专题突破02 函数与方程的综合应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题突破02 函数与方程的综合应用 第一部分 必备知识 1.零点存在定理: 设函数 在闭区间 上连续，且，则至少存在一点 ，使得. 2.零点与方程的根： 函数 的零点 方程 的实数根， 即 3.零点与函数的交点： （1） （2）函数的零点 与 图像交点的横坐标.即函数的零点的根是 与 图像交点的横坐标是. （3）. 第二部分 典型例题剖析 重点题型一：根据零点求参数 例题1．已知函数 （ 且 ）在 上无零点，在 上有零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 即 。设 ，，则 在 上单调递增，且 ，。 若 ，则当 时 而 ，两图象在 内无交点，不满足条件。 当 时， 单调递减， 单调递增，两图象至多一个交点，如图。 由题意，交点须落在 内而不在 内，由于两函数一减一增，只需 ，即 。注意到 ，去对数得 ，即 。故 。故选：C。 例题2．已知函数 （ 且 ）有零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 即 。由 且 可取遍 内的一切值，故方程有解当且仅当 ，即 。故选：C。 例题3．若函数 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ ） A．(0,1) B． C． D．[1,2) 【答案】B 【解析】解：当 时， 仅在 处取零，故函数已有零点 ；当 时， 的零点为 与 ，其中落在 内的充要条件是 。故 恰有 2 个零点当且仅当 ，即 。故选：B。 例题4．已知函数 ，若函数 无零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：令 ，则 的解为 或 。 由题意， 无零点，即方程 与 均无解。又 的值域为 ，故 有解当且仅当 。于是只需 ，解得 。故选：B。 同类题型即时练 1．已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 即 。从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点， 2．已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C．[-3,3] D． 【答案】B 【解析】解： 即 ，问题转化为函数 的图象与直线 有两个交点。，图象如图所示： 故选：B。 3．若函数 （其中 ，）存在零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B．(0,3) C． D．(1,3) 【答案】A 【解析】解：当 时，，故该段上 无零点；当 时，令 ，得 即 （此时真数 满足要求）。 故 存在零点当且仅当 落在该段定义域内，即 ，亦即 。综上，。故选：A。 4．若方程 在 上有实根，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：分离参数得 ，配方得 。由于 ，所以 ，从而 （最小值 0 在 处取到， 取不到），故 ，即 。故选：B。 5．若函数 在 上存在零点，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】解：令 ，则有 ，即原命题等价于函数 与 在 上有交点。如图 零点必在 内，即 ，解得 ，即 ，即 。 综上所述，实数 的取值范围是 。 6．已知函数 ，则使函数 有零点的实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】解：令 ，得 ，得 ，即与两个函数图象有交点.如图 故 7．若函数 有唯一的零点，则实数 = ________． 【答案】2 【解析】解：设 ，则 ，显然当 与 代入时 互为相反数，而 与 均为 的偶函数，故函数图象关于直线 对称，零点也关于 对称。 又 恒为正，故 的零点由 确定。因为函数有唯一零点，由对称性可知，零点只能是 ，即 ，解得 。 此时 ，仅当 时为零，唯一零点成立。故答案为：2。 重点题型二：求函数的零点（方程的根）的个数 例题1．函数 的零点个数是______． 【答案】2 【解析】解：令 ，则 ．函数 是偶函数，图象关于 轴对称，且在 上单调递减，过点 ；函数 的图象在 上是过原点的递增折线．当 时， 单调递减， 单调递增，一减一增，两图象在 内恰有一个交点；由偶函数图象的对称性可知，在 上也有一个交点．如图所示： 故两图象共有 2 个交点，即函数 有 2 个零点． 例题2．函数 的零点个数为______个． 【答案】1 【解析】解：函数 的零点个数等价于函数 与 的图象的交点个数． 在 上单调递增， 在 上单调递减，一增一减，两图象至多有一个交点；又 ，，由零点存在定理知两图象恰有一个交点，故函数 有 1 个零点． 例题3．函数 的零点个数为______个． 【答案】1 【解析】解：令 ，得 ，则函数 的零点个数等价于函数 与 的图象的交点个数．当 时， 而 ，两图象无交点；当 时， 单调递增，图象从 0 上升至 ，而 单调递减，图象从 下降至 0，一增一减，如图所示： 两图象恰有一个交点．故函数 只有 1 个零点． 同类题型即时练 1．方程 的实根个数为______个． 【答案】2 【解析】解：方程的实根即曲线 与直线 的交点横坐标．函数 在 上单调递增且图象上凸（凹），上凸函数的图象与任意一条直线至多有两个公共点．当 时，，两图象无交点；验证可得 与 都满足方程，即两图象已有 2 个公共点，故公共点个数恰为 2，方程 有 2 个实根． 2．已知 ，则方程 的不等实根一共有______个． 【答案】4 【解析】解：方程 即 ，其实根个数等价于函数 的图象与直线 的交点个数．函数 是偶函数；当 时，，图象是开口向上的抛物线，在 处取得最小值 ，且 ；由对称性，整个图象在 ，， 处的函数值都为 0，最低点为 ，整体呈“W”形．因为 ，直线 与该图象在 一侧有 2 个交点，由图象关于 轴对称，在 一侧也有 2 个交点，共 4 个交点．故方程共有 4 个不等实根． 3．函数 的零点个数为______个． 【答案】1 【解析】解：令 ，即 （）．当 时， 单调递减，图象从 下降到 0；而 单调递增，图象从 1 上升到 2，两图象恰有一个交点．当 时，（因 的图象恒在直线 上方），故此时两图象无交点．综上，两图象只有 1 个交点，函数 有 1 个零点． 重点题型三：求零点的和 例题1．已知函数 ，若存在正实数 ，使得方程 有三个互不相等的实根 ，，，则 的值为________． 【答案】 【解析】方程 （）可等价变形为 ，即 ，其中 （），如图： 当 时，由 得 ，故右支与直线 恰有一个交点，其横坐标 。 当 时， 即 ，其两根 ， 满足 ，。 当 时，（在 处取得最大值 ），而 ，故左支的两根只能均为负数。方程恰有三个互不相等的实根，当且仅当 且 ，即 。 此时 ，故 的值为 12。 例题2．已知函数 ，， 的零点依次为 ，，，则 ＝________． 【答案】 【解析】因为 与 互为反函数，所以它们的图象关于直线 对称。 函数 的图象过点 与 ，由对称性， 的图象过点 与 ，即 ，，故 。 又由 得 ，所以 。 同类题型即时练 1．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围是___________． 【答案】(18,19] 【解析】设 。 当 时， 即 ，它在 上有两个不等实根当且仅当 ，且大根 ，解得 ；此时两根 ， 满足 。 当 时， 即 ，其图象的对称轴为 ，故 ；两根都落在 内当且仅当 ，即 （此时 自动成立）。 综上可得 ，所以 ，即 的取值范围是 (18,19]。 2．已知函数 ，关于 的方程 有四个互不相等的实根 ，，，（），则 的最大值为___________． 【答案】 【解析】作出 的大致图象：左支 开口向上，最小值为 ；右支 开口向下，最大值为 ，且 。 方程 有四个互不相等的实根，当且仅当 。 当 时，，其图象关于直线 对称，故 ，且 。 当 时，，即 ，两根关于直线 对称，故 。 所以 ，当且仅当 时取等号，故其最大值为 8。 3．已知函数 ，则关于 的方程 的所有实数根的和为_______． 【答案】-2 【解析】由方程可得 或 。 由 ：当 时，，得 或 ；当 时，，得 。 由 ：当 时，，得 或 （ 不满足 ，舍去）；当 时，，得 （不满足 ，舍去）。 由于 的图象关于直线 对称， 与 、 与 恰为关于直线 的对称点对，可验证上述结果无误。 故方程的所有实数根为 ，，，，其和为 。 4．已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，求 的取值范围． 【答案】(3,8) 【解析】设 ，作出 的图象：右支为开口向上、对称轴为 的抛物线的一部分，左支为射线 （）。 三个互不相等的根只能是：抛物线上的两根 ， 与左支上的一根 。 由 即 ，由对称性得 ；两根不等需 ，且小根 需 。 由 得 ，即 。故 。 所以 ，即 的取值范围为 (3,8)。 重点题型四：函数与方程的综合应用 例题1．已知函数 ，。 (1) 试判断 在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明； (2) 若函数 在 上只有一个零点，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 函数 为 上的偶函数；证明见解析 (2) 【解析】(1) 证明：函数 的定义域为 ，关于原点对称。 ，所以 为 上的偶函数。 (2) 解：由 (1) 知 ，则 等价于 ，即 。 ，则方程化为 ，整理得 。 当 时，方程的一次项系数与常数项异号（常数项 ），且判别式 恒成立（其关于 的判别式 ），故方程恰有一个正根， 只有一个零点； 当 时，方程为 ，解得 ，不合题意； 当 时，两根之积 ，两根之和 ，故两根均为负数， 没有零点，不合题意。 综上，实数 的取值范围是 。 例题2．已知函数 为偶函数。 (1) 求实数 的值； (2) 解关于 的不等式 ； (3) 设 ，函数 与 图象恰有两个公共点，求实数 的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1) 解：由 ，即 。 因为 ，所以 ，为偶函数当且仅当 ，即 。 (2) 解：由 (1) 知 因为 在 上单调递增（任取 ，则 且 ，作差可得 ），所以 在 上单调递增。 又 为偶函数，故 等价于 ，即 ，整理得 ，解得 ，所以不等式的解集为 。 (3) 解：令 ，即 。 ，则 ，整理得 。 两图象恰有两个公共点等价于该方程有两个不相等的正实数根：两根之积 ，得 ；两根之和 ，结合 得 ；判别式 ，即 ，解得 或 ，结合 得 。 综上，实数 的取值范围是 。 例题3．已知函数 为奇函数。 (1) 求常数 的值； (2) 当 时，判断 的单调性，并用定义给出证明； (3) 若函数 ，且 在区间 上没有零点，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 单调递增，证明见解析； (3) 【解析】(1) 由 ，即 ，整理得 ，故 。当 时，真数 显然不成立；经验证 符合题意。所以 。 此时 ，其定义域为 ，关于原点对称。 (2) 单调递增，证明如下： 由 (1) 知 ，任取 ，则 ，其中 ，即 ，所以 ，从而 ，故 在 上单调递增。 (3) 解：令 ，则 。设 ， 由 (2) 知 在 上单调递增，而 在 上单调递减，所以 在 上单调递减。 ，故 的取值范围为 。 又 在区间 上无解，所以 。 同类题型即时练 1．已知函数 与 （）。 (1) 判断 的奇偶性； (2) 若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 偶函数 (2) 【解析】(1) 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函数。 (2) 解：令 ，即 。 ，则 。 方程恰有一个正实数根：两根之积 ，得 ，此时判别式 ，方程有两个异号的实根，恰有一个正根，符合题意； 时，方程为 ，无正根，不合题意； 时，两根之积为正。若 ，两根之和 ，两根均为负，不合题意；若 ，两根之和为正，当判别式 ，即 ，解得 或 （舍去）时，方程有两个相等的正实根 ，此时 恰有一个零点，符合题意；当 且 时，方程有两个不相等的正实根或无实根，均使 的零点个数不为 1，不合题意。 综上，实数 的取值范围是 。 2．已知函数 ，其中 ，。 (1) 讨论函数 的奇偶性，并说明理由； (2) 当 时，求证：方程 在 上至多有一个实数根。 【答案】(1) 答案见解析 (2) 证明见解析 【解析】(1) 解：。 当 时，，此时 为偶函数； 当 时，，此时 为奇函数； 当 时，，此时 为非奇非偶函数。 (2) 证明：当 时，由基本不等式得 ，即因式 恒为正。 于是 当且仅当 ，即 。所以方程 在 上有且仅有一个实数根 ，至多有一个实数根得证。 3．已知函数，其中． (1)若，求函数的零点个数； (2)已知，，若方程在区间内有且只有一个解，求实数 a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)． 【解析】(1)当时，， 其中． 当时，，函数只有一个零点； 当时，，函数有两个零点． (2)当时，，方程即． 设，（）， 则原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点． 当时，在区间上为减函数，为增函数， 且，， 所以两函数图象在区间内有唯一交点，满足题意． 当时，的图象为开口向下、对称轴的抛物线，所以在区间上为减函数，为增函数． 由且，得且，解得． 当时，对称轴，所以在区间上为减函数． 同理由且，得（恒成立）且（即），所以． 综上所述，实数 a 的取值范围为． 4．设函数，且． (1)作出函数的大致图象，并指出它的单调区间； (2)当实数 a 变化时，讨论关于 x 的方程的解的个数． 【答案】(1)递减区间为，，递增区间为，；(2)解的个数见解析． 【解析】(1)函数的图象可视为函数的图象向下平移 2 个单位而得，而函数的图象是二次函数的图象在 x 轴上方的部分不动、x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折而得． 由于， 观察函数的图象得：函数的递减区间为，；递增区间为，． (2)依题意，关于 x 的方程的解就是直线与函数的图象交点的横坐标．由图象知为最小值，，且时． 当时，直线与函数的图象无公共点，即方程的解的个数为 0； 当或时，直线与图象有 2 个公共点，即方程的解的个数为 2； 当时，直线与图象有 4 个公共点，即方程的解的个数为 4； 当时，直线与图象有 3 个公共点，即方程的解的个数为 3． 5．已知（）． (1)若函数的图象过点（1，1），求函数的解析式； (2)若函数只有一个零点，求实数 a 的取值范围． 【答案】(1)；(2)或． 【解析】(1)因为函数的图象过点（1，1）， 所以，解得，即． 此时． (2)（其中且）． 函数只有一个零点，即，也就是方程只有一个满足定义域的根． 注意到：若是方程的根，则自动成立，故原命题等价于方程只有一个正根． (1)当时，，，符合题意； (2)当时： ①若方程有两个相等的实数根，则，解得，此时，满足题意； ②若方程有两个相异实数根，则两根之积为，方程恰有一个正根当且仅当，即，此时方程有一个正根，满足题意． 综上所述，实数 a 的取值范围为或． 6．已知函数，． (1)求的解析式； (2)若方程有实数根，求实数 a 的取值范围． 【答案】(1)，；(2)． 【解析】(1)设，因为，所以，且， 所以， 所以，． (2)设，因为，所以，此时． 当（即）时，函数取得最小值 5；又，，所以最大值为 9，故． 于是方程有实数根等价于． 由，即，其判别式，恒成立； 由，即，解得． 所以实数 a 的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破02 函数与方程的综合应用 第一部分 必备知识 1.零点存在定理: 设函数 在闭区间 上连续，且，则至少存在一点 ，使得. 2.零点与方程的根： 函数 的零点 方程 的实数根， 即 3.零点与函数的交点： （1） （2）函数的零点 与 图像交点的横坐标.即函数的零点的根是 与 图像交点的横坐标是. （3）. 第二部分 典型例题剖析 重点题型一：根据零点求参数 例题1．已知函数 （ 且 ）在 上无零点，在 上有零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例题2．已知函数 （ 且 ）有零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例题3．若函数 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ ） A．(0,1) B． C． D．[1,2) 例题4．已知函数 ，若函数 无零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 同类题型即时练 1．已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C．[-3,3] D． 3．若函数 （其中 ，）存在零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B．(0,3) C． D．(1,3) 4．若方程 在 上有实根，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．若函数 在 上存在零点，则实数 的取值范围是________． 6．已知函数 ，则使函数 有零点的实数 的取值范围是________． 7．若函数 有唯一的零点，则实数 = ________． 重点题型二：求函数的零点（方程的根）的个数 例题1．函数 的零点个数是______． 例题2．函数 的零点个数为______个． 例题3．函数 的零点个数为______个． 同类题型即时练 1．方程 的实根个数为______个． 2．已知 ，则方程 的不等实根一共有______个． 3．函数 的零点个数为______个． 重点题型三：求零点的和 例题1．已知函数 ，若存在正实数 ，使得方程 有三个互不相等的实根 ，，，则 的值为________． 例题2．已知函数 ，， 的零点依次为 ，，，则 ＝________． 同类题型即时练 1．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围是___________． 2．已知函数 ，关于 的方程 有四个互不相等的实根 ，，，（），则 的最大值为___________． 3．已知函数 ，则关于 的方程 的所有实数根的和为_______． 4．已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，求 的取值范围． 重点题型四：函数与方程的综合应用 例题1．已知函数 ，。 (1) 试判断 在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明； (2) 若函数 在 上只有一个零点，求实数 的取值范围。 例题2．已知函数 为偶函数。 (1) 求实数 的值； (2) 解关于 的不等式 ； (3) 设 ，函数 与 图象恰有两个公共点，求实数 的取值范围。 例题3．已知函数 为奇函数。 (1) 求常数 的值； (2) 当 时，判断 的单调性，并用定义给出证明； (3) 若函数 ，且 在区间 上没有零点，求实数 的取值范围。 同类题型即时练 1．已知函数 与 （）。 (1) 判断 的奇偶性； (2) 若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围。 2．已知函数 ，其中 ，。 (1) 讨论函数 的奇偶性，并说明理由； (2) 当 时，求证：方程 在 上至多有一个实数根。 3．已知函数，其中． (1)若，求函数的零点个数； (2)已知，，若方程在区间内有且只有一个解，求实数 a 的取值范围． 4．设函数，且． (1)作出函数的大致图象，并指出它的单调区间； (2)当实数 a 变化时，讨论关于 x 的方程的解的个数． 5．已知（）． (1)若函数的图象过点（1，1），求函数的解析式； (2)若函数只有一个零点，求实数 a 的取值范围． 6．已知函数，． (1)求的解析式； (2)若方程有实数根，求实数 a 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $