江苏省南京市江宁区2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟练习卷

2026-2027学年江苏省南京市江宁区九年级数学上学期期中模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，y随x的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而增大 4．根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个根满足（    ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.24 0.89 1.56 A． B． C． D． 5．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（     ） A．10 B． C． D． 6．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为___． 8．若点在反比例函数的图象上，则______． 9．已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 10．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素） 11．已知，是方程的两个根，则________． 12．若直线与双曲线交于点，，则的值是___________． 13．如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 14．如图，点P是反比例函数的图像上一个动点，以P为圆心，为半径的圆分别交x轴、y轴于A、B两点，则的值为_______． 15．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 16．如图，已知的半径为2，圆外一点O满足，点P为上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且，，l不经过点C，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解下列方程 (1)； (2)． 18．已知反比例函数的图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)若点在这个图象上，求的值． 19．如图，在中，． (1)在边上找一点，使以点为圆心，长为半径的圆恰好与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，与的切点为，若，，求的半径． 20．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的面积． 21．小孙同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高（单位：）与物距（小孔到物体的距离）（单位：）的几组数据． 像高（单位：） 1.5 2 3 5 物距（单位：） 8 6 4 (1)像高与物距之间成 关系，并求出该函数关系式； (2)当像高为时，物距是多少厘米？ (3)因为实验器材限制，物距不能超过，则像高的范围是 ． 22．完成以下问题 (1)如图①，，是上的两条弦，，，垂足分别为E、F．如果，和的大小有什么关系？为什么？ (2)如图②，是的弦．求作弦，使，且与的夹角为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 23．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与交于点D、E． (1)证明：与面积相等； (2)若，求的值； (3)若四边形面积为6，求反比例函数的解析式． 24．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长是该方程的两个根，且，当是等腰三角形时，求的值． 25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于、两点，与直线交于点E． (1)求的表达式； (2)点P在反比例函数图象上，且在直线下方，若求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且点P在第一象限，如图2所示，将点P沿射线方向平移个单位得到点，点F在反比例函数图象上，且满足，请直接写出点F的坐标． 26．如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由． 27．平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A B B D 1．D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得. 2．B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 3．A 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】反比例函数的符号为突破口，结合图象性质与点坐标验证各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误； 当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误； ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 4．B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】根据表格中的取值正负变化，确定方程根的所在区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足． 5．B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】连接，由轴，可得，根据和反比例函数图象在第二象限，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 6．D 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、点与圆上一点的最值问题、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 7． 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义，将根代入原方程即可求解参数的值． 【详解】解：∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得： ， 化简计算得：， 解得． 8． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求反比例函数值 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，代入先求出的值，再计算所求式子即可． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得 ， ∵ 反比例函数中，两边同乘得 ， ∴ ． 9． 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】根据反比例函数的象限分布和增减性，先判断的符号，再比较第一象限内与的大小. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小； ∵， ∴点在第三象限，可得； ∵， ∴点，都在第一象限，可得； 综上可得. 10． 【知识点】圆锥的实际问题、求圆锥侧面积 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：灯罩的铁皮的面积是． 11． 【知识点】分式的求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求分式通分后代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得 ，， ． 12． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据题意得到，，联立两函数解析式得到，则由根与系数的关系得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点，， ∴，， 令，得， ， ． 13．6 【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的定义 【分析】由题意可设，则，由于函数的图象经过点，故，再由与的面积之差为3求解． 【详解】解：∵，和都是等腰直角三角形，， ∴设， 则， ∵函数的图象经过点， ∴ ∵与的面积之差为3， ∴ ∴． 14． 【知识点】反比例函数与几何综合、圆的基本概念辨析、因式分解法解一元二次方程 【分析】设动点，利用半径相等得到，分别列出距离平方等式，化简求出点A横坐标、点B纵坐标，得到、，消去字母x得到定值． 【详解】解：设， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，， ，， ，，， ，， ，， ． 15． 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 16．3 【知识点】三线合一、点与圆上一点的最值问题、两点之间线段最短、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】先连接，，，根据，即可得到当点O，P，C三点共线时，最短，依据，，可得点P在以O为圆心，为直径的圆上，进而得到与相切时，最短，根据已知长度求得此时的长，即可由解答． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，， ∴， ∵， ∴当点O，P，C三点共线时，最短， 如图， ∵，， ∴点P在以O为圆心，为直径的圆上， ∴与相切时，最短， ∵，， ∴， ∴． 17．(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程 【分析】（1）利用直接开平方法计算； （2）利用求根公式法计算． 【详解】（1）解：， 两边同除以得：， 开平方得：， ∴； （2）解：， ∴， ， ∴， ∴， ． 18．(1) (2) 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】（1）直接把点代入反比例函数即可得出结论； （2）把代入已求出的解析式即可求得n的值． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 解得， ∴． （2）解：∵点在反比例函数上， ∴． 19．(1)如图，点即为所求． (2) 【知识点】切线的性质定理、作垂线(尺规作图)、根据矩形的性质求线段长、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）要满足以点为圆心，为半径的圆与相切，等价于圆心到的距离等于半径，结合的条件，等价于作的角平分线，该角平分线与交于点，过点作的垂线，与的交点即为所求的点，此时，，满足圆与相切，保留全部作图痕迹即可； （2）过点作交于点，结合切线的性质和，推出四边形是矩形，由此得到对应边相等，设半径，则，，在中利用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：作的角平分线，交于点，过点作的垂线交于点，即为所求．以为圆心，长为半径作圆，可以使得圆与相切． （2）解：如图，过点作交于点， ，，， 四边形是矩形， ， 设半径，则，， 在中，， ， 即， 解得． 的半径为． 20．(1)解：， 理由如下： 如下图所示，连接， 、是的半径， ， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ； (2) 【知识点】三线合一、利用垂径定理求值、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，根据圆的性质可知是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证； （2）设的半径为，则有，利用勾股定理可得，解方程求出的值，即为的长度，根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， 是的垂直平分线， ， ， 设的半径为， 则， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 21．(1)反比例， (2)物距是5厘米 (3) 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、求反比例函数解析式、根据定义判断是否是反比例函数、求自变量的值或函数值、实际问题与反比例函数 【分析】（1）计算表格内每组、的乘积，乘积为定值，根据反比例函数定义判定为反比例关系，设反比例解析式，代入一组数据求出，即可解答． （2）把代入已经求出的反比例函数解析式，解方程求出对应的，即为物距． （3）反比例函数，时随增大而减小，结合，求出的取值范围． 【详解】（1）解：计算表格中每组x，y的乘积： ， ， ， ． 每组对应的物距和像高的乘积是固定不变的常数12． 根据反比例函数定义：若两个变量x，y满足（为不等于0的常数），则是的反比例函数． 因此与成反比例关系． 设像高关于物距的函数关系式为． ，，检验表格中其他数据也符合关系式． 像高关于物距的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得． 物距是厘米． （3）解：函数，，时，随增大而减小． 已知，当时，． ． 22．(1)解：． 连接，，设半径为r． ，，，, ，, 在中，，在中，, ，，即． (2)过点作的平行线，再作交于点P,连接,作,连接,以点为圆心，任意长在、、、上画弧，分别交于G、H、J、K四个点，分别以点J、K为圆心，长度为半径画弧，交于点S、T，延长,交于点C，延长,交于点D,连接，即得到，且与的夹角为． 尺规作图：如图所示： 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、作垂线(尺规作图)、利用垂径定理求值、尺规作一个角等于已知角、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，，设半径为r，在、中使用勾股定理，分别表示出和的长，再根据即可比较出和的大小关系． （2）过点作的平行线，再作交于点P,连接,作,可证明,连接,用尺规作图，就可以以为边作一个大小为的角，这个角的另一边与的交点，即为C点；再连接,用尺规作图，以为边作一个大小为的角，这个角的另一边与的交点，即为D点，连接,即可得到与的夹角为，也可证明． 【详解】（1）略 （2）解：∵，,,为公共边， ∴, ∴, 得到角，用于确定与的夹角， 连接后， ∵点、点都相对于点、点偏移， ∴与的夹角为， ∵, , ∴,即, ∴, ∴， 综上即得到，且与的夹角为， 23．(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴与面积相等； (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、已知比例系数求特殊图形的面积、利用矩形的性质证明 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再由反比例函数比例系数的几何意义可得； （2）求出，设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为，则可推出，据此求出的长即可得到答案； （3）设M点坐标为，则，即，可求出，，，进而求出点D和点E的坐标，根据，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为， ∵，均在反比例函数的图象上， ∴， 解得． ∴， ∴， ∴． （3）解：设M点坐标为，则，即， ∵点M为矩形对角线的交点， ∴， ∴，， ∴D点的横坐标为，E点的纵坐标为， 又∵点D、点E在反比例函数的图象上， ∴D点的纵坐标为，E点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． 24．(1)证明：， 所以无论取何实数，方程总有两个实数根． (2)或 【知识点】等腰三角形的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）先计算出判别式的值，进而根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求出方程的解为，，然后根据等腰三角形的定义分类讨论：或或，由此便可求出的值． 【详解】（1）略 （2）解： ， 所以方程的两个根为，， 不妨设、． 当时，，三边长为2、2、3，能构成三角形； 当时，，三边长为3、2、3，能构成三角形； 当时，，不成立． 所以或． 25．(1) (2)或 (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、分母有理化、求一次函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS）、求反比例函数解析式、解分式方程（化为一元二次） 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，则，求解即可； （3）根据平移求出，当F点在第三象限时，过作轴交于G点，根据所给条件推导出，则直线与反比例函数图象的交点为F点；当F点在第一象限时，过作轴，且，过H点作，且，连接，可得，则直线与反比例函数图象的交点为F点． 【详解】（1）解：将代入中， ∴， ∴， 将代入， ∴， ∴， 将，代入中， ∴， 解得， ∴的表达式为； （2）解：过点P作轴交于点Q， 当时，解得， ∴， 设，则， ∴， 解得， 经检验，均为原分式方程的解， ∵ ∴或； （3）解：∵点P在第一象限， ∴， ∵点P沿射线方向平移个单位， ∴P点向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴， 当F点在第三象限时，过作轴交于G点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ∴； 当F点在第一象限时，当时，， 即， 过作轴，且，过H点作，且，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在线段上， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ， ∴； 综上所述：F点坐标为或． 26．(1)3 (2)解：不存在一个时刻，使得， 理由如下：如图，过点作于点，同理可得矩形，矩形， ， ，， 当时，有， ， 化简得，， ， ∴此方程无实数解， ∴不存在一个时刻，使得． (3)解：不存在，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴P点运动的时间为（秒）， Q点运动的时间是（秒）， ∵P、Q的时间不一样， ∴不存在该时刻． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、正方形性质理解、（特殊）平行四边形的动点问题、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先求出，，得到，再根据梯形的面积公式进行求解即可； （2）当时，有，列出方程，由，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得． （3）根据正方形的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，移动时间为， ， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得， ∴当时，四边形的面积为； （2）略 （3）略 27．(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、利用垂径定理求值、圆与函数的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据关联点定义，得到关联点需要满足到圆心 的距离小于 2，分别算出三点到 O 点的距离，对比距离 2 的大小，筛选出符合条件的关联点． （2）作出已知点关于关联线段的对称点，连接圆心与对称点并延长交圆得到最短、最长弦，结合已知点的坐标算出圆心到该点距离，求出关联线段长度的最小值与最大值，得到取值范围． （3）利用第（1）问结论，关联点在以 为圆心 2 为半径的圆内部，求出直线与坐标轴交点 、，算出线段 和该圆相切时的 值，结合圆 最长弦是直径为 2，恒成立，得到 的取值范围． 【详解】（1）解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴， 如图，点为上的一点，过点作的直径， ∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称， ∴， ∴， ∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的， ∵此时对称轴是的切线，不是的弦， ∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点， ∴若点是的关联点，则， ∵，，， ∴，，， ∴点，为关联点，不是关联点． （2）解：作与关于弦对称，如图所示： ∴上的点是的关联点，关联线段为弦， 连接，并延长交于点，， ∴为最小值，为最大值， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点， ∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点， 当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示： ∴，， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得，解得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴在中，， ∴， ∴当时，线段上存在的关联点， ∵中最长的弦为的直径，的直径为， ∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于 ∵记这些点与的关联线段长的最大值为， ∴， ∵， ∴也一定成立， 综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $