精品解析：福建莆田第二十四中学2026-2027学年高二上学期第一次月考测试数学试卷

莆田第二十四中学2026—2027学年（上）高二数学第一次月考测试卷 一、单选题 1. 已知数列的通项公式为，则在下列各数中，不是的项的是（ ） A. 21 B. 33 C. 152 D. 153 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入进行各项检验即可 【详解】当值进行验证，时，A满足； 当时，B满足； 当时，D满足； 令，解得： 故又为正整数，所以选项C错误 故选：C 2. 下列数列是递减数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数方法依次判断每个选项数列的增减性得到答案. 【详解】对选项A：为递增数列； 对选项B：为递减数列； 对选项C：，先增后减数列； 对选项D：，先减后增数列. 故选：B. 3. 已知数列满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】判断数列的周期后可求. 【详解】由题可得， 猜测是周期为3的数列，下证周期为3. 因为，故, 故是周期数列且周期为3. 故. 故选：A. 4. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出． 【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列， ， ，解得． 故选：C. 5. 在正项等比数列中，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，从而可得所求的的值. 【详解】因为数列为等比数列，所以，又，所以． 故选：B. 【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质： （1）若，则； （2）公比时，则有，其中为常数且； （3） 为等比数列（ ）且公比为. 6. 中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列，根据前5项和得第二天织布数. 【详解】由题，设每日织布数的数列为，则为以2为公比的等比数列， 由题知，得，所以第二天织布尺数为. 故选：B. 7. 设等差数列的前n项和为，，公差为d，，．则下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. D. 使得成立的最大自然是n是17 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合等差数列的通项公式，性质及求和公式逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为等差数列中，，， 所以，所以公差，所以A正确， 对于B，由于，，，所以前9项均为负数，所以当时，取得最小值，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，因为，所以，， ，，所以使得成立的最大自然是n是18，所以D错误， 故选：D 8. 记数列的前项和满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的关系求解即可. 【详解】因为， 当； 所以， 当时，，符合上式，所以， 故选：C. 二、多选题 9. 已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】对于A，∵， ∴，，，，故A正确； 对于B，∵， ∴，，，，故B正确； 对于C，∵， ∴，，，，故C正确； 对于D，∵， ∴，，，，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 数列是单调递增数列 C. 数列不是等差数列 D. 数列不是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，可求出，然后当时，由，得，两式相减可求出，即可判断选项. 【详解】当时，，A正确； 当时，由， 得， 两式相减得，， 化简得， 因为不满足此式，所以， 由于，所以数列不是单调递增数列，B错误； CD正确. 故选：ACD 11. 已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由代入得出的递推关系，得证是等差数列，可判断A，求出后，可判断B，由的值可判断C，求出后可判断D． 【详解】因为，， 所以，所以， 所以是公差为3的等差数列，A正确； 因为， 所以，，B正确； 时，由， 得，但不满足此式，因此C错误； 由得， 所以是等比数列，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12. 1和4的等差中项是__________． 【答案】 【解析】 【详解】设1和4的等差中项为，则，解得， 故1和4的等差中项为． 13. 已知等差数列，前项和分别为和，若，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用等差数列下标和的性质及等差数列前n项和公式有，结合已知求值即可. 【详解】由，， 所以. 故答案为：. 14. 等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列为正项等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 设的公比为，正项等比数列满足，由，得，， 由，得，即，解得或，舍， 故，所以. 【小问2详解】 由数列为正项等比数列，，，得. 16. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用计算求解通项公式即可； （2）分和两种情况结合等差数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，. 显然满足上式， . 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，， 是公差为的等差数列. 令，解得，且. 当时，，当时，， 当时， . 当时， . 综上， 17. 已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由，解得， 而，数列是单调递减数列， 所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数， 所以时，数列前项和的最大值为. 18. 在数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明： 已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. （2）（） （3）（） 【解析】 【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：，然后再根据等比数列的定义进行证明即可； （2）由（1）可知为等比数列，先求解的通项公式，进而求解数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果求解的通项公式，然后再根据分组求和和错位相减的方法进行求和即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： （） 【小问3详解】 由（2）可知：（），可得：（） 设（1） （2） 由（1）（2）得： ， 解得：. （）. 19. 已知数列满足，且， （1）求数列的前三项； （2）令，求证：数列为等差数列，并求的通项公式； （3）在（2）的条件下，若且数列的前项和为，求证：． 【答案】（1），， （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据递推关系求解即可； （2）由题设可推导得到，进而求证，再结合等差数列的通项公式求解即可； （3）由题设可得，根据裂项相消法求和，进而求证. 【小问1详解】 由， 可得，即． 同理，即. 同理，即. 【小问2详解】 因为， 又， 所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列， 所以. 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 因为数列的前项和为， 所以． 因为 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十四中学2026—2027学年（上）高二数学第一次月考测试卷 一、单选题 1. 已知数列的通项公式为，则在下列各数中，不是的项的是（ ） A. 21 B. 33 C. 152 D. 153 2. 下列数列是递减数列的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 在正项等比数列中，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 50 6. 中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 7. 设等差数列的前n项和为，，公差为d，，．则下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. D. 使得成立的最大自然是n是17 8. 记数列的前项和满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 数列是单调递增数列 C. 数列不是等差数列 D. 数列不是等比数列 11. 已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 是等比数列 三、填空题 12. 1和4的等差中项是__________． 13. 已知等差数列，前项和分别为和，若，则______. 14. 等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 四、解答题 15. 已知数列为正项等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 16. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和的最大值． 18. 在数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 19. 已知数列满足，且， （1）求数列的前三项； （2）令，求证：数列为等差数列，并求的通项公式； （3）在（2）的条件下，若且数列的前项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $