精品解析：济宁市第十三中学2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测试卷

十三中初四阶段性学情调研（数学篇） 总分：100分时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 已知， 则锐角A的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为 tanA= ,A为锐角,由特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】因为 tanA= ,A为锐角 由特殊角的三角函数值知: A=60°， 故选C. 【点睛】掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键. 2. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、中的最高次数为2，右边为整式，是二次函数； B、中的最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； C、是一元二次方程，不是关于的函数，不是二次函数； D、的右边为分式，是反比例函数，不是二次函数． 3. 一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，已知，当行驶时，高度约上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，过点B作于点C， 在中，， ∴， 即高度约上升了． 4. 抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（） A. y=（x+3）2+2 B. y=（x+3）2－2 C. y=（x+2）2+3 D. y=（x+2）2－3 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向左平移2个单位,再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为,所以平移后的抛物线解析式为y=（x+3）2+2. 故选A. 【点睛】考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键. 5. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向上，A错误，不符合题意； 对称轴为 ，B错误，不符合题意； 顶点坐标为 ， C错误，不符合题意； ∵ ，开口向上， ∴ 当 时，随的增大而减小， ∴ D正确，符合题意． 故选：D． 6. 人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现．如图是一男士座椅情况和示意图，若，该椅子座垫高度还要升高多少，才符合体工学椅的要求（　　） A. 40sin50°﹣40 B. 40cos50°﹣40 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 如图：过点B作，垂足为E，根据题意可得然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：如图：过点B作，垂足为E， 由题意得：， 在中，， ∴， ∴该椅子座垫高度还要升高的高度， 故选：C． 7. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图像如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②，③；④若此抛物线经过点，则点一定是抛物线上的一个点．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ① 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口和抛物线与轴交点，对称轴，判断①，由抛物线的对称性及经过点可判断②，由抛物线对称轴为直线可得，从而判断③，由抛物线的对称性及经过点可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为：直线， ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，③错误； ∵此抛物线经过点，且对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点为， 即点不是抛物线上的一个点，④错误； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，二次函数的性质． 9. 下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用． 由得，故在中使用=即可列出方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， 设为，， 在，== 即， 故选A． 10. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC=BE=5， ∴AD=BE=5，故①小题正确； 又∵从M到N的变化是2， ∴ED=2， ∴AE=AD-ED=5-2=3， 在Rt△ABE中，AB=， ∴cos∠ABE=，故②小题错误； 过点P作PF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠PBF， ∴sin∠PBF=sin∠AEB=， ∴PF=PBsin∠PBF=t， ∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确； 当秒时，点P在CD上，此时，PD=-BE-ED=-5-2=， PQ=CD-PD=4-=， ∵，， ∴， 又∵∠A=∠Q=90°， ∴△ABE∽△QBP，故④小题正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂题中的两个函数图像中的信息. 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 二次函数的图像经过，两点，则，的大小关系是________．（用“”或“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，将，代入求解判断即可． 【详解】∵二次函数的图像经过，两点， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：． 12. 已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 3 … 则这个二次函数的图象的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，结合表格数据即可求得． 【详解】解：由表格数据结合二次函数图像对称性可得图象顶点为（1，-1）， 故答案为：（1，-1）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，掌握二次函数的图象关于对称轴对称是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，于点，那么的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A=∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值． 【详解】在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5， ∴AB==13， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴sin∠BCD=sinA= ． 故答案为：. 【点睛】此题考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD=sinA是解题关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“点”．已知关于的二次函数是“函数”，其中，两点为一对“点”，点是该二次函数图象上，两点之间的一个动点（含端点，．若点的纵坐标的最大值为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据约定得到点的坐标，将点的坐标代入二次函数，求出的值，从而得到二次函数图象的对称轴，再分当时和当时两种情况讨论即可，理解约定，掌握二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：，两点为一对“点”， ，且点，都在二次函数图象上． 将点的坐标代入二次函数， 得， 解得． 二次函数的表达式为． 二次函数图象的对称轴为直线， 当时， ， 顶点纵坐标为点纵坐标的最大值， 即， 解得， ， ． 当时， ， 点的纵坐标为点纵坐标的最大值， 即， 解得， 此时不成立，含去． 综上所述，． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，55分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数计算．将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货轮相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？ 【答案】A港与B港相距海里． 【解析】 【分析】先作于点C，根据题意求出，从而得出的值，得出的值，即可求出答案． 【详解】解：作于点C， 由题意得， ∴海里， ∵乙货船从B港沿西北方向出发， ∴，， ∴海里， ∴海里， 答：A港与B港相距海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解． 18. 如图，已知二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）x的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质： （1）将A，B两点坐标代入函数解析式求解即可； （2）结合图象，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题知， 将A，B两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的表达式为． 因为， 所以抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：观察图象， 当时，抛物线在直线的下方，即， 所以x的取值范围是． 19. 设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以说函数是闭区间上的“闭函数”．若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求k的值． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】把二次函数的解析式化为顶点式，得到开口方向和对称轴，进而得到增减性，结合“闭函数”的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴， 解得． 20. 某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见表： 产量x（万件） … 15 18 20 … 总成本y（万元） … 285 336 360 … （总利润＝总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20万元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】（1） （2）生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． 【解析】 【分析】（1）选取表格中两组产量与总成本的对应值代入二次函数解析式，解方程组求出系数,，再验证第三组数据符合即可； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数关系式，结合自变量的取值范围，利用二次函数的性质求最大值． 【小问1详解】 解：将和代入， 得 ， 解得， ∴总成本与产量的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设总利润为万元，由题意得，总销售额为万元，       ， ∵二次项系数，对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为（万元）， 答：生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其形状如图所示： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，； ④用计算器计算得：，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段的长度； （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 22. 已知抛物线．抛物线过点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是对称轴上一点，当达到最小值时，求P的坐标； （3）在第一象限内的该抛物线有一点D，且，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式确定m的值即可． （2）连接，先求出点，再求出直线的解析式为，然后根据求解即可； （3）过D点作轴，交直线于E，先求出点，设点D的坐标为，则，求得，根据，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴抛物线对称轴为直线． 在中，令，得． ∴点， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线过点，与x轴的另一个交点为C， ∴点A与点C关于对称轴对称， ∴． ∴， ∴当点A，B，P共线时，达到最小值， 当时，， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，过D点作轴，交直线于E， 在中，令， 得， 解得． ∴点． ∴． ∵点， ∴． ∴， ∴． 设点D的坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或． 23. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若，，求c的值； （2）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积直接计算的值； （2）根据抛物线开口向上且对称轴在轴右侧的性质，分类讨论对称轴与区间的位置关系，结合最值差列方程求解，舍去不符合范围的解即可． 【小问1详解】 解： ∵ 抛物线与轴交点为，，且，， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴ ； 【小问2详解】 ∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ， ∴ ， 分情况讨论： ① 当，即时， ∵ 在范围内，随的增大而减小， ∴ （时取得），（时取得）， ∵ 最大值与最小值的差为， ∴ ， 解得， ∵ ，与矛盾， ∴ 该情况舍去； ② 当，即时， ∵ 抛物线开口向上， ∴ 最小值在对称轴处取得，， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 整理得， 解得，； ∵ ， ∴ 符合条件， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 解得， ∵ ， ∴ 符合条件； 综上所述，的值为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十三中初四阶段性学情调研（数学篇） 总分：100分时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 已知， 则锐角A的度数是（   ） A. B. C. D. 2. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，已知，当行驶时，高度约上升了（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（） A. y=（x+3）2+2 B. y=（x+3）2－2 C. y=（x+2）2+3 D. y=（x+2）2－3 5. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 6. 人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现．如图是一男士座椅情况和示意图，若，该椅子座垫高度还要升高多少，才符合体工学椅的要求（　　） A. 40sin50°﹣40 B. 40cos50°﹣40 C. D. 7. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图像如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②，③；④若此抛物线经过点，则点一定是抛物线上的一个点．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ① 9. 下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 二次函数的图像经过，两点，则，的大小关系是________．（用“”或“”连接） 12. 已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 3 … 则这个二次函数的图象的顶点坐标是_______． 13. 如图，在中，，，，于点，那么的值是_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 15. 约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“点”．已知关于的二次函数是“函数”，其中，两点为一对“点”，点是该二次函数图象上，两点之间的一个动点（含端点，．若点的纵坐标的最大值为，则________． 三、解答题（共8小题，55分） 16. 计算： 17. 如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货轮相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？ 18. 如图，已知二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 19. 设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以说函数是闭区间上的“闭函数”．若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求k的值． 20. 某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见表： 产量x（万件） … 15 18 20 … 总成本y（万元） … 285 336 360 … （总利润＝总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20万元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其形状如图所示： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，； ④用计算器计算得：，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段的长度； （2）求底座的底面的面积． 22. 已知抛物线．抛物线过点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是对称轴上一点，当达到最小值时，求P的坐标； （3）在第一象限内的该抛物线有一点D，且，求点D的坐标． 23. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若，，求c的值； （2）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $