第12讲 列方程解行程问题（奥数讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

奥数培优讲义 第12讲 列方程解行程问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 行程问题三量基础关系 路程、速度、时间是行程问题的三个核心量，三者之间的基本关系为： 路程 = 速度 × 时间 速度 = 路程 ÷ 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 单位统一提醒：做题第一步必须统一单位！千米与米、小时与分钟不能直接混用。例如 600 米 = 0.6 千米，45 分钟 = 0.75 小时。 2. 列方程解应用题五步法 (1) 审：读懂题目，画出线段图，标出已知量和未知量； (2) 设：设未知数为 x。优先设问题所求量，也可设时间或速度以方便找等量关系； (3) 找：找出题目中的等量关系式——这是列方程的核心！ (4) 列 + 解：根据等量关系列出方程，规范求解； (5) 验 + 答：把结果代入原题检验是否符合题意，写出完整答句。 方程思想的优势：不需要逆向思考，顺着题意写出"相等关系"即可，特别适合复杂行程问题。 3. 四大经典行程等量模型（本专题核心） （1）相向而行——相遇问题（课本重点） 两人/两车从两地同时出发，面对面行驶，最终相遇。 核心等量关系：甲的路程 + 乙的路程 = 总路程 变形公式：（甲速度 + 乙速度）× 相遇时间 = 总路程，即 速度和 × 相遇时间 = 总路程 易错点：如果两人不是同时出发，一定要把提前先走的那段路程单独算出来！ （2）同向而行——追及问题（奥数高频） 两人/两车同方向行驶，快的从后面追上慢的。 核心等量关系：快者路程 − 慢者路程 = 路程差（追及距离） 变形公式：（快速度 − 慢速度）× 追及时间 = 路程差，即 速度差 × 追及时间 = 路程差 常见场景：慢者先走一段、两人同时同地不同速出发、不同时出发的追及。 （3）中点相遇拓展题型（培优难点） 两车相向而行，相遇点距离中点有一段固定距离。 关键结论：快车比慢车多走的路程 = 2 × 距中点距离 原理：快车开过中点后又走了一段，慢车还没到中点，两者的路程差正好是"中点距离"的两倍。 核心等量关系：快车路程 − 慢车路程 = 2 × 距中点距离 （4）往返路程不变问题 同一段路，用两种不同速度走，去程和回程路程相等。 核心等量关系：去的路程 = 返回的路程 这类题常设"原定时间"或"准时时间"为 x，用两种速度分别表示路程，再令二者相等。 4. 设未知数的小技巧（奥数常用） (1) 求速度：一般直接设速度为 x； (2) 求时间：直接设时间为 x； (3) 路程不变类问题：常设时间为 x，用两段路程相等列等式； (4) 尽量不设路程为 x——路程大多用来做等量等式的两边。 5. 易错提醒 (1) 时间不同：要分开计算各自的行驶时长； (2) 单位不同：先换算再列式； (3) 相遇 ≠ 同时出发；追及 ≠ 同时出发； (4) 线段图是行程题最好的帮手，做题时一定要画！ 例题讲解 【典型例题 1】基础相遇问题（课本拓展） 甲、乙两车分别从相距 480 千米的 A、B 两地同时相向开出，甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米。经过多少小时两车相遇？ 【详解】 本题属于同时出发、相向而行的相遇问题。 等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = 总路程 解：设经过 x 小时两车相遇。 65x + 55x = 480 120x = 480 x = 480 ÷ 120 x = 4 检验：65×4 + 55×4 = 260 + 220 = 480（千米），正好等于总路程，答案正确。 答：经过 4 小时两车相遇。 【答案】4 小时 【跟踪训练 1】 A、B 两村相距 3600 米，小明和小红同时从两村出发，相向而行。小明每分钟走 70 米，小红每分钟走 50 米。多久之后两人相遇？ 【详解】 等量关系：小明走的路程 + 小红走的路程 = 两村总距离 解：设 x 分钟后两人相遇。 70x + 50x = 3600 120x = 3600 x = 30 检验：70×30 + 50×30 = 2100 + 1500 = 3600（米），符合题意。 答：30 分钟后两人相遇。 【答案】30 分钟 【典型例题 2】追及问题（奥数高频） 小明步行上学，每分钟走 60 米。出发 8 分钟后，爸爸发现他忘带课本，立即骑车去追，爸爸每分钟骑行 180 米。爸爸出发多久后可以追上小明？ 【详解】 分析：小明先走 8 分钟，形成了一段初始路程差；爸爸追上小明时，两人走的路程相等。 小明先走的路程差：60 × 8 = 480（米） 等量关系：爸爸走的路程 − 小明在爸爸追及期间走的路程 = 路程差 解：设爸爸出发 x 分钟后追上小明。 180x − 60x = 60 × 8 120x = 480 x = 4 检验：爸爸骑了 180×4 = 720 米；小明一共走了 8+4=12 分钟，60×12 = 720 米。两人路程相等，说明追上了。 答：爸爸出发 4 分钟后追上小明。 【答案】4 分钟 【跟踪训练 2】 一只猎狗发现前方 150 米处有一只兔子，兔子每分钟跑 70 米，猎狗每分钟跑 100 米。两者同时同向出发，猎狗多久可以追上兔子？ 【详解】 等量关系：猎狗路程 − 兔子路程 = 初始距离 150 米 解：设经过 x 分钟猎狗追上兔子。 100x − 70x = 150 30x = 150 x = 5 检验：猎狗跑了 100×5 = 500 米，兔子跑了 70×5 = 350 米，500 − 350 = 150 米，正好是初始距离。 答：猎狗 5 分钟后追上兔子。 【答案】5 分钟 【典型例题 3】中点相遇培优题型（难点） 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行 60 千米。两车相遇时距离中点 20 千米。求两车行驶了多长时间？ 【详解】 分析：甲车速度更快，相遇时甲车开过中点后又走了 20 千米，乙车还没到中点、还差 20 千米。因此两车的路程差 = 20 × 2 = 40 千米。 等量关系：甲车路程 − 乙车路程 = 20 × 2 解：设两车行驶了 x 小时。 70x − 60x = 20 × 2 10x = 40 x = 4 检验：甲车走了 70×4 = 280 千米，乙车走了 60×4 = 240 千米；总路程 = 280 + 240 = 520 千米，中点在 260 千米处；280 − 260 = 20 千米，正好符合题意。 答：两车行驶了 4 小时。 【答案】4 小时 【跟踪训练 3】 客车和货车同时从两地相向开出，客车每小时行 85 千米，货车每小时行 75 千米。两车相遇时距离中点 18 千米。两车行驶多少小时后相遇？ 【详解】 路程差：18 × 2 = 36（千米） 等量关系：客车路程 − 货车路程 = 36 千米 解：设行驶 x 小时后两车相遇。 85x − 75x = 18 × 2 10x = 36 x = 3.6 检验：客车走了 85×3.6 = 306 千米，货车走了 75×3.6 = 270 千米；总路程 = 306 + 270 = 576 千米，中点在 288 千米处；306 − 288 = 18 千米，符合题意。 答：两车行驶 3.6 小时后相遇。 【答案】3.6 小时 【典型例题 4】往返路程不变问题（拓展奥数） 小李骑车从家到少年宫，如果每分钟行 200 米，可以准时到达；如果每分钟行 250 米，可以提前 3 分钟到达。小李家到少年宫有多远？ 【详解】 等量关系：慢速走的路程 = 快速走的路程（同一段路） 解：设原定 x 分钟准时到达。 200x = 250(x − 3) 200x = 250x − 750 750 = 250x − 200x 50x = 750 x = 15 求路程：200 × 15 = 3000（米） 检验：快速走用时 15 − 3 = 12 分钟，250 × 12 = 3000 米，两种方式路程相等，答案正确。 答：小李家到少年宫有 3000 米。 【答案】3000 米 【跟踪训练 4】 小强从家到学校，如果每分钟走 60 米，会迟到 4 分钟；如果每分钟走 80 米，会早到 2 分钟。小强家距离学校多少米？ 【详解】 分析：两种速度走的是同一段路，路程相等。迟到 4 分钟说明用时比准时时间多 4 分钟，早到 2 分钟说明用时比准时时间少 2 分钟。 解：设准时到校需要 x 分钟。 60(x + 4) = 80(x − 2) 60x + 240 = 80x − 160 240 + 160 = 80x − 60x 400 = 20x x = 20 求路程：60 × (20 + 4) = 60 × 24 = 1440（米） 检验：80 × (20 − 2) = 80 × 18 = 1440 米，两种方式路程相等，答案正确。 答：小强家距离学校 1440 米。 【答案】1440 米 提升练习 第 1 题 甲、乙两辆汽车从相距 520 千米的两地同时相向开出，甲车每小时行 72 千米，乙车每小时行 58 千米。几小时后两车还相距 70 千米（尚未相遇）？ 【详解】 等量关系：甲路程 + 乙路程 + 相距距离 = 总路程 解：设 x 小时后两车相距 70 千米。 72x + 58x + 70 = 520 130x = 450 x = 450 ÷ 130 = 45/13 检验：72×(45/13) + 58×(45/13) + 70 = 130×(45/13) + 70 = 450 + 70 = 520（千米），正确。 答：45/13 小时后两车相距 70 千米。 【答案】45/13 小时 第 2 题 两地相距 600 米，甲、乙两人同时从两地相向而行，4 分钟后相遇。甲每分钟走 85 米，乙每分钟走多少米？ 【详解】 等量关系：甲路程 + 乙路程 = 总路程 解：设乙每分钟走 x 米。 4 × 85 + 4x = 600 340 + 4x = 600 4x = 260 x = 65 检验：4×85 + 4×65 = 340 + 260 = 600（米），正确。 答：乙每分钟走 65 米。 【答案】65 米/分 第 3 题 甲、乙两人在一条笔直路上同向而行，甲在乙后方 240 米处。甲每分钟走 95 米，乙每分钟走 75 米。多久后甲可以追上乙？ 【详解】 等量关系：甲路程 − 乙路程 = 路程差 240 米 解：设 x 分钟后甲追上乙。 95x − 75x = 240 20x = 240 x = 12 检验：95×12 − 75×12 = 1140 − 900 = 240（米），正确。 答：12 分钟后甲追上乙。 【答案】12 分钟 第 4 题 客车和货车同时从两地相向出发，客车每小时行 92 千米，货车每小时行 68 千米。相遇时客车比货车多行 60 千米，两车行驶了几小时？ 【详解】 等量关系：客车路程 − 货车路程 = 60 千米 解：设行驶 x 小时后相遇。 92x − 68x = 60 24x = 60 x = 2.5 检验：92×2.5 − 68×2.5 = 230 − 170 = 60（千米），正确。 答：两车行驶了 2.5 小时。 【答案】2.5 小时 第 5 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲车每小时行 68 千米，乙车每小时行 62 千米。相遇点距离中点 15 千米，两车行驶了多少小时？ 【详解】 路程差：15 × 2 = 30（千米） 等量关系：甲路程 − 乙路程 = 30 千米 解：设行驶 x 小时。 68x − 62x = 15 × 2 6x = 30 x = 5 检验：甲走 68×5=340 千米，乙走 62×5=310 千米；总路程 650 千米，中点 325 千米；340 − 325 = 15 千米，正确。 答：两车行驶了 5 小时。 【答案】5 小时 第 6 题 小明从家到学校，如果每分钟走 75 米，可以准时到校；如果每分钟走 90 米，可以提前 2 分钟到校。小明家到学校有多少米？ 【详解】 等量关系：两种速度走的路程相等（同一段路） 解：设准时到校需要 x 分钟。 75x = 90(x − 2) 75x = 90x − 180 15x = 180 x = 12 求路程：75 × 12 = 900（米） 检验：90 × (12 − 2) = 900（米），两种方式路程相等，正确。 答：小明家到学校 900 米。 【答案】900 米 第 7 题 A、B 两地相距 420 千米。甲车先开出 1 小时，每小时行 60 千米；之后乙车从 B 地相向开出，每小时行 75 千米。乙车出发多久后两车相遇？ 【详解】 分析：甲先走 1 小时，已行驶 60×1=60 千米，剩余路程由两车共同走完。 解：设乙车出发 x 小时后两车相遇。 60×1 + 60x + 75x = 420 60 + 135x = 420 135x = 360 x = 360 ÷ 135 = 8/3 检验：60 + 60×(8/3) + 75×(8/3) = 60 + 160 + 200 = 420（千米），正确。 答：乙车出发 8/3 小时后两车相遇。 【答案】8/3 小时 第 8 题 小红和小丽在环形跑道上同向跑步，跑道一圈长 400 米。小红每分钟跑 220 米，小丽每分钟跑 180 米。两人同时同地出发，多久后小红第一次追上小丽？ 【详解】 分析：环形跑道上同向追及，快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑整整一圈（400 米）。 解：设 x 分钟后小红追上小丽。 220x − 180x = 400 40x = 400 x = 10 检验：220×10 − 180×10 = 2200 − 1800 = 400（米），正好一圈，正确。 答：10 分钟后小红第一次追上小丽。 【答案】10 分钟 第 9 题 两地相距 720 千米，甲、乙两车同时相向开出，6 小时后相遇。甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行多少千米？ 【详解】 等量关系：（甲速度 + 乙速度）× 相遇时间 = 总路程 解：设乙车每小时行 x 千米。 6 × (65 + x) = 720 65 + x = 120 x = 55 检验：6 × (65 + 55) = 6 × 120 = 720（千米），正确。 答：乙车每小时行 55 千米。 【答案】55 千米/时 第 10 题 爸爸骑车追步行上学的儿子。儿子每分钟走 50 米，先走了 6 分钟；爸爸骑车每分钟行 200 米。爸爸出发多久后追上儿子？ 【详解】 路程差：儿子先走的路程 = 50 × 6 = 300（米） 等量关系：爸爸路程 − 儿子在追及期间走的路程 = 300 米 解：设爸爸出发 x 分钟后追上儿子。 200x − 50x = 50 × 6 150x = 300 x = 2 检验：爸爸骑了 200×2=400 米；儿子一共走了 6+2=8 分钟，50×8=400 米，路程相等，正确。 答：爸爸出发 2 分钟后追上儿子。 【答案】2 分钟 第 11 题 从 A 地到 B 地，骑自行车每小时行 15 千米，会迟到 0.5 小时；每小时行 20 千米，会早到 0.5 小时。A、B 两地相距多少千米？ 【详解】 等量关系：两种速度走的路程相等（同一段路） 解：设规定到达时间为 x 小时。 15(x + 0.5) = 20(x − 0.5) 15x + 7.5 = 20x − 10 5x = 17.5 x = 3.5 求路程：15 × (3.5 + 0.5) = 15 × 4 = 60（千米） 检验：20 × (3.5 − 0.5) = 20 × 3 = 60（千米），正确。 答：A、B 两地相距 60 千米。 【答案】60 千米 第 12 题 甲、乙两人相距 300 米，相向而行。甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 50 米。两人出发多久后还相距 60 米（尚未相遇）？ 【详解】 等量关系：甲路程 + 乙路程 + 60 米 = 初始距离 300 米 解：设 x 分钟后两人相距 60 米。 70x + 50x + 60 = 300 120x = 240 x = 2 检验：70×2 + 50×2 + 60 = 140 + 100 + 60 = 300（米），正确。 答：2 分钟后两人相距 60 米。 【答案】2 分钟 第 13 题 两辆货车同时从甲城开往乙城，快车每小时行 75 千米，慢车每小时行 60 千米。多长时间后两车相距 45 千米？ 【详解】 等量关系：快车路程 − 慢车路程 = 45 千米 解：设 x 小时后两车相距 45 千米。 75x − 60x = 45 15x = 45 x = 3 检验：75×3 − 60×3 = 225 − 180 = 45（千米），正确。 答：3 小时后两车相距 45 千米。 【答案】3 小时 第 14 题 两地相距 960 米，甲、乙两人相向而行。甲先走 3 分钟，每分钟走 60 米；之后乙才出发，每分钟走 80 米。乙出发几分钟后两人相遇？ 【详解】 分析：甲先走的路程 = 60 × 3 = 180（米），剩余路程两人共同走完。 解：设乙出发 x 分钟后两人相遇。 180 + 60x + 80x = 960 140x = 780 x = 780 ÷ 140 = 39/7 检验：180 + 60×(39/7) + 80×(39/7) = 180 + 140×(39/7) = 180 + 780 = 960（米），正确。 答：乙出发 39/7 分钟后两人相遇。 【答案】39/7 分钟 第 15 题 甲、乙两车相向而行，相遇时甲车走的路程是乙车的 1.2 倍。已知总路程为 440 千米，乙车行了多少千米？ 【详解】 等量关系：甲路程 + 乙路程 = 总路程 解：设乙车行了 x 千米，则甲车行了 1.2x 千米。 x + 1.2x = 440 2.2x = 440 x = 200 检验：200 + 1.2×200 = 200 + 240 = 440（千米），正确。 答：乙车行了 200 千米。 【答案】200 千米 第 16 题 通讯员骑摩托车送文件，如果每小时行 40 千米，可以在预定时间到达；如果每小时行 60 千米，可以提前 1 小时到达。预定时间是几小时？ 【详解】 等量关系：两种速度走的路程相等 解：设预定时间为 x 小时。 40x = 60(x − 1) 40x = 60x − 60 20x = 60 x = 3 检验：40×3 = 120（千米），60×(3−1) = 120（千米），路程相等，正确。 答：预定时间是 3 小时。 【答案】3 小时 第 17 题 甲、乙两人同时从相距 840 米的两地相向而行，7 分钟后相遇。已知甲比乙每分钟多走 10 米，乙每分钟走多少米？ 【详解】 等量关系：（甲速度 + 乙速度）× 相遇时间 = 总路程 解：设乙每分钟走 x 米，则甲每分钟走 (x + 10) 米。 7 × (x + x + 10) = 840 2x + 10 = 120 2x = 110 x = 55 检验：甲每分钟 65 米，7×(55+65) = 7×120 = 840（米），正确。 答：乙每分钟走 55 米。 【答案】55 米/分 第 18 题 一辆客车从甲地开往乙地，速度为每小时 65 千米。客车开出 2 小时后，一辆轿车从甲地出发去追客车，轿车每小时行 90 千米。轿车开出后多久追上客车？ 【详解】 路程差：客车先行的路程 = 65 × 2 = 130（千米） 等量关系：轿车路程 − 客车在追及期间走的路程 = 130 千米 解：设轿车开出 x 小时后追上客车。 90x − 65x = 65 × 2 25x = 130 x = 5.2 检验：轿车走了 90×5.2 = 468 千米；客车一共行驶了 2+5.2=7.2 小时，65×7.2 = 468 千米，路程相等，正确。 答：轿车开出 5.2 小时后追上客车。 【答案】5.2 小时 第 19 题 甲、乙两车同时从相距 540 千米的两地相向开出，甲车每小时行 62 千米，乙车每小时行 58 千米。出发后多久，两车相遇后又相距 120 千米？ 【详解】 分析：相遇后又相距 120 千米，说明两车一共走了"全程 + 120 千米" = 540 + 120 = 660 千米。 解：设 x 小时后两车相遇又相距 120 千米。 62x + 58x = 540 + 120 120x = 660 x = 5.5 检验：62×5.5 + 58×5.5 = 120×5.5 = 660（千米），660 − 540 = 120 千米，正确。 答：出发 5.5 小时后两车相遇又相距 120 千米。 【答案】5.5 小时 第 20 题 小明和小华同时从学校出发去图书馆，小明每分钟走 80 米，小华每分钟走 65 米。小明到达图书馆后立即原路返回，在出发 8 分钟后两人相遇。学校到图书馆有多少米？ 【详解】 分析：小明走到图书馆后返回，在途中与小华相遇。此时两人走过的路程之和 = 2 倍的"学校到图书馆"距离。 解：设学校到图书馆的距离为 x 米。 2x = (80 + 65) × 8 2x = 145 × 8 2x = 1160 x = 580 检验：两人 8 分钟共走 (80+65)×8 = 1160 米，1160 ÷ 2 = 580 米，正确。 答：学校到图书馆有 580 米。 【答案】580 米 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两车早上 7:00 分别从 A、B 两地同时相向出发，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 50 千米。两车相遇后继续前进，甲车到达 B 地、乙车到达 A 地后都立即原路返回，上午 11:00 两车第二次相遇。A、B 两地相距多少千米？ 思路提示：第二次相遇时，两车合起来一共走了 3 个全程。 【详解】 行驶总时间：11:00 − 7:00 = 4 小时。 关键规律：第一次相遇两人合走 1 个全程；第二次相遇两人合走 3 个全程。 解：设 A、B 两地相距 x 千米。 3x = (60 + 50) × 4 3x = 110 × 4 3x = 440 x = 440/3 检验：两车 4 小时共走 110×4 = 440 千米，正好等于 3 个全程（3×440/3 = 440），符合二次相遇规律，正确。 答：A、B 两地相距 440/3 千米。 【答案】440/3 千米 【奥数题2】甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，两人同时出发。第一次相遇时距离 A 地 90 千米；相遇后两人继续前进，各自到达终点后立即原路返回，第二次相遇时距离 A 地 50 千米。A、B 两地全长多少千米？（列方程解） 思路提示：第一次相遇两人合走 1 个全程，甲走了 90 千米；到第二次相遇两人合走 3 个全程，甲一共走了 90×3 = 270 千米。甲走的总路程 = 2 个全程 − 50 千米。 【详解】 分析：从出发到第二次相遇，两人合走 3 个全程，所用时间是第一次相遇时的 3 倍。 第一次相遇时甲走了 90 千米，所以到第二次相遇时甲一共走了 90 × 3 = 270 千米。 此时甲从 A 到 B 再返回，还没走完一个全程，距离 A 地 50 千米。 所以甲走的总路程 = 2 个全程 − 50 千米。 解：设 A、B 两地全长为 x 千米。 2x − 50 = 90 × 3 2x − 50 = 270 2x = 320 x = 160 检验：全程 160 千米，甲共走 270 千米；2×160 − 50 = 320 − 50 = 270 千米，符合二次相遇模型，正确。 答：A、B 两地全长 160 千米。 【答案】160 千米 【奥数题3】有一条长 400 米的环形跑道，甲、乙两人同时同地出发。如果相向而行，2.5 分钟后相遇；如果同向而行，12.5 分钟后甲第一次追上乙。求甲、乙两人每分钟各走多少米？ 思路提示：相向而行：速度和 × 相遇时间 = 一圈；同向而行：速度差 × 追及时间 = 一圈。两个方程联立求解。 【详解】 分析： ① 相向而行（相遇）：(甲速 + 乙速) × 2.5 = 400 ② 同向而行（追及）：(甲速 − 乙速) × 12.5 = 400 解：设甲每分钟走 x 米，乙每分钟走 y 米。 由 ① 得：x + y = 400 ÷ 2.5 = 160 由 ② 得：x − y = 400 ÷ 12.5 = 32 两式相加：2x = 160 + 32 = 192，x = 96 代入：y = 160 − 96 = 64 检验： 相向：2.5 × (96 + 64) = 2.5 × 160 = 400（米）✓ 同向：12.5 × (96 − 64) = 12.5 × 32 = 400（米）✓ 答：甲每分钟走 96 米，乙每分钟走 64 米。 【答案】甲：96 米/分，乙：64 米/分 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第12讲 列方程解行程问题 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 行程问题三量基础关系 路程、速度、时间是行程问题的三个核心量，三者之间的基本关系为： 路程 = 速度 × 时间 速度 = 路程 ÷ 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 单位统一提醒：做题第一步必须统一单位！千米与米、小时与分钟不能直接混用。例如 600 米 = 0.6 千米，45 分钟 = 0.75 小时。 2. 列方程解应用题五步法 (1) 审：读懂题目，画出线段图，标出已知量和未知量； (2) 设：设未知数为 x。优先设问题所求量，也可设时间或速度以方便找等量关系； (3) 找：找出题目中的等量关系式——这是列方程的核心！ (4) 列 + 解：根据等量关系列出方程，规范求解； (5) 验 + 答：把结果代入原题检验是否符合题意，写出完整答句。 方程思想的优势：不需要逆向思考，顺着题意写出"相等关系"即可，特别适合复杂行程问题。 3. 四大经典行程等量模型（本专题核心） （1）相向而行——相遇问题（课本重点） 两人/两车从两地同时出发，面对面行驶，最终相遇。 核心等量关系：甲的路程 + 乙的路程 = 总路程 变形公式：（甲速度 + 乙速度）× 相遇时间 = 总路程，即 速度和 × 相遇时间 = 总路程 易错点：如果两人不是同时出发，一定要把提前先走的那段路程单独算出来！ （2）同向而行——追及问题（奥数高频） 两人/两车同方向行驶，快的从后面追上慢的。 核心等量关系：快者路程 − 慢者路程 = 路程差（追及距离） 变形公式：（快速度 − 慢速度）× 追及时间 = 路程差，即 速度差 × 追及时间 = 路程差 常见场景：慢者先走一段、两人同时同地不同速出发、不同时出发的追及。 （3）中点相遇拓展题型（培优难点） 两车相向而行，相遇点距离中点有一段固定距离。 关键结论：快车比慢车多走的路程 = 2 × 距中点距离 原理：快车开过中点后又走了一段，慢车还没到中点，两者的路程差正好是"中点距离"的两倍。 核心等量关系：快车路程 − 慢车路程 = 2 × 距中点距离 （4）往返路程不变问题 同一段路，用两种不同速度走，去程和回程路程相等。 核心等量关系：去的路程 = 返回的路程 这类题常设"原定时间"或"准时时间"为 x，用两种速度分别表示路程，再令二者相等。 4. 设未知数的小技巧（奥数常用） (1) 求速度：一般直接设速度为 x； (2) 求时间：直接设时间为 x； (3) 路程不变类问题：常设时间为 x，用两段路程相等列等式； (4) 尽量不设路程为 x——路程大多用来做等量等式的两边。 5. 易错提醒 (1) 时间不同：要分开计算各自的行驶时长； (2) 单位不同：先换算再列式； (3) 相遇 ≠ 同时出发；追及 ≠ 同时出发； (4) 线段图是行程题最好的帮手，做题时一定要画！ 例题讲解 【典型例题 1】基础相遇问题（课本拓展） 甲、乙两车分别从相距 480 千米的 A、B 两地同时相向开出，甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米。经过多少小时两车相遇？ 【跟踪训练 1】 A、B 两村相距 3600 米，小明和小红同时从两村出发，相向而行。小明每分钟走 70 米，小红每分钟走 50 米。多久之后两人相遇？ 【典型例题 2】追及问题（奥数高频） 小明步行上学，每分钟走 60 米。出发 8 分钟后，爸爸发现他忘带课本，立即骑车去追，爸爸每分钟骑行 180 米。爸爸出发多久后可以追上小明？ 【跟踪训练 2】 一只猎狗发现前方 150 米处有一只兔子，兔子每分钟跑 70 米，猎狗每分钟跑 100 米。两者同时同向出发，猎狗多久可以追上兔子？ 【典型例题 3】中点相遇培优题型（难点） 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行 60 千米。两车相遇时距离中点 20 千米。求两车行驶了多长时间？ 【跟踪训练 3】 客车和货车同时从两地相向开出，客车每小时行 85 千米，货车每小时行 75 千米。两车相遇时距离中点 18 千米。两车行驶多少小时后相遇？ 【典型例题 4】往返路程不变问题（拓展奥数） 小李骑车从家到少年宫，如果每分钟行 200 米，可以准时到达；如果每分钟行 250 米，可以提前 3 分钟到达。小李家到少年宫有多远？ 【跟踪训练 4】 小强从家到学校，如果每分钟走 60 米，会迟到 4 分钟；如果每分钟走 80 米，会早到 2 分钟。小强家距离学校多少米？ 提升练习 第 1 题 甲、乙两辆汽车从相距 520 千米的两地同时相向开出，甲车每小时行 72 千米，乙车每小时行 58 千米。几小时后两车还相距 70 千米（尚未相遇）？ 第 2 题 两地相距 600 米，甲、乙两人同时从两地相向而行，4 分钟后相遇。甲每分钟走 85 米，乙每分钟走多少米？ 第 3 题 甲、乙两人在一条笔直路上同向而行，甲在乙后方 240 米处。甲每分钟走 95 米，乙每分钟走 75 米。多久后甲可以追上乙？ 第 4 题 客车和货车同时从两地相向出发，客车每小时行 92 千米，货车每小时行 68 千米。相遇时客车比货车多行 60 千米，两车行驶了几小时？ 第 5 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲车每小时行 68 千米，乙车每小时行 62 千米。相遇点距离中点 15 千米，两车行驶了多少小时？ 第 6 题 小明从家到学校，如果每分钟走 75 米，可以准时到校；如果每分钟走 90 米，可以提前 2 分钟到校。小明家到学校有多少米？ 第 7 题 A、B 两地相距 420 千米。甲车先开出 1 小时，每小时行 60 千米；之后乙车从 B 地相向开出，每小时行 75 千米。乙车出发多久后两车相遇？ 第 8 题 小红和小丽在环形跑道上同向跑步，跑道一圈长 400 米。小红每分钟跑 220 米，小丽每分钟跑 180 米。两人同时同地出发，多久后小红第一次追上小丽？ 第 9 题 两地相距 720 千米，甲、乙两车同时相向开出，6 小时后相遇。甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行多少千米？ 第 10 题 爸爸骑车追步行上学的儿子。儿子每分钟走 50 米，先走了 6 分钟；爸爸骑车每分钟行 200 米。爸爸出发多久后追上儿子？ 第 11 题 从 A 地到 B 地，骑自行车每小时行 15 千米，会迟到 0.5 小时；每小时行 20 千米，会早到 0.5 小时。A、B 两地相距多少千米？ 第 12 题 甲、乙两人相距 300 米，相向而行。甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 50 米。两人出发多久后还相距 60 米（尚未相遇）？ 第 13 题 两辆货车同时从甲城开往乙城，快车每小时行 75 千米，慢车每小时行 60 千米。多长时间后两车相距 45 千米？ 第 14 题 两地相距 960 米，甲、乙两人相向而行。甲先走 3 分钟，每分钟走 60 米；之后乙才出发，每分钟走 80 米。乙出发几分钟后两人相遇？ 第 15 题 甲、乙两车相向而行，相遇时甲车走的路程是乙车的 1.2 倍。已知总路程为 440 千米，乙车行了多少千米？ 第 16 题 通讯员骑摩托车送文件，如果每小时行 40 千米，可以在预定时间到达；如果每小时行 60 千米，可以提前 1 小时到达。预定时间是几小时？ 第 17 题 甲、乙两人同时从相距 840 米的两地相向而行，7 分钟后相遇。已知甲比乙每分钟多走 10 米，乙每分钟走多少米？ 第 18 题 一辆客车从甲地开往乙地，速度为每小时 65 千米。客车开出 2 小时后，一辆轿车从甲地出发去追客车，轿车每小时行 90 千米。轿车开出后多久追上客车？ 第 19 题 甲、乙两车同时从相距 540 千米的两地相向开出，甲车每小时行 62 千米，乙车每小时行 58 千米。出发后多久，两车相遇后又相距 120 千米？ 第 20 题 小明和小华同时从学校出发去图书馆，小明每分钟走 80 米，小华每分钟走 65 米。小明到达图书馆后立即原路返回，在出发 8 分钟后两人相遇。学校到图书馆有多少米？ 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两车早上 7:00 分别从 A、B 两地同时相向出发，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 50 千米。两车相遇后继续前进，甲车到达 B 地、乙车到达 A 地后都立即原路返回，上午 11:00 两车第二次相遇。A、B 两地相距多少千米？ 思路提示：第二次相遇时，两车合起来一共走了 3 个全程。 【奥数题2】甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，两人同时出发。第一次相遇时距离 A 地 90 千米；相遇后两人继续前进，各自到达终点后立即原路返回，第二次相遇时距离 A 地 50 千米。A、B 两地全长多少千米？（列方程解） 思路提示：第一次相遇两人合走 1 个全程，甲走了 90 千米；到第二次相遇两人合走 3 个全程，甲一共走了 90×3 = 270 千米。甲走的总路程 = 2 个全程 − 50 千米。 【奥数题3】有一条长 400 米的环形跑道，甲、乙两人同时同地出发。如果相向而行，2.5 分钟后相遇；如果同向而行，12.5 分钟后甲第一次追上乙。求甲、乙两人每分钟各走多少米？ 思路提示：相向而行：速度和 × 相遇时间 = 一圈；同向而行：速度差 × 追及时间 = 一圈。两个方程联立求解。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $