专题突破03 三角函数变换技巧专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题突破03三角函数的变换技巧 第一部分必备知识点 1.同角基本关系式： cosa:sin'a+cosa=1 1+tana=1 tana=sina ,1-sin'a=cos2a,1-cos2a=sin2a. cos2a 2.诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）： 3.两角和与差公式（拼凑角的核心工具）： sina±β)=sina cosβ±cos a sinβ： cos(a±β)=cos a cosβ千sina sinβ； ama士B=于h@tanf tana±tanβ 拼凑角技巧：把待求角写成己知角的和差， a=a+乃 a-B=a+B_a-B 2 2 u*n-话-a a+B=Q+B+a-B 2 2 2a-B=(a-β)+a。 3.二倍角公式与降幂（升幂）公式： sin22sinos cos22c1-1-2n tan22tang 1-tan a 降幂公式：cos'a=1+c9s2g,sin'a=1-c0s2c 2 2日 升幂形式：1+cos2a=2cosa,1-cos2a=2sina。 平方配对：sinx±cosx2=1±sin2x。 4辅助角公式（合并同角正余弦） b asinx+b cosx=Va2+b2sinx+p),其中cos9= Q a+b sin o= a2+b2 tang=b 5.齐次式与”切化弦、弦化切” 分式齐次式：分子分母同为sina、cosa的一次或二次齐次式时，可同除以cosa(或 cosa)化为tana的表达式，如 2sinacosa-cos'a=_ 2tang-1 1+cos2a-2sin a 2tana-2tana-4 asina+bcosa csina+d cosa 型，同除以cosc后用tanc表示； sina±cosa与sinccosa之间满足2 sin a cos=(sina±cos a )2-l。 6.图象平移与伸缩变换 平移：y=fx)y=fx+p),注意“左加右减只对x本身，ox+p中平移量为 周期：T=2π 对称中心满足Ox+p=k,对称轴满足0x+p=+k(k∈Z)。 2 第二部分典型例题剖析 重点题型一：角的变换（拼凑角） 例题1.已知tanc= 2 tan(B-a)=3. (1)求sin2a的值； (2)求tan2B-a的值. 【答案】(1) e品 4 【解析】()因为tana=克，所以 2 sin2a= 2sina cosa_2tana 2 14 sin a+cos a 1+tan a /21 1+ 1 5 1+ 2 4 (2)因为tanB-a=3,所以 6a小得导又ma专 tan(2B-aj=tan(2(B-+a)an2B-+tana 1-tan 2B-a)tana .3+1 -1 =42 4 2 3 11 4*28 1- 例愿2，已知0<a子0<B 4 4-a= cos π n3+B-5 ,si 4 13,求cosa-B)的值. 【答案】 【解折】解：0<α<孕0<牙a<牙 4 41 0p年c4g 13 x3+p+子a+B-a, wag-mlB-a=m+pr话 .cmBcm-sim sin 4.5×3=48+15=63 5135 656565 例3.已知0<a< 2, cos π 441 (1)求sina的值： a若受B<0,sn 子求osa-的位， V30.V2 V15 【答案】(1) :(2) 8 8 【架标)解：因为0<a受且+a子0，所以子g受 所以sin 所以sina=sin 4 =15×2.1×230-2 4242 8 2解：国为受B<0,所以骨学+B<异又m骨+ 2_V15 所以sinB=sin 4 2 8 cosβ=cos + -西×2+1x吃30+2 4 4 2 4 2 8 V30-V2 V30+V2 由(1)知sina= 同理cosa= 8 V30+V2 2 所以cosa-B=cos a cos B+-sinasin B= 30-只22 8 8 =32+4/15.32-4V15_8/15_V15 64 64 648 同类题型即时练 1.己知&，阝都是锐角，tanc 3,sin,B=80 .1 =i0,求sina+P,tan2a+B的值. 【答案】snla+p=是，tan2a+l=号 号-月卜T6-0四写袋30日骨=9s0【】 =+n号-日-ug②）00p0)【*】 8-E6b “ 胡+a汉日-u叫米女到日经0”是-是=nu吧定（②） 則明 是+0l小0米·嘴海装音0日号=0us定)了 -I .68IE ETZI 8 t ET i+8 -22+9o=8o37 6 61 .t 8 I uewe 888 8guen+ouer 乙T+i .S OL OTOTOT OI OT 8-E+E0L6'0I680I680L6 uss+sous=s 是把-m5--,四s路-o OI 坦·0旺=s幽降晋习甲 0L6 8 -0,四s-%=n·0 0IE_”,o+坠 0L合E 0e1 2二pS 能但三u吧特者0甲【4揭) 3_43-3 3 2 10 1 (2).'tana= tanB=- 1,1 .'.tan(a-B)=tana-tanB= 2=1=4 1+tanatanβ 135 1- 44 11 tan(c+B)-mtan B220. ,1 4 e0,Bea+e3a+B= π3π pa,sA-普snla叶-点且0u-g号 3.己知2 (1)求cos2β和tan2β： (2)求cosa的值. 724 63 【答案】①)25：7：②)65 【解析】(1)由二倍角公式得：cos2B=2cos2B-1=2× 25 -25 因为牙<B<,所以sinB=81-0sB=1- 是则aA--是 CosB4,所以 2× tan 2B=_2tanB 24 7 7 1-tanβ1- 16 园因为0<a-B<受sina-=是所以cosa-=贵则 cosa=cosa-βl+β=cosa-βlcosβ-sin(a-βsinB =12×- 4 5×3=.48.15=.63 13 1 56565 65 重点题型二：幂次的变换 例题1.已知函数f(x)=sin4x-2 sin xcosx-cos4x,则f(x)的最小正周期为() A.2π B.π D.4 【答案】B 【解析】由题设，f(x)=sin4x-cos4x-2 sinxcosx, sinx-cosx=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)=-cos 2x,2sin x cosx=sin2x, 所以f(x)=-cos2x-sin2x=-V2sin2x+乃 所以f(x)的最小正周期为T=27=几，故选：B. 2 例题2.已知函数f(x)=sin 将函数f(x)的图象向左平移6个单位长 度后得函数g(x)的图象，则9x)图象的一个对称中心为() c. π1 D. 2’2 【答案】B 1co2-8 1-c0s2x+ 【解析】因为f(x)= 2 2 2X+ π 2 =-sin2x,cos 2x-= 3 6 cos2x+-sin2x, 2 13 1 所以f(x)=1 2sin2x=1+ 3 22 cos2x+ sin 2x+ 2 sin 2x- 4 4 -cos 2x, 即fxn2x-+1, 1 将函数fx的图象向左平移号个单位长度后得医数gx刘-n2x+号号引+1-方n2x+1, 33 2 ◇2x=akeZ.得x=受(keZ.令k=1,得x=受 2’ 所以g(x)图象的一个对称中心为 故选：B. 例题3.（多选）已知函数f(x)=2sin2& r、 6 (o>0)的最小正周期为π，若m, n∈[-2π，2π]，且f(m)f(n)=4,则下列结论正确的是() A.o的值为1 B.f(m)=fn)=-2 C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴 6 D.m-n的最大值为3π 【答案】ACD 【解析】因为f(x)=2sin2 π 6 =1-cos 2@x- 3 (o>0), 技小正周期为忍吾，得01故A正确： 易知f(x)的值域为0,2，要使f(m)f(n)=4成立，必有f(m)=f(n)=2,故B错误： 2x-号=(k∈Z, 对将轴-受+君k∈Z,当k=时x看教0正确 fx=1as2x-号}=2，得cos2x-骨-1，即x=m+2keZ, 3 3 因为m,n∈[-2m,2π]，所以m,n∈ 4ππ2π5π 3’3’3’3 易知当m=5π 3,n=.4n 时， m-m有录大子+4号-3江，故)正骗. 故选：ACD. 同类题型即时练 1.若将函数fx)=2cos X+ π 6 -cos2 6 的图象向左平移a(a>0)个单位后，所得图象 关于原点对称，则a的最小值为( π 3π A. B. C.π D.2 【答案】B 【解析】因为f(x= 1+c0s 2x*3 1+c0s 2x- 3 2 3 -sin 2x. 3 3 向左平移a个单位得到y= sin2(x+a川=.sin2x+2a,其图象关于原点对称， 所以2a=kmk∈Z,即a=g(k∈Z), 2 由于a>0,所以a的最小值为2 故选：B. 2.若函数f(x=23 sin x cos-2cos2x+m在区间0,2 上的最大值为6，写出f(x)的一 个对称中心 【答案】 4 (答案不唯一) 【解析】因为f(x)=23 sin xcosx-2cos2x+m, f(x)=3sin 2x-(1+cos2x)+m=3sin 2x-cos 2x+m-1, 即f(x)=2sin 2x- 6 +m-1, 由xe0, π5π 所以当2x名-受时，fx取得级大值m+1, 所以m+1=6,得m=5, 所以fx=2sn2x-+4 由2x-石=k(keZ,得x=+5k∈Z, 6 2 12 所xp对中心刘受+合dkeZ. 所以f(x)的一个对称中心可以为 故答案为： 12,4 (答案不唯一)· 3.(多选)已知函数f(x)=sin4x+cosx,则下列说法正确的是() A.最小正周期是 2 B.f(x)是偶函数 c.fx)在 ，0上递增 D.x=正是f(x)图象的一条对称轴 8 【答案】ABC 【解6折】因为f(x=sinx+cosx=(sin2x+cos2x-2sin2 xcos'x=1-25in2x, 1 又sin22x=1-cos4x 2 所以fx)=1.1-cos4x=co54x+3 4 4 1 对选项A,T=2刀=刀 4二2故A正确. 对谥顶5，XeRf-x子s-4x计子-os4x+子f,所以fx是偶z数故 B正确. 7 π 对选项C,X∈ 4 ,0,则4x∈[-π，0]，由余弦函数的单调性可知f(x)在 上递增， 故C正确。 1 1 Tπ 对选项D, 8 +3=3 F4c052+44不是f(x)的最大值1或最小值吃，故x=8不是对称轴， 故D错误. 故选：ABC 重点题型三：函数名的变换 例题1.若 乃<a<元，tana= 2,则 1+sin2c-() cos2a 1 B.3 c.3 0.3 【答案】A 【解折】因为号<a<元，所以cosa≠0，且cos2a≠0。切化弦： 1+sin2a sin a+cosa2 sina+cosa cos2a cos a-sina)(cosa+sina cosa-sina 分子、分母同除以cosQ,弦化切得 1 +1 tana+1 2 1 1-tana 。1 3。故选A。 1+ 例题2.已知tana+ 4 =2,则cos2a= 【管 【解析】令t=a+年，则ant=2,且2a=2t受，所以 cos 2a=cos 2t- 2 =sin2t=2ant=2×2=4 1+tan2t1+225 4 故答案为 例题3.函数y=cosx-sinX+1在区间 6 上的最大值为 【管案号 【解析】统一函数名（都化为正弦）： y=cosx-sinx+1=1-sin2x-sinx+1=-sin2x-sinx+2=-sinx+ 9 4 风防后以nxe2可 当sinx= 2,即X=. 6时，函数y取得最大值 故答案为 同类题型即时练 1.若0x∈ 0, π sin2a=3cosa,则cos2a的值为() 1 3 3 A.2 B.2 C.2 D.- 2 【答案】B 【解析】因为aα∈ 0,2 所以cosa>0。 由sin2a=V3cosa得2 sina cosa=3cosa,即sina= 3 ，所以tana=3, 所以cos2a=cosa-sing=1-tam2a=1-3。,1 cosa+sin2a1+tan2a1+3-2。故选B。 2.若tana+,1=l0 tana3,则sin2a= 【答案】 3-5 【解析】利用“1”的代换，弦化切： 2 sin 2a=- 2sina cosa 2tana 2 3 sin a+cos a tana+1 1 10 tan a+ tan a 3 故答案为 3 重点题型四：消元变换 例题1.若实数x满足方程组 2n,eo多则X的一个道可以是 (写出满 足条件的一个值即可). 【答案】 （答案不唯一，满足X=号+2a,k∈Z即可） π 【解析】将方程组的两个方程左、右两边分别相加，消去cosx,得5sinx=5,即sinx=1, 所以x-号+2m,keZ. 当k=0时.X-号脸证：3sn7cos受=3-0=3,2sn受+ams号 π s兀=2+0=2，均成立. 故答案为： 受（答案不唯一，满足X=+2红，kEZ即可）. 例题2.已知角a是第二象限角，且3cosa-4sina=-5,则sin2a-cos2c= 7 【答案】25 【解析】解：由3c0sa-4sina=-5,得cosa=4sina-5 3 f代入sin'a+cosa=1,得sina+4sina-5=l 9 即25sina-40sina+16=0,解得sin= , 4x4-5 所以cosa= 5 3,符合a为第二象限角 3 5 所议sin2a=2 sinac0sa=2×4x号 24 2 9167 cos2a=cos a-sin a= 2525251 所以sin2a-cos2a=- 24,717 25+2525· 17 故答案为： 25° 同类题型即时练 2 1.若a∈（受m,且2sina+cosa=是，则ana-一 【答案】-1 V 【解析】因为2sina+cosa= 2,所以cos= 2-2sina, 代入sina+cosa=l,得sinc+2 -2sinc2=1, 即10sin2a-42sinc-1=0,解得sinc= 2 或sina=- 2 10 (舍去). 因为a∈（受，所以cosa= 22 2 -2× 2 2 2 所以a=3n 3亚二-1. =4,因此tana=tan 故答案为：-1. 2.(1)已知tana=2,求cosa+2sin2&的值； (2)结合(1)，若tanB=tan(a-π)，求2sin2β+cos2β的值. 9 【答案】(1)5：(2)1. 【解析】(1)由tana=2,得sinacos= 1+tan'a5 cos'a=1=1 tana 1+tan'a 5' 所以cosa+2sin2a=cos2a+4 sina cosa= 1+8-9 555: (2)由诱导公式，tan阝=tan(a-π=tana=2, 1+tanB行，cos2B=1:am9-=1-4。,3 所以sin2B=,2tanB=4】 1+tan2B1+4=-5 所以2sin2B+c0s2B=8.3-1. 55 综上，cosa+2sin2a= ，2sin2B+cs2B=1 重点题型五：结构变换 3π5π 例题1.（多选）若函数f(x)=sinx+cosx-2 sin x cosx+1-m在 4’4 上有零点， 则整数m的值可以是() A.-2 B.-1 C.0 D.1 【答案】BCD 【解析】函数f(x)在 3π5π 4’4 上有零点，即方程sinx+cosx-2 sin x cos x+1-m=0 3π5π 3π5π 在 4’4 上有解，即m=sinx+cosx-2 sin x cosx+1在 4’4 上有解. 设t=sinx+cosx=V2sin .π 3π5π 3π X+- t∈-92,0，且2 sin x cosx=t-1. 于奖a41+2水-号景大在20上单收me-2.2该短 的整数有-1,0,1，即B、C、D均可以，A不可以. 故选：BCD. π 例题2.函数f(x)=sin2x-V2cosx+ 4 的最小值为 【谷案1子 【解析】 f(x)=sin2x-V/2cosx+ π 4 =2sin x cosx-2 COS X COS 3 -sin xsin- 3π =2sin x cos x+sin x+cosx 4 令t=sinx+cosx,则t∈-V2,V2,且2 sin x cosx=-1, 原函数化为9t三r+t-1+当t号2,2时，9t)取得水 4 即f(x)的最小值为4 故答案为：“4 同类题型即时练 1.函数f(x)=sin xcosx+2V2sinx+ 的值域为 【答案】 292,2+22 【解折】由于22snX+ =2sinx+cosx),f(x)=sin xcos x+2(sin x+cosx), t=sinx+cosx=2sinx+ 4, 则t∈2,2，且sin xcos=-1 2, 于是函数化为y=21 +2：之：+2-号英图案开口向上，对称销-2在区间左侧 故y在-V2,V2上单调递增， 当t=2时，y方22，当t=2时，a+22故伯蛟为 292,*2 故答案为： 2,*27 2. 已知8∈0， 不等式sin9cos6+sin6+cos6-m≥0恒成立，则实数m的取值范 围是 【答案】(-00,1] 【解析】由不等式恒成立，可得m≤sin0cosθ+sin0+cos0恒成立. 令tn8+cs80=92sn0+经引由8e0,引符9+暑e ,则 ml+e,小eh,2 2 又y=号t+1-1在1,2上单调递增，其最小值为×4-1=1，所以m≤1，即实数 m的取值范围是(-∞，1]. 故答案为：(-00,1]. 专题突破03 三角函数的变换技巧 第一部分 必备知识点 1.同角基本关系式： ；。，，。 2.诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）： 3.两角和与差公式（拼凑角的核心工具）： ； ； 。 拼凑角技巧：把待求角写成已知角的和差， ， ， ， 。 3.二倍角公式与降幂（升幂）公式： ；；。 降幂公式：，； 升幂形式：，。 平方配对：。 4.辅助角公式（合并同角正余弦） ，其中 ，, 。 5.齐次式与"切化弦、弦化切" 分式齐次式：分子分母同为 、 的一次或二次齐次式时，可同除以 （或 ）化为 的表达式，如 。 型，同除以 后用 表示； 与 之间满足 。 6.图象平移与伸缩变换 平移：，注意"左加右减"只对本身，中平移量为 。 周期：；对称中心满足 ；对称轴满足 （）。 第二部分 典型例题剖析 重点题型一：角的变换（拼凑角） 例题1．已知 ，． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 例题2．已知 ，， ，，求 的值． 例题3．已知 ，． (1) 求 的值； (2) 若 ，，求 的值． 同类题型即时练 1．已知 ， 都是锐角，，，求 ， 的值． 2．（1）已知 ，且 是第三象限角，求 的值； （2）已知 ，，，，求 及 的值． 3．已知 ，，，且 ． (1) 求 和 ； (2) 求 的值． 重点题型二：幂次的变换 例题1．已知函数，则的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 例题2．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象，则图象的一个对称中心为（　　） A． B． C． D． 例题3．（多选）已知函数的最小正周期为，若，，且，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 同类题型即时练 1．若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．若函数在区间上的最大值为 6，写出的一个对称中心__________． 3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 重点题型三：函数名的变换 例题1．若 ，，则 ＝（　　） A． B． C． D． 例题2．已知 ，则 ＝________。 例题3．函数 在区间 上的最大值为________。 同类题型即时练 1．若 ，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 ＝________。 重点题型四：消元变换 例题1．若实数 x 满足方程组 则 的一个值可以是___________（写出满足条件的一个值即可）. 例题2．已知角 是第二象限角，且 ，则 = ___________. 同类题型即时练 1．若 ，且 ，则 = _____. 2．（1）已知 ，求 的值； （2）结合（1），若 ，求 的值． 重点题型五：结构变换 例题1．（多选）若函数 在 上有零点，则整数 的值可以是（　　） A．−2 B．−1 C．0 D．1 例题2．函数 的最小值为________． 同类题型即时练 1．函数 的值域为________． 2．已知 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $