+0.8≈3.375（瓶） 修，每有1放词元. 0 答：装满3瓶，需要准备4个瓶子 三、商的近似值（保留两位小数） 五、综合运用 小数除法与整数除法的联系 ①除到小数部分第三位 ①计算下面各题 。小数除法是将除数转化为整数来计算： 054÷6=0.09 63÷14=045 345÷15=023 日如果第三位小于5，舍去：如果第三位大于或等于5，向前一位进1 ·和乘法相反，除以一个小于1的数，得 12+16=0.75 2÷25=0.08 1.26÷28=0.045 0.416÷32=0.013 例题2.6÷7≈ (保留两位小数) 0.3:714 726 数反西变大： ②用简便形式写出下面的循环小数。 答：0.37 1 循环小数是无限小数 1.555m1.5(5) 1.746746-…=1.74(6) 0.105353=0.105(35) 常见循环小数 ⊙计算下面各题，除不尽的先用环小数表示所得的商，再保留两位小数】 15÷7=2.14 15.3÷72=0.2 2.29÷9=0.25 20 =0.333… 1=0.142857. 14 =0.222 =0.714285 0.33<0,3 1.45=1.450 0.84>0.28 11÷11=0.0909-,2÷11=0.1818… 3÷11=0.2727 2 买3盒牛奶共用30元 一根25m长的丝 拓展 ④甲、乙两队参加 食小结 4÷11=0.3636..5÷11=0.4545-. 每盆2,6元，买1和 每包装1 100m接力赛，平均每位 学会转化思想，灵活运用 提升 请你发现规律，直接写出下面各题的商。 (24金)需要多少元？ 可以包多少个礼盒 动员用37.79秒 25÷15=16(个 8人共用多少秒 除数是整的小数除法的 6÷11=0.5454,7+11=0.6363-8+11=0.7272+ 2.6×24=62.4(元) 答：可以包16个礼盒 方法解决实际问题。 9÷11=0.8181 37.79×8=30232(秒】 知识梳理温故知新 他8R的8果表是者是88808 知识点一小数除法计算 1、除数是整数的小数除法 第3页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 (1)计算方法：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部 分不够除，商的整数部分写“0”，点上小数点后继续除；若除到被除数末尾仍有余数，在余数未尾添 “0”继续除。 (2)算理本质：将被除数看成“几个十分之一”“几个百分之一”，转化为整数除法。 【技巧点拨】 （1)商的小数点对齐是关键：避免将商的小数点与除数的小数点对齐。 (2)整数部分不够除需写“0”。 (3)余数添“0”继续除，不能漏添“0”导致商不完整。 2、一个数除以小数 (1)计算方法：看除数有几位小数，就把除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数；同时将被除 数的小数点也向右移动相同的位数（若被除数位数不足，用“0”补足）；按“除数是整数的小数除法” 计算。 (2)算理依据：商不变的性质一被除数和除数同时乘相同的数(0除外)，商不变。 【技巧点拨】 (1)除数和被除数的小数点移动位数必须相同。 (2)被除数位数不足用“0”补。 知识点二商的近似数 求近似数的方法：根据题目要求的“保留位数”，除到比保留位数多一位，再用“四舍五入法”取近 似值。 【技巧点拨】 (1)除到“多一位”是前提：若要求保留一位小数，需除到小数点后第二位；保留两位小数，除到第 三位，不能提前停止计算。 （2)“四舍五入”规则要牢记：看“保留位数的下一位”，小于5舍去，大于或等于5进1。 (3)近似数用“≈”连接。 (4)结合实际确定保留位数。 知识点三循环小数 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小 数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数。 4、循环小数一定是无限小数。 第4页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【技巧点拨】 （1)只有“依次不断重复”的数字才是循环节。 (2)循环节标记要准确：若循环节是多个数字，需在首位和未位各点一个点；若循环节是单个数字， 在该数字上点一个点即可。 (3)循环小数的近似值：取循环小数的近似数时需除到比保留位数多一位，再用四舍五入法。 知识点四解决问题 1、用“进一法”解决实际问题 （1)核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分不够1，也要向整数部分进1，确保“所有物品都 能被容纳或完成任务”。 (2)适用场景：装东西（如装水、装粮食）、运输货物、分配容器等“必须将物品全部装完或运完” 的场景。 【技巧点拨】 (1)明确“进一”的必要性：只有当“剩余部分也需要1个单位”时才用进一法，不能随意使用。 （2)结果必须是整数：进一法的结果是比精确商大的最小整数。 (3)避免与“四舍五入”混淆。 2、用“去尾法”解决实际问题 (1)核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分接近1，也要舍去小数部分，只保留整数部分，确 保“物品数量为完整的个体”。 (2)适用场景：做衣服、裁布料、做蛋糕、剪绳子等“需要完整个体，剩余材料不够做1个”的场 景。 【技巧点拨】 (1)明确“去尾”的合理性：只有当“剩余部分不够做1个完整个体”时才用去尾法，不能盲目舍去。 (2)结果必须是整数：去尾法的结果是比精确商小的最大整数。 (3)与“进一法”的场景区分：装东西用进一法（需全部装完），做东西用去尾法（需完整个体)， 避免混淆（如“用瓶子装水”用进一法，“用布做衣服”用去尾法）。 考点讲练真题汇总 高频考点一除数是整数的小数除法 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)下面四个算式中，结果最小的是( A.6.24÷4 B.6.24+4 C.6.24×4 D.6.24-4 第5页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级上·山西临汾·期末)张大伯家今年一共收获了21.6吨白菜，用一辆载重4 吨的卡车来运，至少( )次才能运完。 A.4 B.5 C.5.4 D.6 高频考点二除数是整数，商小于1的小数除法 【典例精讲】(24-25五年级上·北京海淀·期末)下面算式的得数与N最接近的是( )。 0 N 1 A.0.35÷4.9 B.3.5÷4.9 C.3.5÷49 D.3.5X0.49 【变式训练】(24-25五年级上·湖北荆州·期中)列竖式计算。 3.85×2.6= 20.16÷28= 5.61÷6.1≈ （保留一位小数) 高频考点三除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】(25-26五年级上·江苏常州·期末)如图是竖式计算“15.35÷5”的错误过程，判断错误 的原因是( )0 3.7 515.35 15 35 35 0 A.小数点的位置点错了 B.商的小数点没有与被除数的小数点对齐 C.除到不够商1时，商没有用0占位 D.被除数没有添O继续除 【变式训练】(25-26五年级上·陕西延安·期末)解方程。 (1)8x=12 (2)0.5x+1.6=3 (3)6x-2x=9.2 第6页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点四循环小数的认识与简写 【典例精讲】(25-26五年级上·广西桂林·期末)用竖式计算。 62.9÷17.5≈（保留一位小数） 9÷3.6= 12.6÷12= 14.2÷11=(商用循环小数) 【变式训练】(25-26五年级上·山东枣庄·期末)如果1÷A=0.09,2÷A=0.18,3÷A=0.27,那么7 ÷A=( )。 高频考点五有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】下列说法正确的是( )。 A.小数可以分为有限小数和循环小数。B.两数相除的商不是整数就是小数。 C.有限小数一定小于循环小数。 【变式训练】(23-24五年级上·山东菏泽·期中)无限小数都有循环节。（ ）(判断对错) 高频考点六除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】(24-25五年级上·安徽蚌埠·期中)李师傅5小时做40个零件，平均每小时做( 个零件，平均做一个零件需要( )小时。 【变式训练】(24-25五年级上·河南周口·期末)妈妈在菜市场买了3kg鲫鱼付了30元，找回1.8元， 平均每千克鲫鱼多少元？列综合算式是( ）。 高频考点七用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】(25-26五年级上·江苏扬州·期末)竖式计算。 37.2+3.08= 9.2-4.94= 0.28×0.45(精确到百分位)≈ 8.89÷1.7(得数保留两位小数)≈ 第7页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】（25-26五年级上·云南玉溪·期末)水果店中一箱橙子售价45.6元，张阿姨打算买1.5箱 (按重量折算，可拆分)，带70元够吗？下面是四名同学的解题思路，他们的思路正确吗？请在括号里判 断“√”或“X”,并选择一种正确解法说明理由。 小辰：45.6×1.5≈46×1.5=69元，69<70，所以够。（ 小悠：45.6×1.5≈45×1.5=67.5元，67.5<70，所以够。（ 小铭：70÷45.6≈70÷46≈1.52箱，1.52>1.5，所以够。() 小希：70÷1.5≈46.67元，46.67>45.6，所以够。() 我选择的是( )的解法，理由是： 高频考点八用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】已知1÷A=0.09,2÷A=0.18,3÷A=0.27,4÷A=0.36,那么( )÷A=0.63。 A.8 B.7 C.6 D.5 【变式训练】根据1÷37=0，.027,2÷37=0.0543÷37=0.0814÷37=0.108，则7÷37=( ）。 高频考点九循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】(25-26五年级上·全国·单元复习)在循环小数0.ABCABC:中，小数部分前90位上的数字 和是180，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？(A、B、C为3个不同的自然数) 【变式训练】(24-25五年级上·湖北咸宁·期中)3.1÷0.74的商的小数点后面第2024位上的数字是 A.4 B.2 C.8 D.5 高频考点十除数是小数的小数除法 【典例精讲】(24-25五年级上·湖南张家界·期末)竖式计算，除不尽的保留两位小数。 2.04×8.5= 6.85÷0.45≈ 第8页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级上·湖南张家界·期末)直接写出得数。 6.3÷0.9÷7= 2.9X0.5= 5.9×0.2= 3.6X7= 4.3×0.3= 5.9×0.9= 9.4×0.8= 7.5×6= 1.3×8.3= 3.8×7= 高频考点十一被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】在括号里填上合适的运算符号。 0.87( )1.2=1.044 73( )0.2=365 【变式训练】在括号里填上“>”“<”或“=”。 15×1( )15×0.8 4.8÷1.2( )4.8 0.82×0.99( )0.82 4.62÷1.05( )4.62 5.94÷0.9( )5.94 2.75×1.01( )2.75 高频考点十二除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】(23-24五年级上·江苏盐城·期末)学校图书馆长9.7米，宽5.3米，用边长0.9米的正 方形瓷砖铺地，( )块够。（不考虑损耗） A.50 B.60 C.70 D.80 【变式训练】购买( )种包装的酱油比较便宜，( )种包装的最贵。 酱油 酱油 ② ③ 酱油 350mL 1000mL 1.75L 1.00元 4.50元 7.50元 A.①：② B.①：③ C.②：③ 高频考点十三用“进一法”、“去尾法”解决问题 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)每个空瓶可以装2.5kg色拉油，李阿姨要把25.7kg色 拉油装在这样的瓶子里，至少需要( )个这样的瓶子。 A.10 B.11 C.12 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业)分装58千克食用油，若每个油桶可装油4.8千克，求 需要准备多少个油桶，要用( )取近似值。 A.“四舍五入”法 B.“进一”法 C.“去尾”法 第9页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点十四小数的连除运算 【典例精讲】怎样简便就怎样算。 1.27+3.9+0.73+6.1 2.4×1.02 13÷2.5÷0.4 55×4.8+52×5.5 【变式训练】用你喜欢的方法计算。 3.5÷2.5÷4 2.8-0.8÷0.4 6.6÷0.4-18×0.4 64÷(8.1-7.7) 高频考点十五小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】用你喜欢的方法计算。 37.5÷[0.3×(1.34-0.84)] 2.1÷0.25÷4 3.4×7.8÷3.9 【变式训练】小马虎又马虎了，在计算一个数除以3.6时错算成了除以6.3，结果是1.2。这道题的正确答 案应是( )。 A.27.216 B.3.24 C.2.1 第10页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点十六小数的四则运算及法则 【典例精讲】脱式计算，能简算的要简算。 20÷1.25÷8 3.64-16÷5×0.56 7.52×10.65-7.52×0.65 102×0.32 【变式训练】计算下面各题（用你喜欢的方法计算，但必须写下计算的过程）。 (1)0.27×35÷0.21 (2)8÷2.5×4 (3)0.35×6.4-5.4×0.35 高频考点十七利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】(25-26五年级上·河北·课后作业)南京长江大桥是长江上第一座由中国自行设计和建造 的双层式铁路、公路两用桥梁，铁路桥全长约6.8千米。一列火车以每小时150千米的速度经过一根电线 杆用了0.14分钟（电线杆的宽度忽略不计）。这列火车以同样的速度经过南京长江大桥时大约需要多少分 钟？ 【变式训练】(25-26五年级下·辽宁辽阳·期末)李老师给全班每名学生准备了3本练习本，每本练习 本1.8元，总共花了205.2元。这个班共有多少名学生？ 第11页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点十八分段计费问题（小数除法） 【典例精讲】(2026·湖南长沙·小升初真题)为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收 费方式：每户每月用水15吨以内（含15吨），按2.88元/吨收取；超出15吨但不超过22吨（含22吨） 的部分，按3.64元/吨收取，超过22吨的部分，按4.39元/吨收取。 (1)小明家10月份用水12吨，应缴水费多少元？ (2)11月份用了21吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家10月份缴水费57.76元，她家10月份用水多少吨？ 【变式训川练】(24-25六年级下·江苏南通·期末)代驾已成为热潮，让不方便开车的人群多了一点安全。 如表是某代驾公司的收费标准。（不满1千米按1千米收费） 时间段 起步价格 里程费 9.9元(2千米及以 超过起步价里程，但 07:00~23:59 收费标准 内) 没有超过12千米的 单价是每千米4元， 00:0006:59 18元(3千米及以内) 超过12千米以后， 每千米再加收1.5元 某天凌晨1：00，王叔叔向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费92.5元，此次代驾最多行驶了多少千米？ 第12页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 难点突破奥数拓展 奥数拓展一除数是整数的小数除法计算与应用 【典例精讲】(24-25六年级下·河南安阳·期末)一条河的水流速度为2千米/时，甲船在下游A港，速 度为12千米/时，乙船在中游B港，速度为4千米/时，A、B两港相距12千米，甲、乙两船同时同向出发， 开往距B港88千米的上游C港，甲到达C港后立刻返回，问甲和乙迎面相遇的地点与C港相距多远？ 【变式训练】学校买来72只桶，共交了口67.9口元钱，（口内的数字辨认不清）请你算出每只桶要用多少 元？ 奥数拓展二除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】(26-27五年级·全国·暑假作业)请结合“买书”的情境(4套书93元)，用自己的话说 一说：在计算93÷4时，为什么要先在商的个位写3，然后在余数1后面添0继续除？这个“添0”的过程 实际上是在做什么？ 【变式训练】（2025·重庆渝北·小升初真题)B地在A,C两地之间。甲从B地到A地去，甲出发后1小 时乙从B地出发到C地，乙出发后1小时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从B地出发骑车去 追赶甲和乙。己知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地 所用时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？ 第13页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展三循环小数的认识与简写 【典例精讲】(25-26五年级下·浙江温州·期末)我们学习了分数和小数互化。分数可以转化为有限小 数或者无限循环小数。 ①津子转化为猫环小数是( )。 (2)我们已经学会了把有限小数转化为分数，那么，无限循环小数又该怎么转化成分数呢？请你仔细观察下 面的转化过程，然后找出其中的规律。 转化1：0.3=3-1 93 转化2：0,45=45-5 9911 转化3：0.126=126、14 999111 根据规律，0.603=( )=( (3)我们还可以用方程的方法探究这种规律背后的秘密。 设x=0. 那么10x=7.月 将上面两式相减，得10x-x=7.7-0.7 9x=7 7 X=- 9 所以0.7=7 9 请你阅读上面的证明过程，把0.25化成分数。 设x=0.25 那么( )Xx=( 将上面两式相减，得 请在此处写出过程 所以0.25=( )。 (4)如果一个最简分数化成小数后是0.25，利用方程的方法求出这个最简分数。 第14页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级上·湖北咸宁·期末)在6.74,6.740,6.704中，最大的数是( 最小的数是( )。 奥数拓展四有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】(24-25五年级上广东佛山·期中)在0.787、0.787、0.787、0.788中，最大的是( 最小的是( )。 【变式训练】下列语句描述中，说法正确的有( )个。 ①0.3乘一个小数，所得的积一定比0.3小。 ②无限小数一定是循环小数。 ③掷一枚硬币，连续10次均是正面朝上，如果再掷一次，一定反面朝上。 ④x=0是一个方程。 ⑤14.3÷2.4的商是5.9，余数为0.14。 A.1 B.2 C.3 D.4 奥数拓展五除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】(25-26五年级上·湖南邵阳·期末)买4盒牙膏和3支牙刷要73.5元，买3盒牙膏和4支 牙刷要63元，牙膏每盒( )元，每支牙刷( )元。 【变式训练】(2025·重庆渝北·小升初真题)A、B两地相距150千米。运动员进行骑摩托车训练，速度 为80千米/小时，一辆行驶速度40千米/小时的公共汽车和摩托车同时从A地出发，摩托车到B地后立即 返回，途中和公共汽车相遇，相遇后，摩托车又立即掉头驶向B地，当摩托车到达B地时，公共汽车离B地 还有多远？ 奥数拓展六用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】(24-25五年级上·四川自贡·期末)直线上点a可能表示的是( )算式的结果。 0 2 4 A.0.7☐×5 B.2.6÷0.1☐ C.31.☐÷13 第15页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级上·浙江宁波·期中)7.856÷3.3的商小数点后第十位是()，保留两位 小数约是( ) 奥数拓展七循环小数比大小 【典例精讲】(25-26五年级上·广西玉林·期末)将4.863,4.863,4.863,4.863按从大到小的顺序排 列：( )>( )>( )>( )。 【变式训练】(25-26五年级上河北保定·期末)从小到大排列2.046、2.046、2.046、2.046，（ <( )<( )<( 奥数拓展八循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】(25-26五年级上·河北邢台·期末)小薇在计算14.6：11时，发现商是一个循环小数，它 的小数部分第2025位是( )。 A.1 B.3 C.2 D.7 【变式训练】(24-25五年级上·江西南昌·期末)20÷3.7的商是一个( )小数，用简便形式表示 为( ),这个小数的小数点后面的第100位上的数字是( ),保留两位小数是( 奥数拓展九除数是小数的小数除法 【典例精讲】(25-26五年级下·山西运城·期末)修路是民生大事，更是发展要事。近年来，盐湖区持 续推进道路提质升级工程。在施工过程中，一辆后八轮自卸车参与沙石运输作业，该车斗内部长5.5米， 宽2.4米，高1.5米，现将整车装满沙石用于铺设路面。若路面宽度为9米，铺设厚度为0.2米，这些沙 石可以铺多长的路？ 5.5米 .4米 B 1.5米 @@ 第16页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级上·四川成都·期末)估一估：0.19口÷0.2口的商可能是( ）。 A.0.08 B.0.8 C.8 D.80 奥数拓展十被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】(25-26五年级上·河南南阳·期末)如图所示，根据x、y两个数的位置，下面计算结果最 大的是( )。 0 x 1 y 2 3 A.xXy B.y÷x C.x÷y 【变式训练】(25-26五年级上·江苏准安·期末)已知甲÷乙=2.3，如果把甲的小数点向右移动一位， 把乙的小数点向左移动一位，那么结果是( ）。 A.0.23 B.2.3 C.0.023 D.230 奥数拓展十一除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】(2025五年级上·江苏常州·专题练习)甲、乙、丙三人各出同样多的钱，合买苹果若干千 克。分苹果时，甲和丙都比乙多拿了7.5千克苹果，这样，甲和丙各应给乙6元。问：每千克苹果多少元？ 【变式训练】（2025五年级上·广东广州·专题练习)甲和乙在一条路的两端同时出发，各自以固定速度 向对方的出发点跑去。12分钟后，甲到达乙的出发点，而乙距离甲的出发点还有960米。若乙每分钟跑120 米，则甲和乙在出发后经过( )分钟于路上相遇。 奥数拓展十二用“进一法”、“去尾法”解决问题 【典例精讲】(24-25五年级上·四川·期末)一辆轿车油箱的容量为50升，加满油后由上海出发前往相 距2560千米的哈尔滨。己知轿车每行驶100千米耗油8升，为保证行车安全油箱内至少应存油6升。那么， 在去哈尔滨的途中至少需要加油( )次。 【变式训练】(25-26五年级上·浙江杭州·期中)学校买来6根15米长的绳子准备为同学们做跳绳。一 根跳绳长1.8米，最多能做多少根？三个小朋友有不同的想法，他们三人说得对吗？请分别判断对错，并 说明理由。 第17页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 6×15=90(米) 15÷1.8=8.333… 90÷1.8=50(根)1 9×6=54(根) 小明 15÷1.8=8.333… 8×6=48(根) 小欣 小悦 奥数拓展十三小数的连除运算 【典例精讲】(25-26五年级上·河北秦皇岛·期末)看一看，填一填。 观察前三题发现规律，根据规律把后三题补充完整。 1.08÷0.9÷0.1=12 1.107÷0.9÷0.01=123 1.1106÷0.9÷0.001=1234 1.11105÷0.9÷0.0001=( )÷0.9÷0.00001=123456 ( ）÷0.9÷( )=1234567 【变式训练】脱式计算。 3.6÷0.18÷20 0.375÷0.15×8 7.44÷(37.2×0.5) (1.8+202)÷2.5 奥数拓展十四小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】(24-25五年级上·河北保定·期末)小马虎在计算一道小数除法题时，错把除数1.34看成 了13.4，结果商是0.46，正确的商应该是( )。 A.4.6 B.6.164 C.0.046 D.61.64 第18页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级上·河北保定·期末)王叔叔一家准备从涞源到太原自驾游。 (1)王叔叔的汽车行驶150千米耗油12升，照这样计算，涞源到太原的距离大约339千米，油箱里还有 25升汽油。王叔叔中途还需要加油吗？请列式计算说明理由。 (2)王叔叔一家到景区游玩，离开时共付停车费14元，王叔叔一家在该景区最多游玩了几小时？ 景区停车场收费标准如下： (1)1小时及以内收费5元： (2)超过1小时的部分，每0.5小时收费1.5元（不足0.5小时，按0.5小时计算）。 奥数拓展十五小数的四则运算及法则 【典例精讲】（25-26五年级上·贵州遵义·期末)乐乐在用计算器计算“49×7”时，发现计算器的键 “4”坏了，他想到了四种不同的输入方法，下面方法( )是错误的。 A.9.8X7÷2 B.5-0.1×7 C.7×0.7×7 D.2×2×7+0.9×7 【变式训练】(25-26五年级上·上海·期末)递等式计算，能简便运算的要用简便方法计算。 126+74÷0.37×9.5 26.4×6.4-2.64+3.7×26.4 [2.1-(0.37+1.53)]×50÷0.8 奥数拓展十六利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】(25-26五年级上·河北衡水·期末)代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业 驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表： 行驶 里程 7千米以内（含7千米） 超过7千米的部分 时间段 7:00~21:59 45元 每千米3.5元 22:00~次日6：59 68元 每千米45元 第19页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 李叔叔在饭店参加聚会，22：30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务。服务结束后，李叔叔支付了117.5 元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【变式训练】（25-26五年级上·四川巴中·期末)水果店有两堆水果，这两堆水果的总质量是第一堆的 2.8倍，如果从第二堆中拿出4.8千克放入第一堆，则两堆水果就一样多，这两堆水果原来各有多少千克？ 奥数拓展十七错中求解问题（小数除法） 【典例精讲】(25-26五年级上·湖北武汉·期中)小明在计算一道除法算式时，把被除数14.7错看成17.4， 得到的商比原来多4.5。则这道除法算式正确的商是多少？ 【变式训练】25-26五年级上·四川广元·期中)小马虎在计算3.6除以一个数时，由于除数的小数点向 左点错了一位，结果是24，这道题的除数是( ）。 奥数拓展十八判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（23-24五年级上·河北·课后作业)x÷0.7=y,已知y是一个两位小数，保留一位小数是 2.5。x最大是多少？最小呢？ 【变式训练】A÷0.6=B,B是一个两位小数，保留一位小数是2.0，A最大是( ),最小是( ）。 第20页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展十九分段计费问题（小数除法） 【典例精讲】(25-26五年级上·福建莆田·期末)春节期间，奇思和妙想一起到万达影城看电影。奇思 家距离万达影城8.4千米，距离妙想家5.6千米，妙想家距离万达影城最近的距离是12.6千米。看完电影， 他们计划乘坐出租车回家，聪明的他们选择了最便宜的乘车方案，两人一共付了27.8元，你知道“出租车 计价标准”被遮住的数字是多少元吗？ 出租车计价标准 3千米以内8元C合3千米)，超过8千米福分，每千米（不 足1千米，按1千米计算)。 ● 奇思家 ● ● 妙想家 万达影城 【变式训练】(25-26五年级上·河北邢台·期末)佳慧准备到A单位去洽谈业务，她从公司叫了特惠快 车去该单位。下车时使用支付软件付款，使用了优惠红包5.9元，实际只支付了25.7元车费。特惠快车收 费标准如下： 路程 收费标准 3千米及以内 10元 超过3千米的部分 每增加1千米，再收2.4元（不足1千米，按1千米计算） 特殊收费：应来客要求等候时，每等候5分钟，按2.4元收费 特惠快车按佳慧要求等候了5分钟，佳慧所在公司到A单位最远有多少千米？ 第21页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 优选真题实战演练 【能力提升练】 1.(26-27六年级上·全国·课后作业)0.5+0.5×0.5+0.5的计算结果是( )。 A.1.25 B.1 C.0.5 2.(25-26六年级下·陕西咸阳·期末)甲、乙两港相距140千米，一艘轮船从甲港驶向乙港用了4.5小 时，原路返回时因为逆水比去时多用1小时。这艘轮船往返的平均速度是( )千米/时。 A.28 B.21 C.14 D.7 3.(25-26四年级下·浙江金华·期末)修一段公路，第一周修了全长的一半少0.4千米，第二周修了余 下的一半多0.2千米，这时还剩下6.2千米，全长( )千米。 4.(26-27五年级上·全国·课后作业)根据912÷24=38，直接写出下面各式的商。 9.12÷0.24=(） 912÷0.24=（) 0.912÷0.24=（） 9120÷2.4=（） 5.(24-25五年级上·河南驻马店·期中)根据“3.24,1.08,0.36，☐”中的规律，可知☐里应填0.12。 ）(判断对错) 6.(26-27五年级上·全国·课后作业)列竖式计算。 115.2÷3.6= 351÷7.8= 42.9÷6.6= 2.952÷0.82= 727.2÷0.72= 1.386÷0.33= 7.(2026·广东揭阳·小升初真题)某市出租车收费标准如下表： 里程 收费/元 3千米以下 10元 第22页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 3千米以上每增加1千 2.8元 米 (1)如果从火车站坐出租车前往相距18千米的机场，应付多少元车费？ (2)现有30元，乘出租车最多能到多远？（结果保留整数） 8.(24-25六年级下·浙江宁波·期末)2025年春节联欢晚会上，宇树H1机器人“福兮”手臂转动一圈 只需0.8秒，40秒能转动多少圈？ 9.(26-27五年级上·全国·课后作业)在某实验小学“迎国庆，树新风”演讲比赛中，一位选手的得分 是：9.85分，9.82分，9.90分，9.88分，9.86分，9.87分，9.89分。去掉一个最高分，同时去掉一个最 低分，这位选手的平均得分是多少？ 10.(26-27五年级上·全国·课后作业)李老师的车现有15升汽油，每消耗1升汽油可行驶6.4千米。 李老师准备开车外出办事，如果往返路程为128千米，至少还需要加多少升汽油？ 第23页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【思维创新练】 1.下列算式中，( )计算的结果不可能是24.口口 A.2.☐☐÷0.12B.3.☐☐×8 C.48÷3.☐☐ D.2.□☐x9 2.(25-26五年级上·江苏扬州·期末)甲乙两数的和是29.7，把甲数的小数点向右移动一位就和乙数相 等，甲数是( ),乙数是( )。 3.己知A=0.0004,B=0.00-05。那么A÷B=( )AXB=( ）。 100个0 99个0 4.(26-27五年级上·全国·课后作业)列竖式计算，除不尽的商保留一位小数。 2.55÷17= 12.96÷12= 3.33÷1.8= 8.5÷0.51≈ 314÷0.47≈ 11.43÷0.21≈ 5.(24-25六年级下·浙江宁波·期末)美国某超市一月份鸡蛋每打4.8美元，自从发起关税战后，四月 份每打就变成6.4美元了。某市民一月份买12打鸡蛋的钱，到四月份只能买几打了？ 6.(26-27五年级上·全国·课后作业)莉莉家五月份付电费64.6元，她家五月份用电多少千瓦时？ 收费标准每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费：若超过100千瓦时，超 过部分按每千瓦时0.6元收费。 第24页共25页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 7.(26-27五年级上·全国·课后作业)王叔叔进了一箱玻璃杯，共40个，批发价是192元。打开箱子发 现运输中破损了3个，这箱玻璃杯至少每个卖多少元才能保证盈利不低于20元？（单价取整数。） 8.(24-25五年级上·河北·课后作业)同学们将75.5厘米长的纸带每7.8厘米截成一段，做成一个圆环， 再使各个圆环连成拉花，如图所示。如果15个圆环做成一串拉花，那么13条这样的纸带可以做成几串拉 花？（得数保留整数） 9.乐乐、奇奇和贝贝星期天去郊游，乐乐带了4个面包，奇奇带了3个同样的面包，贝贝没有带面包。中 午，乐乐、奇奇和贝贝共同吃了这些面包，为了平均分摊费用，贝贝拿出3.5元给乐乐和奇奇两人。这些 面包一共多少钱？乐乐应该得到3.5元中的多少钱？ 10.春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平均分了这些 面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。每个面包多少元？ 第25页共25页null2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第三单元 小数除法『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+18个考点讲练+19个奥数拓展+真题难度分层演练 共94题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 小数除法计算 3 知识点二 商的近似数 4 知识点三 循环小数 4 知识点四 解决问题 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 除数是整数的小数除法 5 高频考点二 除数是整数，商小于1的小数除法 6 高频考点三 除数是整数，需要补0的小数除法 6 高频考点四 循环小数的认识与简写 7 高频考点五 有限小数和无限小数的认识 7 高频考点六 除数是整数的小数除法的应用 7 高频考点七 用“四舍五入”法求商的近似数 7 高频考点八 用归纳法解决计算器探索规律问题 8 高频考点九 循环小数和周期性规律综合问题 8 高频考点十 除数是小数的小数除法 8 高频考点十一 被除数和商的大小关系（小数除法） 9 高频考点十二 除数是小数的小数除法的应用 9 高频考点十三 用“进一法”、“去尾法”解决问题 9 高频考点十四 小数的连除运算 10 高频考点十五 小数的乘、除法混合运算 10 高频考点十六 小数的四则运算及法则 11 高频考点十七 利用小数四则混合运算解决问题 11 高频考点十八 分段计费问题（小数除法) 12 难点突破 奥数拓展 13 奥数拓展一 除数是整数的小数除法计算与应用 13 奥数拓展二 除数是整数，需要补0的小数除法 13 奥数拓展三 循环小数的认识与简写 14 奥数拓展四 有限小数和无限小数的认识 15 奥数拓展五 除数是整数的小数除法的应用 15 奥数拓展六 用“四舍五入”法求商的近似数 15 奥数拓展七 循环小数比大小 16 奥数拓展八 循环小数和周期性规律综合问题 16 奥数拓展九 除数是小数的小数除法 16 奥数拓展十 被除数和商的大小关系（小数除法） 17 奥数拓展十一 除数是小数的小数除法的应用 17 奥数拓展十二 用“进一法”、“去尾法”解决问题 17 奥数拓展十三 小数的连除运算 18 奥数拓展十四 小数的乘、除法混合运算 18 奥数拓展十五 小数的四则运算及法则 19 奥数拓展十六 利用小数四则混合运算解决问题 19 奥数拓展十七 错中求解问题（小数除法) 20 奥数拓展十八 判定被除数的最大值和最小值 20 奥数拓展十九 分段计费问题（小数除法) 21 优选真题 实战演练 22 【能力提升练】 22 【思维创新练】 24 知识点一 小数除法计算 1、除数是整数的小数除法 （1）计算方法：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商的整数部分写“0”，点上小数点后继续除；若除到被除数末尾仍有余数，在余数末尾添“0”继续除。 （2）算理本质：将被除数看成“几个十分之一”“几个百分之一”，转化为整数除法。 【技巧点拨】 （1）商的小数点对齐是关键：避免将商的小数点与除数的小数点对齐。 （2）整数部分不够除需写“0”。 （3）余数添“0”继续除，不能漏添“0”导致商不完整。 2、一个数除以小数 （1）计算方法：看除数有几位小数，就把除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数；同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（若被除数位数不足，用“0”补足）；按“除数是整数的小数除法”计算。 （2）算理依据：商不变的性质——被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。 【技巧点拨】 （1）除数和被除数的小数点移动位数必须相同。 （2）被除数位数不足用“0”补。 知识点二 商的近似数 求近似数的方法：根据题目要求的“保留位数”，除到比保留位数多一位，再用“四舍五入法”取近似值。 【技巧点拨】 （1）除到“多一位”是前提：若要求保留一位小数，需除到小数点后第二位；保留两位小数，除到第三位，不能提前停止计算。 （2）“四舍五入”规则要牢记：看“保留位数的下一位”，小于5舍去，大于或等于5进1。 （3）近似数用“≈”连接。 （4）结合实际确定保留位数。 知识点三 循环小数 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数。 4、循环小数一定是无限小数。 【技巧点拨】 （1）只有“依次不断重复”的数字才是循环节。 （2）循环节标记要准确：若循环节是多个数字，需在首位和末位各点一个点；若循环节是单个数字，在该数字上点一个点即可。 （3）循环小数的近似值：取循环小数的近似数时需除到比保留位数多一位，再用四舍五入法。 知识点四 解决问题 1、用 “进一法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分不够1，也要向整数部分进1，确保“所有物品都能被容纳或完成任务”。 （2）适用场景：装东西（如装水、装粮食）、运输货物、分配容器等“必须将物品全部装完或运完”的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“进一”的必要性：只有当“剩余部分也需要1个单位”时才用进一法，不能随意使用。 （2）结果必须是整数：进一法的结果是比精确商大的最小整数。 （3）避免与“四舍五入”混淆。 2、用 “去尾法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分接近1，也要舍去小数部分，只保留整数部分，确保 “物品数量为完整的个体”。 （2）适用场景：做衣服、裁布料、做蛋糕、剪绳子等“需要完整个体，剩余材料不够做1个” 的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“去尾”的合理性：只有当“剩余部分不够做1个完整个体”时才用去尾法，不能盲目舍去。 （2）结果必须是整数：去尾法的结果是比精确商小的最大整数。 （3）与“进一法”的场景区分：装东西用进一法（需全部装完），做东西用去尾法（需完整个体），避免混淆（如“用瓶子装水”用进一法，“用布做衣服”用去尾法）。 高频考点一 除数是整数的小数除法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）下面四个算式中，结果最小的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26五年级上·山西临汾·期末）张大伯家今年一共收获了21.6吨白菜，用一辆载重4吨的卡车来运，至少（    ）次才能运完。 A．4 B．5 C．5.4 D．6 高频考点二 除数是整数，商小于1的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·北京海淀·期末）下面算式的得数与N最接近的是（    ）。 A．0.35÷4.9 B．3.5÷4.9 C．3.5÷49 D．3.5×0.49 【变式训练】（24-25五年级上·湖北荆州·期中）列竖式计算。 3.85×2.6＝       20.16÷28＝         5.61÷6.1≈   （保留一位小数） 高频考点三 除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏常州·期末）如图是竖式计算“15.35÷5”的错误过程，判断错误的原因是（    ）。 A．小数点的位置点错了 B．商的小数点没有与被除数的小数点对齐 C．除到不够商1时，商没有用0占位 D．被除数没有添0继续除 【变式训练】（25-26五年级上·陕西延安·期末）解方程。 （1）        （2）        （3） 高频考点四 循环小数的认识与简写 【典例精讲】（25-26五年级上·广西桂林·期末）用竖式计算。 62.9÷17.5≈（保留一位小数）   9÷3.6＝    12.6÷12＝    14.2÷11＝（商用循环小数） 【变式训练】（25-26五年级上·山东枣庄·期末）如果，，，那么7÷A＝( )。 高频考点五 有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】下列说法正确的是（    ）。 A．小数可以分为有限小数和循环小数。 B．两数相除的商不是整数就是小数。 C．有限小数一定小于循环小数。 【变式训练】（23-24五年级上·山东菏泽·期中）无限小数都有循环节。( )（判断对错） 高频考点六 除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽蚌埠·期中）李师傅5小时做40个零件，平均每小时做( )个零件，平均做一个零件需要( )小时。 【变式训练】（24-25五年级上·河南周口·期末）妈妈在菜市场买了3kg鲫鱼付了30元，找回1.8元，平均每千克鲫鱼多少元？列综合算式是( )。 高频考点七 用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏扬州·期末）竖式计算。 37.2＋3.08＝        9.2−4.94＝ 0.28×0.45（精确到百分位）≈ 8.89÷1.7（得数保留两位小数）≈ 【变式训练】（25-26五年级上·云南玉溪·期末）水果店中一箱橙子售价45.6元，张阿姨打算买1.5箱（按重量折算，可拆分），带70元够吗？下面是四名同学的解题思路，他们的思路正确吗？请在括号里判断“√”或“×”，并选择一种正确解法说明理由。 小辰：45.6×1.5≈46×1.5＝69元，69＜70，所以够。( ) 小悠：45.6×1.5≈45×1.5＝67.5元，67.5＜70，所以够。( ) 小铭：70÷45.6≈70÷46≈1.52箱，1.52＞1.5，所以够。( ) 小希：70÷1.5≈46.67元，46.67＞45.6，所以够。( ) 我选择的是( )的解法，理由是：_________________________________________。 高频考点八 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】已知1÷A＝0.09，2÷A＝0.18，3÷A＝0.27，4÷A＝0.36，那么（    ）÷A＝0.63。 A．8 B．7 C．6 D．5 【变式训练】根据1÷37＝，2÷37＝，3÷37＝，4÷37＝，则7÷37＝( )。 高频考点九 循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·单元复习）在循环小数0.ABCABC⋯中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（、、为3个不同的自然数） 【变式训练】（24-25五年级上·湖北咸宁·期中）3.1÷0.74的商的小数点后面第2024位上的数字是（    ）。 A．4 B．2 C．8 D．5 高频考点十 除数是小数的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）竖式计算，除不尽的保留两位小数。 2.04×8.5＝    6.85÷0.45≈ 【变式训练】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）直接写出得数。 6.3÷0.9÷7＝    2.9×0.5＝    5.9×0.2＝    3.6×7＝    4.3×0.3＝ 5.9×0.9＝    9.4×0.8＝    7.5×6＝    1.3×8.3＝    3.8×7＝ 高频考点十一 被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】在括号里填上合适的运算符号。 0.87( )1.2＝1.044                 73( )0.2＝365 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 15×1( )15×0.8   4.8÷1.2( )4.8     0.82×0.99( )0.82 4.62÷1.05( )4.62     5.94÷0.9( )5.94     2.75×1.01( )2.75 高频考点十二 除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（23-24五年级上·江苏盐城·期末）学校图书馆长9.7米，宽5.3米，用边长0.9米的正方形瓷砖铺地，（    ）块够。（不考虑损耗） A．50 B．60 C．70 D．80 【变式训练】购买（    ）种包装的酱油比较便宜，（    ）种包装的最贵。 ①   ②   ③ A．①；② B．①；③ C．②；③ 高频考点十三 用“进一法”、“去尾法”解决问题 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）每个空瓶可以装2.5kg色拉油，李阿姨要把25.7kg色拉油装在这样的瓶子里，至少需要（    ）个这样的瓶子。 A．10 B．11 C．12 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）分装58千克食用油，若每个油桶可装油4.8千克，求需要准备多少个油桶，要用（    ）取近似值。 A．“四舍五入”法 B．“进一”法 C．“去尾”法 高频考点十四 小数的连除运算 【典例精讲】怎样简便就怎样算。 1.27＋3.9＋0.73＋6.1      2.4×1.02        13÷2.5÷0.4      55×4.8＋52×5.5 【变式训练】用你喜欢的方法计算。 3.5÷2.5÷4                     2.8－0.8÷0.4           6.6÷0.4—18×0.4               64÷（8.1－7.7） 高频考点十五 小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】用你喜欢的方法计算。 37.5÷［0.3×（1.34－0.84）］        2.1÷0.25÷4        3.4×7.8÷3.9 【变式训练】小马虎又马虎了，在计算一个数除以3.6时错算成了除以6.3，结果是1.2。这道题的正确答案应是（    ）。 A．27.216 B．3.24 C．2.1 高频考点十六 小数的四则运算及法则 【典例精讲】脱式计算，能简算的要简算。 20÷1.25÷8        3.64－16÷5×0.56 7.52×10.65－7.52×0.65        102×0.32 【变式训练】计算下面各题（用你喜欢的方法计算，但必须写下计算的过程）。 （1）0.27×35÷0.21      （2）8÷2.5×4      （3）0.35×6.4－5.4×0.35 高频考点十七 利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·河北·课后作业）南京长江大桥是长江上第一座由中国自行设计和建造的双层式铁路、公路两用桥梁，铁路桥全长约6.8千米。一列火车以每小时150千米的速度经过一根电线杆用了0.14分钟（电线杆的宽度忽略不计）。这列火车以同样的速度经过南京长江大桥时大约需要多少分钟？ 【变式训练】（25-26五年级下·辽宁辽阳·期末）李老师给全班每名学生准备了3本练习本，每本练习本1.8元，总共花了205.2元。这个班共有多少名学生？ 高频考点十八 分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（2026·湖南长沙·小升初真题）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水15吨以内（含15吨），按2.88元/吨收取；超出15吨但不超过22吨（含22吨）的部分，按3.64元/吨收取，超过22吨的部分，按4.39元/吨收取。 (1)小明家10月份用水12吨，应缴水费多少元？ (2)11月份用了21吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家10月份缴水费57.76元，她家10月份用水多少吨？ 【变式训练】（24-25六年级下·江苏南通·期末）代驾已成为热潮，让不方便开车的人群多了一点安全。如表是某代驾公司的收费标准。（不满1千米按1千米收费） 收费标准 时间段 起步价格 里程费 07：00～23：59 9.9元（2千米及以内） 超过起步价里程，但没有超过12千米的单价是每千米4元，超过12千米以后，每千米再加收1.5元 00：00～06：59 18元（3千米及以内） 某天凌晨1：00，王叔叔向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费92.5元，此次代驾最多行驶了多少千米？ 奥数拓展一 除数是整数的小数除法计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级下·河南安阳·期末）一条河的水流速度为2千米/时，甲船在下游A港，速度为12千米/时，乙船在中游B港，速度为4千米/时，A、B两港相距12千米，甲、乙两船同时同向出发，开往距B港88千米的上游C港，甲到达C港后立刻返回，问甲和乙迎面相遇的地点与C港相距多远？ 【变式训练】学校买来72只桶，共交了□67.9□元钱，（□内的数字辨认不清）请你算出每只桶要用多少元？ 奥数拓展二 除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（26-27五年级·全国·暑假作业）请结合“买书”的情境（4套书93元），用自己的话说一说：在计算93÷4时，为什么要先在商的个位写3，然后在余数1后面添0继续除？这个“添0”的过程实际上是在做什么？ 【变式训练】（2025·重庆渝北·小升初真题）B地在A，C两地之间。甲从B地到A地去，甲出发后1小时乙从B地出发到C地，乙出发后1小时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从B地出发骑车去追赶甲和乙。已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地所用时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？ 奥数拓展三 循环小数的认识与简写 【典例精讲】（25-26五年级下·浙江温州·期末）我们学习了分数和小数互化。分数可以转化为有限小数或者无限循环小数。 (1)把转化为循环小数是( )。 (2)我们已经学会了把有限小数转化为分数，那么，无限循环小数又该怎么转化成分数呢？请你仔细观察下面的转化过程，然后找出其中的规律。 转化1： 转化2： 转化3： 根据规律，＝( )＝( )。 (3)我们还可以用方程的方法探究这种规律背后的秘密。 设 那么 将上面两式相减，得 所以 请你阅读上面的证明过程，把化成分数。 设 那么（    ）×x＝（    ） 将上面两式相减，得 请在此处写出过程 所以（    ）。 (4)如果一个最简分数化成小数后是，利用方程的方法求出这个最简分数。 【变式训练】（25-26五年级上·湖北咸宁·期末）在，，中，最大的数是( )，最小的数是( )。 奥数拓展四 有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·广东佛山·期中）在、、、中，最大的是( )，最小的是( )。 【变式训练】下列语句描述中，说法正确的有（    ）个。 ①0.3乘一个小数，所得的积一定比0.3小。 ②无限小数一定是循环小数。 ③掷一枚硬币，连续10次均是正面朝上，如果再掷一次，一定反面朝上。 ④＝0是一个方程。 ⑤14.3÷2.4的商是5.9，余数为0.14。 A．1 B．2 C．3 D．4 奥数拓展五 除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·湖南邵阳·期末）买4盒牙膏和3支牙刷要73.5元，买3盒牙膏和4支牙刷要63元，牙膏每盒( )元，每支牙刷( )元。 【变式训练】（2025·重庆渝北·小升初真题）A、B两地相距150千米。运动员进行骑摩托车训练，速度为80千米/小时，一辆行驶速度40千米/小时的公共汽车和摩托车同时从A地出发，摩托车到B地后立即返回，途中和公共汽车相遇，相遇后，摩托车又立即掉头驶向地，当摩托车到达地时，公共汽车离地还有多远？ 奥数拓展六 用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·四川自贡·期末）直线上点a可能表示的是（    ）算式的结果。 A．0.7□×5 B．2.6÷0.1□ C．31.□÷13 【变式训练】（24-25五年级上·浙江宁波·期中）的商小数点后第十位是( )，保留两位小数约是( )。 奥数拓展七 循环小数比大小 【典例精讲】（25-26五年级上·广西玉林·期末）将4.863，，，按从大到小的顺序排列：( )＞( )＞( )＞( )。 【变式训练】（25-26五年级上·河北保定·期末）从小到大排列2.046、、、，( )＜( )＜( )＜( )。 奥数拓展八 循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·期末）小薇在计算14.6÷11时，发现商是一个循环小数，它的小数部分第2025位是（    ）。 A．1 B．3 C．2 D．7 【变式训练】（24-25五年级上·江西南昌·期末）20÷3.7的商是一个( )小数，用简便形式表示为( )，这个小数的小数点后面的第100位上的数字是( )，保留两位小数是( )。 奥数拓展九 除数是小数的小数除法 【典例精讲】（25-26五年级下·山西运城·期末）修路是民生大事，更是发展要事。近年来，盐湖区持续推进道路提质升级工程。在施工过程中，一辆后八轮自卸车参与沙石运输作业，该车斗内部长5.5米，宽2.4米，高1.5米，现将整车装满沙石用于铺设路面。若路面宽度为9米，铺设厚度为0.2米，这些沙石可以铺多长的路？ 【变式训练】（25-26五年级上·四川成都·期末）估一估：0.19□÷0.2□的商可能是（    ）。 A．0.08 B．0.8 C．8 D．80 奥数拓展十 被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（25-26五年级上·河南南阳·期末）如图所示，根据x、y两个数的位置，下面计算结果最大的是（    ）。 A．x×y B．y÷x C．x÷y 【变式训练】（25-26五年级上·江苏淮安·期末）已知甲÷乙＝2.3，如果把甲的小数点向右移动一位，把乙的小数点向左移动一位，那么结果是（    ）。 A．0.23 B．2.3 C．0.023 D．230 奥数拓展十一 除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（2025五年级上·江苏常州·专题练习）甲、乙、丙三人各出同样多的钱，合买苹果若干千克。分苹果时，甲和丙都比乙多拿了7.5千克苹果，这样，甲和丙各应给乙6元。问：每千克苹果多少元？ 【变式训练】（2025五年级上·广东广州·专题练习）甲和乙在一条路的两端同时出发，各自以固定速度向对方的出发点跑去。12分钟后，甲到达乙的出发点，而乙距离甲的出发点还有960米。若乙每分钟跑120米，则甲和乙在出发后经过( )分钟于路上相遇。 奥数拓展十二 用“进一法”、“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·四川·期末）一辆轿车油箱的容量为50升，加满油后由上海出发前往相距2560千米的哈尔滨。已知轿车每行驶100千米耗油8升，为保证行车安全油箱内至少应存油6升。那么，在去哈尔滨的途中至少需要加油( )次。 【变式训练】（25-26五年级上·浙江杭州·期中）学校买来6根15米长的绳子准备为同学们做跳绳。一根跳绳长1.8米，最多能做多少根？三个小朋友有不同的想法，他们三人说得对吗？请分别判断对错，并说明理由。 奥数拓展十三 小数的连除运算 【典例精讲】（25-26五年级上·河北秦皇岛·期末）看一看，填一填。 观察前三题发现规律，根据规律把后三题补充完整。 ( ) ( ) ( )( ) 【变式训练】脱式计算。 3.6÷0.18÷20            0.375÷0.15×8 7.44÷（37.2×0.5）        （1.8＋202）÷2.5 奥数拓展十四 小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（24-25五年级上·河北保定·期末）小马虎在计算一道小数除法题时，错把除数1.34看成了13.4，结果商是0.46，正确的商应该是（    ）。 A．4.6 B．6.164 C．0.046 D．61.64 【变式训练】（24-25五年级上·河北保定·期末）王叔叔一家准备从涞源到太原自驾游。 （1）王叔叔的汽车行驶150千米耗油12升，照这样计算，涞源到太原的距离大约339千米，油箱里还有25升汽油。王叔叔中途还需要加油吗？请列式计算说明理由。 （2）王叔叔一家到景区游玩，离开时共付停车费14元，王叔叔一家在该景区最多游玩了几小时？ 景区停车场收费标准如下： （1）1小时及以内收费5元； （2）超过1小时的部分，每0.5小时收费1.5元（不足0.5小时，按0.5小时计算）。 奥数拓展十五 小数的四则运算及法则 【典例精讲】（25-26五年级上·贵州遵义·期末）乐乐在用计算器计算“4.9×7”时，发现计算器的键“4”坏了，他想到了四种不同的输入方法，下面方法（    ）是错误的。 A．9.8×7÷2 B．50.1×7 C．7×0.7×7 D．2×2×7＋0.9×7 【变式训练】（25-26五年级上·上海·期末）递等式计算，能简便运算的要用简便方法计算。 126＋74÷0.37×9.5    26.4×6.4－2.64＋3.7×26.4     [2.1－（0.37＋1.53）]×50÷0.8 奥数拓展十六 利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·河北衡水·期末）代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表：           行驶里程 时间段 7千米以内（含7千米） 超过7千米的部分 7∶00～21∶59 45元 每千米3.5元 22∶00～次日6∶59 68元 每千米4.5元 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 李叔叔在饭店参加聚会，22∶30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务。服务结束后，李叔叔支付了117.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【变式训练】（25-26五年级上·四川巴中·期末）水果店有两堆水果，这两堆水果的总质量是第一堆的2.8倍，如果从第二堆中拿出4.8千克放入第一堆，则两堆水果就一样多，这两堆水果原来各有多少千克？ 奥数拓展十七 错中求解问题（小数除法) 【典例精讲】（25-26五年级上·湖北武汉·期中）小明在计算一道除法算式时，把被除数14.7错看成17.4，得到的商比原来多4.5。则这道除法算式正确的商是多少？ 【变式训练】25-26五年级上·四川广元·期中）小马虎在计算3.6除以一个数时，由于除数的小数点向左点错了一位，结果是24，这道题的除数是( )。 奥数拓展十八 判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（23-24五年级上·河北·课后作业）x÷0.7＝y，已知y是一个两位小数，保留一位小数是2.5。x最大是多少？最小呢？ 【变式训练】A÷0.6＝B，B是一个两位小数，保留一位小数是2.0，A最大是( )，最小是( )。 奥数拓展十九 分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（25-26五年级上·福建莆田·期末）春节期间，奇思和妙想一起到万达影城看电影。奇思家距离万达影城8.4千米，距离妙想家5.6千米，妙想家距离万达影城最近的距离是12.6千米。看完电影，他们计划乘坐出租车回家，聪明的他们选择了最便宜的乘车方案，两人一共付了27.8元，你知道“出租车计价标准”被遮住的数字是多少元吗？ 出租车计价标准 3千米以内8元（含3千米），超过3千米部分，每千米（不足1千米，按1千米计算）。 【变式训练】（25-26五年级上·河北邢台·期末）佳慧准备到A单位去洽谈业务，她从公司叫了特惠快车去该单位。下车时使用支付软件付款，使用了优惠红包5.9元，实际只支付了25.7元车费。特惠快车收费标准如下： 路程 收费标准 3千米及以内 10元 超过3千米的部分 每增加1千米，再收2.4元（不足1千米，按1千米计算） 特殊收费：应来客要求等候时，每等候5分钟，按2.4元收费 特惠快车按佳慧要求等候了5分钟，佳慧所在公司到A单位最远有多少千米？ 【能力提升练】 1．（26-27六年级上·全国·课后作业）0.5＋0.5×0.5＋0.5的计算结果是（    ）。 A．1.25 B．1 C．0.5 2．（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）甲、乙两港相距140千米，一艘轮船从甲港驶向乙港用了4.5小时，原路返回时因为逆水比去时多用1小时。这艘轮船往返的平均速度是（    ）千米/时。 A．28 B．21 C．14 D．7 3．（25-26四年级下·浙江金华·期末）修一段公路，第一周修了全长的一半少0.4千米，第二周修了余下的一半多0.2千米，这时还剩下6.2千米，全长( )千米。 4．（26-27五年级上·全国·课后作业）根据，直接写出下面各式的商。 ( )    ( ) ( )    ( ) 5．（24-25五年级上·河南驻马店·期中）根据“3.24，1.08，0.36，□”中的规律，可知□里应填0.12。( )（判断对错） 6．（26-27五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。                   7．（2026·广东揭阳·小升初真题）某市出租车收费标准如下表： 里程 收费/元 3千米以下 10元 3千米以上每增加1千米 2.8元 (1)如果从火车站坐出租车前往相距18千米的机场，应付多少元车费？ (2)现有30元，乘出租车最多能到多远？（结果保留整数） 8．（24-25六年级下·浙江宁波·期末）2025年春节联欢晚会上，宇树H1机器人“福兮”手臂转动一圈只需0.8秒，40秒能转动多少圈？ 9．（26-27五年级上·全国·课后作业）在某实验小学“迎国庆，树新风”演讲比赛中，一位选手的得分是：9.85分，9.82分，9.90分，9.88分，9.86分，9.87分，9.89分。去掉一个最高分，同时去掉一个最低分，这位选手的平均得分是多少？ 10．（26-27五年级上·全国·课后作业）李老师的车现有15升汽油，每消耗1升汽油可行驶6.4千米。李老师准备开车外出办事，如果往返路程为128千米，至少还需要加多少升汽油？ 【思维创新练】 1．下列算式中，（    ）计算的结果不可能是24.□□ A．2.□□ B．3.□□ C．.□□ D．2.□□ 2．（25-26五年级上·江苏扬州·期末）甲乙两数的和是29.7，把甲数的小数点向右移动一位就和乙数相等，甲数是( )，乙数是( )。 3．已知A＝，B＝。那么A÷B＝( )，A×B＝( )。 4．（26-27五年级上·全国·课后作业）列竖式计算，除不尽的商保留一位小数。                   5．（24-25六年级下·浙江宁波·期末）美国某超市一月份鸡蛋每打4.8美元，自从发起关税战后，四月份每打就变成6.4美元了。某市民一月份买12打鸡蛋的钱，到四月份只能买几打了？ 6．（26-27五年级上·全国·课后作业）莉莉家五月份付电费64.6元，她家五月份用电多少千瓦时？ 收费标准每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；若超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）王叔叔进了一箱玻璃杯，共40个，批发价是192元。打开箱子发现运输中破损了3个，这箱玻璃杯至少每个卖多少元才能保证盈利不低于20元？（单价取整数。） 8．（24-25五年级上·河北·课后作业）同学们将75.5厘米长的纸带每7.8厘米截成一段，做成一个圆环，再使各个圆环连成拉花，如图所示。如果15个圆环做成一串拉花，那么13条这样的纸带可以做成几串拉花？（得数保留整数） 9．乐乐、奇奇和贝贝星期天去郊游，乐乐带了4个面包，奇奇带了3个同样的面包，贝贝没有带面包。中午，乐乐、奇奇和贝贝共同吃了这些面包，为了平均分摊费用，贝贝拿出3.5元给乐乐和奇奇两人。这些面包一共多少钱？乐乐应该得到3.5元中的多少钱？ 10．春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。每个面包多少元？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $