精品解析：浙江金华市兰溪市聚仁中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

聚仁中学2026学年第一学期期中测试 八年级数学试题卷 2026.10 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是(　　) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 13 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 如果，那么 C. 若，则，， D. 若，则 5. 如图，中，过点作，取边中点，连结．若，，则长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 6. 如图，在中，，，AB的垂直平分线EF交AC于点D，的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 10° 7. 如图①是一个直角三角形纸片，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），则DC的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 8. 如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 9. 将三个全等的小正方形按如图所示摆放在长方形内部，其中分别在长方形的边上，若，，则图中小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论： ①； ②∥； ③； ④． 正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二.填空题（每小题3分，满分18分） 11. 在中，，则___________． 12. 如图，在中，，点D在的延长线上，，则______． 13. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为______． 14. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为________． 15. 如图，已知，中，，，点、分别在边、上运动，的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为_____． 16. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 三、解答题：（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 如图，在正方形网格上有一个，每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）画关于直线的轴对称图形（不写画法）； （2）在直线上求作一点P，使最小，并求出最小值． 19. 如图，在中，，平分交于点E． （1）求的度数； （2）若于点D，．判断的形状，并说明理由． 20. 已知的三边长分别为，，． （1）若，，为中最长边的长，且为偶数，求的周长； （2）化简：． 21. 如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为． （1）求证：． （2）若．求的长． 22. 某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． （1）气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． （2）若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 23. 如图1，等腰和等腰中，，，连接、，利用所学知识解决下列问题： （1）若，求证：； （2）连接，当点D在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的高，求出的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 24. 如图1，于点，连接，，，，点在线段上运动时（不与重合），点在线段上，满足，连接．当为中点时，恰好与点重合． （1）求的长． （2）如图2，若，点运动到中点时，延长交于点，求证：． （3）如图3，连接，当是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聚仁中学2026学年第一学期期中测试 八年级数学试题卷 2026.10 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是(　　) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：通过验证两短边和大于最大边，即可进行判断． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； C、，符合三角形三边关系，故能构成三角形； D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 3. 已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定出第三边的范围，即可求解． 【详解】解：设此三角形的第三边为， 则由题意可得：，即 只有C选项符合题意， 故选：C 【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 如果，那么 C. 若，则，， D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【详解】解：A．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故A不符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据还可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：，，，那么，根据条件，无法判定，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故D符合题意； 故选：D 5. 如图，中，过点作，取边中点，连结．若，，则长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及直角三角形的性质．先根据题意得出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， 是直角三角形， 点为边的中点，， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，在中，，，AB的垂直平分线EF交AC于点D，的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 10° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC，根据线段的垂直平分线求出AD=BD，得到∠A=∠ABD，求出∠ABD的度数即可解决问题． 【详解】解：∵AC=AB，∠A=50°， ∴∠ABC=∠C=65°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=50°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°． 故选A 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是求出∠ABD和∠ABC的度数，题目比较典型，难度适中． 7. 如图①是一个直角三角形纸片，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），则DC的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AC，根据翻折变换的性质可得BC´＝BC,DC´＝DC,设DC＝x，表示出AD，然后利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】∵∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm ∴ 又∵BC´＝BC＝5,DC´＝DC ∴AC´＝AB－BC´＝13－5＝8cm 设DC＝x,则AD＝AC－DC＝12－x ∴DC´＝x ∴在Rt△AC´D中，根据勾股定理得， 即，即 ∴DC＝,故选A. 【点睛】熟练掌握翻折变换、勾股定理，翻折前后对应线段相等、对应角相等，利用勾股定理列式是本题的解题关键. 8. 如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选：． 9. 将三个全等的小正方形按如图所示摆放在长方形内部，其中分别在长方形的边上，若，，则图中小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，根据，列出二元一次方程组，求出和，再求出边长即可． 【详解】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形， 设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为， ，， ， 解得， 小正方形的边长为：． 故选：B． 10. 如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论： ①； ②∥； ③； ④． 正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①由于和是等边三角形，可知，从而证出，可推知； ③由得，加之，得到，所以；故③正确； ②根据②，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ④利用等边三角形的性质，∥，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确． 【详解】解：①∵等边和等边， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故①正确； ③∵（已证）， ∴， ∵（已证）， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 故③正确； ②∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴∥； 故②正确； ④∵， ∴， ∵是等边三角形， ， ∴∥， ∴， ∴． 故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判断与性质、全等三角形的判定与性质和平行线的判定与性质，解题关键是掌握以上判定与性质并灵活运用，本题涉及的知识点比较综合，善于发现图中的全等三角形是解题关键. 二.填空题（每小题3分，满分18分） 11. 在中，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．利用等边对等角直接求解即可． 【详解】解：如图： ，， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，点D在的延长线上，，则______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及平角的定义，根据点D在的延长线上，利用平角等于可求出，再利用三角形的内角和定理即可求出 【详解】解：∵点D在的延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求解即可． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 14. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到和的等量关系是解题的关键．根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差1，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解． 【详解】解：设图中直角三角形的边长分别为、， ∵图中大、小正方形的面积为13和1，则大、小正方形的边长为、， 则、满足， ，代入 解得， ， 故较长的直角边为3， 故答案为：3． 15. 如图，已知，中，，，点、分别在边、上运动，的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，解题关键是灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定动点的几何特征． 作于，连接，如图，根据等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，接着根据三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），从而求出的最大值即可． 【详解】解：作于，连接，如图， ，， ， 在中，， ， ， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最大值为， 即点到点的最大距离为14． 故答案为：14． 16. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3， ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 三、解答题：（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 如图，在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABE=90° 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2） 【解析】 【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，BE=BF，即可利用SAS证得△ABE≌△CBF； （2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由△ABE≌△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°， 又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-20°=25°， 由（1）知：△ABE≌△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=25°， ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+25°=70°． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 18. 如图，在正方形网格上有一个，每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）画关于直线的轴对称图形（不写画法）； （2）在直线上求作一点P，使最小，并求出最小值． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 连接，交轴于点，点即为所求， 最小值为 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变化，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和“将军饮马”模型是解题的关键， （1）先找出点、点、点关于直线的对称点，再依次连接对称点即可； （2）连接，交轴于点，点即为所求，由于，可得的最小值为的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点与点对称， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴， ∴的最小值为． 19. 如图，在中，，平分交于点E． （1）求的度数； （2）若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 略 20. 已知的三边长分别为，，． （1）若，，为中最长边的长，且为偶数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得c的取值范围，再结合为偶数，可求出c的值，即可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，再根据绝对值的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵，，为中最长边的长， ∴， ∴， ∵为偶数， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：∵的三边长分别为，，， ∴为正数， ∴ 21. 如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为． （1）求证：． （2）若．求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）BE＝ 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，根据证明，得到； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到，根据证明，得到，根据以及线段之间的等量关系，进行转化后计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵垂直平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 22. 某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． （1）气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． （2）若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 【答案】（1）气象观测站受台风影响， 过点C作于点D， 、、 ， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 气象观测站受台风影响； （2）受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点C作于点D，利用三角形面积得出的长，进而得出气象观测站受台风影响， （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该气象站持续的时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：距离台风中心及以内的地区会受到影响， 时，正好影响C气象站， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵，， （小时）． 答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时． 23. 如图1，等腰和等腰中，，，连接、，利用所学知识解决下列问题： （1）若，求证：； （2）连接，当点D在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的高，求出的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①，； ②，，理由如下： 同（1）可证明， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为中边上的高， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、等腰三角形的判定与性质． （1）由等角减同角，于是利用证明即可得到证明； （2）①由题意易得和均是等边三角形，同（1）证明，得到，，由平角的定义得，则； ②由题意易得为等腰直角三角形，同（1）证明，得到，，由平角的定义得，则，由等腰直角三角形的性质可得，于是可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴和均是等边三角形，， 同（1）可证明， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； ②略 24. 如图1，于点，连接，，，，点在线段上运动时（不与重合），点在线段上，满足，连接．当为中点时，恰好与点重合． （1）求的长． （2）如图2，若，点运动到中点时，延长交于点，求证：． （3）如图3，连接，当是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的的长． 【答案】（1）的长是12 （2） 证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合， ∵，P为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用． （1）先由题意，根据勾股定理求得，再由P为中点时，Q恰好与点E重合，得，即可求得结果； （2）当P为中点时，Q恰好与点E重合，延长交于点F，则，可推导出，则，即可证明，即，即可得出结论． （3）分三种情况，一是，则得；二是，由，且，，得，则得，三是由垂直平分，可得，若点Q与点C重合，则，但点P不与B重合，则点Q不与点C重合，所以不存在的情况．即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵于点 ∴， ∵，， ∴， ∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且， ∴， ∴， ∴的长是12． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当是等腰三角形，且时， ∵， ∴， ∴ 当是等腰三角形，且时， ∵ ，且， ∴ ∴ ， ∴， ∵垂直平分， ∴若点Q与点C重合，则， ∵点P不与B重合，且， ∴点Q不与点C重合． ∴不存在的情况， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $