第20节 函数与方程综合应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第20节 函数与方程综合应用 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 分段函数的解析式与性质：分段点处取哪一段、左右极限是否相等（连续性）、单调区间与最值的判断 ② 函数与方程的转化：方程的根就是图象与 x 轴的交点，不等式的解集对应图象在 x 轴上方或下方的部分 ③ 零点存在性与根的分布：先用零点存在性定理判定根的存在，再借助导数与单调性判断根的个数 ④ 恒成立问题：分离参数把问题化为函数的最值，必要时先由必要条件缩小参数范围再讨论充分性 ⑤ 存在性问题与实际建模：把「是否存在参数使不等式成立」转化为最值与端点取值；抽象函数由奇偶性、单调性、周期性、对称性判断图象变换与最值 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 设分段函数 f(x) = { 2x, x ≤ 0； − 2x + 2, x > 0 }，则 f(x) 的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】零点就是图象与 x 轴的交点，所以只要分别考察每一段上有几个零点，再累加。 当 x ≤ 0 时，这一段是 f(x) = 2x，令 2x = 0 得 x = 0，且 0 ≤ 0 符合本段范围，所以 x = 0 是一个零点。 当 x > 0 时，这一段是 f(x) = − 2x + 2，配方得 f(x) = + 1。 因为 ≥ 0，所以 f(x) ≥ 1 > 0，本段没有零点。 把两段合起来看，f(x) 只有一个零点 x = 0。 要注意分段点 x = 0 只能由 x ≤ 0 那一段来判定，不能两段各算一次造成重复。 【考查知识点】分段函数的零点个数：分段求解后累加，分段点只算一次 【易错点】把分段点 x = 0 在两段中各算一次导致重复；或忽略配方后 + 1 恒为正这一事实 2. 设函数 f(x) = { x + 1, x ≤ 0； + 1, x > 0 }，则下列结论正确的是 A. f(x) 是偶函数 B. f(x) 在 (−∞, 0] 上单调递减 C. f(x) 在 (−∞, +∞) 上单调递增 D. f(x) 的最小值为 0 【答案】C 【解析】先算几个关键值：f(−1) = 0，f(0) = 1，f(1) = 2，f(−2) = −1。 A 项：f(−1) = 0 而 f(1) = 2，两者不相等，所以不是偶函数，A 错误。 B 项：在 (−∞, 0] 上这一段是 y = x + 1，是递增而不是递减，B 错误。 C 项：任取 < 。若两者都在 (−∞, 0] 内，由 y = x + 1 得 f() < f()； 若两者都在 (0, +∞) 内，由 y = + 1 的单调性同样有 f() < f()； 若 ≤ 0 < ，则 f() ≤ f(0) = 1 < 1 + = f()。 三种情形都支持严格递增，故 f(x) 在 (−∞, +∞) 上单调递增，C 正确。 D 项：f(x) 在 (−∞, 0] 上的值域是 (−∞, 1]，在 (0, +∞) 上的值域是 (1, +∞)， 合起来 f(x) 取遍一切实数，既没有最大值也没有最小值，更谈不上最小值为 0，D 错误。 【考查知识点】分段函数的单调性与最值：段内单调性相同还要检查跨段衔接 【易错点】判断分段函数的单调性时只算每一段的单调性，忘记检查 x = 0 两侧能否接上。本题 f(0) = 1，而 x 趋近于 0 右侧时 + 1 也趋近于 1，两段正好接得上，才能说整体递增 3. 已知函数 f(x) = − + 2x + 3，则不等式 f(x) > 0 的解集为 A. (−1, 3) B. (−3, 1) C. (−∞, −1) ∪ (3, +∞) D. (−1, +∞) 【答案】A 【解析】不等式 f(x) > 0 与函数图象在 x 轴上方等价，也等价于 −f(x) < 0。 因为 −f(x) = − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1)， 所以不等式化为 (x − 3)(x + 1) < 0。 二次项系数为正，抛物线开口向上，两根为 −1 与 3，图象在两根之间位于 x 轴下方。 所以解集为 −1 < x < 3。 对照选项：C 项是 f(x) < 0 的解集，即图象在 x 轴下方的部分，恰好与所求相反。 【考查知识点】函数图象与不等式解集的对应：由 f(x) 与 0 的大小关系确定图象的位置 【易错点】把 f(x) > 0 与 f(x) < 0 的解集写反；或求出两根后不判断开口方向，直接写成两根之外 4. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 是偶函数，且在 [0, +∞) 上单调递增，又 f(1) = 0，则下列结论正确的是 A. f(−2) > f(−1) B. 方程 f(x) = 0 有且只有一个实数根 C. 不等式 f(x) < 0 的解集为 (−∞, −1) D. f(x) 的最小值为 0 【答案】A 【解析】偶函数的关键用法是 f(−x) = f(x)，用它把负半轴上的问题搬到正半轴上。 A 项：由偶性 f(−2) = f(2)，f(−1) = f(1) = 0。 又因为 f(x) 在 [0, +∞) 上单调递增，而 2 > 1，所以 f(2) > f(1) = 0。 于是 f(−2) = f(2) > 0 = f(−1)，A 正确。 B 项：f(−1) = f(1) = 0 说明 −1 与 1 都是方程的根，至少有两个实数根，B 错误。 C 项：由偶性与单调性，f(x) < 0 等价于 f(|x|) < 0，而 [0, 1) 上 f(1) = 0 且递增， 故 f(t) < 0 当且仅当 0 ≤ t < 1，即 |x| < 1，解集是 (−1, 1)，不是 (−∞, −1)，C 错误。 D 项：由于 f(1) = 0 且在 [0, +∞) 上递增，取 0 ≤ t < 1 时 f(t) < 0， 所以 f(x) 能取到负值，0 不可能是最小值，D 错误。 【考查知识点】抽象函数的性质判断：由偶性把负半轴转化到正半轴，再结合单调性定符号与根 【易错点】忽略偶函数的定义域关于原点对称，误以为 f(−1) 与 f(1) 是两个不同的零点；把 f(x) < 0 的解集只写一半，漏掉另一侧由偶性对称得到的部分 5. 把函数 y = 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的 （横坐标不变），所得图象的解析式为 A. y = B. y = C. y = x D. y = − 【答案】B 【解析】伸缩问题的钥匙是「谁变谁不变」：横坐标不变，说明自变量 x 没有被改造。 设原图象上一点的横坐标为 x、纵坐标为 y，则 y = 。 纵坐标缩短为原来的 后，这一点变成 (x, y)，横坐标仍是 x。 设新图象的解析式为 Y，则 Y = y = 。 所以正确答案是 B。 把结果记成 就弄反了：那样得到的图象开口更大，是把纵坐标伸长，而不是缩短。 【考查知识点】函数图象的伸缩变换：由「横坐标不变」确定自变量不变，只改函数值 【易错点】把「纵坐标缩短」当成「纵坐标伸长」；或误以为伸缩一定要改自变量，把 x 整体当作底数去求平方 6. 已知函数 f(x) = − 3x + 1，则 f(x) 在区间 (−2, 2) 内的零点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】第一步用零点存在性定理判定根的存在，先算四个端点的函数值： f(−2) = −8 + 6 + 1 = −1 < 0，f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 > 0， f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 < 0，f(2) = 8 − 6 + 1 = 3 > 0。 函数连续，所以区间 (−2, −1)、(−1, 1)、(1, 2) 内各至少有一个零点。 第二步用导数判定根的个数，这一步是关键，光靠存在性只能得到「至少 3 个」。 f'(x) = − 3 = 3(x − 1)(x + 1)， 所以 f(x) 在 (−∞, −1] 上单调递增，在 [−1, 1] 上单调递减，在 [1, +∞) 上单调递增。 三个单调区间上函数各至多有一个零点，而上面已找到三个区间内各有零点， 由单调性知这三个区间内的零点都是唯一的，区间外不可能再有零点。 所以 (−2, 2) 内恰有 3 个零点。 【考查知识点】零点存在性定理判定根的存在，导数与单调性判定根的个数 【易错点】只用零点存在性定理就下结论说「3 个」，没有用单调性排除同一个单调区间内出现两个零点；或算出 f'(x) = − 3 后不讨论它在 (−1, 1) 内变号，只笼统说「单调」 7. 已知分段函数 f(x) = { − ax + 1, x ≤ 1；2, x > 1 }，若 f(x) 在 R 上恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 A. a < −2 B. a ≤ −2 C. a > 2 D. a ≤ −2 或 a > 2 【答案】A 【解析】先看第二段：当 x > 1 时 f(x) = 2 是一个恒定的值，恒不等于 0，所以这一段没有零点，全部零点只能来自 x ≤ 1 这一段 − ax + 1 = 0。 要恰有 2 个零点，等价于这个二次方程有两个不相等的实根，且两根都满足 x ≤ 1。 先由判别式得 Δ = − 4 > 0，即 a < −2 或 a > 2。 当 a < −2 时，两根之和为 a < 0、两根之积为 1 > 0，所以两根都为负数， 而负数一定小于 1，两个零点都落在 x ≤ 1 内，符合要求。 当 a > 2 时，两根都为正数，两根之积为 1，两根之和为 a > 2， 由两根之积为 1 可知两根关于 1 互为倒数，其中较大的那个必大于 1， 它落在 x > 1 内，而那一段 f(x) = 2 不为零，所以这个根不是零点，只剩 1 个零点。 边界 a = −2 时方程为 = 0，只有 x = −1 一个零点，也不符合。 综上 a 的取值范围是 a < −2。 【考查知识点】含参分段函数的零点个数：分段讨论后由判别式与根的位置共同确定参数范围 【易错点】忘记第二段 f(x) = 2 没有零点，把两段的零点混在一起数；只由 Δ > 0 得到 a < −2 或 a > 2 就作答，漏掉 a > 2 时两根的位置不合法 8. 某奶茶店推出一种新品，售价为每杯 15 元时每天可售出 25 杯。已知每杯的成本为 8 元，售价每上涨 1 元，每天少售 1 杯。设售价上涨 x 元（0 ≤ x ≤ 25），则该店每天的利润 f(x) 的最大值为 A. 240 B. 250 C. 256 D. 280 【答案】C 【解析】第一步建立函数关系式。售价为 15 + x 元，日销量为 25 − x 杯，每杯利润为 (15 + x) − 8 = (7 + x) 元。 所以每天的利润为 f(x) = (7 + x)(25 − x)，其中 0 ≤ x ≤ 25。 第二步展开并配方：f(x) = 175 − 7x + 25x − = − + 18x + 175。 配方得 f(x) = − + 256。 第三步说明最大值能取到：因为 0 ≤ 9 ≤ 25，所以 x = 9 在定义范围内， 此时售价为每杯 24 元，日销量为 16 杯，利润为 16 × 16 = 256 元，与配方结果一致。 这一步检验很重要：配方法给出的顶点若落在定义范围之外，就取不到最大值。 【考查知识点】实际问题的函数建模：由售价与销量写出利润函数并求最值 【易错点】把利润写成售价乘销量而忘记减去每杯成本 8 元；或求出配方顶点 x = 9 后不检验 x 是否落在 0 ≤ x ≤ 25 内 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知函数 f(x) = − 2ax + 3。若 f(x) ≥ 2 对一切 x ∈ R 恒成立，则下列结论正确的是 A. a 的取值范围是 [−1, 1] B. 若 f(x) ≥ 2 恒成立，则方程 f(x) = 2 有两个不相等的实数根 C. f(x) 的最小值为 3 − D. 若 f(x) ≥ 2 恒成立，则方程 f(x) = 2 至少有一个实数根 【答案】ACD 【解析】把恒成立条件移项，化成关于 x 的二次式恒非负。 f(x) ≥ 2 即 − 2ax + 1 ≥ 0 对一切 x ∈ R 恒成立。 配方得 f(x) − 2 = + 1 − 。 由于 可以取到 0（取 x = a 即可），且此时 x = a ∈ R 一定在定义范围内， 所以最小值 1 − 能取到，恒成立等价于 1 − ≥ 0，解得 −1 ≤ a ≤ 1。 A 项：由上面的推导，a 的取值范围是 [−1, 1]，正确； C 项：由 f(x) = + 3 − 且 x = a 可取到，最小值为 3 − ，正确； B 项：a = ±1 时最小值恰为 2，方程 f(x) = 2 只有一个解 x = a，并非两个不相等的实数根，错误； D 项：由 Δ = − 4 = − 4 ≥ 0 知方程 f(x) = 2 必有实数根，正确。 综上正确选项为 A、C、D。 【考查知识点】恒成立问题的分离参数：构造差函数并用配方法求最小值，再由必要条件定参数范围 【易错点】配方后忘记「 = 0 可以取到」这一点，误以为最小值只是下界；把恒成立条件对应的 Δ ≥ 0 误写成 Δ > 0，导致漏掉端点 a = ±1 10. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 (−∞, 0) 上单调递增，f(1) = 3，则下列结论正确的是 A. f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增 B. f(−1) = 3 C. 不等式 f(x) < 0 的解集为 (−∞, 0) D. 若 f(x) < 0，则 x < 1 【答案】ACD 【解析】奇函数最常用的两条武器是 f(−x) = −f(x) 与 f(0) = 0，先把 f(0) = 0 记下来。 A 项：由奇性把负半轴的单调性搬到正半轴。任取 0 < a < b，则 −b < −a < 0， 由在 (−∞, 0) 上单调递增得 f(−b) < f(−a)，即 −f(b) < −f(a)，所以 f(b) > f(a)，A 正确。 B 项：奇函数在相反自变量处函数值互为相反数，所以 f(−1) = −f(1) = −3，而不是 3，B 错误。 C 项：在 (−∞, 0) 上单调递增且 f(0) = 0，所以 x < 0 时 f(x) < f(0) = 0； 在 (0, +∞) 上由 A 项单调递增且 f(x) > f(0) = 0，所以 x > 0 时 f(x) > 0。 因此 f(x) < 0 的解集是 (−∞, 0)，C 正确。 D 项：f(x) < 0 时必有 x < 0，由 C 项立得 x < 0 < 1，所以 x < 1，D 正确。 顺带提醒：本题不能由 f(1) = 3 推出 f(x) > 0 等价于 x > 1，因为 f 在 (0, 1) 上虽然小于 3，却仍然大于 f(0) = 0。 【考查知识点】抽象函数的奇偶性与单调性：由奇性在正负半轴之间迁移单调性与符号 【易错点】只在一侧（正半轴）定号而漏掉负半轴的解；把 f(−1) 记成 3（奇函数值互为相反数，不是相等） 11. 某测量仪器的输出信号 y = f(x) = 2x，其中 x 的单位为秒，则下列结论正确的是 A. f(x) 是奇函数 B. f(x) 的最小正周期为 π C. f(x) 的图象关于直线 x = 成轴对称 D. f(x) 的图象关于直线 x = 成轴对称 【答案】ABC 【解析】把 2x 记为 g(x)，逐项判断。 A 项：f(−x) = (−2x) = − 2x = −f(x)，且定义域关于原点对称，所以 f(x) 是奇函数，A 正确。 B 项：对于 y = ωx，最小正周期是 ，本题 ω = 2，所以最小正周期为 π，B 正确。 C 项：把 x = + t 与 x = − t 分别代入， 得 f( + t) = ( + 2t) = 2t， f( − t) = ( − 2t) = 2t，两者相等， 所以图象关于直线 x = 成轴对称，C 正确。 D 项：同理 f( + t) = (π + 2t) = − 2t， 而 f( − t) = (π − 2t) = 2t，两者互为相反数而不是相等， 所以 x = 是对称中心所在的位置而不是对称轴，D 错误。 综上正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】函数图象的对称性、周期性与奇偶性的综合判断 【易错点】把「对称轴」与「对称中心」混为一谈：x = 处 f 取值 0，是对称中心不是对称轴；判断最小正周期时只验证一个周期就下结论 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设分段函数 f(x) = { x + 1, x ≤ 1； − 3x + 5, x > 1 }，则 f(x) 的零点个数为___________。 【答案】1 【解析】分段求解，零点个数相加。 当 x ≤ 1 时，f(x) = x + 1，令 x + 1 = 0 得 x = −1，而 −1 ≤ 1 符合本段范围，得到 1 个零点。 当 x > 1 时，f(x) = − 3x + 5，判别式 Δ = 9 − 20 = −11 < 0， 方程没有实数根，所以本段没有零点。 注意分段点 x = 1 只属于第一段，f(1) = 2 ≠ 0，不构成零点。 所以 f(x) 的零点个数为 1。 【考查知识点】分段函数的零点个数：分段列方程并检验根是否落在本段范围 【易错点】求出第二段方程的判别式为负后仍去数根；把分段点 x = 1 既算进第一段又算进第二段 13. 已知函数 f(x) = x − x + 2（x > 0），则 f(x) 的零点个数为___________。 【答案】2 【解析】函数的定义域是 (0, +∞)，先看两端的行为。 当 x 趋近于 0 时， x 趋于负无穷，−x + 2 趋于 2，所以 f(x) 趋于负无穷； 当 x 趋于正无穷时， x 的增长慢于 x，所以 f(x) 也趋于负无穷。 再看极值处的取值：f'(x) = − 1，当 0 < x < 1 时 f'(x) > 0，当 x > 1 时 f'(x) < 0。 所以 f(x) 在 (0, 1] 上单调递增，在 [1, +∞) 上单调递减，最大值在 x = 1 处取得。 f(1) = 0 − 1 + 2 = 1 > 0。 在 (0, 1) 上，由连续性与两端异号知至少有一个零点； 在 (1, +∞) 上，同样由连续性与两端异号知至少有一个零点。 又由单调性知每个单调区间上零点唯一，所以零点个数为 2。 【考查知识点】含参对数函数的零点个数：先用导数确定单调性与最大值，再由连续性定个数 【易错点】只由「两端异号」数出至少两个零点而不讨论单调性，无法排除同一单调区间内出现两个零点 14. 已知函数 f(x) = − 2x + a，若存在 x ∈ [0, 2]，使 f(x) ≤ 0，则实数 a 的取值范围是___________。 【答案】(−∞, 1] 【解析】「存在 x ∈ [0, 2] 使 f(x) ≤ 0」就是区间 [0, 2] 上 f(x) 的最小值不大于 0。 先算最小值。f(x) = − 2x + a = + a − 1。 当 x = 1 时取到最小值 a − 1，而 1 ∈ [0, 2]，所以 f(x) 在 [0, 2] 上的最小值是 a − 1。 于是条件等价于 a − 1 ≤ 0，即 a ≤ 1。 必要性与充分性都要说清楚：若 a ≤ 1，取 x = 1 即有 f(1) = a − 1 ≤ 0，条件成立； 若 a > 1，则 f(x) ≥ a − 1 > 0 对一切 x ∈ [0, 2] 成立，条件不成立。 所以 a 的取值范围是 (−∞, 1]。 【考查知识点】存在性问题转化为区间上的最小值问题，并检验取等条件 【易错点】只写「最小值 ≤ 0 得到 a ≤ 1」而不验证 x = 1 是否真的落在 [0, 2] 内；或把区间 [0, 2] 的端点 f(0) = f(2) = a 漏掉，导致把 a ≤ 1 误写成 a < 1 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数 f(x) = { − + 2ax + 3, x ≤ 1；2x − 1, x > 1 }，其中 a ∈ R。 （1）当 a = 1 时，判断 f(x) 在 x = 1 处是否连续，并说明理由； （2）当 a = 1 时，求 f(x) 的单调区间，并判断 f(x) 是否有最大值； （3）若 f(x) 有且只有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围。 【答案】解：（1）当 a = 1 时，f(x) = { − + 2x + 3, x ≤ 1；2x − 1, x > 1 }。 在分段点处，左极限为 f(1) = −1 + 2 + 3 = 4， 右极限为 lim(x 从 1 右侧趋于 1) 2x − 1 = 2 × 1 − 1 = 1。 因为 4 ≠ 1，所以 f(x) 在 x = 1 处不连续（左极限大于右极限，图象在这一点向下跳跃）。 （2）当 x ≤ 1 时，f(x) = − + 2x + 3 = − + 4， 开口向下，顶点为 x = 1，所以 f(x) 在 (−∞, 1] 上单调递增。 当 x > 1 时，f(x) = 2x − 1 为一次函数，也在 (1, +∞) 上单调递增。 所以 f(x) 的单调递增区间为 (−∞, 1] 与 (1, +∞)，在 (−∞, 1] 上没有最大值。 再看 x > 1 这一段：当 x 趋于正无穷时，f(x) = 2x − 1 也趋于正无穷，函数值可以任意大。 虽然 f(1) = 4 比 x 略大于 1 时的函数值都大，但 x 可以无限增大，函数值总能超过 4， 因此 f(x) 在 R 上没有最大值。同样地，当 x 趋于负无穷时 f(x) 趋于负无穷，也没有最小值。 （3）当 x > 1 时 f(x) = 2x − 1 > 1 > 0，这一段没有零点，零点只能来自 x ≤ 1 这一段。 由 − + 2ax + 3 = 0 整理得 − 2ax − 3 = 0。 判别式 Δ = + 12 = + 12 > 0 恒成立，所以恒有两个不相等的实数根。 由韦达定理得两根之积为 −3 < 0，所以两根一负一正，记为 < 0 < 。 由于 < 0 < 1，它一定落在 x ≤ 1 内，因此零点个数只由 是否不超过 1 决定。 设 g(x) = − 2ax − 3，则 g(1) = (1 − )(1 − )。 因为 1 − > 0 恒成立，所以 g(1) ≥ 0 与 1 − ≥ 0 等价，即与 ≤ 1 等价。 而 g(1) = 1 − 2a − 3 = −2 − 2a，所以 ≤ 1 等价于 −2 − 2a ≥ 0，即 a ≤ −1。 验证：当 a = −1 时方程为 + 2x − 3 = 0，两根为 x = 1 与 x = −3，都在 x ≤ 1 内； 当 a < −1 时两根均为负数，也都落在 x ≤ 1 内。所以 a 的取值范围是 (−∞, −1]。 【解析】思路点睛：分段函数的综合题几乎都以「分段点」为抓手。第（1）（2）问围绕 x = 1 两侧做文章，第（3）问则先把第二段排除掉，把问题整体转化为一个含参二次方程的根的位置问题。 第（1）问判断连续性只需两件事：分段点处的函数值由哪一段给出，以及左右极限是否都存在。本题两段都是多项式，极限都存在，所以只比大小即可，不要去算别的。 第（2）问的通法是「段内看单调，段间看衔接」。本题两段各自递增，但衔接处跳跃向下，所以只能说是两个单调递增区间，不能说在整个 R 上递增——这一点务必讲清楚，很多同学会顺手写成「R 上递增」。 判断有无最大值时，要看函数值能不能被任意地推大。本题 x 趋于正无穷时函数值也趋于正无穷，所以虽然 f(1) = 4 是「跳上去」的最大值之一，但取不到整体最大值。 第（3）问的技巧是先用韦达定理看两根之积为 −3 < 0 判断两根一负一正，于是小的那个根自动满足 x ≤ 1，问题只剩「大的那个根能不能也不超过 1」这一个条件。 判断 ≤ 1 千万不要去解根式方程，那会引入 这样的繁复式子；用 g(1) = (1 − )(1 − ) 这个恒等式，因为 1 − > 0 恒成立，g(1) ≥ 0 就与 ≤ 1 完全等价，一步得到 a ≤ −1，这是本问最省时的处理方式。 本题还可用图象直观理解：− + 2ax + 3 是开口向下的抛物线在 x ≤ 1 上的部分，随着 a 减小顶点左移、两侧下降，两个零点都留在 x ≤ 1 内；当 a 增大时右零点右移出界，零点只剩一个。 一题多解：第（3）问也可以用「零点存在性定理 + 图象」来定性讨论，先看 f(1) = 2a + 2 的符号（即 a 是否小于 −1），再配合 f(0) = 3 > 0 与 f 趋于负无穷时的符号，最终结论同样是 a ≤ −1，两条路径可以互相验证。 【考查知识点】分段函数的连续性、单调区间与最值，含参分段函数的零点个数 【易错点】（2）中把两个单调递增区间误说成「在 R 上单调递增」；（3）中把两个零点都当作需要检验落在 x ≤ 1 内，实际上由两根之积为负可知负根自动合法，只需检验正根；另外不能漏掉分段点 x = 1 只属于第一段 16. 已知函数 f(x) = − 3ax + 2，其中 a ∈ R。 （1）求 f(x) 的极值（要分情况讨论）； （2）若 f(x) 有三个不同的零点，求实数 a 的取值范围； （3）若 f(x) ≥ −1 对一切 x ∈ [0, 1] 恒成立，求实数 a 的取值范围。 【答案】解：（1）求导得 f'(x) = − 3a = 3( − a)。 ① 当 a ≤ 0 时， ≥ 0 ≥ a，所以 f'(x) ≥ 0 对一切 x ∈ R 成立（a = 0 时仅在 x = 0 处取 0）。 此时 f(x) 在 R 上单调递增，没有极大值也没有极小值。 ② 当 a > 0 时，令 f'(x) = 0 得 x = ±。 当 − < x < 时 < a，f'(x) < 0，f(x) 递减； 当 x < − 或 x > 时 > a，f'(x) > 0，f(x) 递增。 所以 x = − 是极大值点，x = 是极小值点。 极大值为 f(−) = −·a + 2a + 2 = 2a + 2； 极小值为 f() = a − 2a + 2 = 2 − 2a。 （2）由（1）知当 a ≤ 0 时 f(x) 在 R 上单调递增，最多有一个零点，不合题意。 下面设 a > 0。f(x) 是三次多项式，x 趋于负无穷时 f(x) 趋于负无穷，x 趋于正无穷时 f(x) 趋于正无穷。 要有三个不同的零点，图象必须先升到极大值处穿过 x 轴、再降到极小值处穿过 x 轴、最后重新上升穿过 x 轴， 即要求极大值大于 0 且极小值小于 0。 极大值 2a + 2 > 0：由于 a > 0 时 a > 0，这一不等式恒成立。 极小值 2 − 2a < 0，即 a > 1。 当 a > 0 时 a = a，由 > （等价于 a > 1）知 a > = a，所以 a > 1 时 a > a > 1 一定成立。 反之若 0 < a ≤ 1，则 a ≤ a = a ≤ 1，不满足 a > 1。 所以极小值小于 0 的充要条件是 a > 1，此时极大值也大于 0，故三个零点确实存在且互不相同。 所以 a 的取值范围是 (1, +∞)。 （3）由 f(x) ≥ −1 得 − 3ax + 3 ≥ 0 对一切 x ∈ [0, 1] 恒成立。 先看必要的取值：当 x = 1 时必须满足 1 − 3a + 3 ≥ 0，解得 a ≤ 。 所以 a ≤ 是必要条件，下面验证它是否充分。 设 g(x) = − 3ax + 3，当 a ≤ 时，对一切 x ∈ [0, 1] 有 g(x) = − 3ax + 3 ≥ − 3 · x + 3 = − 4x + 3。 令 h(x) = − 4x + 3，则 h'(x) = − 4。 当 x ∈ [0, 1] 时 ≤ 1，所以 h'(x) ≤ 3 − 4 = −1 < 0，h(x) 在 [0, 1] 上单调递减。 故 h(x) 在 [0, 1] 上的最小值在 x = 1 处取得，h(1) = 1 − 4 + 3 = 0 ≥ 0。 所以 g(x) ≥ h(x) ≥ 0 在 [0, 1] 上恒成立，充分性成立。 综上，实数 a 的取值范围是 (−∞, ]。 【解析】思路点睛：三问都建立在一个共同的数据上——导数 f'(x) = 3( − a) 只含 a 与 ，所以关于 a 的分类讨论都围绕 a 的正负与 a 是否大于 1 展开。 第（1）问的分类标准是「导数有没有零点」：a ≤ 0 时 − a 恒正，导数不变号，函数单调无极值；a > 0 时导数在 x = ± 处变号，才有极大值与极小值。这里最容易漏的是 a = 0 这一档，它属于「导数恒非负」的一类，函数仍然单调递增、仍然无极值。 计算极值时不要把 的三次方硬写出来，用 a 表示最省事也最不容易出错；若写成 会让式子变得难以检查。 第（2）问是本节「根的分布」的典型题：三次多项式的零点个数由极值与 x 轴的位置关系决定，不需要真的解方程。判断链条要写完整：极限符号、极大值大于 0、极小值小于 0，三条同时满足才有三个根。 只写「极大值 > 0 且极小值 < 0」而不说明为什么这两条是必要的，阅卷时会被认为理由不充分。本题可以补一句：图象单调上升段上至多穿轴一次，先升、后降、再升共三段，所以三段各穿一次就恰有三个零点。 本题的一处细节值得提醒：当 a = 1 时极小值恰好等于 0，此时极小值点 x = 1 本身是一个零点，但它只是「相切」而不是穿过，零点个数是 2 而不是 3，所以端点 a = 1 必须排除。 第（3）问是标准的恒成立问题，用「必要性先缩小范围，再用充分性验证」两步走，这样既快又不会漏端点。必要性只需把区间端点 x = 1 代进去验算。 充分性的验证技巧是「作差比较」：把 a ≤ 代入 −3ax 一项后与 a = 的情形作比较，得到一个更简单的函数 h(x) = − 4x + 3，再用导数说明它在 [0, 1] 上递减且最小值为 0。 如果不用作差，也可以直接用配方法或直接求 f 在 [0, 1] 上的最小值（按 a 是否大于 讨论驻点），但运算量大得多，作差比较是这类题最省时的处理方式。 最常见的失分点是第（3）问只写了必要条件 a ≤ 就作答，没有验证充分性；以及第（1）（2）问把 a ≤ 0 与 a > 0 之外的情形遗漏，或忘记区分 a = 0 与 a < 0。 【考查知识点】导数求极值、根的分布与恒成立问题的分离参数与充分性验证 【易错点】（1）中漏掉 a ≤ 0 这一档（特别是 a = 0）而直接分类；（2）中把 a = 1 也算进去，忘记极小值等于 0 时是相切，零点只有 2 个；（3）中只求出必要条件就作答，不验证充分性 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第20节 函数与方程综合应用 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 分段函数的零点个数 数学运算 基础 B 2 单项选择题 5 分段函数的单调性与最值 逻辑推理 基础 C 3 单项选择题 5 图象与不等式解集的关系 数学运算 基础 A 4 单项选择题 5 偶函数与单调性综合判断 逻辑推理 基础 A 5 单项选择题 5 图象伸缩与平移变换 数学抽象 基础 B 6 单项选择题 5 导数判断零点个数 逻辑推理、数学运算 中档 C 7 单项选择题 5 含参分段函数的零点个数 数学运算、逻辑推理 中档 A 8 单项选择题 5 实际问题中的函数建模 数学建模、数学运算 中档 C 9 多项选择题 6 恒成立问题的分离参数 逻辑推理、数学运算 中档 ACD 10 多项选择题 6 奇函数的单调性与符号 逻辑推理 中档 ACD 11 多项选择题 6 对称轴、对称中心与周期 逻辑推理 中档 ABC 12 填空题 5 分段函数零点的求解 数学运算 基础 1 13 填空题 5 零点个数的判定 逻辑推理、数学运算 中档 2 14 填空题 5 存在性问题与区间最值 逻辑推理 中档 (−∞, 1] 15 解答题 13 分段函数的综合应用 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 极值、零点分布与恒成立 数学运算、逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第20节 函数与方程综合应用 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 分段函数的解析式与性质：分段点处取哪一段、左右极限是否相等（连续性）、单调区间与最值的判断 ② 函数与方程的转化：方程的根就是图象与 x 轴的交点，不等式的解集对应图象在 x 轴上方或下方的部分 ③ 零点存在性与根的分布：先用零点存在性定理判定根的存在，再借助导数与单调性判断根的个数 ④ 恒成立问题：分离参数把问题化为函数的最值，必要时先由必要条件缩小参数范围再讨论充分性 ⑤ 存在性问题与实际建模：把「是否存在参数使不等式成立」转化为最值与端点取值；抽象函数由奇偶性、单调性、周期性、对称性判断图象变换与最值 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 设分段函数 f(x) = { 2x, x ≤ 0； − 2x + 2, x > 0 }，则 f(x) 的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 设函数 f(x) = { x + 1, x ≤ 0； + 1, x > 0 }，则下列结论正确的是 A. f(x) 是偶函数 B. f(x) 在 (−∞, 0] 上单调递减 C. f(x) 在 (−∞, +∞) 上单调递增 D. f(x) 的最小值为 0 3. 已知函数 f(x) = − + 2x + 3，则不等式 f(x) > 0 的解集为 A. (−1, 3) B. (−3, 1) C. (−∞, −1) ∪ (3, +∞) D. (−1, +∞) 4. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 是偶函数，且在 [0, +∞) 上单调递增，又 f(1) = 0，则下列结论正确的是 A. f(−2) > f(−1) B. 方程 f(x) = 0 有且只有一个实数根 C. 不等式 f(x) < 0 的解集为 (−∞, −1) D. f(x) 的最小值为 0 5. 把函数 y = 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的 （横坐标不变），所得图象的解析式为 A. y = B. y = C. y = x D. y = − 6. 已知函数 f(x) = − 3x + 1，则 f(x) 在区间 (−2, 2) 内的零点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知分段函数 f(x) = { − ax + 1, x ≤ 1；2, x > 1 }，若 f(x) 在 R 上恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 A. a < −2 B. a ≤ −2 C. a > 2 D. a ≤ −2 或 a > 2 8. 某奶茶店推出一种新品，售价为每杯 15 元时每天可售出 25 杯。已知每杯的成本为 8 元，售价每上涨 1 元，每天少售 1 杯。设售价上涨 x 元（0 ≤ x ≤ 25），则该店每天的利润 f(x) 的最大值为 A. 240 B. 250 C. 256 D. 280 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知函数 f(x) = − 2ax + 3。若 f(x) ≥ 2 对一切 x ∈ R 恒成立，则下列结论正确的是 A. a 的取值范围是 [−1, 1] B. 若 f(x) ≥ 2 恒成立，则方程 f(x) = 2 有两个不相等的实数根 C. f(x) 的最小值为 3 − D. 若 f(x) ≥ 2 恒成立，则方程 f(x) = 2 至少有一个实数根 10. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 (−∞, 0) 上单调递增，f(1) = 3，则下列结论正确的是 A. f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增 B. f(−1) = 3 C. 不等式 f(x) < 0 的解集为 (−∞, 0) D. 若 f(x) < 0，则 x < 1 11. 某测量仪器的输出信号 y = f(x) = 2x，其中 x 的单位为秒，则下列结论正确的是 A. f(x) 是奇函数 B. f(x) 的最小正周期为 π C. f(x) 的图象关于直线 x = 成轴对称 D. f(x) 的图象关于直线 x = 成轴对称 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设分段函数 f(x) = { x + 1, x ≤ 1； − 3x + 5, x > 1 }，则 f(x) 的零点个数为___________。 13. 已知函数 f(x) = x − x + 2（x > 0），则 f(x) 的零点个数为___________。 14. 已知函数 f(x) = − 2x + a，若存在 x ∈ [0, 2]，使 f(x) ≤ 0，则实数 a 的取值范围是___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数 f(x) = { − + 2ax + 3, x ≤ 1；2x − 1, x > 1 }，其中 a ∈ R。 （1）当 a = 1 时，判断 f(x) 在 x = 1 处是否连续，并说明理由； （2）当 a = 1 时，求 f(x) 的单调区间，并判断 f(x) 是否有最大值； （3）若 f(x) 有且只有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围。 16. 已知函数 f(x) = − 3ax + 2，其中 a ∈ R。 （1）求 f(x) 的极值（要分情况讨论）； （2）若 f(x) 有三个不同的零点，求实数 a 的取值范围； （3）若 f(x) ≥ −1 对一切 x ∈ [0, 1] 恒成立，求实数 a 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $