精品解析：山东德州市宁津县育新中学等2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期第一次学情检测 九年级数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，方程未明确，当时不是一元二次方程； B选项，方程含有两个未知数，不是一元二次方程； C选项，方程可整理为，只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程； D选项，方程的分母中含有未知数，是分式方程，不是一元二次方程． 2. 若是二次函数，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，解题需同时考虑二次项次数为、二次项系数不为两个条件，不可遗漏系数限制． 【详解】解：由二次函数定义得二次项次数为、二次项系数不为， ∴且， 解得：或， 解得：， ∴． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 4. 已知a是方程的一个根，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无需解出的具体值，将所求式变形后利用方程根的定义整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根． ∴，即． ∴． 5. 一元二次方程 的两个实数根为，，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根与系数的关系，，，转化为，转化为． 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， 由根与系数的关系得，，， 所以，A、B选项不符合题意； ， C选项不符合题意； ， D选项符合题意． 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵， ， ∴． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … m 3 2 … 下列各选项中，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用表格中函数值相等的两点求出抛物线对称轴，再结合二次函数性质判断各选项． 【详解】解：由和时， 得二次函数对称轴为直线； ∵时，时， ∴ 抛物线开口向下，选项不符合题意； ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随增大而增大，时随增大而减小， ∴选项不符合题意； ∵ 对称轴为直线，时， ∴ 顶点坐标为，选项不符合题意； ∵与关于直线对称， ∴ 对应函数值相等，即，选项符合题意． 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 10. 下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数顶点式的核心性质，逐一验证各结论． 【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为， ∴两函数图象形状相同，结论①正确； 将代入，得， ∴该函数图象一定经过点，结论②正确； ∵该抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵的值不确定， ∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误； 该函数的顶点坐标为， 将代入，得， ∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题4分共24分） 11. 已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程；    解得，即； 由得． ． 12. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会名同学． 由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会名同学． 故答案为：． 13. 若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为_________．（用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三个点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：对于二次函数， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴点离抛物线的对称轴越近，对应的值越大， 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离：到对称轴的距离：，到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵ ， ∴ ． 14. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是； ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大； ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 18. 已知关于x的方程． （1）若这个方程是一元二次方程，求m的值； （2）若是它的一个根，求m的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程； （1），化为一般式得：，根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不能为0，即 ，解得； （2）根据方程的根的定义将代入 ，进而解方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∵这个方程是一元二次方程， ∴ ， 解得： 【小问2详解】 解：∵是的一个根， ∴ 解得：， 当时，原方程为 解得： ∴或． 19. 已知的三边a、b、c，其中，b、c是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若是以a为腰的等腰三角形，求m的值； （2）若是以a为底边的等腰三角形，求m的值，并求此时三角形周长． 【答案】（1）24 （2）；周长=14 【解析】 【分析】（1）当为腰，则一元二次方程一根等于4，代入求出，再求出方程的两个根，最后检验是否能组成三角形即可； （2）先推导出，得到，求出，再求出方程的两个根，最后检验是否能组成三角形即可． 【小问1详解】 解：当为腰，则一元二次方程一根等于4， ∴， 解得， ∴关于x的一元二次方程为， 解得， ∵4，4，6能组成三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵是以a为底边的等腰三角形， ∴， ∴ 解得， ∴关于x的一元二次方程为， 解得， ∵4，5，5能组成三角形， ∴， 则． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】（1）实数的取值范围是 （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 21. 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据月份和月份的销售量建立方程求解即可； （2）设汽车的售价下调万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设新能源汽车的售价下调万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， ∴． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为万元． 22. 已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 23. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）则的值为______；对称轴为______； （2）已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】（1），轴； （2）； （3） 如图， ． 【解析】 【分析】（）根据二次函数的定义先求出，，然后由当时，随的增大而增大，则有，然后根据二次函数的性质即可求解； （）据二次函数的性质即可求解； （）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出的取值范围； 本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， 解得：，， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，即轴， 故答案为：，轴； 【小问2详解】 解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴， ∴点在该图象上对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：列表： 根据图象可知：当时， ∴的取值范围， 故答案为：． 24. 已知二次函数，为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】（1） （2） （3） 证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 【小问1详解】 解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． 【小问2详解】 解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情检测 九年级数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是二次函数，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 已知a是方程的一个根，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 5. 一元二次方程 的两个实数根为，，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … m 3 2 … 下列各选项中，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题4分共24分） 11. 已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 12. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 13. 若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为_________．（用“”符号连接） 14. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 15. 已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是； ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大； ④当时，函数的最大值是10． 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的方程． （1）若这个方程是一元二次方程，求m的值； （2）若是它的一个根，求m的值． 19. 已知的三边a、b、c，其中，b、c是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若是以a为腰的等腰三角形，求m的值； （2）若是以a为底边的等腰三角形，求m的值，并求此时三角形周长． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 21. 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 22. 已知二次函数的图象经过，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 23. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）则的值为______；对称轴为______； （2）已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 24. 已知二次函数，为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $