第7讲 等差数列入门（奥数讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

奥数培优讲义 第7讲 等差数列入门 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 什么是等差数列 一列数中，从第 2 项开始，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列，这个相等的差叫做公差（常用字母 d 表示）。例如：1、3、5、7、9……相邻两数的差都是 2，就是公差为 2 的等差数列。 2. 基本概念 (1) 项：数列中的每一个数，第几个数就叫第几项。 (2) 首项：数列开头的第一项（常用 a₁ 表示）。 (3) 末项：数列最后的一项。 (4) 公差：相邻两项的差（常用 d 表示）。 (5) 项数：这个数列一共有多少个数（常用 n 表示）。 3. 通项公式（求某一项） 末项 = 首项 +（项数 − 1）× 公差 即： 口诀：第几项 = 首项 +（第几 − 1）× 公差。要算后面第 n 项，先数它从首项往后跳了几格，跳的格数等于（项数 − 1）。 4. 项数公式（求一共有几项） 项数 =（末项 − 首项）÷ 公差 + 1 即： 先算出从首项到末项一共跳了多少，除以公差得到格数，再加回第一项。 5. 求和公式（高斯求和） 总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 即： 原理：首尾配对，首项 + 末项、第 2 项 + 倒数第 2 项……每对和都相等，一共能配成（项数 ÷ 2）对。 6. 三个公式的关系 (1) 知道首项、公差、项数，可求末项、求和； (2) 知道首项、末项、公差，可求项数、求和； (3) 三个公式里知二求其余，做题时先写清楚已知哪些量，再选公式。 7. 常见坑总结 (1) 求第 n 项时忘记“减 1”，直接用项数乘公差； (2) 求项数时忘记“加 1”，算完格数不加回第一项； (3) 求和时只乘了项数却忘了除以 2； (4) 公差为 0 或出现跳跃时不判断是否为等差数列就硬套公式。 例题讲解 【典型例题 1】（求公差与末项） 等差数列：3、7、11、15……求公差是多少？这个数列的第 10 项是多少？ 【跟踪训练 1】 等差数列：5、8、11、14……求这个数列的第 15 项是多少？ 【典型例题 2】（求项数） 等差数列：2、6、10、14……58，这个数列一共有多少项？ 【跟踪训练 2】 等差数列：4、9、14、19……79，这个数列一共有多少项？ 【典型例题 3】（高斯求和） 计算：1 + 2 + 3 + …… + 99 + 100 的和。 【跟踪训练 3】 计算：1 + 3 + 5 + 7 + …… + 49 的和。 【典型例题 4】（逆向求项数与和） 一个等差数列，首项是 8，公差是 5，末项是 58。求这个数列的项数以及所有项的和。 【跟踪训练 4】 一个等差数列，首项是 12，末项是 48，公差是 6。求这个数列的项数以及各项的和。 【典型例题 5】（奥数：已知项数与首项求总和） 一个等差数列共有 9 项，首项是 6，公差是 3，求这 9 项的总和。 【跟踪训练 5】 一个等差数列共有 8 项，首项是 5，末项是 40。求公差以及各项的总和。 【典型例题 6】（生活应用：堆放木料） 工人把一批圆木堆放起来，最下面一层放了 5 根，往上每层少 1 根，最上面一层放了 1 根。这批圆木一共有多少根？ 【跟踪训练 6】 一堆钢管，最上面一层放了 2 根，最下面一层放了 8 根，每层相差 1 根。这堆钢管一共有多少根？ 提升练习 第 1 题 等差数列：4，9，14，19，……，这个数列的公差是多少？第 12 项是多少？ 第 2 题 等差数列：6，13，20，27，……，求这个数列第 18 项。 第 3 题 等差数列：5，12，19，26，……，89，这个数列一共有多少项？ 第 4 题 等差数列：7，11，15，19，……，71，这个数列一共有多少项？ 第 5 题 计算：2 + 4 + 6 + 8 + …… + 56 第 6 题 计算：5 + 10 + 15 + 20 + …… + 70 第 7 题 一个等差数列，首项是 9，公差是 4，末项是 61，求项数以及数列总和。 第 8 题 一个等差数列，首项是 14，公差是 5，末项是 64，求项数与总和。 第 9 题 一个等差数列一共有 10 项，首项是 7，公差是 4，求末项以及全部数的和。 第 10 题 一个等差数列一共有 12 项，首项是 8，公差是 3，求末项与总和。 第 11 题 等差数列：11，16，21，26，……，第 20 项是多少？ 第 12 题 计算：3 + 7 + 11 + 15 + …… + 75 第 13 题 一堆钢管，最上层有 3 根，最下层有 11 根，相邻两层相差 1 根，这堆钢管一共有多少根？ 第 14 题 圆木堆，顶层 4 根，底层 12 根，每层相差 1 根，一共有多少根圆木？ 第 15 题 等差数列：18，25，32，39，……，88，一共有多少项？ 第 16 题 一个等差数列一共 15 项，末项是 64，首项是 8，求公差和总和。 第 17 题 计算：12 + 14 + 16 + …… + 40 第 18 题 等差数列：20，27，34，41，……，第 14 项是多少？ 第 19 题 一个等差数列，首项是 6，公差是 7，末项是 83，求项数以及总和。 第 20 题 一堆砖块，第一层放 5 块，往后每一层多放 2 块，最后一层放 23 块，一共有多少块砖？ 模拟赛场 【奥数题1】有一个等差数列，第 4 项是 22，第 7 项是 34。求这个数列的公差、首项，再求出它的第 15 项。 【奥数题2】计算：1 + 2 + 3 + 4 + …… + 99 −（2 + 4 + 6 + …… + 98） 【奥数题3】小明看一本书，第一天看 12 页，从第二天开始，每天比前一天多看 3 页，最后一天看 39 页刚好看完。小明一共看了多少天？这本书一共有多少页？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第7讲 等差数列入门 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 什么是等差数列 一列数中，从第 2 项开始，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列，这个相等的差叫做公差（常用字母 d 表示）。例如：1、3、5、7、9……相邻两数的差都是 2，就是公差为 2 的等差数列。 2. 基本概念 (1) 项：数列中的每一个数，第几个数就叫第几项。 (2) 首项：数列开头的第一项（常用 a₁ 表示）。 (3) 末项：数列最后的一项。 (4) 公差：相邻两项的差（常用 d 表示）。 (5) 项数：这个数列一共有多少个数（常用 n 表示）。 3. 通项公式（求某一项） 末项 = 首项 +（项数 − 1）× 公差 即： 口诀：第几项 = 首项 +（第几 − 1）× 公差。要算后面第 n 项，先数它从首项往后跳了几格，跳的格数等于（项数 − 1）。 4. 项数公式（求一共有几项） 项数 =（末项 − 首项）÷ 公差 + 1 即： 先算出从首项到末项一共跳了多少，除以公差得到格数，再加回第一项。 5. 求和公式（高斯求和） 总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 即： 原理：首尾配对，首项 + 末项、第 2 项 + 倒数第 2 项……每对和都相等，一共能配成（项数 ÷ 2）对。 6. 三个公式的关系 (1) 知道首项、公差、项数，可求末项、求和； (2) 知道首项、末项、公差，可求项数、求和； (3) 三个公式里知二求其余，做题时先写清楚已知哪些量，再选公式。 7. 常见坑总结 (1) 求第 n 项时忘记“减 1”，直接用项数乘公差； (2) 求项数时忘记“加 1”，算完格数不加回第一项； (3) 求和时只乘了项数却忘了除以 2； (4) 公差为 0 或出现跳跃时不判断是否为等差数列就硬套公式。 例题讲解 【典型例题 1】（求公差与末项） 等差数列：3、7、11、15……求公差是多少？这个数列的第 10 项是多少？ 【详解】公差 d = 7 − 3 = 4（相邻两项差相等）。 第 10 项 = 首项 +（10 − 1）× 公差 = 3 + 9 × 4 = 3 + 36 = 39。 答：公差是 4，第 10 项是 39。 【答案】公差 4，第 10 项 39 【跟踪训练 1】 等差数列：5、8、11、14……求这个数列的第 15 项是多少？ 【详解】公差 d = 8 − 5 = 3。 第 15 项 = 5 +（15 − 1）× 3 = 5 + 14 × 3 = 5 + 42 = 47。 答：第 15 项是 47。 【答案】47 【典型例题 2】（求项数） 等差数列：2、6、10、14……58，这个数列一共有多少项？ 【详解】首项 2，末项 58，公差 d = 6 − 2 = 4。 项数 =（末项 − 首项）÷ 公差 + 1 =（58 − 2）÷ 4 + 1 = 56 ÷ 4 + 1 = 14 + 1 = 15。 答：这个数列一共有 15 项。 【答案】15 项 【跟踪训练 2】 等差数列：4、9、14、19……79，这个数列一共有多少项？ 【详解】首项 4，末项 79，公差 d = 9 − 4 = 5。 项数 =（79 − 4）÷ 5 + 1 = 75 ÷ 5 + 1 = 15 + 1 = 16。 答：这个数列一共有 16 项。 【答案】16 项 【典型例题 3】（高斯求和） 计算：1 + 2 + 3 + …… + 99 + 100 的和。 【详解】这是一个首项 1、末项 100、公差 1、项数 100 的等差数列。 项数 = 100（从 1 到 100 共 100 个数）。 和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 =（1 + 100）× 100 ÷ 2 = 101 × 50 = 5050。 答：它们的和是 5050。 【答案】5050 【跟踪训练 3】 计算：1 + 3 + 5 + 7 + …… + 49 的和。 【详解】首项 1，末项 49，公差 2。 项数 =（49 − 1）÷ 2 + 1 = 24 + 1 = 25。 和 =（1 + 49）× 25 ÷ 2 = 50 × 25 ÷ 2 = 625。 答：它们的和是 625。 【答案】625 【典型例题 4】（逆向求项数与和） 一个等差数列，首项是 8，公差是 5，末项是 58。求这个数列的项数以及所有项的和。 【详解】项数 =（58 − 8）÷ 5 + 1 = 50 ÷ 5 + 1 = 10 + 1 = 11。 和 =（8 + 58）× 11 ÷ 2 = 66 × 11 ÷ 2 = 726 ÷ 2 = 363。 答：这个数列有 11 项，各项的和是 363。 【答案】11 项，和 363 【跟踪训练 4】 一个等差数列，首项是 12，末项是 48，公差是 6。求这个数列的项数以及各项的和。 【详解】项数 =（48 − 12）÷ 6 + 1 = 36 ÷ 6 + 1 = 6 + 1 = 7。 和 =（12 + 48）× 7 ÷ 2 = 60 × 7 ÷ 2 = 420 ÷ 2 = 210。 答：这个数列有 7 项，各项的和是 210。 【答案】7 项，和 210 【典型例题 5】（奥数：已知项数与首项求总和） 一个等差数列共有 9 项，首项是 6，公差是 3，求这 9 项的总和。 【详解】先求末项：末项 = 6 +（9 − 1）× 3 = 6 + 8 × 3 = 6 + 24 = 30。 再求和：和 =（6 + 30）× 9 ÷ 2 = 36 × 9 ÷ 2 = 324 ÷ 2 = 162。 答：这 9 项的总和是 162。 【答案】162 【跟踪训练 5】 一个等差数列共有 8 项，首项是 5，末项是 40。求公差以及各项的总和。 【详解】公差 =（末项 − 首项）÷（项数 − 1）=（40 − 5）÷（8 − 1）= 35 ÷ 7 = 5。 和 =（5 + 40）× 8 ÷ 2 = 45 × 8 ÷ 2 = 360 ÷ 2 = 180。 答：公差是 5，各项总和是 180。 【答案】公差 5，总和 180 【典型例题 6】（生活应用：堆放木料） 工人把一批圆木堆放起来，最下面一层放了 5 根，往上每层少 1 根，最上面一层放了 1 根。这批圆木一共有多少根？ 【详解】各层根数构成等差数列：1、2、3、4、5，首项 1，末项 5，公差 1。 项数 =（5 − 1）÷ 1 + 1 = 5。 总和 =（1 + 5）× 5 ÷ 2 = 6 × 5 ÷ 2 = 15。 答：这批圆木一共有 15 根。 【答案】15 根 【跟踪训练 6】 一堆钢管，最上面一层放了 2 根，最下面一层放了 8 根，每层相差 1 根。这堆钢管一共有多少根？ 【详解】层数构成等差数列：2、3、4、5、6、7、8，首项 2，末项 8，公差 1。 项数 =（8 − 2）÷ 1 + 1 = 7。 总和 =（2 + 8）× 7 ÷ 2 = 10 × 7 ÷ 2 = 35。 答：这堆钢管一共有 35 根。 【答案】35 根 提升练习 第 1 题 等差数列：4，9，14，19，……，这个数列的公差是多少？第 12 项是多少？ 【详解】公差：9 − 4 = 5；第 12 项 = 4 +（12 − 1）× 5 = 4 + 55 = 59。 【答案】公差 5，第 12 项 59 第 2 题 等差数列：6，13，20，27，……，求这个数列第 18 项。 【详解】公差 = 13 − 6 = 7；第 18 项 = 6 +（18 − 1）× 7 = 6 + 119 = 125。 【答案】125 第 3 题 等差数列：5，12，19，26，……，89，这个数列一共有多少项？ 【详解】首项 5，末项 89，公差 = 12 − 5 = 7；项数 =（89 − 5）÷ 7 + 1 = 84 ÷ 7 + 1 = 12 + 1 = 13。 【答案】13 项 第 4 题 等差数列：7，11，15，19，……，71，这个数列一共有多少项？ 【详解】首项 7，末项 71，公差 = 11 − 7 = 4；项数 =（71 − 7）÷ 4 + 1 = 64 ÷ 4 + 1 = 16 + 1 = 17。 【答案】17 项 第 5 题 计算：2 + 4 + 6 + 8 + …… + 56 【详解】首项 2，末项 56，公差 2；项数 =（56 − 2）÷ 2 + 1 = 28；总和 =（2 + 56）× 28 ÷ 2 = 58 × 14 = 812。 【答案】812 第 6 题 计算：5 + 10 + 15 + 20 + …… + 70 【详解】首项 5，末项 70，公差 5；项数 =（70 − 5）÷ 5 + 1 = 14；总和 =（5 + 70）× 14 ÷ 2 = 75 × 7 = 525。 【答案】525 第 7 题 一个等差数列，首项是 9，公差是 4，末项是 61，求项数以及数列总和。 【详解】项数 =（61 − 9）÷ 4 + 1 = 52 ÷ 4 + 1 = 13 + 1 = 14；总和 =（9 + 61）× 14 ÷ 2 = 70 × 7 = 490。 【答案】14 项，和 490 第 8 题 一个等差数列，首项是 14，公差是 5，末项是 64，求项数与总和。 【详解】项数 =（64 − 14）÷ 5 + 1 = 50 ÷ 5 + 1 = 10 + 1 = 11；总和 =（14 + 64）× 11 ÷ 2 = 78 × 11 ÷ 2 = 429。 【答案】11 项，和 429 第 9 题 一个等差数列一共有 10 项，首项是 7，公差是 4，求末项以及全部数的和。 【详解】末项 = 7 +（10 − 1）× 4 = 7 + 36 = 43；总和 =（7 + 43）× 10 ÷ 2 = 50 × 5 = 250。 【答案】末项 43，和 250 第 10 题 一个等差数列一共有 12 项，首项是 8，公差是 3，求末项与总和。 【详解】末项 = 8 +（12 − 1）× 3 = 8 + 33 = 41；总和 =（8 + 41）× 12 ÷ 2 = 49 × 6 = 294。 【答案】末项 41，和 294 第 11 题 等差数列：11，16，21，26，……，第 20 项是多少？ 【详解】公差 = 16 − 11 = 5；第 20 项 = 11 +（20 − 1）× 5 = 11 + 95 = 106。 【答案】106 第 12 题 计算：3 + 7 + 11 + 15 + …… + 75 【详解】首项 3，末项 75，公差 4；项数 =（75 − 3）÷ 4 + 1 = 72 ÷ 4 + 1 = 19；总和 =（3 + 75）× 19 ÷ 2 = 78 × 19 ÷ 2 = 741。 【答案】741 第 13 题 一堆钢管，最上层有 3 根，最下层有 11 根，相邻两层相差 1 根，这堆钢管一共有多少根？ 【详解】首项 3，末项 11，公差 1；层数 =（11 − 3）÷ 1 + 1 = 9；总和 =（3 + 11）× 9 ÷ 2 = 14 × 9 ÷ 2 = 63。 【答案】63 根 第 14 题 圆木堆，顶层 4 根，底层 12 根，每层相差 1 根，一共有多少根圆木？ 【详解】首项 4，末项 12，公差 1；项数 =（12 − 4）÷ 1 + 1 = 9；总和 =（4 + 12）× 9 ÷ 2 = 16 × 9 ÷ 2 = 72。 【答案】72 根 第 15 题 等差数列：18，25，32，39，……，88，一共有多少项？ 【详解】首项 18，末项 88，公差 = 25 − 18 = 7；项数 =（88 − 18）÷ 7 + 1 = 70 ÷ 7 + 1 = 11。 【答案】11 项 第 16 题 一个等差数列一共 15 项，末项是 64，首项是 8，求公差和总和。 【详解】公差 =（64 − 8）÷（15 − 1）= 56 ÷ 14 = 4；总和 =（8 + 64）× 15 ÷ 2 = 72 × 15 ÷ 2 = 540。 【答案】公差 4，和 540 第 17 题 计算：12 + 14 + 16 + …… + 40 【详解】首项 12，末项 40，公差 2；项数 =（40 − 12）÷ 2 + 1 = 15；总和 =（12 + 40）× 15 ÷ 2 = 52 × 15 ÷ 2 = 390。 【答案】390 第 18 题 等差数列：20，27，34，41，……，第 14 项是多少？ 【详解】公差 = 27 − 20 = 7；第 14 项 = 20 +（14 − 1）× 7 = 20 + 91 = 111。 【答案】111 第 19 题 一个等差数列，首项是 6，公差是 7，末项是 83，求项数以及总和。 【详解】项数 =（83 − 6）÷ 7 + 1 = 77 ÷ 7 + 1 = 11 + 1 = 12；总和 =（6 + 83）× 12 ÷ 2 = 89 × 6 = 534。 【答案】12 项，和 534 第 20 题 一堆砖块，第一层放 5 块，往后每一层多放 2 块，最后一层放 23 块，一共有多少块砖？ 【详解】首项 5，末项 23，公差 2；项数 =（23 − 5）÷ 2 + 1 = 18 ÷ 2 + 1 = 10；总和 =（5 + 23）× 10 ÷ 2 = 28 × 5 = 140。 【答案】140 块 模拟赛场 【奥数题1】有一个等差数列，第 4 项是 22，第 7 项是 34。求这个数列的公差、首项，再求出它的第 15 项。 【详解】第 4 项到第 7 项间隔：7 − 4 = 3 个公差；公差 =（34 − 22）÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4；首项 = 22 −（4 − 1）× 4 = 22 − 12 = 10；第 15 项 = 10 +（15 − 1）× 4 = 10 + 56 = 66。 【答案】公差 4，首项 10，第 15 项 66 【奥数题2】计算：1 + 2 + 3 + 4 + …… + 99 −（2 + 4 + 6 + …… + 98） 【详解】第一部分 1～99：项数 99，和 =（1 + 99）× 99 ÷ 2 = 4950；第二部分 2、4、…、98：首项 2，末项 98，公差 2，项数 =（98 − 2）÷ 2 + 1 = 49，和 =（2 + 98）× 49 ÷ 2 = 2450；原式 = 4950 − 2450 = 2500。 【答案】2500 【奥数题3】小明看一本书，第一天看 12 页，从第二天开始，每天比前一天多看 3 页，最后一天看 39 页刚好看完。小明一共看了多少天？这本书一共有多少页？ 【详解】页数构成等差数列：首项 12，末项 39，公差 3；天数 =（39 − 12）÷ 3 + 1 = 27 ÷ 3 + 1 = 10（天）；总页数 =（12 + 39）× 10 ÷ 2 = 51 × 5 = 255（页）。 【答案】看了 10 天，共 255 页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $