第19讲 方阵问题（奥数培优讲义）-2026-2027学年五年级上册数学（人教版）

奥数培优讲义 第19讲 方阵问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 方阵就是将人或物体排列成正方形队列的形式，这类计算队列总数、外层数量、每边数量的问题统称为方阵问题。方阵分为实心方阵（内部完全填满）和空心方阵（中间留有空缺，仅外层排列）两大类，解题核心是避免四个角上物体的重复计数。 （一）实心方阵核心公式 1. 方阵总数量：实心方阵总人数等于每边数量自乘例：每边站8人，总人数为 人。 2. 最外层总数：四个角的物体同时属于两条边，直接用「每边数×4」会重复计算4个角，因此需要减去重复部分反过来已知最外层总数求每边数量： 3. 相邻两层规律：方阵由外向内，相邻两层每边数量相差2，每层总数相差8。原因：每条边向内缩2个，四条边一共减少 个。例：外层每边10个，外层总数 ；往里一层每边8个，内层总数 ，两层相差 。 （二）空心方阵核心规律 空心方阵可以看作「外层大实心方阵减去中间空缺的小实心方阵」： 1. 总数计算：例：2层空心方阵外层每边10人，中间空缺部分每边为 人，总数为 人。 2. 多层空心方阵：相邻两层总数依然相差8，可按等差数列求和计算： （三）方阵增减变化规律 在实心方阵上增加或去掉一行一列时，角落位置的物体同时属于行和列，会出现重复计数： 1. 去掉一行一列，减少的数量 = （减1是因为角落的物体被重复多算了一次） 2. 增加一行一列，增加的数量 = （加1是因为新增的角落物体只算一次） （四）常见易错点提醒 1. 严格区分「每边数量」和「四周总数量」，这是方阵问题最常见的失分点； 2. 计算外圈数量时必须注意角上物体的重复计数； 3. 相邻两层差8的规律仅在方阵层数≥2时成立； 4. 实心方阵的总数量一定是完全平方数，可用于快速验算答案。 例题讲解 【典型例题1】 学校举行团体操表演，同学们排成一个实心方阵，最外层每边站12人。请计算： （1）最外层一共有多少名同学？ （2）整个方阵一共有多少名同学？ 【详解】 （1）求最外层人数，使用最外层总数公式：最外层总数=(每边数−1)×4 （人） （2）实心方阵总人数=每边数×每边数： （人） 【答案】（1）最外层共有44名同学；（2）整个方阵共有144名同学。 【跟踪训练1】 一个实心方阵，最外层每边摆放15枚棋子。请计算： （1）方阵最外层一共有多少枚棋子？ （2）这个方阵总共有多少枚棋子？ 【详解】 （1）最外层棋子数：（枚） （2）方阵总棋子数：（枚） 【答案】（1）最外层共56枚棋子；（2）方阵总共有225枚棋子。 【典型例题2】 一个实心方阵，最外层一共有60人。请问这个方阵每边有多少人？方阵总人数是多少？ 【详解】 已知最外层总数反求每边人数，使用变形公式：每边数 = 最外层总数 ÷ 4 + 1 每边人数：（人） 方阵总人数：（人） 【答案】这个方阵每边有16人，总人数为256人。 【跟踪训练2】 一个实心花坛摆成方阵，最外层一共有36盆花。请问这个方阵每边摆多少盆花？一共有多少盆花？ 【详解】 每边花盆数：（盆） 总花盆数：（盆） 【答案】这个方阵每边摆10盆花，一共有100盆花。 【典型例题3】 一个实心方阵队列，如果去掉一行和一列，会减少21人。请问原来这个方阵一共有多少人？ 【详解】 去掉一行一列的数量关系：去掉人数 = 原每边数 × 2 − 1 设原来每边有x人，列方程： 原来方阵总人数：（人） 【答案】原来这个方阵一共有121人。 【跟踪训练3】 一个实心棋子方阵，去掉一行一列后，一共去掉了17枚棋子。请问原来方阵共有多少枚棋子？ 【详解】 原每边棋子数：（枚） 方阵总棋子数：（枚） 【答案】原来方阵一共有81枚棋子。 【典型例题4】 同学们排列成一个2层空心方阵，最外层每边有10人。请问这个空心方阵一共有多少人？ 【详解】 方法：用外层大实心方阵减去中间空缺的小实心方阵计算总数。 外层每边10人，向内第二层每边为 人；空心部分在第二层内部，每边再缩2个： 人。 空心方阵总数 = 外层大方阵 - 中间空缺方阵： （人） 验算：外层总数 ，内层总数 ，两层相加 ，结果一致。 【答案】这个2层空心方阵一共有64人。 【跟踪训练4】 一个2层空心棋子方阵，最外层每边有12颗棋子。请问这个空心方阵一共有多少颗棋子？ 【详解】 向内第二层每边： 颗，中间空缺部分每边： 颗。 总数：（颗） 验算：外层总数 ，内层总数 ，两层相加 ，结果一致。 【答案】这个空心方阵一共有80颗棋子。 【典型例题5】 一个3层空心方阵，最外层一共有48人。请问这个方阵一共有多少人？ 【详解】 空心方阵相邻两层总数相差8，从外向内依次递减： 最外层：48人 中间层： 人 最内层： 人 三层总数： 人 也可使用等差数列求和公式验算： 人。 【答案】这个3层空心方阵一共有120人。 【跟踪训练5】 一个3层空心花坛方阵，最外层一共有52盆花。请问这个空心方阵总共有多少盆花？ 【详解】 相邻两层总数差8，从外向内依次计算： 最外层：52盆 中间层： 盆 最内层： 盆 总盆数： 盆 【答案】这个空心方阵总共有132盆花。 【典型例题6】 同学们排列成一个实心方阵，后来又增加了一行一列，增加了25人。请问现在这个方阵一共有多少人？ 【详解】 增加一行一列的数量关系：增加人数 = 原每边数 × 2 + 1 原来每边人数：（人） 增加一行一列后，现在每边人数：（人） 现在方阵总人数：（人） 【答案】现在这个方阵一共有169人。 【跟踪训练6】 给一个实心棋子方阵增加一行一列，一共增加了19枚棋子。请问现在方阵总共有多少枚棋子？ 【详解】 原来每边棋子数：（枚） 现在每边棋子数：（枚） 现在方阵总棋子数：（枚） 【答案】现在方阵总共有100枚棋子。 提升练习 【练习1】 同学们排成一个实心方阵，最外层每边站10人。最外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？ 【详解】 （1）最外层总数=(每边数−1)×4：(10−1)×4=36（人） （2）实心方阵总数=每边数×每边数：10×10=100（人） 【答案】最外层36人，整个方阵100人。 【练习2】 一个实心方阵，最外层一共有36人。这个方阵每边有多少人？一共有多少人？ 【详解】 每边数=最外层总数÷4+1：36÷4+1=10（人） 总人数：10×10=100（人） 【答案】每边10人，一共100人。 【练习3】 一个实心方阵，如果去掉一行和一列，会减少19人。原来这个方阵一共有多少人？ 【详解】 去掉一行一列：减少人数=原每边数×2−1 原每边数=(19+1)÷2=10（人） 原总数：10×10=100（人） 【答案】原来方阵一共有100人。 【练习4】 给一个实心方阵增加一行一列，一共增加了21人。现在这个方阵一共有多少人？ 【详解】 增加一行一列：增加人数=原每边数×2+1 原每边数=(21−1)÷2=10（人） 现在每边人数：10+1=11（人） 现在总数：11×11=121（人） 【答案】现在方阵一共121人。 【练习5】 一个2层空心方阵，最外层每边站9人。这个空心方阵一共有多少人？ 【详解】 用「大实心−空缺实心」计算。空缺部分每边：9−2×2=5（人） 总数：9×9−5×5=81−25=56（人） 验算：外层(9−1)×4=32，内层每边7人(7−1)×4=24，32+24=56，结果一致。 【答案】这个2层空心方阵一共56人。 【练习6】 一个3层空心方阵，最外层一共有44人。这个方阵一共有多少人？ 【详解】 相邻两层相差8人：外层44人，中层44−8=36人，内层36−8=28人 总数：44+36+28=108（人） 【答案】这个3层空心方阵一共108人。 【练习7】 在一个每边13人的实心方阵外围再围一圈花，围成的方阵最外层每边15盆。这圈花一共有多少盆？ 【详解】 新外圈每边15盆，求最外层总数： (15−1)×4=14×4=56（盆） 【答案】这圈花一共56盆。 【练习8】 用棋子摆成一个每边10枚的实心方阵，最外面一层要用多少枚棋子？ 【详解】 最外层总数=(每边数−1)×4：(10−1)×4=36（枚） 【答案】最外面一层要用36枚棋子。 【练习9】 一个2层空心方阵，最外层每边15人。这个空心方阵一共有多少人？ 【详解】 空缺部分每边：15−2×2=11（人） 总数：15×15−11×11=225−121=104（人） 验算：外层(15−1)×4=56，内层每边13人(13−1)×4=48，56+48=104，结果一致。 【答案】这个空心方阵一共104人。 【练习10】 一个5层空心方阵，最外层一共有40人。这个方阵一共有多少人？ 【详解】 相邻两层差8，从外到内各层：40、32、24、16、8人 总数：40+32+24+16+8=120（人） 【答案】这个5层空心方阵一共120人。 【练习11】 一个实心方阵，每边增加1人后，总人数增加了25人。原来这个方阵有多少人？ 【详解】 每边增加1人即相当于增加一行一列，增加人数=原每边数×2+1 原每边数：(25−1)÷2=12（人） 原来总数：12×12=144（人） 【答案】原来方阵有144人。 【练习12】 一个3层空心方阵，最外层一共有40人。如果去掉最外层一圈，剩下几层？还剩多少人？ 【详解】 去掉最外层后剩下2层：中层40−8=32人，内层32−8=24人 剩下人数：32+24=56（人） 【答案】剩下2层，还剩56人。 【练习13】 小明用81枚棋子摆成一个实心方阵，小红摆的方阵每边比小明多2枚。小红一共用了多少枚棋子？ 【详解】 小明方阵每边：81=9×9，即每边9枚 小红方阵每边：9+2=11（枚） 小红用棋：11×11=121（枚） 【答案】小红一共用了121枚棋子。 【练习14】 一个4层空心方阵，最外层一共有48人。最内层有多少人？这个方阵一共有多少人？ 【详解】 相邻两层差8，从外到内各层：48、40、32、24人 最内层：24人 总数：48+40+32+24=144（人） 【答案】最内层24人，方阵一共144人。 【练习15】 一个空心方阵，最外层每边12人，这个方阵一共有80人。请问这是几层空心方阵？ 【详解】 设空缺部分每边x人，则12×12−x×x=80 144−x²=80，x²=64，x=8（人） 空缺部分每边8人，与外层每边相差(12−8)÷2=2层 【答案】这是一个2层空心方阵。 【练习16】 一个实心方阵，增加一行一列后总人数变成了121人。原来这个方阵有多少人？ 【详解】 现在每边人数：121=11×11，即11人 原来每边人数：11−1=10（人） 原来总数：10×10=100（人） 【答案】原来方阵有100人。 【练习17】 甲、乙两个实心方阵，甲每边8人，乙每边12人。乙方阵最外层比甲方阵最外层多多少人？ 【详解】 甲最外层：(8−1)×4=28（人）；乙最外层：(12−1)×4=44（人） 相差：44−28=16（人） 【答案】乙最外层比甲最外层多16人。 【练习18】 用48盆花围成一个正方形，四周都放满且四个角各放一盆，每边要放多少盆花？ 【详解】 每边数=最外层总数÷4+1：48÷4+1=12+1=13（盆） 【答案】每边要放13盆花。 【练习19】 用棋子摆一个实心方阵，每边增加2枚后，总人数增加了48枚。原来每边有几枚棋子？原来一共有多少枚？ 【详解】 设原来每边x枚，(x+2)²−x²=48 4x+4=48，x=11（枚） 原来总数：11×11=121（枚） 验算：13²−11²=169−121=48，结果正确。 【答案】原来每边11枚，一共121枚。 【练习20】 一个空心方阵，最外层有36人，最内层有20人。这个空心方阵共有几层？ 【详解】 外层每边：36÷4+1=10（人）；内层每边：20÷4+1=6（人） 层数：(10−6)÷2+1=3（层） 验算：外层36人、中层(8−1)×4=28人、内层20人，相邻差8，成立。 【答案】这个空心方阵共有3层。 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两个实心方阵，甲每边比乙多3人，甲的总人数比乙多99人。甲、乙两个方阵各有多少人？ 【详解】 设乙方阵每边x人，则甲方阵每边(x+3)人。 列方程：(x+3)²−x²=99 x²+6x+9−x²=99，6x=90，x=15（人） 乙方阵人数：15×15=225（人） 甲方阵人数：(15+3)×(15+3)=18×18=324（人） 验算：324−225=99，结果正确。 【答案】甲方阵324人，乙方阵225人。 【奥数题2】一个5层空心方阵，最外层每边20人，最内层每边12人。从外往里数，第2层与第4层的人数之和是多少？ 【详解】 相邻两层每边相差2，从外到内每边依次为：20、18、16、14、12人 第2层（每边18人）：(18−1)×4=68（人） 第4层（每边14人）：(14−1)×4=52（人） 两层之和：68+52=120（人） 【答案】第2层与第4层人数之和是120人。 【奥数题3】将棋子摆成一个5×5的实心方阵，先取走最外圈，再在剩下的方阵外面补一圈棋子，使它重新成为一个更大的实心方阵。一共要补多少枚棋子？ 【详解】 原方阵：5×5=25（枚）；最外圈：(5−1)×4=16（枚） 取走最外圈后剩下：25−16=9（枚），即3×3的方阵 要补成每边6枚的更大方阵：6×6=36（枚） 需要补：36−9=27（枚） 【答案】一共要补27枚棋子。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第19讲 方阵问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 方阵就是将人或物体排列成正方形队列的形式，这类计算队列总数、外层数量、每边数量的问题统称为方阵问题。方阵分为实心方阵（内部完全填满）和空心方阵（中间留有空缺，仅外层排列）两大类，解题核心是避免四个角上物体的重复计数。 （一）实心方阵核心公式 1. 方阵总数量：实心方阵总人数等于每边数量自乘例：每边站8人，总人数为 人。 2. 最外层总数：四个角的物体同时属于两条边，直接用「每边数×4」会重复计算4个角，因此需要减去重复部分反过来已知最外层总数求每边数量： 3. 相邻两层规律：方阵由外向内，相邻两层每边数量相差2，每层总数相差8。原因：每条边向内缩2个，四条边一共减少 个。例：外层每边10个，外层总数 ；往里一层每边8个，内层总数 ，两层相差 。 （二）空心方阵核心规律 空心方阵可以看作「外层大实心方阵减去中间空缺的小实心方阵」： 1. 总数计算：例：2层空心方阵外层每边10人，中间空缺部分每边为 人，总数为 人。 2. 多层空心方阵：相邻两层总数依然相差8，可按等差数列求和计算： （三）方阵增减变化规律 在实心方阵上增加或去掉一行一列时，角落位置的物体同时属于行和列，会出现重复计数： 1. 去掉一行一列，减少的数量 = （减1是因为角落的物体被重复多算了一次） 2. 增加一行一列，增加的数量 = （加1是因为新增的角落物体只算一次） （四）常见易错点提醒 1. 严格区分「每边数量」和「四周总数量」，这是方阵问题最常见的失分点； 2. 计算外圈数量时必须注意角上物体的重复计数； 3. 相邻两层差8的规律仅在方阵层数≥2时成立； 4. 实心方阵的总数量一定是完全平方数，可用于快速验算答案。 例题讲解 【典型例题1】 学校举行团体操表演，同学们排成一个实心方阵，最外层每边站12人。请计算： （1）最外层一共有多少名同学？ （2）整个方阵一共有多少名同学？ 【跟踪训练1】 一个实心方阵，最外层每边摆放15枚棋子。请计算： （1）方阵最外层一共有多少枚棋子？ （2）这个方阵总共有多少枚棋子？ 【典型例题2】 一个实心方阵，最外层一共有60人。请问这个方阵每边有多少人？方阵总人数是多少？ 【跟踪训练2】 一个实心花坛摆成方阵，最外层一共有36盆花。请问这个方阵每边摆多少盆花？一共有多少盆花？ 【典型例题3】 一个实心方阵队列，如果去掉一行和一列，会减少21人。请问原来这个方阵一共有多少人？ 【跟踪训练3】 一个实心棋子方阵，去掉一行一列后，一共去掉了17枚棋子。请问原来方阵共有多少枚棋子？ 【典型例题4】 同学们排列成一个2层空心方阵，最外层每边有10人。请问这个空心方阵一共有多少人？ 【跟踪训练4】 一个2层空心棋子方阵，最外层每边有12颗棋子。请问这个空心方阵一共有多少颗棋子？ 【典型例题5】 一个3层空心方阵，最外层一共有48人。请问这个方阵一共有多少人？ 【跟踪训练5】 一个3层空心花坛方阵，最外层一共有52盆花。请问这个空心方阵总共有多少盆花？ 【典型例题6】 同学们排列成一个实心方阵，后来又增加了一行一列，增加了25人。请问现在这个方阵一共有多少人？ 【跟踪训练6】 给一个实心棋子方阵增加一行一列，一共增加了19枚棋子。请问现在方阵总共有多少枚棋子？ 提升练习 【练习1】 同学们排成一个实心方阵，最外层每边站10人。最外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？ 【练习2】 一个实心方阵，最外层一共有36人。这个方阵每边有多少人？一共有多少人？ 【练习3】 一个实心方阵，如果去掉一行和一列，会减少19人。原来这个方阵一共有多少人？ 【练习4】 给一个实心方阵增加一行一列，一共增加了21人。现在这个方阵一共有多少人？ 【练习5】 一个2层空心方阵，最外层每边站9人。这个空心方阵一共有多少人？ 【练习6】 一个3层空心方阵，最外层一共有44人。这个方阵一共有多少人？ 【练习7】 在一个每边13人的实心方阵外围再围一圈花，围成的方阵最外层每边15盆。这圈花一共有多少盆？ 【练习8】 用棋子摆成一个每边10枚的实心方阵，最外面一层要用多少枚棋子？ 【练习9】 一个2层空心方阵，最外层每边15人。这个空心方阵一共有多少人？ 【练习10】 一个5层空心方阵，最外层一共有40人。这个方阵一共有多少人？ 【练习11】 一个实心方阵，每边增加1人后，总人数增加了25人。原来这个方阵有多少人？ 【练习12】 一个3层空心方阵，最外层一共有40人。如果去掉最外层一圈，剩下几层？还剩多少人？ 【练习13】 小明用81枚棋子摆成一个实心方阵，小红摆的方阵每边比小明多2枚。小红一共用了多少枚棋子？ 【练习14】 一个4层空心方阵，最外层一共有48人。最内层有多少人？这个方阵一共有多少人？ 【练习15】 一个空心方阵，最外层每边12人，这个方阵一共有80人。请问这是几层空心方阵？ 【练习16】 一个实心方阵，增加一行一列后总人数变成了121人。原来这个方阵有多少人？ 【练习17】 甲、乙两个实心方阵，甲每边8人，乙每边12人。乙方阵最外层比甲方阵最外层多多少人？ 【练习18】 用48盆花围成一个正方形，四周都放满且四个角各放一盆，每边要放多少盆花？ 【练习19】 用棋子摆一个实心方阵，每边增加2枚后，总人数增加了48枚。原来每边有几枚棋子？原来一共有多少枚？ 【练习20】 一个空心方阵，最外层有36人，最内层有20人。这个空心方阵共有几层？ 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两个实心方阵，甲每边比乙多3人，甲的总人数比乙多99人。甲、乙两个方阵各有多少人？ 【奥数题2】一个5层空心方阵，最外层每边20人，最内层每边12人。从外往里数，第2层与第4层的人数之和是多少？ 【奥数题3】将棋子摆成一个5×5的实心方阵，先取走最外圈，再在剩下的方阵外面补一圈棋子，使它重新成为一个更大的实心方阵。一共要补多少枚棋子？ 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $