第20讲 牛吃草问题（奥数讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

奥数培优讲义 第20讲 牛吃草问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 问题认识 牛吃草问题又叫做消长问题，是牛顿提出的经典数学问题。它的核心特点是：草是一直在生长的，草的总量不是固定不变的。 草总量会随着时间增加而变大；同时牛吃草会消耗草量，一边长、一边吃。常见场景包括： (1) 草地上牛吃草（经典模型） (2) 水池进水排水 (3) 排队检票（人不断来，检票口不断放人） (4) 仓库货物不断补货同时出货 这些问题都属于牛吃草模型，解题思路完全一致。 2. 核心两个量 名称 含义 特点 原有草量 草地一开始就有的草，是固定不变的 固定量 新长草速度 单位时间内新长出来的草量（每天/每周长多少） 匀速变化量 解题前提假设：每一头牛每天吃的草量相同。我们一般设：1头牛1天吃的草量为1份。 这个"设1份法"是牛吃草问题最常用的方法，也是五年级奥数的重点。 3. 四大基础公式（重中之重） 设：1头牛1天吃1份草 序号 公式名称 公式内容 ① 总草量公式 总草量 = 原有草量 + 这段时间新长草量 ② 新长草量公式 新长草量 = 草生长速度 × 天数 ③ 草生长速度公式 草生长速度 =（较长时间总草量 − 较短时间总草量）÷（长时间 − 短时间） ④ 原有草量公式 原有草量 = 牛的头数×天数 − 草速×天数 公式③原理：时间更长，总草更多，相差的草就是多出来的天数里新长出来的草。 例：20天总草量 - 10天总草量 = 10天新长的草量 4. 两类基础题型 类型一：已知牛的头数和吃完的天数，求可供多少头牛吃若干天 解题步骤： (1) 算出两组总草量（牛的头数 × 天数） (2) 求草生长速度（用公式③） (3) 求原有草量（用公式④） (4) 安排一部分牛专门吃每天新长出来的草（牛数 = 草速） (5) 剩下的牛去吃原有草：原有草 ÷ 剩下牛的数量 = 可以吃的天数 类型二：已知牛的头数和吃完天数，求固定天数吃完需要多少头牛 解题步骤： (1) 求草速（用公式③） (2) 求原有草量（用公式④） (3) 固定天数内，一共的草量 = 原有草量 + 草速×天数 (4) 总草量 ÷ 天数 = 需要牛的总数 5. 拓展提醒 (1) 草枯萎型：若草在枯萎（草减少），草速是负数，原有草量每天减少，公式会变化。 (2) 变形题：抽水机抽水、检票口排队、货物匀速运来，统一套用这个思路。 (3) 易错点：很多同学直接用总草量除以牛，忽略草一直在长，这是最常见的错误！ 例题讲解 【典型例题1】基础牛吃草问题 一片草地，草匀速生长。这片草地可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。如果每头牛每天吃1份草，问： （1）草地每天新长几份草？ （2）草地上原有多少份草？ （3）这片草地可供25头牛吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 第一步：计算两种情况总草量 10头牛20天总草量：10 × 20 = 200（份）→ 原有草 + 20天新长草 15头牛10天总草量：15 × 10 = 150（份）→ 原有草 + 10天新长草 第二步：求草生长速度 相差草量：200 - 150 = 50份 相差天数：20 - 10 = 10天 每天新长草：50 ÷ 10 = 5（份/天） 第三步：求原有草量 原有草 = 总草 - 新长草 200 - 5 × 20 = 100（份） 第四步：25头牛吃几天 每天新长5份草，可以安排5头牛专门吃新长的草； 剩下牛：25 - 5 = 20头，专门吃原有草； 原有草100份：100 ÷ 20 = 5（天） 【答案】 （1）每天新长5份草；（2）原有草100份；（3）可供25头牛吃5天。 【跟踪训练1】 一片匀速长草的牧场，可供20头牛吃12天，或者可供25头牛吃6天。每头牛每天吃1份草。 （1）牧场每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）如果有30头牛，可以吃多少天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 20头牛12天总草：20 × 12 = 240份 25头牛6天总草：25 × 6 = 150份 草速：(240 - 150) ÷ (12 - 6) = 90 ÷ 6 = 15（份/天） 原有草：240 - 15 × 12 = 240 - 180 = 60（份） 30头牛：安排15头牛吃新草，剩余30 - 15 = 15头吃原草 天数：60 ÷ 15 = 4天 【答案】 （1）每天新长15份；（2）原有草60份；（3）可以吃4天。 【典型例题2】求固定天数需要多少头牛 一块草地，草匀速生长。如果放养16头牛，可以吃20天；放养20头牛，可以吃12天。现在要8天吃完这块草地上全部的草，需要放养多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 16头牛20天总草：16 × 20 = 320份（原草 + 20天新草） 20头牛12天总草：20 × 12 = 240份（原草 + 12天新草） 草速：(320 - 240) ÷ (20 - 12) = 80 ÷ 8 = 10份/天 原有草：320 - 10 × 20 = 120份 8天吃完： 8天一共新增草：10 × 8 = 80份 总草量：120 + 80 = 200份 需要牛：200 ÷ 8 = 25头 【答案】 需要放养25头牛。 【跟踪训练2】 一片草地匀速长草，18头牛吃15天，24头牛吃10天。想要9天吃完，需要多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 18头牛15天总草：18 × 15 = 270份 24头牛10天总草：24 × 10 = 240份 草速：(270 - 240) ÷ (15 - 10) = 30 ÷ 5 = 6份/天 原有草：270 - 6 × 15 = 180份 9天新草：6 × 9 = 54份 总草：180 + 54 = 234份 牛数量：234 ÷ 9 = 26头 【答案】 需要26头牛。 【典型例题3】草枯萎型（逆向变化） 秋天的牧场，草每天匀速枯萎。这片牧场可供25头牛吃4天，可供15头牛吃6天。1头牛1天吃1份草。 （1）每天枯萎几份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供10头牛吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 25头牛4天总草：25 × 4 = 100份 15头牛6天总草：15 × 6 = 90份 注意：时间越长，总草越少，说明草在枯萎！ 相差草量：100 - 90 = 10份 相差天数：6 - 4 = 2天 每天枯萎：10 ÷ 2 = 5份/天（每天自然减少5份） 原有草量 = 牛吃掉的草 + 这段时间枯萎掉的草 原有草：100 + 5 × 4 = 120份 10头牛吃几天： 10头牛每天吃掉10份，同时草每天自己枯萎5份； 相当于每天一共消耗草：10 + 5 = 15份 天数：120 ÷ 15 = 8天 【答案】 （1）每天枯萎5份草；（2）原有草120份；（3）可供10头牛吃8天。 【跟踪训练3】 冬天草场草匀速枯萎，可供22头牛吃6天，可供16头牛吃8天。1头牛每天吃1份草。 （1）每天枯萎多少份草？ （2）草场原有多少份草？ （3）可供10头牛吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 22头牛6天总草：22 × 6 = 132份 16头牛8天总草：16 × 8 = 128份 相差草量：132 - 128 = 4份 相差天数：8 - 6 = 2天 每天枯萎：4 ÷ 2 = 2份/天 原有草：132 + 2 × 6 = 144份 10头牛每天吃10份 + 枯萎2份，每日消耗：10 + 2 = 12份 天数：144 ÷ 12 = 12天 【答案】 （1）每天枯萎2份草；（2）原有草144份；（3）可供10头牛吃12天。 【典型例题4】牛吃草变形：抽水机问题 一个蓄水池，池底有泉水匀速涌出。用8台抽水机，10小时可以抽干；用12台抽水机，6小时抽干。每台抽水机每小时抽1份水。 （1）泉水每小时涌出多少份？ （2）池子里原有多少份水？ （3）如果用14台抽水机，几小时抽完？ 【详解】 设1台抽水机1小时抽1份水 8台10小时总水量：8 × 10 = 80份（原有水 + 10小时涌出泉水） 12台6小时总水量：12 × 6 = 72份（原有水 + 6小时涌出泉水） 泉水涌出速度：(80 - 72) ÷ (10 - 6) = 8 ÷ 4 = 2份/小时 原有水量：80 - 2 × 10 = 60份 14台抽水机： 安排2台抽新涌出的泉水，剩下14 - 2 = 12台抽原有水 时间：60 ÷ 12 = 5小时 【答案】 （1）每小时涌出2份；（2）原有水60份；（3）5小时抽完。 【跟踪训练4】 一个水池底部持续冒水，用8台抽水机12小时抽干；用10台抽水机8小时抽干，每台每小时抽1份水。 （1）每小时涌出多少份水？ （2）原有水多少份？ （3）12台抽水机多久抽完？ 【详解】 设1台抽水机1小时抽1份水 8台12小时总水量：8 × 12 = 96份 10台8小时总水量：10 × 8 = 80份 涌水速度：(96 - 80) ÷ (12 - 8) = 16 ÷ 4 = 4份/小时 原有水：96 - 4 × 12 = 48份 12台抽水机：拿出4台专门抽新涌出的水，剩下12 - 4 = 8台抽原有水 时间：48 ÷ 8 = 6小时 【答案】 （1）每小时涌出4份；（2）原有水48份；（3）6小时抽完。 提升练习 第1题 一片草地，草匀速生长。这片草地可供9头牛吃12天，或可供12头牛吃8天。问： （1）每天新长几份草？ （2）草地上原有多少份草？ （3）可供15头牛吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 9头牛12天总草：9×12=108份 12头牛8天总草：12×8=96份 草速：（108−96）÷（12−8）=12÷4=3份/天 原有草：108−3×12=108−36=72份 15头牛：安排3头吃新草，剩余15−3=12头吃原草 天数：72÷12=6天 【答案】 （1）每天新长3份草；（2）原有草72份；（3）可供15头牛吃6天。 第2题 一片匀速长草的牧场，可供12头牛吃10天，或可供20头牛吃5天。问： （1）每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供14头牛吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 12头牛10天总草：12×10=120份 20头牛5天总草：20×5=100份 草速：（120−100）÷（10−5）=20÷5=4份/天 原有草：120−4×10=120−40=80份 14头牛：安排4头吃新草，剩余14−4=10头吃原草 天数：80÷10=8天 【答案】 （1）每天新长4份草；（2）原有草80份；（3）可供14头牛吃8天。 第3题 草地匀速长草，可供6头牛吃20天，或可供10头牛吃10天。现在要在5天内吃完，需要多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 6头牛20天总草：6×20=120份 10头牛10天总草：10×10=100份 草速：（120−100）÷（20−10）=20÷10=2份/天 原有草：120−2×20=120−40=80份 5天一共新增草：2×5=10份 总草量：80+10=90份 需要牛：90÷5=18头 【答案】 需要18头牛。 第4题 一片草地匀速长草，15头牛吃10天，18头牛吃8天。要在6天内吃完，需要多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 15头牛10天总草：15×10=150份 18头牛8天总草：18×8=144份 草速：（150−144）÷（10−8）=6÷2=3份/天 原有草：150−3×10=150−30=120份 6天一共新增草：3×6=18份 总草量：120+18=138份 需要牛：138÷6=23头 【答案】 需要23头牛。 第5题（草枯萎型） 秋天的牧场，草每天匀速枯萎。可供35头牛吃4天，或可供27头牛吃5天。问： （1）每天枯萎几份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供11头牛吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 35头牛4天总草：35×4=140份 27头牛5天总草：27×5=135份 时间越长总草越少，说明草在枯萎 每天枯萎：（140−135）÷（5−4）=5份/天 原有草=吃掉的草+枯萎的草：140+5×4=160份 11头牛每天吃11份，草每天枯萎5份，每日消耗：11+5=16份 天数：160÷16=10天 【答案】 （1）每天枯萎5份草；（2）原有草160份；（3）可供11头牛吃10天。 第6题（草枯萎型） 冬天的草场草匀速枯萎，可供40头牛吃5天，或可供30头牛吃6天。现在要4天吃完，需要多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 40头牛5天总草：40×5=200份 30头牛6天总草：30×6=180份 每天枯萎：（200−180）÷（6−5）=20份/天 原有草：200+20×5=300份 4天后剩草：300−20×4=300−80=220份 需要牛：220÷4=55头 【答案】 需要55头牛。 第7题（抽水机变形） 一个蓄水池，池底有泉水匀速涌出。用6台抽水机20小时可以抽干，或用10台抽水机10小时抽干。每台抽水机每小时抽1份水。问： （1）泉水每小时涌出多少份？ （2）池子里原有多少份水？ （3）如果用12台抽水机，几小时抽完？ 【详解】 设1台抽水机1小时抽1份水 6台20小时总水量：6×20=120份 10台10小时总水量：10×10=100份 泉水涌出速度：（120−100）÷（20−10）=20÷10=2份/小时 原有水量：120−2×20=80份 12台抽水机：安排2台抽新涌出的水，剩余12−2=10台抽原水 时间：80÷10=8小时 【答案】 （1）每小时涌出2份；（2）原有水80份；（3）8小时抽完。 第8题（检票口变形） 火车站检票口，旅客匀速到达。若开3个检票口，30分钟全部进站；开4个检票口，20分钟进完。每分钟每个检票口放1份旅客。问： （1）每分钟新增多少旅客？ （2）原有多少旅客？ （3）开5个检票口，几分钟进完？ 【详解】 设1个检票口每分钟放1份旅客 3个口30分钟：3×30=90份 4个口20分钟：4×20=80份 新增速度：（90−80）÷（30−20）=10÷10=1份/分钟 原有旅客：90−1×30=60份 5个口：安排1个口放新来的旅客，剩余5−1=4个口放原有旅客 时间：60÷4=15分钟 【答案】 （1）每分钟新增1份旅客；（2）原有60份旅客；（3）开5个检票口15分钟进完。 第9题（抽水机变形） 一个水池底部持续冒水，用4台抽水机30小时抽干，或用7台抽水机12小时抽干。每台每小时抽1份水。问： （1）每小时涌出多少份水？ （2）原有水多少份？ （3）14台抽水机多久抽完？ 【详解】 设1台抽水机1小时抽1份水 4台30小时总水量：4×30=120份 7台12小时总水量：7×12=84份 涌水速度：（120−84）÷（30−12）=36÷18=2份/小时 原有水：120−2×30=60份 14台抽水机：安排2台抽新水，剩余14−2=12台抽原水 时间：60÷12=5小时 【答案】 （1）每小时涌出2份；（2）原有水60份；（3）5小时抽完。 第10题 草地匀速生长，可供8头牛吃24天，或可供12头牛吃12天。问： （1）每天新长几份草？ （2）原有草多少份？ （3）要在8天吃完，需要多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 8头牛24天总草：8×24=192份 12头牛12天总草：12×12=144份 草速：（192−144）÷（24−12）=48÷12=4份/天 原有草：192−4×24=192−96=96份 8天一共新增草：4×8=32份 总草量：96+32=128份 需要牛：128÷8=16头 【答案】 （1）每天新长4份草；（2）原有草96份；（3）8天吃完需要16头牛。 第11题 一片草地匀速长草，可供24头牛吃6天，或可供18头牛吃9天。要在4天吃完，需要多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 24头牛6天总草：24×6=144份 18头牛9天总草：18×9=162份 草速：（162−144）÷（9−6）=18÷3=6份/天 原有草：144−6×6=144−36=108份 4天一共新增草：6×4=24份 总草量：108+24=132份 需要牛：132÷4=33头 【答案】 需要33头牛。 第12题 一块草地匀速长草，可供26头牛吃6天，或可供22头牛吃9天。要在12天吃完，需要多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 26头牛6天总草：26×6=156份 22头牛9天总草：22×9=198份 草速：（198−156）÷（9−6）=42÷3=14份/天 原有草：156−14×6=156−84=72份 12天一共新增草：14×12=168份 总草量：72+168=240份 需要牛：240÷12=20头 【答案】 需要20头牛。 第13题 草地匀速生长，可供14头牛吃8天，或可供10头牛吃12天。问： （1）每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供6头牛吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 14头牛8天总草：14×8=112份 10头牛12天总草：10×12=120份 草速：（120−112）÷（12−8）=8÷4=2份/天 原有草：112−2×8=112−16=96份 6头牛：安排2头吃新草，剩余6−2=4头吃原草 天数：96÷4=24天 【答案】 （1）每天新长2份草；（2）原有草96份；（3）可供6头牛吃24天。 第14题 一片草地匀速生长，可供18头牛吃10天，或可供24头牛吃6天。如果有27头牛，可以吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 18头牛10天总草：18×10=180份 24头牛6天总草：24×6=144份 草速：（180−144）÷（10−6）=36÷4=9份/天 原有草：180−9×10=180−90=90份 27头牛：安排9头吃新草，剩余27−9=18头吃原草 天数：90÷18=5天 【答案】 27头牛可以吃5天。 第15题 草地匀速长草，可供20头牛吃9天，或可供16头牛吃12天。要在4天吃完，需要多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 20头牛9天总草：20×9=180份 16头牛12天总草：16×12=192份 草速：（192−180）÷（12−9）=12÷3=4份/天 原有草：180−4×9=180−36=144份 4天一共新增草：4×4=16份 总草量：144+16=160份 需要牛：160÷4=40头 【答案】 需要40头牛。 第16题（开放思考） 一片草地匀速生长，可供18头牛吃6天，或可供14头牛吃9天。现在要长期放牧、使草永远吃不完，最多能放牧多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 18头牛6天总草：18×6=108份 14头牛9天总草：14×9=126份 草速：（126−108）÷（9−6）=18÷3=6份/天 要使草永远吃不完，每天吃掉的草最多等于每天新长的草 即放牧牛数最多=草速=6头 【答案】 最多能放牧6头牛（每天吃掉6份，正好等于每天新长6份，草量不减少）。 第17题 草地匀速生长，可供20头牛吃7天，或可供16头牛吃9天。问： （1）每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供9头牛吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 20头牛7天总草：20×7=140份 16头牛9天总草：16×9=144份 草速：（144−140）÷（9−7）=4÷2=2份/天 原有草：140−2×7=140−14=126份 9头牛：安排2头吃新草，剩余9−2=7头吃原草 天数：126÷7=18天 【答案】 （1）每天新长2份草；（2）原有草126份；（3）可供9头牛吃18天。 第18题（货物变形） 仓库里的货物匀速运来，同时有货车把货物运走。用12辆货车20小时运完，或用18辆货车12小时运完。每辆货车每小时运1份货物。问： （1）每小时运来多少份货物？ （2）仓库原有多少份货物？ （3）用21辆货车，几小时运完？ 【详解】 设1辆货车每小时运1份货物 12辆20小时：12×20=240份 18辆12小时：18×12=216份 运来速度：（240−216）÷（20−12）=24÷8=3份/小时 原有货物：240−3×20=240−60=180份 21辆货车：安排3辆运新来的货物，剩余21−3=18辆运原有货物 时间：180÷18=10小时 【答案】 （1）每小时运来3份；（2）原有货物180份；（3）21辆货车10小时运完。 第19题 草地匀速生长，可供40头牛吃4天，或可供30头牛吃6天。要在10天吃完，需要多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 40头牛4天总草：40×4=160份 30头牛6天总草：30×6=180份 草速：（180−160）÷（6−4）=20÷2=10份/天 原有草：160−10×4=160−40=120份 10天一共新增草：10×10=100份 总草量：120+100=220份 需要牛：220÷10=22头 【答案】 需要22头牛。 第20题 草地匀速生长，可供10头牛吃24天，或可供14头牛吃16天。问： （1）每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供18头牛吃几天？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 10头牛24天总草：10×24=240份 14头牛16天总草：14×16=224份 草速：（240−224）÷（24−16）=16÷8=2份/天 原有草：240−2×24=240−48=192份 18头牛：安排2头吃新草，剩余18−2=16头吃原草 天数：192÷16=12天 【答案】 （1）每天新长2份草；（2）原有草192份；（3）可供18头牛吃12天。 模拟赛场 【奥数题1】一片牧草匀速生长，可供27头牛吃6周，或可供23头牛吃9周。问可供21头牛吃几周？ 【详解】 设1头牛1周吃1份草 27头牛6周总草：27×6=162份 23头牛9周总草：23×9=207份 草速：（207−162）÷（9−6）=45÷3=15份/周 原有草：162−15×6=162−90=72份 21头牛：安排15头吃新草，剩余21−15=6头吃原草 周数：72÷6=12周 【答案】 可供21头牛吃12周。 【奥数题2】一片草地匀速生长，可供18头牛吃5天，或可供15头牛吃8天。现在先放18头牛吃2天，然后增加若干头牛，再吃2天正好把草吃完。问：增加了多少头牛？ 【详解】 设1头牛1天吃1份草 18头牛5天总草：18×5=90份 15头牛8天总草：15×8=120份 草速：（120−90）÷（8−5）=30÷3=10份/天 原有草：90−10×5=90−50=40份 前2天：18头牛吃掉18×2=36份，新长10×2=20份 剩草：40+20−36=24份 后2天：新长10×2=20份，一共还要吃24+20=44份 后2天需要牛：44÷2=22头 增加牛数：22−18=4头 【答案】 增加了4头牛。 【奥数题3】有甲、乙两块草地，草一样厚，都匀速生长，甲的面积是乙的2倍。乙草地可供15头牛吃8天，或可供12头牛吃12天。问：甲草地可供多少头牛吃6天？ 【详解】 先求乙草地的草速和原有草量（设1头牛1天吃1份草） 15头牛8天总草：15×8=120份 12头牛12天总草：12×12=144份 乙草速：（144−120）÷（12−8）=24÷4=6份/天 乙原有草：120−6×8=120−48=72份 甲的面积是乙的2倍，草一样厚、长得一样快，则： 甲原有草：72×2=144份 甲草速：6×2=12份/天 甲供n头牛吃6天：6天总草=144+12×6=144+72=216份 需要牛：216÷6=36头 【答案】 甲草地可供36头牛吃6天。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第20讲 牛吃草问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 问题认识 牛吃草问题又叫做消长问题，是牛顿提出的经典数学问题。它的核心特点是：草是一直在生长的，草的总量不是固定不变的。 草总量会随着时间增加而变大；同时牛吃草会消耗草量，一边长、一边吃。常见场景包括： (1) 草地上牛吃草（经典模型） (2) 水池进水排水 (3) 排队检票（人不断来，检票口不断放人） (4) 仓库货物不断补货同时出货 这些问题都属于牛吃草模型，解题思路完全一致。 2. 核心两个量 名称 含义 特点 原有草量 草地一开始就有的草，是固定不变的 固定量 新长草速度 单位时间内新长出来的草量（每天/每周长多少） 匀速变化量 解题前提假设：每一头牛每天吃的草量相同。我们一般设：1头牛1天吃的草量为1份。 这个"设1份法"是牛吃草问题最常用的方法，也是五年级奥数的重点。 3. 四大基础公式（重中之重） 设：1头牛1天吃1份草 序号 公式名称 公式内容 ① 总草量公式 总草量 = 原有草量 + 这段时间新长草量 ② 新长草量公式 新长草量 = 草生长速度 × 天数 ③ 草生长速度公式 草生长速度 =（较长时间总草量 − 较短时间总草量）÷（长时间 − 短时间） ④ 原有草量公式 原有草量 = 牛的头数×天数 − 草速×天数 公式③原理：时间更长，总草更多，相差的草就是多出来的天数里新长出来的草。 例：20天总草量 - 10天总草量 = 10天新长的草量 4. 两类基础题型 类型一：已知牛的头数和吃完的天数，求可供多少头牛吃若干天 解题步骤： (1) 算出两组总草量（牛的头数 × 天数） (2) 求草生长速度（用公式③） (3) 求原有草量（用公式④） (4) 安排一部分牛专门吃每天新长出来的草（牛数 = 草速） (5) 剩下的牛去吃原有草：原有草 ÷ 剩下牛的数量 = 可以吃的天数 类型二：已知牛的头数和吃完天数，求固定天数吃完需要多少头牛 解题步骤： (1) 求草速（用公式③） (2) 求原有草量（用公式④） (3) 固定天数内，一共的草量 = 原有草量 + 草速×天数 (4) 总草量 ÷ 天数 = 需要牛的总数 5. 拓展提醒 (1) 草枯萎型：若草在枯萎（草减少），草速是负数，原有草量每天减少，公式会变化。 (2) 变形题：抽水机抽水、检票口排队、货物匀速运来，统一套用这个思路。 (3) 易错点：很多同学直接用总草量除以牛，忽略草一直在长，这是最常见的错误！ 例题讲解 【典型例题1】基础牛吃草问题 一片草地，草匀速生长。这片草地可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。如果每头牛每天吃1份草，问： （1）草地每天新长几份草？ （2）草地上原有多少份草？ （3）这片草地可供25头牛吃几天？ 【跟踪训练1】 一片匀速长草的牧场，可供20头牛吃12天，或者可供25头牛吃6天。每头牛每天吃1份草。 （1）牧场每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）如果有30头牛，可以吃多少天？ 【典型例题2】求固定天数需要多少头牛 一块草地，草匀速生长。如果放养16头牛，可以吃20天；放养20头牛，可以吃12天。现在要8天吃完这块草地上全部的草，需要放养多少头牛？ 【跟踪训练2】 一片草地匀速长草，18头牛吃15天，24头牛吃10天。想要9天吃完，需要多少头牛？ 【典型例题3】草枯萎型（逆向变化） 秋天的牧场，草每天匀速枯萎。这片牧场可供25头牛吃4天，可供15头牛吃6天。1头牛1天吃1份草。 （1）每天枯萎几份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供10头牛吃几天？ 【跟踪训练3】 冬天草场草匀速枯萎，可供22头牛吃6天，可供16头牛吃8天。1头牛每天吃1份草。 （1）每天枯萎多少份草？ （2）草场原有多少份草？ （3）可供10头牛吃几天？ 【典型例题4】牛吃草变形：抽水机问题 一个蓄水池，池底有泉水匀速涌出。用8台抽水机，10小时可以抽干；用12台抽水机，6小时抽干。每台抽水机每小时抽1份水。 （1）泉水每小时涌出多少份？ （2）池子里原有多少份水？ （3）如果用14台抽水机，几小时抽完？ 【跟踪训练4】 一个水池底部持续冒水，用8台抽水机12小时抽干；用10台抽水机8小时抽干，每台每小时抽1份水。 （1）每小时涌出多少份水？ （2）原有水多少份？ （3）12台抽水机多久抽完？ 提升练习 第1题 一片草地，草匀速生长。这片草地可供9头牛吃12天，或可供12头牛吃8天。问： （1）每天新长几份草？ （2）草地上原有多少份草？ （3）可供15头牛吃几天？ 第2题 一片匀速长草的牧场，可供12头牛吃10天，或可供20头牛吃5天。问： （1）每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供14头牛吃几天？ 第3题 草地匀速长草，可供6头牛吃20天，或可供10头牛吃10天。现在要在5天内吃完，需要多少头牛？ 第4题 一片草地匀速长草，15头牛吃10天，18头牛吃8天。要在6天内吃完，需要多少头牛？ 第5题（草枯萎型） 秋天的牧场，草每天匀速枯萎。可供35头牛吃4天，或可供27头牛吃5天。问： （1）每天枯萎几份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供11头牛吃几天？ 第6题（草枯萎型） 冬天的草场草匀速枯萎，可供40头牛吃5天，或可供30头牛吃6天。现在要4天吃完，需要多少头牛？ 第7题（抽水机变形） 一个蓄水池，池底有泉水匀速涌出。用6台抽水机20小时可以抽干，或用10台抽水机10小时抽干。每台抽水机每小时抽1份水。问： （1）泉水每小时涌出多少份？ （2）池子里原有多少份水？ （3）如果用12台抽水机，几小时抽完？ 第8题（检票口变形） 火车站检票口，旅客匀速到达。若开3个检票口，30分钟全部进站；开4个检票口，20分钟进完。每分钟每个检票口放1份旅客。问： （1）每分钟新增多少旅客？ （2）原有多少旅客？ （3）开5个检票口，几分钟进完？ 第9题（抽水机变形） 一个水池底部持续冒水，用4台抽水机30小时抽干，或用7台抽水机12小时抽干。每台每小时抽1份水。问： （1）每小时涌出多少份水？ （2）原有水多少份？ （3）14台抽水机多久抽完？ 第10题 草地匀速生长，可供8头牛吃24天，或可供12头牛吃12天。问： （1）每天新长几份草？ （2）原有草多少份？ （3）要在8天吃完，需要多少头牛？ 第11题 一片草地匀速长草，可供24头牛吃6天，或可供18头牛吃9天。要在4天吃完，需要多少头牛？ 第12题 一块草地匀速长草，可供26头牛吃6天，或可供22头牛吃9天。要在12天吃完，需要多少头牛？ 第13题 草地匀速生长，可供14头牛吃8天，或可供10头牛吃12天。问： （1）每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供6头牛吃几天？ 第14题 一片草地匀速生长，可供18头牛吃10天，或可供24头牛吃6天。如果有27头牛，可以吃几天？ 第15题 草地匀速长草，可供20头牛吃9天，或可供16头牛吃12天。要在4天吃完，需要多少头牛？ 第16题（开放思考） 一片草地匀速生长，可供18头牛吃6天，或可供14头牛吃9天。现在要长期放牧、使草永远吃不完，最多能放牧多少头牛？ 第17题 草地匀速生长，可供20头牛吃7天，或可供16头牛吃9天。问： （1）每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供9头牛吃几天？ 第18题（货物变形） 仓库里的货物匀速运来，同时有货车把货物运走。用12辆货车20小时运完，或用18辆货车12小时运完。每辆货车每小时运1份货物。问： （1）每小时运来多少份货物？ （2）仓库原有多少份货物？ （3）用21辆货车，几小时运完？ 第19题 草地匀速生长，可供40头牛吃4天，或可供30头牛吃6天。要在10天吃完，需要多少头牛？ 第20题 草地匀速生长，可供10头牛吃24天，或可供14头牛吃16天。问： （1）每天新长多少份草？ （2）原有草多少份？ （3）可供18头牛吃几天？ 模拟赛场 【奥数题1】一片牧草匀速生长，可供27头牛吃6周，或可供23头牛吃9周。问可供21头牛吃几周？ 【奥数题2】一片草地匀速生长，可供18头牛吃5天，或可供15头牛吃8天。现在先放18头牛吃2天，然后增加若干头牛，再吃2天正好把草吃完。问：增加了多少头牛？ 【奥数题3】有甲、乙两块草地，草一样厚，都匀速生长，甲的面积是乙的2倍。乙草地可供15头牛吃8天，或可供12头牛吃12天。问：甲草地可供多少头牛吃6天？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $