奥数思维培优 第13讲 行程问题·相遇追及（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级奥数思维培优 第13讲 行程问题 · 相遇追及 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第13讲 专题 行程问题——相遇与追及 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 速度、时间、路程关系 核心方法 速度和、速度差 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握相遇问题与追及问题的基本模型。 过程与方法 会用线段图分析运动过程。 思维品质 培养动态分析与模型建构能力。 情感应用 会解决火车过桥、环形跑道等行程问题。 三、情境导入 甲从A城、乙从B城相向而行，几小时后两人相遇？如果乙在甲前面走，甲多久能追上？ 想一想："相向"和"同向"有什么不同？ 悬念：火车过桥为什么"路程"比桥还长？ 图1 相遇问题 今天我们就来研究行程中的相遇与追及。 四、知识导航 基本关系：速度=路程÷时间，路程=速度×时间，时间=路程÷速度。 图2 相遇与追及 类型 关系式 说明 相遇问题 路程和=速度和×时间 两人相向而行 追及问题 路程差=速度差×时间 同向而行慢者在前 火车过桥 路程=车长+桥长 全车通过才算过桥 环形跑道 追上路程=跑道周长 同向第一次追上 五、易错辨析 常见错误 正确做法 相遇用速度差 相遇用速度和 追及用速度和 追及用速度差 过桥只算桥长 过桥算车长+桥长 单位不统一 先统一单位再计算 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从相遇、追及到过桥、环形；每例后附一道变式练习。 例1【相遇问题】 题目：甲、乙两城相距500千米，客车从甲城开出，每小时行60千米；货车从乙城开出，每小时行40千米。两车同时相向而行，几小时后相遇？ 分析：相向而行求时间：时间=路程÷速度和。 详解： 速度和：60+40=100（千米/时）。 相遇时间：500÷100=5（小时）。 答：5小时后相遇。 图3 相遇问题 方法点睛：相遇时间=总路程÷速度和。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两地相距600千米，甲车每小时70千米、乙车每小时50千米，同时相向而行，几小时相遇？ 解答： 速度和70+50=120，600÷120=5（小时）。 点拨：与例1同法：路程÷速度和。 例2【相遇求速度】 题目：甲、乙两地相距360千米，两车同时从两地相向而行，3小时后相遇。已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行多少千米？ 分析：先求速度和，再减去甲车速度。 详解： 速度和：360÷3=120（千米/时）。 乙车速度：120−70=50（千米/时）。 答：乙车每小时行50千米。 图4 相遇求速度 方法点睛：已知相遇时间，速度和=路程÷时间。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两地相距450千米，两车同时相向而行3小时相遇，甲车每小时80千米，乙车每小时多少千米？ 解答： 速度和450÷3=150，150−80=70（千米/时）。 点拨：与例2同法：先求速度和。 例3【追及问题】 题目：小明每分钟走50米，小红每分钟走70米。小红在小明后面100米处同向而行，几分钟后小红追上小明？ 分析：同向而行，小红比小明每分钟多走70−50=20米，追及时间=路程差÷速度差。 详解： 速度差：70−50=20（米/分）。 追及时间：100÷20=5（分钟）。 答：5分钟后小红追上小明。 图5 追及问题 方法点睛：追及时间=路程差÷速度差。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两人相距120米同向而行，甲每分钟90米、乙每分钟70米（甲在后追乙），几分钟追上？ 解答： 速度差90−70=20，120÷20=6（分钟）。 点拨：与例3同法：路程差÷速度差。 例4【先走再追】 题目：弟弟先出发，每分钟走60米。6分钟后哥哥从同一地点出发追赶，哥哥每分钟走90米。哥哥几分钟追上弟弟？ 分析：弟弟先走的路程就是路程差，再用路程差÷速度差。 详解： 路程差：60×6=360（米）。 速度差：90−60=30（米/分）。 追及时间：360÷30=12（分钟）。 答：哥哥12分钟追上弟弟。 图6 先走再追 方法点睛：先走的路程=路程差，再求追及时间。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：弟弟先走4分钟（每分钟60米），哥哥每分钟100米追赶，几分钟追上？ 解答： 路程差60×4=240（米），速度差100−60=40，240÷40=6（分钟）。 点拨：与例4同法：先走路程÷速度差。 例5【环形跑道】 题目：环形跑道一周长400米，甲、乙同向从同一点出发，甲每秒跑8米，乙每秒跑6米。甲第一次追上乙需要多少秒？ 分析：同向环形，第一次追上甲比乙多跑一圈，路程差=跑道周长。 详解： 速度差：8−6=2（米/秒）。 追及时间：400÷2=200（秒）。 答：甲第一次追上乙需要200秒。 图7 环形跑道 方法点睛：环形同向：路程差=一圈周长。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：环形跑道长300米，甲每秒7米、乙每秒5米，同向出发，甲第一次追上乙需多少秒？ 解答： 速度差7−5=2，300÷2=150（秒）。 点拨：与例5同法：周长÷速度差。 例6【火车过桥】 题目：一列火车长180米，每秒行20米，全车通过一座长420米的大桥，需要多少秒？ 分析：全车过桥，路程=车长+桥长。 详解： 总路程：180+420=600（米）。 时间：600÷20=30（秒）。 答：需要30秒。 图8 火车过桥 方法点睛：过桥路程=车长+桥长。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一列火车长240米，每秒行24米，全车通过一座长360米的桥，需要多少秒？ 解答： 总路程240+360=600，600÷24=25（秒）。 点拨：与例6同法：车长+桥长再除以速度。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【相遇综合】（某名校小升初真题） 题目：小明和小红分别从相距600米的A、B两地同时出发相向而行，小明每分钟走70米，小红每分钟走50米，几分钟后相遇？相遇时小明走了多少米？ 分析：先求相遇时间，再求小明走的路程。 详解： 速度和：70+50=120（米/分）。 相遇时间：600÷120=5（分钟）。 小明路程：70×5=350（米）。 答：5分钟后相遇，相遇时小明走了350米。 方法点睛：相遇后按各自速度求所走路程。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两人从相距840米的A、B两地相向而行，甲每分钟80米、乙每分钟60米，几分钟相遇？相遇时乙走了多少米？ 解答： 速度和140，840÷140=6（分钟）；乙走60×6=360（米）。 点拨：与真题1同法：先求时间再求路程。 真题2【追及综合】（某重点中学分班考试真题） 题目：小强和小刚从同一地点出发，小强先走12分钟，每分钟走60米；小刚随后以每分钟80米的速度追赶，小刚多久能追上小强？ 分析：小强先走的路程=路程差，追及时间=路程差÷速度差。 详解： 路程差：60×12=720（米）。 速度差：80−60=20（米/分）。 追及时间：720÷20=36（分钟）。 答：小刚36分钟后追上小强。 方法点睛：先走路程÷速度差即追及时间。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：小强先走8分钟（每分钟70米），小刚每分钟90米追赶，多久追上？ 解答： 路程差70×8=560，速度差90−70=20，560÷20=28（分钟）。 点拨：与真题2同法：先走路程÷速度差。 八、方法总结表 题型 公式 关键 相遇 路程和=速度和×时间 相向用速度和 追及 路程差=速度差×时间 同向用速度差 过桥 路程=车长+桥长 全车通过 环形 追上路程=周长 同向第一次 九、解题口诀 行程问题并不难，速度时间路程三； 相遇就用速度和，追及要用速度差； 火车过桥记清楚，车长桥长一起算； 环形跑道同向追，一圈路程是差数。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 两地相距400千米，两车同时相向而行，速度和为100千米/时，几小时相遇？ A2. 两人从相距300米的两地相向而行，甲每分钟65米、乙每分钟35米，几分钟相遇？ A3. 小华在前每分钟70米，小明在后每分钟85米，两人相距180米，小明几分钟追上小华？ A4. 两人从相距240米的两地相向而行，4分钟后相遇，两人的速度和是多少？ A5. 乙先走4分钟（每分钟30米），甲以每分钟50米追赶，几分钟追上？ B组 能力提升（5题） B6. 环形跑道长400米，甲每秒7米、乙每秒5米，同向出发，甲第一次追上乙需多少秒？ B7. 一列火车长200米，每秒行25米，全车通过一座长500米的桥，需要多少秒？ B8. 两人相距150米同向而行，甲每分钟80米、乙每分钟55米，甲几分钟追上乙？ B9. 两人从相距300米的两地相向而行，甲每分钟60米、乙每分钟40米，相遇时甲走了多少米？ B10. 甲、乙两城相距600千米，货车每小时48千米、客车每小时72千米，同时相向而行，几小时相遇？ C组 思维挑战（5题） C11. 弟弟先走5分钟（每分钟60米），哥哥以每分钟90米追赶，几分钟追上？ C12. 环形跑道长360米，甲每秒9米、乙每秒6米，同向出发，甲第一次追上乙需多少秒？ C13. 两人从相距600米的两地相向而行，甲每分钟70米、乙每分钟50米，相遇时甲走了多少米？ C14. 一列火车以每秒30米的速度全车通过一座1200米长的大桥用了60秒，这列火车长多少米？ C15. 甲、乙两人从两地同时相向而行，甲每分钟85米、乙每分钟65米，5分钟后相遇，两地相距多少米？ 十一、参考答案与详细解析 A1 400÷100=4（小时）。 A2 速度和65+35=100（米/分），300÷100=3（分钟）。 A3 速度差85−70=15（米/分），180÷15=12（分钟）。 A4 240÷4=60（米/分）。 A5 路程差30×4=120（米），速度差50−30=20，120÷20=6（分钟）。 B6 速度差7−5=2（米/秒），400÷2=200（秒）。 B7 总路程200+500=700（米），700÷25=28（秒）。 B8 速度差80−55=25（米/分），150÷25=6（分钟）。 B9 相遇时间300÷(60+40)=3（分钟），甲走60×3=180（米）。 B10 速度和48+72=120（千米/时），600÷120=5（小时）。 C11 路程差60×5=300（米），速度差90−60=30，300÷30=10（分钟）。 C12 速度差9−6=3（米/秒），360÷3=120（秒）。 C13 相遇时间600÷(70+50)=5（分钟），甲走70×5=350（米）。 C14 60秒走30×60=1800（米），车长1800−1200=600（米）。 C15 速度和85+65=150（米/分），150×5=750（米）。 十二、本讲小结 本讲掌握了相遇问题（路程和=速度和×时间）与追及问题（路程差=速度差×时间），并会解决火车过桥（路程=车长+桥长）与环形跑道（同向一圈差）等拓展问题。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 相遇/追及 相向用速度和，同向用速度差 过桥 路程要加车长 单位 速度单位与时间单位要一致 先走问题 先走路程=路程差 学习建议：画线段图辅助分析；下讲预告：第14讲 盈亏问题·比较思想。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $