奥数培优·第8讲 综合行程问题（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义・第 8 讲 综合行程问题 【前言】 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 行程问题是小学奥数核心重难点，本节课在基础相遇、追及之上，拓展钟表行程、多人相遇、中点往返、赛跑速度比、发车间隔、火车过人、环形跑道七大综合题型，融合画图建模、比例、方程多种解题思想，是小升初压轴高频考点。掌握统一的路程、速度、时间模型，所有复杂行程难题均可拆解求解。 【三维教学目标】 知识与技能 牢记相遇、追及基础三大核心公式，能灵活变形；掌握钟表、多人相遇、中点折返、赛跑速度、公交发车间隔、火车过人、环形跑道 7 类综合行程解题模板；学会线段图、环形图画图建模，快速梳理路程关系；能结合比例、方程两种方法求解复杂行程。 过程与方法 通过画图拆分复杂运动过程，把多阶段行程拆分为简单相遇 / 追及；归纳不同题型固定等量关系，形成标准化解题步骤；对比算术法、方程法优劣，按需选择最简解法。 情感态度与价值观 破除长文字行程题畏难心理，建立 “画图拆解” 解题思维；培养分步梳理运动过程的严谨审题习惯；感受数学模型通用性，提升逻辑推理与计算能力。 【教学重难点】 重点 相遇、追及基础公式灵活变形；多人两次相遇、中点折返问题路程关系分析；速度比例类赛跑、火车过人问题。 难点 钟表行程分针、时针速度差模型；公交车发车间隔不变距核心逻辑；双次相遇全程倍数规律、多阶段往返路程计算。 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错 1：相遇、追及公式混淆，路程和 / 路程差用反； ⚠️ 易错 2：钟表行程时针速度记错，误算 1 格 / 分钟（正确 1/12 格 / 分）； ⚠️ 易错 3：多人相遇忽略两次相遇时间差对应的路程差； ⚠️ 易错 4：二次相遇忘记 “两车合走 3 个全程” 核心规律； ⚠️ 易错 5：火车过人把车身长度忽略，路程不含车长； ⚠️ 易错 6：发车间隔题分不清间隔距离 = 车速 × 发车间隔； ⚠️ 易错 7：环形跑道同向追及路程差、反向相遇路程和搞反。 一、知识点总结 （一）三大基础行程核心公式 1. 基础通用： 2. 相向相遇： 3. 同向追及： （二）7 大综合行程专项模型 模型 1 钟表行程（分针追时针） 分针速度：1 格 / 分钟 时针速度：格 / 分钟 速度差：格 / 分 解题关键：初始两针格差 ÷ 速度差 = 追及用时 模型 2 多人两次相遇（三人行走） 解题步骤： 1. 算出后两人延迟相遇的时间间隔的相遇路程； 2. 求慢、快两人速度差，算出第一次相遇总时长； 3. 速度和 × 相遇时间 = 全程距离。 模型 3 中点往返折返题（过中点再回头追上） 分段拆解：分「初次相遇」「折返追及」两段路程，根据两段路程倍数求单一路段长度，路程比=速度比。 模型 4 赛跑速度比例（同时间路程比 = 速度比） 同一时间段内，；用比例求出剩余路程差。 模型 5 单人同时相向 + 同向（相遇 + 追及双条件） 同一人（或同一组）分别在不同运动状态下给出相遇和追及条件，利用“同一段路程在不同运动方式下的等式相等”列方程组。 设两地距离为 S，甲速为 v甲，乙速为 v乙（已知）： 相向相遇：S = (v甲 + v乙) × t遇 同向追及：S = (v甲 − v乙) × t追 联立消去 S，先求未知速度，再代回求全程。 解题关键：两种运动方式对应的是同一段全程，这是列等式的核心依据。 模型 6 公交车发车间隔（车间距不变） 设步行、骑车、车速，车间距恒定： 车间距 =超过步行间隔超过骑车间隔， 联立求车间距 ÷ 车速 = 发车间隔。 模型 7 火车过人（相向 / 同向） 同向超过行人：车长 =经过时间 相向错开行人：车长 =经过时间 先求车速与人速倍数，再算两车相遇剩余时间。 二、经典基础例题（3 道） 例 1 钟表追及行程 ★基础 题目：8-9 点间开始做题，8点多，从两针成一条直线到两针第一次重合，小明一直在做题，求他做了多长时间。 【解题思路】初始两针相差 30 格，用分针、时针速度差做追及计算。 【完整解析】 从两针成一条直线到两针第一次重合之间，分针比时针多走180°=30格。 速度差：（格 / 分） 追及时间：（分钟） 答：小明解题用了分钟。 【方法总结】 钟表追及固定用格数差 ÷ 速度差，牢记时针速度格 / 分。 【随堂小练 1】 3-4 点两针成直线到重合，经过多久？（答案见后） 例 2 三人两次相遇问题 ★基础 题目：甲60米/分，乙50米/分，丙40米/分。甲从A出发，乙、丙从B出发，甲与乙、丙相向而行。甲与乙相遇后15分钟，甲与丙相遇。求AB全程。 【完整解析】 ① 甲乙相遇后 15 分钟，甲丙合走路程：（米） ② 乙丙速度差：（米 / 分） ③ 甲乙相遇总用时：（分钟） ④ AB 全程：米 = 16.5 千米 答：AB 两地相距 16.5 千米。 【方法总结】 后两人延迟相遇路程 = 先相遇两人路程差，反推初次相遇时间。 【随堂小练 2】 甲 70、乙 55、丙 45，甲乙相遇 12 分后甲丙相遇，求全程。（答案见后） 例 3 中点往返折返题 ★提升 题目：A、C两站，B为AC的中点。小强从A站出发，小明从C站出发，两人相向而行。小强过B点100米处第一次遇到小明；小强到达C站后立即折返返回A站，在过B点300米处追上小明。求A、B两站之间的距离。 【解题思路】 设AB=x米，第一次相遇和第二次追上两段运动的时间比相同，利用路程比相等列比例式。 【完整解析】 设AB = x米，则BC = x米。 第一次相遇：小强走x+100米，小明走x−100米； 追上阶段：小强从A到C（2x米）再折返过B点300米，共走2x+300米；小明从第一次相遇点继续走到被追上，共走了100+300=400米。 两人速度不变，运动时间相同，路程成正比例： 交叉相乘： 400(x+100) = (x−100)(2x+300) 展开：400x+40000 = 2x²+300x−200x−30000 = 2x²+100x−30000 移项：0 = 2x² − 300x − 70000 除以2：x² − 150x − 35000 = 0 因式分解：(x−200)(x+175)=0，取正数解x=200。 答：A、B两站距离为200米。 【方法总结】 两段运动时间相同，路程比相等，列比例式求解。 【随堂小练3】 甲、乙两地中点为B，AB=BC。甲从A、乙从C同时相向行走，第一次相遇时，甲走过中点B 50米；甲走到C后马上原路折返，再次追上乙时，甲在B点靠C一侧150米处（即距离B点150米，尚未回到B）。求AB的长度。（答案见后） 三、拓展拔高例题（4 道竞赛题型） 拓展 1 赛跑速度比例 ★★拔高 题目：200 米赛跑，甲到终点时乙差 20 米、丙差 25 米；速度不变，乙到终点时丙还差多少米？ 【完整解析】 同时间乙 180 米、丙 175 米，速度比 乙再跑 20 米，丙跑：（米） 剩余距离：（米） 答：丙离终点还有米。 【方法总结】 相同时间路程比 = 速度比，用比例求同步行进路程。 【随堂小练 4】 100 米跑，甲到乙剩 10、丙剩 15，乙到终点丙剩几米？（答案见后） 拓展 2 相向 + 同向双条件行程 ★★拔高 题目：甲乙同地出发，匀速行进，同向26 分钟追上；相向6 分钟相遇，已知甲速度是 50 米 / 分，求 AB 距离。 解：设乙速为 ，全程 乙速：（米 / 分） 全程：（米） 答：AB 相距 780 米。 【方法总结】 利用 “同全程两种运动时间差” 求速度。 【随堂小练 5】 同向 30 分追上，相向 5 分相遇，乙 40 米 / 分，求两地距离。（答案见后） 拓展 3 公交发车间隔 ★★★竞赛 题目：骑车速度是步行 3 倍，每 6 分钟公交超行人，每 10 分钟超骑车人，求发车间隔。 【完整解析】 设步行，骑车，车速，车间距恒定： 车间距： 发车间隔：（分钟） 答：每隔 5 分钟发一班。 【方法总结】 相邻公交车间距不变，联立超步行、超骑车两个等式求车速。 【随堂小练 6】 骑车 2 倍步行，7 分超行人，14 分超骑车，发车间隔？（答案见后） 拓展 4 火车过人综合题 ★★★竞赛 题目：甲乙相向速度相同，火车过甲用时 8 秒，过乙用时 7 秒；火车车头与甲相遇 5 分钟后，车头遇到行人乙，求甲乙还要多久相遇。 【完整解析】 设人速，车速，车长： ①由火车过人求车速与人速的倍数关系 同向超甲： 相向过乙： ②确定“火车头与甲相遇”时甲乙的初始距离 设此时甲乙相距为 D。 从火车头与甲相遇开始，经过 5 分钟（300 秒），火车头与乙相遇。 火车头走了：V×300 乙迎着火车走了：v×300 因此：D=(V+v)×300 ③求火车头与乙相遇时，甲乙之间的距离 此时： 甲从初始位置走了：v×300 乙的位置即火车头的位置，火车头从初始位置走了：V×300 所以甲乙间距： 间距=V×300−v×300=(V−v)×300 代入V=15v： 间距=(15v−v)×300=14v×300=4200v 计算甲乙还需多久相遇 此时甲乙相向而行，速度和为：v+v=2v 所需时间： 秒 换数为分钟：分钟 答：再过35分钟甲乙相遇。 【方法总结】 火车过人分同向追、相向错车，先求人车速度倍数，再算剩余距离。 【随堂小练 7】 行人速度相同，火车与行人甲同向行驶，与行人乙相向而行。火车过甲 9 秒、过乙 6 秒，遇甲 4 分遇乙，求相遇时间。（答案见后） 四、易错题专区（3 道典型错例） 易错题 1 钟表速度记反 【题目】3 点两针夹角 90 度，多久重合？ 【错误】速度差，时针算 0.1 格 / 分 【正确】时针格 / 分，速度差 【避坑】分针 60 格 / 小时，时针 5 格 / 小时，每分钟格。 易错题 2 二次相遇全程倍数错误 【题目】两车从A、B两地相对开出，第一次相遇时距A地40 km；各自到达对方出发点后立即折返，第二次相遇时距B地15 km。求A、B两站距离。 【错误】40+15=55 【正确】第一次合走1个全程，第二次合走3个全程。 从A出发的甲车第一次走了40 km，到第二次相遇时共走了40×3=120 km。 甲车行驶的总路程 = 1个全程 + 折返距离15 km（折返距B地15km），所以全程 = 120−15=105 km。 【避坑】两次迎面相遇，两车一共走完 3 个全程。 易错题 3 火车过人忽略车身 【题目】火车 15m/s，行人 1m/s，同向经过，车长 112 米，用时？ 【错误】 【正确】路程差 = 车身，秒 【避坑】火车过人，行驶路程等于自身长度。 五、趣味挑战题 【挑战1】环形跑道反向 4 分钟相遇，同向 12 分钟追上，求两人跑一圈各需多久； 答案：甲跑一圈6分钟，乙跑一圈12分钟。 简析：设一圈为1，速度和=，速度差=，联立得v甲=，v乙=。 【挑战2】电车匀速发车，小明步行每 4 分钟遇迎面电车，每 12 分钟被后方电车超过，发车间隔？ 答案：6分钟。 简析：设行人速度为 v，车速为 V，发车间隔为 T，则车间距 = V·T。 迎面相遇：V·T = (V + v) × 4 ……① 背后追及：V·T = (V − v) × 12 ……② 由①②得：(V + v) × 4 = (V − v) × 12 展开：4V + 4v = 12V − 12v 移项： 16v = 8V (两边同时+12v-4V） 所以： V = 2v 代入①：2v·T = (2v + v) × 4 = 12v → T = 6（分钟） 答：6分钟。 【挑战3】甲、乙两车同时从两地出发相向而行，速度比为3:2，两车到达对方出发地后立即折返，第二次相遇地点距两地中点30千米，求全程。 答案：100千米。 简析：全程为S，第一次相遇甲走S。 第二次相遇两车合走3S，甲共走S，折返了S（是从B折返的距离），距A地为S。 中点距A地为S，两者相差S=30，得S=100千米。 六、一题多解精选（例 2 三人相遇题） 方法 1（算术分段法，课堂首选）：先求延迟路程差，反推初次相遇时间，计算简单； 方法 2（方程法）：设相遇时间，，解方程得，适合巩固方程思路。 点评：算术法计算量更小，方程法逻辑直观，两种均可掌握。 七、基础必做习题（6 道） 1. 晶晶步行，60 米 / 分迟到 5 分，75 米 / 分提前 2 分，求家到学校路程； 2. 甲 60、乙 67.5、丙 75 米 / 分，甲乙从东、丙从西同时出发，甲乙相遇 2 分后甲丙相遇，求东西两镇距离； 3. AB 两车对开，第一次距 A 40km 相遇，折返第二次距 B 15km 相遇，求两站距离； 4. 一条400米环形跑道，A、B两点相距100米。甲、乙分别从A、B同时同向出发（甲在前，乙在后），甲每分钟跑60米，乙每分钟跑80米，乙多少分钟能追上甲？ 5. 老王骑车 15km/h 去县城，骑摩托 33km/h 返回，回程少用 1.8 小时，求甲乙距离； 6. 【三车超骑车人】三车与骑车人初始距离相同，快车 400 米 / 分，6 分钟超过骑车人，中车米 / 分，9 分钟超过骑车人；慢车 12 分钟超同一骑车人，求慢车速度。 八、拓展拔高习题（1 道环形竞赛） 1.甲乙环形匀速，相向 4 分钟合走 1 圈，同向 12 分钟甲超乙 1 圈，两人单独跑一圈各需几分钟？（答案见后） 九、随堂小练完整答案 随堂小练 1 题目：3-4 点两针成直线到重合，经过多久？ 解： 3点到4点间，两针第一次成直线时，分针追上时针15格（因为3点整时两针相差15格，成直线需再追15格）， 初始格差 = 15 格 速度差格 / 分 追及时间：（分钟） 答：经过分钟。 随堂小练 2 题目：甲 70、乙 55、丙 45 米 / 分，甲乙相遇 12 分后甲丙相遇，求全程。 解： 甲乙相遇后 12 分钟，甲丙合走路程：（米） 乙丙速度差：（米 / 分） 甲乙初次相遇用时：（分钟） 全程：米 答：全程 17250 米。 随堂小练 3 题目：甲、乙两地中点为B，AB=BC。甲从A、乙从C同时相向行走，第一次相遇时，甲走过中点B 50米；甲走到C后马上原路折返，再次追上乙时，甲在B点靠C一侧150米处（即距离B点150米，尚未回到B）。求AB的长度。 解：设米，米 初次相遇：甲走，乙走 追到阶段：甲总路程，乙总路程 路程比例相等（速度不变，时间正比） 右侧提取公因数： 交叉相乘： 消去常数项： 得整数解：（舍去） 验证： 米 初次相遇： 甲走米，乙走米，速度比 追上阶段： 乙一共走 150 米，同时间甲应走米 甲总路程 250 米，，完全吻合！ 答：AB 距离 200 米。 随堂小练 4 题目：100 米跑，甲到终点乙剩 10 米、丙剩 15 米，乙跑完时丙剩几米？ 解： 相同时间：乙跑 90m，丙跑 85m 速度比 乙剩余 10 米，同步丙跑：米 剩余距离：米 答：丙还差米。 随堂小练 5 题目：同向 30 分追上，相向 5 分相遇，乙速 40 米 / 分，求两地距离。 解：设甲速，全程 ，米 / 分 全程：米 答：两地相距 480 米。 随堂小练 6 题目：骑车速度是步行 2 倍，7 分钟公交超行人，14 分钟超骑车人，求发车间隔。 解：设步行速度，骑车，车速，车间距不变 车间距： 发车间隔：分钟，即4 分 40 秒 答：发车间隔4 分 40 秒。 随堂小练 7 题目：行人速度相同，火车与行人甲同向行驶，与行人乙相向而行。火车过甲 9 秒、过乙 6 秒，火车遇甲 4 分钟后遇乙，求甲乙还要多久相遇。 解：设人速，车速，车长；火车与甲同向，与乙相向 火车头遇到乙时，已行驶 4 分钟 = 240 秒 火车头遇甲时甲乙初始距离 火车头遇乙时（从遇甲起算 240 秒后）， 甲乙间距 甲乙相向速度和： 相遇时间：秒 =分钟 答：还需要 8分钟。 十、基础习题完整解答 基础 1 晶晶步行，60 米 / 分迟到 5 分，75 米 / 分提前 2 分，求家到学校路程。 解：设准时到校用时分钟 分钟 路程：米 答：家到学校 2100 米。 基础 2 甲 60、乙 67.5、丙 75 米 / 分，甲乙从东、丙从西，甲乙相遇 2 分后甲丙相遇，求两镇距离。 解： 甲乙相遇后 2 分钟，甲丙合走路程：米 乙丙速度差：米 / 分 甲乙初次相遇时间：分钟 全程：米 答：东西两镇相距 4590 米。 基础 3 AB 两车对开，第一次距 A 40km 相遇，折返第二次距 B 15km 相遇，求全程。 解： 两次迎面相遇，两车合计走 3 个全程。 第一次相遇 A、B 两车合走1 个全程； 此时从 A 出发的甲车行驶了 40 km（相遇点距离 A 地 40km） 当两车一共走完 3 个全程 发生第二次相遇时， 甲车行驶的总路程 = 40×3=120 km 分析甲车总行驶路程的构成： 甲车从 A 开到 B（1 个全程），再从 B 往回折返一段距离，折返的这段距离正好是题目给出的「第二次相遇点距 B 地 15km」。 即：甲车总路程 = 1 个全程 + 15 km 答：全程105公里 验证：全程 105km， 第一次相遇：两车合走 105km，甲走 40km，乙走 105-40=65 km，甲乙速度比 40:65=8:13； 第二次相遇两车合计走 105×3=315 km； 甲总路程：315×8/(8+13)=120 km； 120-105=15 km，刚好距离 B 地 15km，和题干条件完全吻合，计算正确。 答：两站距离 105km。 基础 4 一条400米环形跑道，A、B两点相距100米。甲、乙分别从A、B同时同向出发（甲在前，乙在后），甲每分钟跑60米，乙每分钟跑80米，乙多少分钟能追上甲？ 解： 乙比甲多跑100米，速度差80−60=20米/分， 时间=100÷20=5分钟。 答：5 分钟后追上。 基础 5 老王骑车 15km/h 去县城，骑摩托 33km/h 返回，回程少用 1.8 小时，求两地距离。 解：设距离千米 通分，分母 165： 千米 答：两地相距 49.5 千米。 基础 6 三车与骑车人初始距离相同，快车 400 米 / 分，6 分钟超过骑车人，中车米 / 分，9 分钟超过骑车人；慢车 12 分钟超同一骑车人，求慢车速度。 【分析】追及问题。 解： 设初始间距L，骑车人速度米/分， 两式右边相等： 2400-6u=3000-9u 3u=600 得：u=200 米/分 初始间距L=(400−200)×6 = 1200 米 求慢车速度，设慢车速度为x 慢车 12 分钟追上： 100 = x -200 X= 300 米/分 千米/小时 答：慢车速度18 千米/小时。 十一、拓展习题完整解答 【拓展题】（环形） 甲乙环形匀速，相向 4 分钟合走 1 圈，同向 12 分钟甲超乙 1 圈，两人单独跑一圈各需几分钟？ 解： 设一圈路程为单位 1 速度和： ① 速度差： ② ①+②：圈/分 ①-②：圈/分 甲单圈用时：分钟 乙单圈用时：分钟 答：甲跑一圈 6 分钟，乙跑一圈 12 分钟。 十二、本讲全套总结 （一）思维导图 （二）核心速查表 题型 核心公式 / 关键 钟表追及 格差 ÷(1-1/12)= 用时 多人两次相遇 延迟相遇路程 ÷ 速度差 = 初次相遇时间 折返中点 两段路程倍数相等 赛跑速度 公交发车间隔 车间距不变，联立超车等式 火车过人 同向用差速、相向用和速，路程=车长 环形跑道 反向和速，同向差速 （三）避坑清单 1. 钟表时针每分钟只走格，不可记 1 格； 2. 两车两次迎面相遇，合计走完 3 个全程； 3. 火车经过行人，行驶路程等于自身车身长度； 4. 公交间隔题车间距固定，不随行人速度变化； 5. 环形同向追及路程差为整圈，反向相遇路程和为整圈； 6. 多人相遇不要忽略中间时间差对应的路程。 （四）解题记忆小口诀 行程审题先画图，相遇求和追求差； 时针每分十二一，二次相遇三倍跨； 火车算上车身长，公交间距恒不化； 环形同向差一圈，反向相加再作答。 【释义】 1. 行程审题先画图：推荐线段 / 环形图拆解复杂运动 2. 相遇求和追求差：基础核心公式（速度和、速度差） 3. 时针一分十二一：时针每分钟格 4. 三环两车规律抓：环形跑道、公交发车间隔、火车、二次相遇 3 倍全程全覆盖 。 祝贺你完成了本讲的学习，给努力的自己一个奖励吧💪！ 学科网（北京）股份有限公司 $