第20节 函数与方程综合应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第20节 函数与方程综合应用 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 分段函数的零点 数学运算 基础 A 2 单项选择题 5 零点存在定理与实根定位 数学运算、逻辑推理 基础 A 3 单项选择题 5 绝对值函数的零点个数 数学运算 基础 A 4 单项选择题 5 函数奇偶性与参数的反求 数学运算 基础 A 5 单项选择题 5 图象交点与方程实根的对应 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 二次函数最值反推参数 数学运算 中档 A 7 单项选择题 5 重根的识别与计数 数学运算、逻辑推理 中档 A 8 单项选择题 5 区间恒成立与最值 数学运算 中档 A 9 多项选择题 6 三次函数性质的综合判断 数学运算、逻辑推理 中档 ABC 10 多项选择题 6 绝对值复合函数的性质 数学运算、逻辑推理 中档 ABD 11 多项选择题 6 乘积型函数的导数与极值 数学运算、逻辑推理 中档 ABC 12 填空题 5 抛物线与 x 轴的交点 数学运算 基础 1 13 填空题 5 三次方程根与系数的关系 数学运算 中档 0 14 填空题 5 方程根与系数的关系 数学运算 中档 −3 15 解答题 13 导数与函数图象的综合 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 函数与方程的综合讨论 数学运算、逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第20节 函数与方程综合应用 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 分段函数的零点：各段的定义域要先划好，再分别求解并把落在自己区间内的解收回来 ② 零点存在定理与单调性：函数在区间两端异号且连续只能保证"有一个零点是真的"，要说清唯一性必须补上单调 ③ 图象交点与方程实根的对应关系：交点个数就是方程实根个数，把"交于几个点"翻译成"直线与曲线相切或相离"来讨论 ④ 含参方程的根的分布：对称轴位置、端点值符号、判别式三件事一起列，边界能不能取到要看清题中的开闭区间 ⑤ 由导数确定的最值做不等式证明：先求出函数的准确极值，再把要证的式子整理成同一个函数的最值问题 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某停车场的计费函数为 f(x) = { 2x − 1, x ≤ 0, ln x, x > 0 } （x 表示小时数）。则该函数的零点为 A. 1 B. C. 与 1 D. 没有零点 【答案】A 【解析】分段函数求零点，第一件事是把每一段自己的取值范围画出来。 第一段 x ≤ 0：令 2x − 1 = 0 得 x = ，但它不满足 x ≤ 0，这一段实际上没有零点。 第二段 x > 0：令 ln x = 0，得 x = 1，且 1 > 0 落在这一段的范围内，有效。 所以整个函数的零点只有 x = 1。 C 项是典型的错答：它把第一段解出来的数不核对定义域就收进答案，而 落在 y = ln x 那一段也会成立，一旦不分段就会算出两个看似都对的解。 回代检查：x = 属于 x > 0 这一段，此时 y = ln ≠ 0，所以它不是零点，这能把 C 项彻底排除。 【考查知识点】分段函数求零点：分段求解后逐一用本段的定义域回筛 【易错点】解出两段的方程后不做定义域筛查，把 也算进答案；或只在某一段内求解而漏掉另一段 2. 某信号衰减模型给出方程 + x = 2，则该方程的实根所在区间为 A. (0, 1) B. (−1, 0) C. (1, 2) D. (2, 3) 【答案】A 【解析】把方程左端移过去，记 F(x) = + x − 2，问题变成找它的零点在哪一段。 先读单调性：F'(x) = + 1 > 0 恒成立，所以 F 在整条实轴上严格递增，零点至多一个。 再试两端：F(0) = 1 + 0 − 2 = −1 < 0，F(1) = e + 1 − 2 = e − 1 > 0（因为 e ≈ 2.718），两端异号。 由零点存在定理，零点落在 (0, 1) 内；结合严格递增，这个零点还是唯一的。 把其余选项也扫一遍：F(−1) = − 1 − 2 < 0，与 F(0) < 0 同号，B 里不会有零点；F(2) = + 2 − 2 = > 0，与 F(1) > 0 同号，C、D 同理排除。 这类"判断根的位置"的题，标准动作是"先证单调、再试端点异号"，两步加起来既定位又定唯一性。 【考查知识点】零点存在定理配合单调性确定方程实根所在的区间并说明唯一 【易错点】只看 F(0) < 0 就选 (−1, 0)；或忘了验证严格单调，导致无法确定是不是只有一个根 3. 函数 y = 的零点个数为 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】题里同时出现 与 ，注意 = ，所以式子只跟 有关，可以先换元。 令 t = ≥ 0，方程化为 − 2t − 3 = 0。 因式分解得 (t − 3)(t + 1) = 0，解出 t = 3 或 t = −1。 由于 t ≥ 0，t = −1 要舍掉，只剩 t = 3，即 = 3。 由 = 3 得 x = 3 或 x = −3，共两个零点。 回代检查：x = 3 时 9 − 6 − 3 = 0；x = −3 时 9 − 6 − 3 = 0；二者都成立。反过来验证 t = −1 这条被舍掉的根：把它代回原式得 − 2 × (−1) − 3 = 1 + 2 − 3 = 0 也成立，但这里成立的是"t 的方程"，不是"x 的方程"——t 代表 而不是 x 本身， 不可能取负值，所以这一根必须舍，这是本题的分水岭。 换元之后只剩一个正根，再由 = t 回带出 ±，是这一类题的通用节奏。 【考查知识点】含绝对值的函数求零点：先化成关于 的式再换元，并守住 t ≥ 0 【易错点】把 t = −1 也当成 的解，凭空多出 x = ±1 两个假零点；或只写 x = 3 而漏掉对称的 x = −3 4. 若函数 f(x) = (a − 1) + 2a x 是偶函数，则实数 a 等于 A. 0 B. 1 C. 2 D. −1 【答案】A 【解析】偶函数要求对一切 x 都有 f(−x) = f(x)。 先把 f(−x) 写出来：(a − 1) + 2a(−x) = (a − 1) − 2a x。 与 f(x) 相减，得 [f(x) − f(−x)] = 4a x，要对一切 x 恒为 0。 取 x = 1 就得 4a = 0，所以 a = 0。 回代检查：a = 0 时 f(x) = −，确实是偶函数；a = 1 时 f(x) = 2x，是奇函数而不是偶函数，这也顺手排除了 B。 本题还有一个更快的看法：偶函数里一次项系数必须为 0，而一次项系数由 2a 控制（a ≠ 1 时），直接得 a = 0；若 a = 1 则函数退化成一次函数 2x，本身就不可能偶。 【考查知识点】由偶函数定义反推参数：让一次项系数恒为零 【易错点】只盯着二次项系数要求 a − 1 > 0，误以为 a 有范围；或取 x = 1 后把 4a = 0 算成 a = 1 5. 直线 y = k 与抛物线 y = − 2x 有两个公共点，则 k 应满足 A. k > −1 B. k ≥ −1 C. k < −1 D. k ≠ −1 【答案】A 【解析】先把这两条曲线的相对位置读清楚：抛物线开口向上，顶点在 x = 1 处，顶点纵坐标为 1 − 2 = −1。 因此这条抛物线的最低点就是 (1, −1)，一条水平直线要与它有两个交点，必须落在最低点的上方。 于是 k > −1。 回代检查：k = −1 时直线恰好穿过顶点，只有一个公共点（相切），对应的方程 − 2x = −1 即 = 0 有重根；k = −2 时方程 − 2x + 2 = 0 的判别式 4 − 8 < 0，没有实根，也没有公共点。这两个样本把"开"与"闭"的边界区分得很清楚。 等价地用心算通项：由 − 2x = k 得 − 2x − k = 0，要两个不同实根需 Δ = 4 + 4k > 0，同样得到 k > −1，两种方法互为验证。 【考查知识点】直线与抛物线交点个数：由顶点（最值）位置判断，或用判别式复核 【易错点】把"相切"也算成两个公共点而选 B；或把顶点纵坐标算成 −2 而选 C 6. 对于函数 f(x) = − a + 1，若它的最小值为 0，则实数 a 等于 A. 2 B. −2 C. ±2 D. 4 【答案】A 【解析】同样先看 = ，令 t = ≥ 0，问题变成 h(t) = − a t + 1 在 t ≥ 0 上的最小值为 0。 h(t) 是开口向上的二次函数，顶点在 t = 。 分两种情况。若 a ≤ 0，则 ≤ 0 落在定义域之外，h 在 [0, +∞) 上递增，最小值为 h(0) = 1 ≠ 0，不合题意。 若 a > 0，顶点落在 t ≥ 0 内，最小值为 h() = a{^|2|}4 − a{^|2|}2 + 1 = 1 − a{^|2|}4。令其等于 0，得 = 4，结合 a > 0 得 a = 2。 回代检查：a = 2 时 f(x) = − 2 + 1 = ( − 1){^|2|}，最小值为 0，在 x = ±1 处取到，与结论一致；a = −2 时 f(x) = + 2 + 1 = ( + 1){^|2|} ≥ 1，最小值为 1，排除。 C 项是把 a > 0 这个前提丢掉之后误加的负根，而 a = −2 时顶点在 t < 0 处，最小值根本不是 0。 【考查知识点】含绝对值二次式的最小值反推参数：换元后按顶点是否在定义域内分类 【易错点】忘了分类讨论 a 的符号，直接令 1 − a{^|2|}4 = 0 就写 a = ±2；或漏掉 a ≤ 0 时最小值为 1 的那一支 7. 某三次方程被整理成 − + 3x − 1 = 0，则它的不同实根个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】先把左边整体看一眼： − + 3x − 1 正是 (x − 1) 的三次方，因为二项式 展开后依次是 、−、3x、−1。 所以方程等价于 = 0，解是 x = 1，但这是三重根，只能算一个不同的实根。 回代检查：x = 1 时 1 − 3 + 3 − 1 = 0，成立；取 x = 0 得 −1 ≠ 0、x = 2 得 8 − 12 + 6 − 1 = 1 ≠ 0，说明没有别的实根。 本题的坑在"重根 ≠ 多个根"：方程的图象只在 x = 1 处与横轴相切（并且穿过），按不同实根计数只能算一个。若题目问的是"根的重数"，那答案才是 3。 遇到系数是 1、−3、3、−1 这种组合，第一反应应当去套完全立方公式，而不是去求导找极值。 【考查知识点】由完全立方公式识别重根，区分"不同实根个数"与"根的重数" 【易错点】把三重根当成三个不同的实根，选 C；或把方程看成三次而先入为主地找三个根 8. 若对一切 x ∈ [1, +∞) 都有 + 2x + a ≥ 0 成立，则 a 的最小值为 A. −3 B. 3 C. 0 D. −2 【答案】A 【解析】把含 x 的部分与 a 分开： + 2x + a ≥ 0 等价于 a ≥ −( + 2x) 对一切 x ≥ 1 成立。 所以 a 只要不小于 φ(x) = −( + 2x) 在 [1, +∞) 上的最大值即可。 φ(x) = − − 2x 是开口向下的二次函数，在 [1, +∞) 上随着 x 增大而减小，最大值落在左端点 x = 1。 φ(1) = −1 − 2 = −3，故 a ≥ −3，a 的最小值为 −3。 换个角度直接做：记 h(x) = + 2x + a，它在 [1, +∞) 上递增（顶点 x = −1 在区间外），最小值在 x = 1，为 h(1) = 3 + a。要 h(1) ≥ 0 得 a ≥ −3，与上式完全一致。 回代检查：a = −3 时左边在 x = 1 处等于 0，在 x = 2 处等于 4 + 4 − 3 = 5 > 0，确实非负；若 a = −4，则 h(1) = −1 < 0，已经不成立，边界卡得准。 【考查知识点】区间上的恒成立：找被比较函数的最值，左端点能不能取到要看清闭区间 【易错点】把 h(x) 的顶点 x = −1 当成区间内点，误以为最小值在顶点处；或把 a 的最小值写成 +3 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 针对三次函数 f(x) = − 9x，下列判断中正确的有 A. f(x) 的极大值为 6 B. f(x) 共有三个零点 C. f(x) 是奇函数 D. f(x) 在 (0, 3) 上单调递增 【答案】ABC 【解析】A 项：f(x) 的导数为 − 9 = 3(x − )(x + )。在 x < − 时 f' > 0、(−, ) 上 f' < 0、x > 时 f' > 0，所以 x = − 是极大值点，f(−) = −3 + 9 = 6，正确。 B 项：极小值点为 x = ，f() = 3 − 9 = −6 < 0。极大值 6 > 0、极小值 −6 < 0，两端分别冲向正无穷与负无穷，三段各穿横轴一次，共有三个零点，正确。 C 项：f(−x) = − + 9x = −( − 9x) = −f(x)，是奇函数，正确。 D 项：f' 在 (0, ) 上为负、在 (, +∞) 上为正，所以函数在 (0, 3) 上先递减后递增，并非全程递增，错误。 回代检查：f(0) = 0 本身就是第三个零点，再由 f(−4) = −64 + 36 = −28 < 0 与 f(−3) = −27 + 27 = 0 交叉核对，零点分布与 A、B 两项的判断吻合。 综上，正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】三次函数的极值、零点个数与奇偶性的综合判断 【易错点】D 项凭"x 越大 y 越大"的直觉，忽略导数在 (, +∞) 才转正；A 项把极大值点对应的横坐标算成 + 10. 设 f(x) = 。关于它的说法，成立的有 A. f(x) 是偶函数 B. f(x) 共有四个零点 C. f(x) 的最小值为 −1 D. f(x) 在 (0, 1) 上单调递减 【答案】ABD 【解析】A 项：式子里只有 与 ，二者关于 x 取相反数都不变，所以 f(−x) = f(x)，是偶函数，正确。 B 项：令 g(t) = （t = ≥ 0），先解绝对值里面为 0： − 4t + 3 = 0 得 t = 1 与 t = 3。t = 1 对应 x = ±1，t = 3 对应 x = ±3，共四个零点，正确。 C 项：t ∈ [1, 3] 时里面为负，取绝对值后 g(t) = −( − 4t + 3)，在 t = 2 处取到 −(4 − 8 + 3) = 1 > 0；t 为其他值时里面非负。无论如何都是非负的，最小值是 0 而不是 −1，错误。 （更直白地看：绝对值的结果不可能为负，所以"最小值为 −1"这个说法从定义上就不成立。） D 项：x ∈ (0, 1) 时 = x，里面为 − 4x + 3，其对称轴在 x = 2 的左侧，故在 (0, 1) 上这一段递减，取绝对值之后符号不变（因为这一段里面为正），所以 f(x) 在 (0, 1) 上单调递减，正确。 综上，正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】绝对值函数的奇偶性、零点个数、最小值与单调性的综合判断 【易错点】C 项把绝对值里的函数在 t = 2 处的局部值 1 与"绝对值"混淆；B 项只数出正半轴的两个零点 x = 1、3 而漏掉对称的 −1、−3 11. 设 f(x) = 。以下四种说法中，正确的有 A. f(x) 的最小值为 0 B. f(x) 共有两个极值点 C. f(x) 在 (−2, 0) 上单调递减 D. f(x) 的极大值为 【答案】ABC 【解析】A 项：先做符号分析。 ≥ 0 且 > 0，所以 f(x) ≥ 0 恒成立；而 f(0) = 0，最小值 0 取得到，正确。 B 项：f(x) = 的导数为 2x· + · = ( + 2x) = x(x + 2)。由于 > 0 恒正，驻点就是 x = 0 与 x = −2，共两个，且导数在两者处都变号，都是极值点，正确。 C 项：由上面的符号，x < −2 时 x(x + 2) > 0，f' > 0；−2 < x < 0 时 x(x + 2) < 0，f' < 0；x > 0 时 f' > 0。所以 (−2, 0) 上单调递减，正确。 D 项：x = −2 处由增转减，是极大值点，f(−2) = = ，而选项写的是 ，少了一半，错误。 复核极值：x = 0 处由减转增是极小值 f(0) = 0；x = −2 处由增转减是极大值 > 0，与 A 项的"最小值为 0"互相印证（极小值就是全局最小值）。 综上，正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】含有 e 与多项式乘积的函数的符号分析：极值点与单调区间的确定 【易错点】D 项把 = 4 算成 2；A 项忽略了 x 取负时 仍为正而误判最小值 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若二次函数 y = − 2x + m 的图象与 x 轴有两个不同的交点，则 m 应满足 m <______。 【答案】1 【解析】交点问题等价于方程 − 2x + m = 0 有两个不等实根，用判别式。 Δ = − 4 × 1 × m = 4 − 4m。 要两个不同实根需 Δ > 0，即 4 − 4m > 0，得 m < 1。 回代检查：m = 0 时方程 x(x − 2) = 0 有两个根 0 与 2，符合；m = 1 时方程 = 0 只有重根 x = 1，只有一个交点；m = 2 时 Δ = −4 < 0，没有交点。三档对比正好框住 m < 1 这条边界。 本题也可以从顶点看：抛物线顶点纵坐标为 m − 1，要与 x 轴交于两点，顶点必须在 x 轴下方，即 m − 1 < 0，同样得 m < 1。 【考查知识点】由抛物线与 x 轴交点个数反推参数，用判别式或顶点位置两种口径验证 【易错点】把"两个不同交点"当成"至少一个交点"而写出 m ≤ 1；或把判别式算成 4 − 2m 而答成 m < 2 13. 若 f(x) = − 6x + a 有三个零点，其中两个为 − 和 ，则第三个零点为______。 【答案】0 【解析】把三个零点记为 、、，由三次方程的韦达公式，三个零点之和等于二次项系数的相反数。 本题 f(x) = + 0· − 6x + a，二次项系数为 0，所以 + + = 0。 代入已知的两个零点：− + + = 0，得 = 0。 回代检查：第三个零点为 0 时，三个零点是 0、−、，于是 f(x) 应等于 x( − 6) = − 6x，对比可知 a = 0。再把 a = 0 代回原式，f(x) = − 6x 确实恰有这三个零点，闭环成立。 这也顺带说明：只要两个零点正好是 ±，三次项与一次项的搭配就把常数项 a 唯一定成了 0，第三个零点只能落在原点。 【考查知识点】用三次方程的韦达关系由已知零点反推第三个零点，并回代验证自洽 【易错点】直接猜"第三个根是 0"却不做验证；或把韦达公式记成"零点之积等于常数项"而算错 14. 若关于 x 的方程 + 2x + k = 0 的两个实数根之差为 4，则 k =______。 【答案】−3 【解析】设两根为 、，由韦达公式 + = −2，且已知 = 4。 两根之和为 −2、之差为 4，解这个二元一次组得 = 1、 = −3（顺序可换）。 再由两根之积等于常数项 k，得 k = 1 × (−3) = −3。 回代检查：k = −3 时方程为 + 2x − 3 = 0，因式分解为 (x − 1)(x + 3) = 0，两根正是 1 与 −3，两根之差 = 4，与题设完全一致，判别式 4 + 12 = 16 > 0 也成立。 这类题的另一条路是直接用两根差公式：( − ){^|2|} = ( + ){^|2|} − = 4 − 4k，令其等于 16 得 4 − 4k = 16，即 k = −3，与上面同一答案。 【考查知识点】由韦达公式结合两根之差求未知系数，并用因式分解复核 【易错点】把两根之差直接当成 2 却在开方时丢掉绝对值；或把两根之积当成 −k 而少写一个负号 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某基站的信号强度随距离变化，模型给出 g(x) = （x ∈ R）。 （1）求 g(x) 的单调区间、极小值与极大值； （2）若方程 g(x) = m 恰有一个实根，求实数 m 的取值范围； （3）证明：对一切实数 x，都有 ≤ 。 【答案】解：（1）g'(x) = 2x· + ·(−) = (2x − ) = x(2 − x)。 因为 > 0 恒成立，导数符号只由 x(2 − x) 决定：x < 0 时为负、0 < x < 2 时为正、x > 2 时为负。 所以 g 在 (−∞, 0) 上单调递减，在 (0, 2) 上单调递增，在 (2, +∞) 上单调递减。 极小值为 g(0) = 0，极大值为 g(2) = = 。 （2）先把 g 的图象轮廓说清楚：x 取负且越来越小时， 与 都冲向正无穷，故 g(x) 冲向正无穷；x 越来越大时 冲向 0，g(x) 从上方逼近 0。 结合（1）的单调性，把直线 y = m 往上提：当 m < 0 时，g 恒非负，直线在图象下方，没有交点； 当 m = 0 时只在 x = 0 处相碰，恰有一个实根（也是唯一极小点）； 当 0 < m < 时，图象的左支（x < 0）、中支（0 < x < 2）、右支（x > 2）各穿一次，共三个实根； 当 m = 时，左支穿一次、右支在 x = 2 处相切，共两个实根； 当 m > 时，只有左支够得着，恰有一个实根。 所以方程恰有一个实根时，m = 0 或 m > 。 （3）由（1）已经算出 g 的全部极值：极大值是 ，极小值是 0，再比较两端的走向——x 往负方向越走越远时 g 冲向正无穷，x 往正方向越走越远时 g 贴近 0 且始终为正。 于是 g 在整条实轴上的最大值就是那个极大值 ，所以 ≤ 恒成立，等号当且仅当 x = 2。 复核：x = 2 时两边都是 ，取等成立；x = 0 时 g = 0 ≤ ；x = 4 时 g = ≈ 0.293 < ≈ 0.541，也满足。 【解析】第（1）问的关键动作是"把 e 这一部分整个去掉"： 永远为正，所以导数的符号完全可以由 e 的多项式部分决定，省去画指数曲线的功夫。 第（1）问还要盯住定义域是整条实数轴，所以 x = 0 与 x = 2 两个驻点都要算极值，一个给极小、一个给极大，不要只报其中一个。 第（2）问真正的难点是"左支有多高"：x 往负方向越走越远时 冲向正无穷这一条，决定了水平线 y = m 在足够高时只能与左支碰一次。把这句话想通，m > 这一档就自然出来了。 第（2）问里最容易写错的是把"相切"漏掉：m 正好等于极大值时，图象在 x = 2 处相切但左支另有一次穿越，总数是两个而不是三个，也不是一个，这是分档表里的关键一格。 第（3）问是全题的收口：它不需要新的计算，只要把第（1）问的极大值与第（2）问的两端走向合在一起，就得到了全局上界。同类题的证明题几乎都长这个样子。 整道题有一条很干净的主线：导数定出两个驻点，驻点值给出"高"与"低"两条界，再用水平线扫过图象就把根的个数分完了。 【考查知识点】乘积型函数的单调区间与双侧极值、水平线与图象的公共点个数分档、由极值直接给出全局不等式 【易错点】第（2）问只想到"直线在最高点上方才有一个交点"，漏掉 m = 0 这一档；第（3）问把极大值当成唯一上界却忘了排除左支越界的情况 16. 某运维平台用 f(x) = x ln x − x（x > 0）衡量单位时长的净收益。 （1）求 f(x) 的最小值； （2）讨论方程 f(x) = k 的实根个数（按 k 的取值分档说明）； （3）证明：对一切 x > 0，都有 x ln x ≥ x − 1，且等号当且仅当 x = 1。 【答案】解：（1）f'(x) = ln x + x · − 1 = ln x，所以 f'(x) = 0 给出 x = 1。 0 < x < 1 时 ln x < 0，f' < 0，f 递减；x > 1 时 ln x > 0，f' > 0，f 递增。 故 x = 1 是唯一的极小值点（也是全局最小点），f(1) = 1 × 0 − 1 = −1，最小值为 −1。 （2）先看两端：x 从正侧靠近 0 时，x ln x 与 x 都趋于 0，故 f(x) 贴向 0；x 越来越大时 x ln x 冲向正无穷，故 f(x) 冲向正无穷。 结合（1）的单调性——左支 (0, 1) 从 0 降到 −1，右支 (1, +∞) 从 −1 升到 +∞： 当 k < −1 时，两条支都在 −1 之上，无交点，0 个实根； 当 k = −1 时，只在 x = 1 相碰，1 个实根； 当 −1 < k < 0 时，左支穿一次、右支穿一次，共 2 个实根； 当 k = 0 时，右支有 x = e（由 f(x) = 0 得 x(ln x − 1) = 0，x > 0 故 ln x = 1）；左支趋近 0 但不取到 0（定义域不含 0），故只有 1 个实根； 当 k > 0 时，右支唯一穿过，1 个实根。 综上：k < −1 时 0 个；k = −1 或 k ≥ 0 时 1 个；−1 < k < 0 时 2 个。 （3）把要证的不等式移项，等价于 x ln x − x + 1 ≥ 0，也就是 f(x) + 1 ≥ 0。 由（1）已经知道 f(x) 的最小值是 −1，在 x = 1 处取到，所以 f(x) ≥ −1 对一切 x > 0 成立，即 f(x) + 1 ≥ 0，原不等式随之得证，且等号当且仅当 x = 1。 复核：x = 1 时 1 × 0 = 0 而 1 − 1 = 0，等号成立；x = e 时左边 e × 1 = e ≈ 2.718 ≥ e − 1 ≈ 1.718，成立；x = 时左边 × ln ≈ −0.347，右边 − 1 = −0.5，−0.347 ≥ −0.5，也成立。 【解析】第（1）问是全题的地基：f'(x) 化简后竟然只剩 ln x 一项，这让单调性的判断变得特别干脆，所以第一步化简一定要做到最简，别停在 x ln x + 1 − 1 这种没合并完的形式。 第（2）问最容易翻车的一格是 k = 0：不少同学会拿"左支靠近 0 时极限是 0"当作有一个零点，但 x = 0 根本不在定义域里，图象只是无限逼近而不接触，这一格只能算右侧的 x = e 一个实根。 第（2）问的另外两个边界同样要抠清楚：k = −1 是极小点相切（1 个），k = 0 是左支不接触（1 个），中间那一档 −1 < k < 0 才是真正的"两根夹着极小点"。 第（2）问推荐的记录方式是画一张三行表格：一列写 k 的范围，一列写左、右两支各自有没有交点，一列写总数，写完一眼就能报出三档结论，比零散地想清楚得多。 第（3）问看似是新的不等式证明，其实是把第（1）问的结论换个写法：把要证的式子整理成 f(x) + 1 ≥ 0，整道题就闭环了。这类"证明题其实是前面小问的推论"的现象非常普遍。 全题最后再核对一遍定义域：f 的定义域是 x > 0，所以靠近 0 处只能说"趋近"，不能说"取值"，这是第（2）问三档结论里最容易失分、也最值得一再确认的地方。 【考查知识点】由导数确定单调与最小值、结合两端走向按参数分档讨论实根个数、把不等式证明转化为已知最值的推论 【易错点】第（2）问把 x 从正侧靠近 0 时的极限 0 当成取到 0，误在 k = 0 处多算一个实根；第（3）问绕开第（1）问另起炉灶去做放缩 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第20节 函数与方程综合应用 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 分段函数的零点：各段的定义域要先划好，再分别求解并把落在自己区间内的解收回来 ② 零点存在定理与单调性：函数在区间两端异号且连续只能保证"有一个零点是真的"，要说清唯一性必须补上单调 ③ 图象交点与方程实根的对应关系：交点个数就是方程实根个数，把"交于几个点"翻译成"直线与曲线相切或相离"来讨论 ④ 含参方程的根的分布：对称轴位置、端点值符号、判别式三件事一起列，边界能不能取到要看清题中的开闭区间 ⑤ 由导数确定的最值做不等式证明：先求出函数的准确极值，再把要证的式子整理成同一个函数的最值问题 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某停车场的计费函数为 f(x) = { 2x − 1, x ≤ 0, ln x, x > 0 } （x 表示小时数）。则该函数的零点为 A. 1 B. C. 与 1 D. 没有零点 2. 某信号衰减模型给出方程 + x = 2，则该方程的实根所在区间为 A. (0, 1) B. (−1, 0) C. (1, 2) D. (2, 3) 3. 函数 y = 的零点个数为 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 4. 若函数 f(x) = (a − 1) + 2a x 是偶函数，则实数 a 等于 A. 0 B. 1 C. 2 D. −1 5. 直线 y = k 与抛物线 y = − 2x 有两个公共点，则 k 应满足 A. k > −1 B. k ≥ −1 C. k < −1 D. k ≠ −1 6. 对于函数 f(x) = − a + 1，若它的最小值为 0，则实数 a 等于 A. 2 B. −2 C. ±2 D. 4 7. 某三次方程被整理成 − + 3x − 1 = 0，则它的不同实根个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若对一切 x ∈ [1, +∞) 都有 + 2x + a ≥ 0 成立，则 a 的最小值为 A. −3 B. 3 C. 0 D. −2 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 针对三次函数 f(x) = − 9x，下列判断中正确的有 A. f(x) 的极大值为 6 B. f(x) 共有三个零点 C. f(x) 是奇函数 D. f(x) 在 (0, 3) 上单调递增 10. 设 f(x) = 。关于它的说法，成立的有 A. f(x) 是偶函数 B. f(x) 共有四个零点 C. f(x) 的最小值为 −1 D. f(x) 在 (0, 1) 上单调递减 11. 设 f(x) = 。以下四种说法中，正确的有 A. f(x) 的最小值为 0 B. f(x) 共有两个极值点 C. f(x) 在 (−2, 0) 上单调递减 D. f(x) 的极大值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若二次函数 y = − 2x + m 的图象与 x 轴有两个不同的交点，则 m 应满足 m <______。 13. 若 f(x) = − 6x + a 有三个零点，其中两个为 − 和 ，则第三个零点为______。 14. 若关于 x 的方程 + 2x + k = 0 的两个实数根之差为 4，则 k =______。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某基站的信号强度随距离变化，模型给出 g(x) = （x ∈ R）。 （1）求 g(x) 的单调区间、极小值与极大值； （2）若方程 g(x) = m 恰有一个实根，求实数 m 的取值范围； （3）证明：对一切实数 x，都有 ≤ 。 16. 某运维平台用 f(x) = x ln x − x（x > 0）衡量单位时长的净收益。 （1）求 f(x) 的最小值； （2）讨论方程 f(x) = k 的实根个数（按 k 的取值分档说明）； （3）证明：对一切 x > 0，都有 x ln x ≥ x − 1，且等号当且仅当 x = 1。 学科网（北京）股份有限公司 $