奥数思维培优 第12讲 植树问题·间隔模型（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级上册奥数思维培优 第12讲 植树问题 · 间隔模型 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第12讲 专题 植树问题——间隔模型 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 除法；间隔概念 核心方法 间隔与棵数的关系 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握三种植树模型及环形植树的棵数与间隔数关系。 过程与方法 借助线段图分析间隔与棵数的对应关系。 思维品质 渗透一一对应与模型思想。 情感应用 会解决锯木、敲钟、楼梯等间隔类实际问题。 三、情境导入 春天到了，同学们在路边栽树。一段路的两端都栽上树，猜一猜：树多还是间隔多？ 试一试：画几个点表示树，数一数间隔数，你发现了什么？ 悬念：栽法不同，棵数竟然不一样？ 图1 两端都栽 今天我们就来研究"树与间隔"的秘密。 四、知识导航 间隔：相邻两棵树之间的距离叫一个间隔。 图2 三种栽法对比 情况 棵数与间隔数 公式 两端都栽 棵数比间隔数多1 棵数=间隔数+1 一端栽一端不栽 棵数与间隔数相等 棵数=间隔数 两端都不栽 棵数比间隔数少1 棵数=间隔数−1 环形（封闭） 棵数与间隔数相等 棵数=间隔数 间隔数=全长÷间距。 五、易错辨析 常见错误 正确做法 忘加1 两端都栽要+1 两端都不栽不减1 要−1 环形当直线算 环形棵数=间隔数 锯段数当次数 锯n段只锯n−1次 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从三种栽法到环形与锯木问题；每例后附一道变式练习。 例1【两端都栽】 题目：一条小路长100米，每隔5米栽一棵树，两端都栽，一共要栽多少棵树？ 分析：先求间隔数，两端都栽棵数=间隔数+1。 详解： 间隔数：100÷5=20（个）。 棵数：20+1=21（棵）。 答：一共要栽21棵树。 图3 两端都栽 方法点睛：先算间隔，再按栽法调棵数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一条马路长120米，每隔6米栽一棵树，两端都栽，共栽多少棵？ 解答： 间隔数120÷6=20，棵数20+1=21（棵）。 点拨：与例1同法：两端都栽+1。 例2【一端栽一端不栽】 题目：沿河堤长80米，每隔4米栽一棵柳树，一端栽一端不栽，共栽多少棵？ 分析：一端栽一端不栽：棵数=间隔数。 详解： 间隔数：80÷4=20（个）。 棵数：20棵。 答：共栽20棵柳树。 图4 一端栽 方法点睛：一端栽时不加也不减。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：围墙边小路长100米，每隔5米种一棵迎春花（靠墙一端不种），种几棵？ 解答： 间隔数100÷5=20，棵数=20（棵）。 点拨：与例2同法：一端栽棵数=间隔数。 例3【两端都不栽】 题目：在长60米的走廊两端都不摆花，每隔3米摆一盆花，一共摆多少盆？ 分析：两端都不栽：棵数=间隔数−1。 详解： 间隔数：60÷3=20（个）。 盆数：20−1=19（盆）。 答：一共摆19盆花。 图5 两端都不栽 方法点睛：两端都不栽记得减1。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：在长90米的铁路旁每隔6米栽一棵树（两端不栽），栽多少棵？ 解答： 间隔数90÷6=15，棵数15−1=14（棵）。 点拨：与例3同法：两端都不栽−1。 例4【环形植树】 题目：圆形花坛一周长240米，每隔8米栽一棵月季花，一共栽多少棵？ 分析：环形首尾相接：棵数=间隔数。 详解： 间隔数：240÷8=30（个）。 棵数：30棵。 答：一共栽30棵月季花。 图6 环形植树 方法点睛：封闭图形棵数=间隔数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：环形水池一周长200米，每隔10米栽一棵柳树，栽多少棵？ 解答： 间隔数200÷10=20，棵数=20（棵）。 点拨：与例4同法：环形棵数=间隔数。 例5【锯木与敲钟】 题目：把一根木头锯成5段，每锯一次用3分钟，一共要用多少分钟？ 分析：锯成5段只需锯4次，次数=段数−1。 详解： 锯的次数：5−1=4（次）。 时间：4×3=12（分钟）。 答：一共要用12分钟。 图7 锯木头 方法点睛：锯n段锯n−1次，敲n下间隔n−1个。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：把一根木头锯成6段，每锯一次用4分钟，共需几分钟？ 解答： 次数6−1=5，时间5×4=20（分钟）。 点拨：与例5同法：次数=段数−1。 例6【两侧植树】 题目：一段公路长100米，两侧从头到尾每隔5米各栽一棵树（两端都栽），一共栽多少棵？ 分析：先算一侧，再乘2（两侧）。 详解： 一侧间隔数：100÷5=20（个）。 一侧棵数：20+1=21（棵）。 两侧棵数：21×2=42（棵）。 答：一共栽42棵树。 图8 两侧植树 方法点睛：两侧问题先算一侧再乘2。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：学校操场四周是正方形，边长60米，每隔6米在四周栽一棵树（四角都栽），共栽多少棵？ 解答： 周长60×4=240（米），环形棵数240÷6=40（棵）。 点拨：与例6结合：方阵外围按环形算。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【敲钟报时】（某名校小升初真题） 题目：时钟3点敲3下用4秒，那么9点敲9下要用多少秒？ 分析：敲3下中间有2个间隔，先求每个间隔时间，再求9下的间隔数。 详解： 3下间隔：3−1=2（个）。 每间隔：4÷2=2（秒）。 9下间隔：9−1=8（个）。 时间：8×2=16（秒）。 答：9点敲9下要用16秒。 方法点睛：敲n下时间按n−1个间隔计算。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：时钟4点敲4下用6秒，8点敲8下用几秒？ 解答： 4下间隔3个，每间隔6÷3=2秒；8下间隔7个，7×2=14秒。 点拨：与真题1同法：间隔数=次数−1。 真题2【求路长】（某重点中学分班考试真题） 题目：公路一侧从头到尾共栽树21棵，两端都栽，每隔5米栽一棵，这条公路长多少米？ 分析：21棵树有20个间隔，全长=间隔数×间距。 详解： 间隔数：21−1=20（个）。 全长：20×5=100（米）。 答：这条公路长100米。 方法点睛：由棵数反推间隔数，再求全长。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：路边从头到尾共插彩旗31面（两端都插），每隔6米一面，路长多少米？ 解答： 间隔数31−1=30，全长30×6=180（米）。 点拨：与真题2同法：棵数−1得间隔数。 八、方法总结表 情形 棵数与间隔数关系 注意 两端都栽 棵数=间隔数+1 先求间隔数 一端栽 棵数=间隔数 不加不减 两端都不栽 棵数=间隔数−1 记得减1 环形 棵数=间隔数 首尾相接 锯木敲钟 次数=段数−1 间隔=次数−1 九、解题口诀 植树问题有学问，间隔棵数要分清； 两端都栽先加一，两端不栽减去一； 一端栽来刚相等，环形同样等于它； 锯木敲钟算次数，段数减一才正确。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 一条小路长40米，每隔5米栽一棵树，两端都栽，需要多少棵树苗？ A2. 花园边小路长30米，每隔6米放一盆花（一端放一端不放），需要几盆？ A3. 跑道长120米，每隔8米插一面彩旗（两端都插），共插几面？ A4. 把一根木头锯成4段，每锯一次用2分钟，共需几分钟？ A5. 时钟敲2下用2秒，敲4下用几秒？ B组 能力提升（5题） B6. 在长150米的小路两旁栽树（两端都栽），每隔5米栽一棵，一共栽多少棵？ B7. 环形操场一周长300米，每隔6米栽一棵树，共栽多少棵？ B8. 公路一侧从头到尾栽树31棵（两端都栽），每隔6米一棵，公路长多少米？ B9. 一根木料锯成5段用了8分钟，锯成9段需要多少分钟？ B10. 从1楼走到3楼要走24级台阶，从1楼走到6楼要走多少级台阶？ C组 思维挑战（5题） C11. 圆形花坛一周长96米，每隔4米种一株月季，共种多少株？ C12. 沿公路一侧等距离栽树，两端都栽，每隔8米一棵，共栽26棵，这条路长多少米？ C13. 广场四周每隔10米种一棵树，一周长500米，共种多少棵？ C14. 一根木料锯成6段用10分钟，锯成12段需要多少分钟？ C15. 从1楼走到4楼走了54级台阶，从1楼走到7楼要走多少级台阶？ 十一、参考答案与详细解析 A1 40÷5=8（个间隔），两端都栽8+1=9（棵）。 A2 30÷6=5（盆）。一端栽棵数=间隔数。 A3 120÷8=15，两端都插15+1=16（面）。 A4 锯4段锯3次，3×2=6（分钟）。 A5 2下1个间隔用2秒；4下3个间隔，3×2=6（秒）。 B6 一侧150÷5+1=31（棵），两侧31×2=62（棵）。 B7 环形：300÷6=50（棵）。 B8 31棵→30个间隔，30×6=180（米）。 B9 锯5段锯4次，8÷4=2（分钟/次）；锯9段锯8次，8×2=16（分钟）。 B10 3楼到1楼共2层，24÷2=12（级/层）；1楼到6楼共5层，12×5=60（级）。 C11 96÷4=24（株）。环形棵数=间隔数。 C12 26棵→25个间隔，25×8=200（米）。 C13 环形：500÷10=50（棵）。 C14 锯6段锯5次，10÷5=2（分钟/次）；锯12段锯11次，11×2=22（分钟）。 C15 4楼到1楼共3层，54÷3=18（级/层）；1楼到7楼共6层，18×6=108（级）。 十二、本讲小结 本讲掌握了植树问题的三种模型：两端都栽+1、一端栽相等、两端不栽−1，环形棵数=间隔数；并把模型迁移到锯木、敲钟、楼梯等间隔类问题。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 是否+1 先判断两端栽不栽 环形 封闭图形不加不减 锯木 段数−1才是次数 两侧 一侧算完要×2 学习建议：画线段图理解间隔与棵数的对应；下讲预告：第13讲 行程问题·相遇追及。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $